２０１０年第２期物理通报物理问题研究
关于双平面镜成像特性的研究＊
朱庆华
顾菊观
钱星星
俞
琼
３１３０００）
高慧芝
（湖州师范学院理学院浙江湖州
引言
双平面镜的成像机理较简单，但对于成像个数
１ｆ＾ｏ
域‘，其余均为可成像区域．１．２像点的位置
Ｓ经双平面镜所成像点的位置可以在极坐标下
的讨论较为繁琐，文献［１］给出了在Ｊｏ。ｕ－（、０为双平
Ｌ，
表示出来［１｜．设经Ａ平面镜反射所成的像点记为Ａｌ，
Ａ２，Ａ３，…Ａ。，经Ｂ平面镜反射所成的像点记为日ｌ，曰２，Ｂ３，…日。．如图１，根据平面镜成像的性质，显然可以得到
ＯＳ＝ＯＢｌ＝ＯＡｌ
面镜的夹角）为整数时成像个数的计算方法；笔者认为该计算方法有其不完善和不确切之处．本文将对双平面镜的成像规律、成像个数进行讨论，并给出普遍适用的成像个数计算方法．
同理可得
１
双平面镜的成像规律
ＯＡｌ＝：ＯＡ２
１．１
成像区域
如图１所示，双平面镜的两平面镜夹角为０
依此类推可得
ＯＳ＝ＯＢｌ＝ＯＢ２＝…＝ＯＢ。＝
ＯＡｌ＝ＯＡ２＝…＝ＯＡ。＝Ｒ
℃（４ｊ
６０－
粪淡＼＼＼
（４日
Ｋ８＇之羹＼＼氢
—ｒ
＼．
ｆ
＼彦职（２ｏ—ａ）】
所以，Ｓ，Ａｌ，Ａ２，…Ａ。；ＢＩ，Ｂ２，…日｜Ｉｌｆ均落在以Ｒ为半
径、Ｏ为圆心的圆上．经双平面镜反射所成像点在极
坐标下的极角如表１所示（以逆时针方向为正）．
表１
像点
‘ＡＩ．Ａ２Ａ３Ａ４Ａ５Ａ６Ａ，Ａ８
像点的极角
像点
Ｂｌ曰２口３占４Ｂｓ
冀鼍，，，，．，Ｘ７羽
一｛’了矿
０．ｋ—ｔｓａＲ，彩
＼
Ｉ
极角‰
一口
极角铷
２０一口２０＋口４０一口４０＋口６０一馥６０＋口８０一口８口＋口
：．一
一
缛纺翰翰翰弼
一（２０一＆）一（２０＋口）一（４０一口）一（４０＋口）一（６ａ一口）一（６０＋口）
Ａ．暇（一∞】
●ｒ…
，
＼
Ａ：限一：２日一口）】
玩
口，
一（８疗一口）
反
图１双平面镜成像示意凰
（ｏｏ≤０≤１８酽），两平面镜分别记为Ａ、Ｂ，以平面镜Ａ所在直线为极轴建立极坐标系，则光源．ｓ所在的位置可以表示为Ｓ（Ｒ，口），尺为光源到坐标原点的距离．物体能在平面镜中成像，须满足条件为物体在平面镜前．所以，不可再次成像区域为么Ａ’ＯＢ’所夹区
２２．１
＊
．如
ｎ＝２矗一ｌ
Ａ。ｎ＝２后
一［（ｎ一１）口
＋口］
一（ｎ０一口）
巩，ｍ＝
２ｋ一１
（ｍ＋１）０一ａ
Ｂ。，ｍ＝２ｋ
ｍ０＋口
成像的个数
经彳平面镜反射形成的像点个数
湖州师范学院第六届大学生科研创新项目资助项且
根据表１，以Ａ平面镜所在直线为极轴，经Ａ反
－———６９・－—一
万方数据
２０１０年第２期
物理通报
物理问题研究
射的像点极角可以表示为
垆。＝一［（ｎ一１）０＋ａ］
ｎ＝２ｋ一１
ｋ＝１，２，３，…（１）
妒。＝一（ｎＯ—ａ）
ｎ＝２ｋ
ｋ＝１，２，３，…（２）根据图１，有妒。≥一１８０。，依此可分别求得（１）式、（２）式满足该条件的最大整数解，记为ｎ。、ｎ：；取厅。、，１２中较大的值即为经Ａ反射成像的个数，记为ｍａｘ（，ｌｌ，ｎ２）．
２．２
经Ｂ率面镜反射形成的像点个数
同理，经Ｂ反射的像点极角可以表示为
妒。＝（ｍ＋１）口一口
ｍ＝２ｋ一１ｋ＝１，２，３，…（３）
妒。＝ｍ０＋口．
ｍ＝２ｋ
ｋ＝１，２，３，…（４）
此时，需进行坐标极轴的变换，以Ｂ平面镜所在直线为极轴，则像点极角为
妒。’＝ｍ０一口
ｍ＝２ｋ一１
ｋ＝１，２，３，…（５）
９。７＝（ｍ一１）０＋口
ｍ＝２ｋ
后＝１，２，３，…（６）
根据图１有，‰’≤１８０。，依此式可分别求得（５）式、
（６）式满足该条件的最大整数解，记为ｍ，、ｍ２，取ｍ。、ｍ：中较大的值即为经Ｂ反射成像的个数，记为ｍａｘ（ｍｌ，ｍ２）．
２．３
像的总数及是否有重合像的判断
由２．Ｉ、２。２可知，总的像点个数为Ｎ：ｍａｘ（ｎ。，
ｎ２）＋ｍａｘ（ｍｌ，ｍ２）．但在不可再次成像的区域
么Ａ’ＯＢ’内，像点Ａ。与巩有可能重合；这意味着看到的像比实际计算少１个．若Ｉ妒。Ｉ＋‰’＋０＝
３６０。，则在区域么Ａ’ＯＢ’内，经Ａ反射的像点与经曰反射的像点重合，看到的像为Ｎ一１个，判断是否有
重合像也可以通过竽是否为整数来判断［２ｊ；若竽为整数，则像的个数为Ｎ—１．
若９。≥一１８０。和妒。７≤１８０。取到等号，则说明像点落在平面镜所在的直线上，此时经Ａ反射成像个数和经Ｂ反射成像个数分别为ｍａｘ（ｎ，，ｎ２）一１和
一７０一
万
方数据ｍａｘ（ｍｌ＇ｍ２）一Ｉ．
取０＝１２０。，口＝６０。和日＝１２０。，口＝７５０两种
情况为例进行说明．
当日＝Ｉ２０。，ａ＝６０。时，不难求得满足条件
妒。≥一１８０。的最大厅值为２，取到等号，像点落在平面镜Ａ所在直线，故经平面镜Ａ反射成像个数为１个，同理可得经平面镜曰反射成像的个数也为１．所以，成像总数为２个．与ＣＡＤ作图所得结果一致，如
图２所示．
ＡＩ
图３
０＝１２俨，口＝７５。双平面镜成像
综上，双平面镜成像的个数与两平面镜的夹角口以及光源在两平面镜间的位置口有关；故只要给定ｏ（ｏｏ≤０≤１８０。）和ａ的值，就可以根据上述给出的理论计算方法求出任意情况下的像点个数，且与实际作图结果一致．
参考文献
１
林遂弟．两个互成角度的平面镜成像规律的研究．物理
教师，２００ｌ，２２（１０）：１６。１７
２
邬剑峰．两个互成角度的平面镜中能形成多少个像．中学物理教学参考，２００３，３２（７）：２０
关于双平面镜成像特性的研究
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
朱庆华， 顾菊观， 钱星星， 俞琼， 高慧芝湖州师范学院理学院,浙江,湖州,313000物理通报
PHYSICS BULLETIN2010(2)1次
参考文献(2条)
1.林遂弟 两个互成角度的平面镜成像规律的研究 2001(10)2.邬剑峰 两个瓦成角度的平面镜中能形成多少个像 2003(07)
本文读者也读过(8条)
1. 黄晶.陈锟 利用"路径等效"解决双平面镜点光源多次成像问题[期刊论文]-物理教学探讨2009,27(1)2. 缪培娥.Liao Peie 科学课堂内外进行环境教育的实践和探索[期刊论文]-中学生物学2009,25(2)
3. 王荣波.WANG Rong-bo 在Mathematica中用 Table函数生成数组问题的探析[期刊论文]-襄樊职业技术学院学报2011,10(3)
4. 李作主 巧用数组实现多表数据的更新[期刊论文]-科技信息(学术版)2008(36)
5. 王叶军 自主学习意识下课前预习汇报的深化策略[期刊论文]-教学与管理（中学版）2010(5)
6. 姚合生.YAO He-sheng 应用MATLAB编程实现大量矩阵的运算[期刊论文]-安庆师范学院学报（自然科学版）2007,13(1)
7. 冯霞.顾菊观.魏荣妃.林美贞 测望远镜光瞳计算其放大率[期刊论文]-物理通报2010(2)8. 吴敏.陈涛 Matlab数据库开发设计[期刊论文]-工业控制计算机2006,19(4)
引证文献(1条)
1.钱晓燕.顾菊观 三平面镜成像实验规律初探[期刊论文]-大学物理实验 2012(4)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_wltb201002030.aspx
２０１０年第２期物理通报物理问题研究
关于双平面镜成像特性的研究＊
朱庆华
顾菊观
钱星星
俞
琼
３１３０００）
高慧芝
（湖州师范学院理学院浙江湖州
引言
双平面镜的成像机理较简单，但对于成像个数
１ｆ＾ｏ
域‘，其余均为可成像区域．１．２像点的位置
Ｓ经双平面镜所成像点的位置可以在极坐标下
的讨论较为繁琐，文献［１］给出了在Ｊｏ。ｕ－（、０为双平
Ｌ，
表示出来［１｜．设经Ａ平面镜反射所成的像点记为Ａｌ，
Ａ２，Ａ３，…Ａ。，经Ｂ平面镜反射所成的像点记为日ｌ，曰２，Ｂ３，…日。．如图１，根据平面镜成像的性质，显然可以得到
ＯＳ＝ＯＢｌ＝ＯＡｌ
面镜的夹角）为整数时成像个数的计算方法；笔者认为该计算方法有其不完善和不确切之处．本文将对双平面镜的成像规律、成像个数进行讨论，并给出普遍适用的成像个数计算方法．
同理可得
１
双平面镜的成像规律
ＯＡｌ＝：ＯＡ２
１．１
成像区域
如图１所示，双平面镜的两平面镜夹角为０
依此类推可得
ＯＳ＝ＯＢｌ＝ＯＢ２＝…＝ＯＢ。＝
ＯＡｌ＝ＯＡ２＝…＝ＯＡ。＝Ｒ
℃（４ｊ
６０－
粪淡＼＼＼
（４日
Ｋ８＇之羹＼＼氢
—ｒ
＼．
ｆ
＼彦职（２ｏ—ａ）】
所以，Ｓ，Ａｌ，Ａ２，…Ａ。；ＢＩ，Ｂ２，…日｜Ｉｌｆ均落在以Ｒ为半
径、Ｏ为圆心的圆上．经双平面镜反射所成像点在极
坐标下的极角如表１所示（以逆时针方向为正）．
表１
像点
‘ＡＩ．Ａ２Ａ３Ａ４Ａ５Ａ６Ａ，Ａ８
像点的极角
像点
Ｂｌ曰２口３占４Ｂｓ
冀鼍，，，，．，Ｘ７羽
一｛’了矿
０．ｋ—ｔｓａＲ，彩
＼
Ｉ
极角‰
一口
极角铷
２０一口２０＋口４０一口４０＋口６０一馥６０＋口８０一口８口＋口
：．一
一
缛纺翰翰翰弼
一（２０一＆）一（２０＋口）一（４０一口）一（４０＋口）一（６ａ一口）一（６０＋口）
Ａ．暇（一∞】
●ｒ…
，
＼
Ａ：限一：２日一口）】
玩
口，
一（８疗一口）
反
图１双平面镜成像示意凰
（ｏｏ≤０≤１８酽），两平面镜分别记为Ａ、Ｂ，以平面镜Ａ所在直线为极轴建立极坐标系，则光源．ｓ所在的位置可以表示为Ｓ（Ｒ，口），尺为光源到坐标原点的距离．物体能在平面镜中成像，须满足条件为物体在平面镜前．所以，不可再次成像区域为么Ａ’ＯＢ’所夹区
２２．１
＊
．如
ｎ＝２矗一ｌ
Ａ。ｎ＝２后
一［（ｎ一１）口
＋口］
一（ｎ０一口）
巩，ｍ＝
２ｋ一１
（ｍ＋１）０一ａ
Ｂ。，ｍ＝２ｋ
ｍ０＋口
成像的个数
经彳平面镜反射形成的像点个数
湖州师范学院第六届大学生科研创新项目资助项且
根据表１，以Ａ平面镜所在直线为极轴，经Ａ反
－———６９・－—一
万方数据
２０１０年第２期
物理通报
物理问题研究
射的像点极角可以表示为
垆。＝一［（ｎ一１）０＋ａ］
ｎ＝２ｋ一１
ｋ＝１，２，３，…（１）
妒。＝一（ｎＯ—ａ）
ｎ＝２ｋ
ｋ＝１，２，３，…（２）根据图１，有妒。≥一１８０。，依此可分别求得（１）式、（２）式满足该条件的最大整数解，记为ｎ。、ｎ：；取厅。、，１２中较大的值即为经Ａ反射成像的个数，记为ｍａｘ（，ｌｌ，ｎ２）．
２．２
经Ｂ率面镜反射形成的像点个数
同理，经Ｂ反射的像点极角可以表示为
妒。＝（ｍ＋１）口一口
ｍ＝２ｋ一１ｋ＝１，２，３，…（３）
妒。＝ｍ０＋口．
ｍ＝２ｋ
ｋ＝１，２，３，…（４）
此时，需进行坐标极轴的变换，以Ｂ平面镜所在直线为极轴，则像点极角为
妒。’＝ｍ０一口
ｍ＝２ｋ一１
ｋ＝１，２，３，…（５）
９。７＝（ｍ一１）０＋口
ｍ＝２ｋ
后＝１，２，３，…（６）
根据图１有，‰’≤１８０。，依此式可分别求得（５）式、
（６）式满足该条件的最大整数解，记为ｍ，、ｍ２，取ｍ。、ｍ：中较大的值即为经Ｂ反射成像的个数，记为ｍａｘ（ｍｌ，ｍ２）．
２．３
像的总数及是否有重合像的判断
由２．Ｉ、２。２可知，总的像点个数为Ｎ：ｍａｘ（ｎ。，
ｎ２）＋ｍａｘ（ｍｌ，ｍ２）．但在不可再次成像的区域
么Ａ’ＯＢ’内，像点Ａ。与巩有可能重合；这意味着看到的像比实际计算少１个．若Ｉ妒。Ｉ＋‰’＋０＝
３６０。，则在区域么Ａ’ＯＢ’内，经Ａ反射的像点与经曰反射的像点重合，看到的像为Ｎ一１个，判断是否有
重合像也可以通过竽是否为整数来判断［２ｊ；若竽为整数，则像的个数为Ｎ—１．
若９。≥一１８０。和妒。７≤１８０。取到等号，则说明像点落在平面镜所在的直线上，此时经Ａ反射成像个数和经Ｂ反射成像个数分别为ｍａｘ（ｎ，，ｎ２）一１和
一７０一
万
方数据ｍａｘ（ｍｌ＇ｍ２）一Ｉ．
取０＝１２０。，口＝６０。和日＝１２０。，口＝７５０两种
情况为例进行说明．
当日＝Ｉ２０。，ａ＝６０。时，不难求得满足条件
妒。≥一１８０。的最大厅值为２，取到等号，像点落在平面镜Ａ所在直线，故经平面镜Ａ反射成像个数为１个，同理可得经平面镜曰反射成像的个数也为１．所以，成像总数为２个．与ＣＡＤ作图所得结果一致，如
图２所示．
ＡＩ
图３
０＝１２俨，口＝７５。双平面镜成像
综上，双平面镜成像的个数与两平面镜的夹角口以及光源在两平面镜间的位置口有关；故只要给定ｏ（ｏｏ≤０≤１８０。）和ａ的值，就可以根据上述给出的理论计算方法求出任意情况下的像点个数，且与实际作图结果一致．
参考文献
１
林遂弟．两个互成角度的平面镜成像规律的研究．物理
教师，２００ｌ，２２（１０）：１６。１７
２
邬剑峰．两个互成角度的平面镜中能形成多少个像．中学物理教学参考，２００３，３２（７）：２０
关于双平面镜成像特性的研究
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
朱庆华， 顾菊观， 钱星星， 俞琼， 高慧芝湖州师范学院理学院,浙江,湖州,313000物理通报
PHYSICS BULLETIN2010(2)1次
参考文献(2条)
1.林遂弟 两个互成角度的平面镜成像规律的研究 2001(10)2.邬剑峰 两个瓦成角度的平面镜中能形成多少个像 2003(07)
本文读者也读过(8条)
1. 黄晶.陈锟 利用"路径等效"解决双平面镜点光源多次成像问题[期刊论文]-物理教学探讨2009,27(1)2. 缪培娥.Liao Peie 科学课堂内外进行环境教育的实践和探索[期刊论文]-中学生物学2009,25(2)
3. 王荣波.WANG Rong-bo 在Mathematica中用 Table函数生成数组问题的探析[期刊论文]-襄樊职业技术学院学报2011,10(3)
4. 李作主 巧用数组实现多表数据的更新[期刊论文]-科技信息(学术版)2008(36)
5. 王叶军 自主学习意识下课前预习汇报的深化策略[期刊论文]-教学与管理（中学版）2010(5)
6. 姚合生.YAO He-sheng 应用MATLAB编程实现大量矩阵的运算[期刊论文]-安庆师范学院学报（自然科学版）2007,13(1)
7. 冯霞.顾菊观.魏荣妃.林美贞 测望远镜光瞳计算其放大率[期刊论文]-物理通报2010(2)8. 吴敏.陈涛 Matlab数据库开发设计[期刊论文]-工业控制计算机2006,19(4)
引证文献(1条)
1.钱晓燕.顾菊观 三平面镜成像实验规律初探[期刊论文]-大学物理实验 2012(4)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_wltb201002030.aspx