ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用２００８，４４（１８）１７
基于小波多尺度分解的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ图像滤波方法
孙小炜，李言俊，陈义
ＳＵＮＸｉａｏ－ｗｅｉ，ＬＩＹａｎ－ｊｕｎ，ＣＨＥＮＹｉ
西北工业大学航天学院，西安７１００７２ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００７２，ＣｈｉｎａＥ－ｍａｉｌ：ｓｕｎｘｉａｏｗｅｉｃｎ＠１６３．ｃｏｍ
ＳＵＮＸｉａｏ－ｗｅｉ，ＬＩＹａｎ－ｊｕｎ，ＣＨＥＮＹｉ．ＩｍａｇｅＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｗａｖｅｌｅｔｍｕｌｔｉ－ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｄｅｃｏｍｐｏｓｉ－
（１８）：ｔｉｏｎ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００８，４４１７－２０．Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＣｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒｉｎｇ，ａｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔｉｍａｇｅｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｎｏｉｓｅｄ
ｉｍａｇｅｉｓｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄｔｏｍｕｌｔｉ－ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｕｂ－ｂａｎｄｉｍａｇｅｓｂｙＭａｌｌａｔｐｙｒａｍｉｄｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ．Ｈｉｇｈｆｒｅｑｕｅｎｃｙｓｕｂ－ｂａｎｄｉｍａｇｅｓａｒｅｄｅｎｏｉｓｅｄｂｙＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒ，ｗｉｔｈｏｕｔａｎｙｃｈａｎｇｅｓｔｏｔｈｅｌｏｗｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｉｍａｇｅ．Ｄｅｎｏｉｓｅｄ－ｉｍａｇｅｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｃｏｍ－ｐｏｓｉｎｇｔｈｅｈｉｇｈｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｅｔａｉｌｉｍａｇｅｓｗｉｔｈＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒｉｎｇａｎｄｌｏｗｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｉｍａｇｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ＭｅａｎＳｈｉｆｔｉｓａｎｉｔｅｒａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅ．Ｉｔｗａｓｔｅｓｍｏｒｅｔｉｍｅｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅａｎｄｎｅｅｄｓｍｏｒｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｔｏｅｎｓｕｒｅｈｉｇｈｅｒｎｕｍｅｒｉｃａｌａｃｃｕｒａｃｙ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｏｖｅｒｃｏｍｅｉｔｓｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ，ＧａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙｂｙＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｎｏｉｓｅｏｆｔｈｅｉｍａｇｅｉｓｒｅｍｏｖｅｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅｄｅｔａｉｌｏｆｔｈｅｉｍａｇｅｉｓｋｅｐｔｗｅｌｌ．ＴｈｅｍｅｔｈｏｄｈａｓｂｅｔｔｅｒｄｅｎｏｉｓｉｎｇｅｆｆｅｃｔｔｈａｎｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＧａｕｓｓｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄ，Ｗｉｅｎｅｒｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄ，ｓｉｎｇｌｅｗａｖｅｌｅｔｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｎｄＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｆｉｌｔｅｒｉｎｇ；ｗａｖｅｌｅｔｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；Ｇａｕｓｓｋｅｒｎｅｌｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｆｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓ；ＭｅａｎＳｈｉｆｔｉｔｅｒａｔｉｏｎ摘要：将小波多尺度分解与传统ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波算法相结合提出的一种有效的图像滤波方法。先将含噪声图像进行Ｍａｌｌａｔ塔式分解，获得不同尺度、不同频带的子图像。将低频近似图像保持不变，对高频细节进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波，最后将低频近似图像与高频滤波后的图像进行合成得到去噪后的图像。由于ＭｅａｎＳｈｉｆｔ算法是一种迭代方法，要保证较高的数值计算精度则需要较多的迭代次数，耗费较长的计算时间，为克服这一缺点，提出了采用Ｆｏｕｒｉｅｒ级数来近似计算高斯函数。实验结果表明该方法在降低噪声的同时能够尽可能的保留图像细节，其去噪效果优于传统的高斯滤波、Ｗｉｅｎｅｒ滤波方法和单一小波域值法和ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波方法。关键词：图像滤波；小波分解；高斯核函数；Ｆｏｕｒｉｅｒ级数；ＭｅａｎＳｈｉｆｔ迭代ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－８３３１．２００８．１８．００６
文章编号：（２００８）１００２－８３３１１８－００１７－０４
文献标识码：Ａ
中图分类号：ＴＰ３９１．４１
图像在形成和传输的过程中，不可避免的要受到噪声的干扰，为了尽量减少噪声对后续图像处理的影响具有重大的意
２］
义。ＭｅａｎＳｈｉｆｔ模型［１，是一种有效的特征空间分析方法，它可以实现图像的不连续保持性滤波，不仅可以滤除图像中的噪声信息，而且能够自适应地减小局部结构中显著边缘信息的平滑。由于ＭｅａｎＳｈｉｆｔ模型具有以上优点，因而能够有效滤除图像噪声的同时不损失图像的信息。小波分析［３］（ＷａｖｅｌｅｔＡｎａｌ－
方法是一种窗口大小固定但其时间窗和频率窗都可以改ｙｓｉｓ）
变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，使得小波变换具有对信号的自适应性。正是由于这种特性使采用小波分析方法获得了较好的效果。
本文采用基于小波多分辨率分析的方法，首先对噪声图像
进行Ｍａｌｌａｔ塔式分解，然后在保持低频图像不变的同时，对每一级图像中的水平、垂直和对角细节信息分别采用ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波算法进行处理，滤除杂波干扰。最后将滤波得到的图像与低频近似图像合成得到最终的滤波结果。
１小波分解
１．１小波变换的基本概念
小波函数是一个由单一的函数! 经伸缩、平移而产生的一簇函数，其定义为［３］：
（）! ａ，ｂｘ＝ａ
１
!
ｘ－ｂ"
（１）
满足ａ，其中，（ｘ）ｂ∈Ｒ；ａ≠０。ａ代表伸缩因子；ｂ代表平移因子；!
基金项目：国家自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．６０５７５０１３）；西北工业大学研究生创新实验中心
资助项目。
作者简介：孙小炜（１９７９－），男，博士生，主要研究工作是计算机视觉和视频与图像处理；李言俊（１９４４－），男，教授，博士，主要研究工作是计算机视
收稿日期：２００８－０２－２７
修回日期：２００８－０３－３１
１８２００８，４４（１８）ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
ｘ－ｂ
，即"
核函数Ｋ具有多种定义形式，其中最常用的核函数为单位高斯核函数：
（ｘ）ＫＮ＝ｅ
－‖ｘ‖２#
２
为母小波函数。! （ｘ）经过平移和伸缩变换后得到!
可以生成不同的频率成分。
小波变换的基本思想是通过平移和伸缩等运算功能对原始信号进行多尺度细化分析，即将信号分解为一系列具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的子带信号，这些子带信号具有良好的时域和频域特性。可以利用这些特性来表示原始信号的局部特征，进而实现对信号时域和频域的局部分析。
（７）
２
（ｘ）的剖面函数ｋ（ｘ），使得：另外定义核函数Ｋ
（ｘ）（‖ｘ‖）（８）Ｋ＝ｋ
（ｘ）的负导函数ｇ（ｘ），即ｇ（ｘ），其对应的核函数：定义ｋ＝－ｋ（′ｘ）（ｘ）（‖ｘ‖）Ｇ＝ｇ
概率密度函数（的梯度/（的估计为：ｆｘ）ｆｘ）
! （" （ｘ）/ｆｘ）＝/ｆ＝
（ｘ－ｘｉ）２%ｋ′‖
ｉ＝１ｎ
２
１．２Ｍａｌｌａｔ塔式分解
它的问世使小波分Ｍａｌｌａｔ算法［３］是小波变换的快速算法，
析的实际意义逐渐被人们所重视。设｛Ｖｊ｝是一个给定的多分辨（ｘ）与! （ｘ）是尺度函数和母小波函数，若（分析，" ∈Ｖｊ为一ｆｘ）确定整数，则（在尺度上可以近似地表示为：ｆｘ）（ｆｘ）ｆｘ）＝Ａｊ－１（ｆｘ）＋Ｄｊ－１（ｆｘ）＝$Ａｊ（
ｍ＝－∞
（９）
（ｘ）ｗ! ｘ－ｘ‖"
ｉ
２
ｉ
ｈ
ｄ＋２
（ｘ）%ｗ
ｉ＝１
ｉ２
（１０）
%Ｃ
＋∞
ｊ－１，ｍ
（）（）" ｊ－１，ｋｘ＋%Ｄｊ－１，ｍ! ｊ－１，ｋｘ
ｍ＝－∞
＋∞
由上面的定义，（ｘ），（ｘ）（‖ｘ‖），上式可以重写为：ｇ＝－ｋ（′ｘ）Ｇ＝ｇ
（２）
! （/ｆｘ）＝
（ｘｉ－ｘ）Ｇ‖２%
ｉ＝１ｎ
表示在第ｊ－１尺度上对信号的近似，表其中，Ａｊ－１（ｆｘ）Ｄｊ－１（ｆｘ）示信号在第ｊ－１尺度上的细节信息。由于
，ｍ〉〈" ｊ，＝ｈｋ－２ｍｋ" ｊ－１，
〈" ｊ，，ｍ〉＝ｇｋ－２ｍｋ! ｊ－１，
因此
’
) ) ) ) ) () ) ) ) ) *
（ｘ）ｗ! ｘ－ｘ‖" ＝
ｉ
２
ｉ
&
ｈ
（３）
２
ｈ
（４）
[1**********]
ｄ＋２
（ｘ）%ｗ
ｉ＝１
ｉ
ｎ
Ｃｊ－１，ｍ＝%ｈｋ－２ｍＣｊ，ｋ
ｋ＝－∞＋∞
＋∞
414ｘ－ｘｘ－ｘ２1
（ｘｉ）4（ｘｉ－ｘ）（ｘｉ）4ＧｉｗＧ‖ｉ‖ｗ41%4%414ｉ＝１41ｉ＝１4
（１１）×144414ｄｘ－ｘ414
（ｘｉ）（ｘｉ）ｈ%ｗＧｉｗ%414
414
ｉ＝１ｉ＝１525
ｎ
"
30
! " 3
Ｄｊ－１，ｍ＝%ｇｋ－２ｍＣｊ，ｋ
ｋ＝－∞
上式右边的第二个中括号中的那一部分就是ＭｅａｎＳｈｉｆｔ［４－６］向
（ｘ）为核函数对概率密量，第一个中括号中的那一部分是以Ｇ" （ｘ）" 度函数（的估计，记做ｆ，而式（６）定义的ｆ（ｘ）重新记做ｆｘ）Ｇ" （ｘ），因此式（１１）可以重新写为：ｆＫ
引入无穷矩阵：
（Ｈｍ，），（Ｇｍ，），，ｋ＝ｇｋ－２ｍ，则有：Ｈ＝Ｇ＝Ｈｍ，ｋｋｋ＝ｈｋ－２ｍＧｍ，
&
Ｃｊ－１＝ＨＣｊＤｊ－１＝ＧＣｊ
（５）
式（５）即是Ｍａｌｌａｔ的塔式分解算法。根据实际需要可以依次对其逐级分解下去，这样就构成了多级小波分解的递推形式。因此，只要使用的小波函数尺度合适，便可以在任意尺度上观察信号。本文采用了Ｈａａｒ小波［３］。Ｈａａｒ小波实质上是一阶的
也是最简单的具有紧支特性的显式正交小波。Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波，
! （" （ｘ）" （ｘ）（ｘ）/ｆｘ）＝/ｆ＝２ｆＭｈＫＧ
ｈ
由式（１２）可以得出：
（ｘ）Ｍｈ＝１ｈ
２
（１２）
" （ｘ）/ｆＫ
" （ｘ）ｆ
Ｇ
（１３）
表明，用核函数Ｇ在ｘ点计算得到的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ向量式（１３）
正比于归一化的用核函数Ｋ估计的概率密度的函数Ｍｈ（ｘ）
" （ｘ）的梯度，归一化因子为用核函数Ｇ估计的点的概率密ｆＫ
（ｘ）总是指向概率密度增加最大的度。因此ＭｅａｎＳｈｉｆｔ向量Ｍｈ方向。
２ＭｅａｎＳｈｉｆｔ
２．１概率密度梯度估计
２］
核密度估计方法［１，是统计模式识别中的一种重要的非参
（ｘ）（又称为数估计概率密度函数的方法，该方法是从核函数Ｋ
窗口函数）出发，对每个样本ｘｉ，用正定矩阵+ｉ表示ｘｉ处的窗
２．２带宽ｈ的选取
核函数的形状通常不是密度估计中最关键的因素，带宽ｈ对模型光滑程度的影响作用较大。带宽ｈ的选择可以是全局固
８］
定的，也可以是自适应的［７，。带宽的大小可以看作是分割分辨
口形状和相对尺度。
对一个概率密度函数（，已知ｄ维空间中ｎ个采样点ｘｉ，ｆｘ）…，（的核函数估计为：ｉ＝１，ｎ，ｆｘ）
" （ｘ）ｆ＝
ｘ－ｘ
%Ｋｎ
ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
（ｘ）ｗ"
ｉ
率，带宽越大，越多的图像细节就会被忽略。因为Ｖｎ＝ｈ，如果ｈ
（６）
非常大，将有更多的点对ｘ处的密度产生影响，由于分布是归一化的，即：
１Ｋｘ－ｘ＝Ｋ
" -（ｕ）ｄｕ＝１ｉ
ｎ
ｄ
（ｘｉ）Ｖｎ%ｗ
其中，为ｄ维空间的立方体的体积，（ｘｉ）Ｖｎ＝ｈ，ｈ为带宽，ｗ≥０是一个赋给采样点ｘｉ的权重，（ｘ）是一个核函数，并且满足Ｋ≥０ｄ
（１４）
因而距离ｘｉ较远的点也分担了对ｘ的部分权重，从而较近点的权重减弱，距离远和距离近的点的权重相差不大，在这种情况" " 下，（ｘ）是ｎ因此ｆ（ｘ）非常光ｆ
孙小炜，李言俊，陈义：基于小波多尺度分解的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ图像滤波方法
时间和精度要求的计算结果。
２００８，４４（１８）１９
滑；反之，如果ｈ很小，那么只有很少的点分担Ｖｎ，因此各点之! 间的权重由于距离的影响而出现较大的落差，因而ｆ（ｘ）是ｎ个以样本点为中心的尖脉冲的叠加，好像是一个充满噪声的估计［９］。
如何选择合适的带宽，是核函数密度估计能够成功运用的关键。通常考虑对于径向高斯核函数，在一维情况下最优带宽! ｎ为：ｈｏｐｔ＝１．０６＊!
［９］
－１
３．３算法的实现
设集合｛Ｘｉ｝ｉ＝１，为原始图像数据，Ｔ为收敛门限，Ｘ为收…，ｎ
敛点，算法实现如下：采用Ｈａｒｒ小波，对输入图像进行三层Ｍａｌｌａｔ塔式分解。（１）（２）对分解后的每一层图像中的水平、垂直、对角细节信息
分别进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波，即对所有数据点Ｘｉ，…，分别ｉ＝１，ｎ，计算每一点的Ｍｈ（Ｘｉ），根据Ｍｈ（Ｘｉ）值移动窗口中心到下一个（Ｘｉ），重复这个过程直到Ｍｈ（Ｘｉ）则代点，并计算该点的Ｍｈ＜Ｔ，表不需要再移动，将该点的像素值Ｘ赋值给初始数据点Ｘｉ，即Ｘｉ＝Ｘ。
采用Ｇａｕｓｓ核函数进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ，用式（１７），式（１８）（３）
进行加速计算。
（４）重复步骤（１）和（２）直到所有数据收敛。（５）用小波逆变换对滤波后的图像进行重构。
＊
＊
＊
! 定义为标准差。，其中! 则对于ｄ维情况，最
优带宽为：
! ｈｏｐｔ＝!
"
４
１ｎ
－
１（１５）
３多尺度ＭｅａｎＳｈｉｆｔ图像滤波方法３．１ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波
ＭｅａｎＳｈｉｆｔ聚类是通过在待检测图像空间搜索下一个平移点，同时设置搜索停止条件，当平移向量小于给定值时停止平移，这使得图像在高密度区域产生模糊效应。设集合｛Ｐｉ｝和集…，分别为ｄ维输入、输出图像的像素点集合，从合｛Ｒｉ｝，ｉ＝１，２，用式（１３）分别计算该点像素的输入图像每一点像素Ｐｉ开始，
（ｘ）直至收敛，将计算结果存入输出图像Ｒｉ。ＭｅａｎＳｈｉｆｔ向量Ｍｈ
４实验结果与分析
为了验证本文方法的有效性，将本文方法与传统的高斯滤波、小波软域值方法及传统Ｍｅａｎｓｈｉｆｔ滤波方法进行比较。将
一幅核磁共振（ＭＲＩ）图像（分辨率为５１２×灰度范围为５１２，加入１２％的高斯噪声进行去噪。实验平台为Ｐｅｎｔｉｕｍ［０，２５５］）
软件环境为ＶＣ＋＋６．０软件平台。高斯滤波窗ＩＶ２．４ＧＨｚ的ＰＣ，
口为５×５；小波软域值滤波采用Ｓｙｍ４小波基和Ｄｏｎｏｈｏ阈值；实验中设定ＭｅａｎＳｈｉｆｔ收敛门限，带宽用式（１５）计算。图１为实验结果图像。
３．２算法的优化
采用高斯核函数进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ可以取得更好的图像滤波效果，但是需要选择较大的带宽! ，并且收敛速度也更慢。Ｌ．
（ＦａｓｔＧａｕｓｓＧｒｅｅｎｇａｒｄ和Ｊ．Ｓｔｒａｉｎ［１０］提出一种快速高斯变换
方法，将高斯变换的计算次数由Ｏ（ｍｎ）降低到Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＧＴ）
（ｍ＋ｎ），其中ｍ表示计算ｍ个点的高斯变换，Ｏｎ表示ｎ个高斯函数之和。但是，随着数据维数的增加，计算次数呈指数增长。Ｃ．Ｙａｎｇ等［１１］提出了一种改进的ＦＧＴ算法，将数据位数扩展到了１０维。但是，对于一般的数字图像处理来说，图像数据量小于，数据维数小于３维，文献［１１］的方法对于低维数据（＜６）的计算效果并不是非常理想。因此，采用傅立叶级数来加速高斯变换，在保证计算精度的同时减少计算时间。
设点ｘｋ的高斯变换具有如下形式：
（ｘｋ）Ｇ＝１
带宽。
函数ｅ的复Ｆｏｕｒｉｅｒ级数展开式为：ｅ＝#Ｃｋｅ
－ｘ
－∞
Ｐ
２
#ｑｅ
ｊ＝１
ｊ
Ｎ
－ｘｋ－ｘｊ
２"
２
（１６）
其中，“源点”，“目标点”，ｑｊ表示加权系数，ｘｋ表示ｘｊ表示" 为
－ｘ
２
＋∞
ｉｋ２! ｘ
（ｋ２! ｘ（ｋ２! ｘ≈＝#ａｋｃｏｓ＋ｉ#ｂｋｓｉｎ
ｋ＝－ｎｋ＝－ｎ
（１７）
ｎｎ
（ｋ２! ｘ）ａ０＋２#ａｋｃｏｓ
ｋ＝１
&
((((((’(((((()
Ｌ／２
ａ０＝２
ａｋ＝４
０
%ｅ%ｅ
－ｘ
２
ｄｘ
（１８）
（ｋ２! ｘ）…，ｃｏｓｄｘｋ＝１，Ｐ
以峰值信噪比ＰＳＮＲ（ＰｅａｋＳｉｇｎａｌｔｏＮｏｉｓｅＲａｔｉｏ）作为去噪效果测度指标，有些文献中也称为峰－峰信噪比，给定一幅大Ｍ×ｆ０（ｘ，，则图像ｆＮ（ｆｘ）ｙ）的ＰＳＮＲ为：
Ｌ／２
－ｘ
２
０
其中Ｐ为截断项，（１８）中Ｐ根据实际需要的计算精度确定。式
的系数项ａｋ，…，以降低式（１７）计算时
ｋ＝０，ｎ可以事先算出，和截断项Ｐ，并将求得的常系数ａｋ代入式（１７），即可得到满足
２０２００８，４４（１８）
"
#######$
ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
（ｍａｘ（（）），（ｆ０（ｘ，）））ｍａｘｆｘ，ｙｍａｘｙ１）ｆｘ，ｙ－ｆ（ｘ，ｙ! ! （
０
ｘ＝０
ｙ＝０２２
%
&&&&&&&’
（ｆ，ＰＳＮＲｆ０）＝１０＊ｌｇ
（１９）
（＊）为求最大值运算。其中ｍａｘ
图１中，（ａ）为原始图像；（ｂ）为在其中加入了１２％的高斯噪声；（ｃ）为高斯滤波结果；（ｄ）为小波软域值滤波结果；（ｅ）为文献［４］提出的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ方法滤波结果，空间带宽和颜色带宽分别取３，（ｆ）为本文提出的小波多尺度ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波结９０；果。表１中是对分别加入１２％和２５％的高斯噪声的图像使用４种不同滤波方法得到的ＰＳＮＲ结果的比较。
表１
不同噪声情况下几种滤波方法ＰＳＮＲ比较
噪声图像高斯滤波小波滤波Ｍｅａｎｓｈｉｆｔ滤波本文方法
（ｓ＝０．１２）２２．０７７９ＰＳＮＲ
（ｓ＝０．２５）１８．３６３６ＰＳＮＲ
２９．２８５７２５．８５４５
２７．６１８０２５．８５６４
２７．１５０６２５．３９９６
３０．５３２７２５．９２２４
理。为了加速ＭｅａｎＳｈｉｆｔ迭代计算速度，采用复Ｆｏｕｒｉｅｒ级数来
进行快速高斯变换，从而加快高斯核函数的计算精度和速度，在保证计算性能的不变的同时大大降低ＭｅａｎＳｈｉｆｔ迭代的计算时间。实验仿真结果表明本文所提出的方法是高效的。
参考文献：
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ｏｂｊｅｃｔｓｕｓｉｎｇｍｅａｎｓｈｉｆｔ［Ｃ］／／ＣｏｍｐｕｔｅｒＶｉｓｉｏｎａｎｄＰａｔｔｅｒｎＲｅｃｏｇ－２０００：１４２－１４９．ｎｉｔｉｏｎ，
蔡自兴．ＭｅａｎＳｈｉｆｔ算法的收敛性分析［Ｊ］．软件学报，［６］文志强，２００７，
（２）：１８２０５－２１２．
杨培龙，罗颖昕，［７］ＷｅｂｂＡＲ．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｐａｔｔｅｒｎｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ［Ｍ］．王萍，
译．２ｎｄｅｄ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓＩｎｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ，２００２．
ＲａｍｅｓｈＶ，ＭｅｅｒＰ．Ｔｈｅｖａｒｉａｂｌｅｂａｎｄｗｉｄｔｈｍｅａｎｓｈｉｆｔ［８］ＣｏｍａｎｉｃｉｕＤ，
（１）：ａｎｄｄａｔａ－ｄｒｉｖｅｎｓｃａｌｅｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔｅｒＶｉｓｉｏｎ，２００１４３８－４４５．［９］ＳｃｏｔｔＤＷ．Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｄｅｎｓｉｔｙｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＪｏｈｎＷｉｌｅｙ，
１９９２．
［１０］ＧｒｅｅｎｇａｒｄＬ，ＳｔｒａｉｎＪ．ＴｈｅｆａｓｔＧａｕｓｓｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪＳｃｉＳｔａｔ
（１）：Ｃｏｍｐｕ，１９９１，１２７９－９４．
［１１］ＹａｎｇＣ，ＤｕｒａｉｓｗａｍｉＲ，ＧｕｍｅｒｏｖＮＡ，ｅｔａｌ．ＩｍｐｒｏｖｅｄｆａｓｔＧａｕｓｓ
ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｔｋｅｒｎｅｌｄｅｎｓｉｔｙｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ［Ｃ］／／ＩＣＣＶ，２００３：４６４－４７１．
比较结果图１（ｃ）（ｆ）和分析表１可知，本文滤波方法去噪～效果明显优于高斯滤波和小波软域值滤波方法。高斯滤波和小
波软域值滤波方法损失较多的高频细节成分，使图像模糊不清，本文方法既降低了图像的噪声同时又尽可能地保留图像的细节。由实验结果可知，本文方法的去噪效果也优于文献［４］的本文方法若根据噪声强弱调ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波方法。实验发现，
节高斯核函数的带宽，可达到更佳的去噪和保留图像细节效果。在低噪声时，采用较小的带宽，可更好地保留图像细节；在强噪声时，较大的带宽，可达到较好的去噪效果。本文方法存在的缺陷是需进行一次小波多级分解和多个子图像重构及多个
运算量较大，需要耗费较大的计算时间，ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波处理，
不利于图像的实时去噪处理。
５结语
本文提出了一种基于小波多尺度分解的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ图像滤波方法。在该方法中，采用Ｍａｌｌａｔ算法对图像进行多尺度小波分解，对不同分辨率图像细节分别进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波处
（上接１６页）
性能的影响。生成的语音训练映射图，与语谱图比较更加直观，易于“看图说话”，为语音训练提供一种新的可视化途径。
参考文献：
［１］ＭａｎｓｈｉｅＪ．Ｔｈｅｕｓｅｏｆｓｅｎｓｏｒｙａｉｄｓｆｏｒｔｅａｃｈｉｎｇｓｐｅｅｃｈｔｏｃｈｉｌｄｒｅｎ
ｗｈｏａｒｅｄｅａｆ，ｉｎｓｐｅｅｃｈｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｆｏｕｎｄｄｅａｆｎｅｓｓ［Ｍ］／／ＧｅｏｆｆＰｌａｎｔＫ－ＥＳ．Ｌｏｎｄｏｎ：ＷｈｕｒｒＰｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，Ｌｔｄ，１９９５．
姚佳，高忠华．基于语音识别技术的聋哑人视觉辅助语音训［２］陈汝琛，
练系统［Ｊ］．中国生物医学工程学报，（４）：１９９６，１５３６０－３６５．吴玺宏，迟惠生．面向聋儿的计算机言语训练方法及其实［３］刘华东，
现［Ｊ］．北京大学学报：自然科学版，（３）：２００４，４０４４４－４５０．［４］Ｏ¨ｓｔｅｒＡＭ．Ｔｅａｃｈｉｎｇｓｐｅｅｃｈｓｋｉｌｌｓｔｏｄｅａｆｃｈｉｌｄｒｅｎｂｙｃｏｍｐｕｔｅｒ－ｂａｓｅｄｓｐｅｅｃｈｔｒａｉｎｉｎｇ［Ｊ］．ＱｕａｒｔｅｒｌｙＰｒｏｇｒｅｓｓａｎｄＳｔａｔｕｓＲｅｐｏｒｔ，１９９５，
（４）：３６６７－７５．
４结束语
本文提出了一种利用ＳＯＭ网络的语音训练方法。利用
［５］ＫｏｈｏｎｅｎＴ．Ｐｈｙｓｉｏｌｏｇｉｃａｌｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｅｌｆｏｒｇａｎｉｚｉｎｇｍａｐａｌ－
（６）：ｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓ，１９９３８９５－９０５．［６］ＰｉｃｏｎｅＪＷ．Ｓｉｇｎａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｉｎｓｐｅｅｃｈｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ［Ｃ］／／
ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＩＥＥＥ，１９９３，９：１２１５－１２４７．ｏｆｃｏｍｐｅｔｉｔｉｖｅｌｅａｒｎｉｎｇ［Ｊ］．ＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓ，１９９４，７：９７３－９８４．
ＳＯＭ网络的输出层可视化特点为语音受试者提供的视觉信
对行加强训练，并讨论了输出层神经元个数选取对ＳＯＭ网络类
ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用２００８，４４（１８）１７
基于小波多尺度分解的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ图像滤波方法
孙小炜，李言俊，陈义
ＳＵＮＸｉａｏ－ｗｅｉ，ＬＩＹａｎ－ｊｕｎ，ＣＨＥＮＹｉ
西北工业大学航天学院，西安７１００７２ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００７２，ＣｈｉｎａＥ－ｍａｉｌ：ｓｕｎｘｉａｏｗｅｉｃｎ＠１６３．ｃｏｍ
ＳＵＮＸｉａｏ－ｗｅｉ，ＬＩＹａｎ－ｊｕｎ，ＣＨＥＮＹｉ．ＩｍａｇｅＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｗａｖｅｌｅｔｍｕｌｔｉ－ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｄｅｃｏｍｐｏｓｉ－
（１８）：ｔｉｏｎ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００８，４４１７－２０．Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＣｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒｉｎｇ，ａｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔｉｍａｇｅｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｎｏｉｓｅｄ
ｉｍａｇｅｉｓｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄｔｏｍｕｌｔｉ－ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｕｂ－ｂａｎｄｉｍａｇｅｓｂｙＭａｌｌａｔｐｙｒａｍｉｄｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ．Ｈｉｇｈｆｒｅｑｕｅｎｃｙｓｕｂ－ｂａｎｄｉｍａｇｅｓａｒｅｄｅｎｏｉｓｅｄｂｙＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒ，ｗｉｔｈｏｕｔａｎｙｃｈａｎｇｅｓｔｏｔｈｅｌｏｗｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｉｍａｇｅ．Ｄｅｎｏｉｓｅｄ－ｉｍａｇｅｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｃｏｍ－ｐｏｓｉｎｇｔｈｅｈｉｇｈｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｅｔａｉｌｉｍａｇｅｓｗｉｔｈＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒｉｎｇａｎｄｌｏｗｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｉｍａｇｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ＭｅａｎＳｈｉｆｔｉｓａｎｉｔｅｒａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅ．Ｉｔｗａｓｔｅｓｍｏｒｅｔｉｍｅｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅａｎｄｎｅｅｄｓｍｏｒｅｉｔｅｒａｔｉｏｎｔｏｅｎｓｕｒｅｈｉｇｈｅｒｎｕｍｅｒｉｃａｌａｃｃｕｒａｃｙ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｏｖｅｒｃｏｍｅｉｔｓｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ，ＧａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙｂｙＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｎｏｉｓｅｏｆｔｈｅｉｍａｇｅｉｓｒｅｍｏｖｅｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅｄｅｔａｉｌｏｆｔｈｅｉｍａｇｅｉｓｋｅｐｔｗｅｌｌ．ＴｈｅｍｅｔｈｏｄｈａｓｂｅｔｔｅｒｄｅｎｏｉｓｉｎｇｅｆｆｅｃｔｔｈａｎｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＧａｕｓｓｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄ，Ｗｉｅｎｅｒｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄ，ｓｉｎｇｌｅｗａｖｅｌｅｔｔｈｒｅｓｈｏｌｄｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｎｄＭｅａｎＳｈｉｆｔｆｉｌｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｆｉｌｔｅｒｉｎｇ；ｗａｖｅｌｅｔｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；Ｇａｕｓｓｋｅｒｎｅｌｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｆｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓ；ＭｅａｎＳｈｉｆｔｉｔｅｒａｔｉｏｎ摘要：将小波多尺度分解与传统ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波算法相结合提出的一种有效的图像滤波方法。先将含噪声图像进行Ｍａｌｌａｔ塔式分解，获得不同尺度、不同频带的子图像。将低频近似图像保持不变，对高频细节进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波，最后将低频近似图像与高频滤波后的图像进行合成得到去噪后的图像。由于ＭｅａｎＳｈｉｆｔ算法是一种迭代方法，要保证较高的数值计算精度则需要较多的迭代次数，耗费较长的计算时间，为克服这一缺点，提出了采用Ｆｏｕｒｉｅｒ级数来近似计算高斯函数。实验结果表明该方法在降低噪声的同时能够尽可能的保留图像细节，其去噪效果优于传统的高斯滤波、Ｗｉｅｎｅｒ滤波方法和单一小波域值法和ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波方法。关键词：图像滤波；小波分解；高斯核函数；Ｆｏｕｒｉｅｒ级数；ＭｅａｎＳｈｉｆｔ迭代ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－８３３１．２００８．１８．００６
文章编号：（２００８）１００２－８３３１１８－００１７－０４
文献标识码：Ａ
中图分类号：ＴＰ３９１．４１
图像在形成和传输的过程中，不可避免的要受到噪声的干扰，为了尽量减少噪声对后续图像处理的影响具有重大的意
２］
义。ＭｅａｎＳｈｉｆｔ模型［１，是一种有效的特征空间分析方法，它可以实现图像的不连续保持性滤波，不仅可以滤除图像中的噪声信息，而且能够自适应地减小局部结构中显著边缘信息的平滑。由于ＭｅａｎＳｈｉｆｔ模型具有以上优点，因而能够有效滤除图像噪声的同时不损失图像的信息。小波分析［３］（ＷａｖｅｌｅｔＡｎａｌ－
方法是一种窗口大小固定但其时间窗和频率窗都可以改ｙｓｉｓ）
变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，使得小波变换具有对信号的自适应性。正是由于这种特性使采用小波分析方法获得了较好的效果。
本文采用基于小波多分辨率分析的方法，首先对噪声图像
进行Ｍａｌｌａｔ塔式分解，然后在保持低频图像不变的同时，对每一级图像中的水平、垂直和对角细节信息分别采用ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波算法进行处理，滤除杂波干扰。最后将滤波得到的图像与低频近似图像合成得到最终的滤波结果。
１小波分解
１．１小波变换的基本概念
小波函数是一个由单一的函数! 经伸缩、平移而产生的一簇函数，其定义为［３］：
（）! ａ，ｂｘ＝ａ
１
!
ｘ－ｂ"
（１）
满足ａ，其中，（ｘ）ｂ∈Ｒ；ａ≠０。ａ代表伸缩因子；ｂ代表平移因子；!
基金项目：国家自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．６０５７５０１３）；西北工业大学研究生创新实验中心
资助项目。
作者简介：孙小炜（１９７９－），男，博士生，主要研究工作是计算机视觉和视频与图像处理；李言俊（１９４４－），男，教授，博士，主要研究工作是计算机视
收稿日期：２００８－０２－２７
修回日期：２００８－０３－３１
１８２００８，４４（１８）ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
ｘ－ｂ
，即"
核函数Ｋ具有多种定义形式，其中最常用的核函数为单位高斯核函数：
（ｘ）ＫＮ＝ｅ
－‖ｘ‖２#
２
为母小波函数。! （ｘ）经过平移和伸缩变换后得到!
可以生成不同的频率成分。
小波变换的基本思想是通过平移和伸缩等运算功能对原始信号进行多尺度细化分析，即将信号分解为一系列具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的子带信号，这些子带信号具有良好的时域和频域特性。可以利用这些特性来表示原始信号的局部特征，进而实现对信号时域和频域的局部分析。
（７）
２
（ｘ）的剖面函数ｋ（ｘ），使得：另外定义核函数Ｋ
（ｘ）（‖ｘ‖）（８）Ｋ＝ｋ
（ｘ）的负导函数ｇ（ｘ），即ｇ（ｘ），其对应的核函数：定义ｋ＝－ｋ（′ｘ）（ｘ）（‖ｘ‖）Ｇ＝ｇ
概率密度函数（的梯度/（的估计为：ｆｘ）ｆｘ）
! （" （ｘ）/ｆｘ）＝/ｆ＝
（ｘ－ｘｉ）２%ｋ′‖
ｉ＝１ｎ
２
１．２Ｍａｌｌａｔ塔式分解
它的问世使小波分Ｍａｌｌａｔ算法［３］是小波变换的快速算法，
析的实际意义逐渐被人们所重视。设｛Ｖｊ｝是一个给定的多分辨（ｘ）与! （ｘ）是尺度函数和母小波函数，若（分析，" ∈Ｖｊ为一ｆｘ）确定整数，则（在尺度上可以近似地表示为：ｆｘ）（ｆｘ）ｆｘ）＝Ａｊ－１（ｆｘ）＋Ｄｊ－１（ｆｘ）＝$Ａｊ（
ｍ＝－∞
（９）
（ｘ）ｗ! ｘ－ｘ‖"
ｉ
２
ｉ
ｈ
ｄ＋２
（ｘ）%ｗ
ｉ＝１
ｉ２
（１０）
%Ｃ
＋∞
ｊ－１，ｍ
（）（）" ｊ－１，ｋｘ＋%Ｄｊ－１，ｍ! ｊ－１，ｋｘ
ｍ＝－∞
＋∞
由上面的定义，（ｘ），（ｘ）（‖ｘ‖），上式可以重写为：ｇ＝－ｋ（′ｘ）Ｇ＝ｇ
（２）
! （/ｆｘ）＝
（ｘｉ－ｘ）Ｇ‖２%
ｉ＝１ｎ
表示在第ｊ－１尺度上对信号的近似，表其中，Ａｊ－１（ｆｘ）Ｄｊ－１（ｆｘ）示信号在第ｊ－１尺度上的细节信息。由于
，ｍ〉〈" ｊ，＝ｈｋ－２ｍｋ" ｊ－１，
〈" ｊ，，ｍ〉＝ｇｋ－２ｍｋ! ｊ－１，
因此
’
) ) ) ) ) () ) ) ) ) *
（ｘ）ｗ! ｘ－ｘ‖" ＝
ｉ
２
ｉ
&
ｈ
（３）
２
ｈ
（４）
[1**********]
ｄ＋２
（ｘ）%ｗ
ｉ＝１
ｉ
ｎ
Ｃｊ－１，ｍ＝%ｈｋ－２ｍＣｊ，ｋ
ｋ＝－∞＋∞
＋∞
414ｘ－ｘｘ－ｘ２1
（ｘｉ）4（ｘｉ－ｘ）（ｘｉ）4ＧｉｗＧ‖ｉ‖ｗ41%4%414ｉ＝１41ｉ＝１4
（１１）×144414ｄｘ－ｘ414
（ｘｉ）（ｘｉ）ｈ%ｗＧｉｗ%414
414
ｉ＝１ｉ＝１525
ｎ
"
30
! " 3
Ｄｊ－１，ｍ＝%ｇｋ－２ｍＣｊ，ｋ
ｋ＝－∞
上式右边的第二个中括号中的那一部分就是ＭｅａｎＳｈｉｆｔ［４－６］向
（ｘ）为核函数对概率密量，第一个中括号中的那一部分是以Ｇ" （ｘ）" 度函数（的估计，记做ｆ，而式（６）定义的ｆ（ｘ）重新记做ｆｘ）Ｇ" （ｘ），因此式（１１）可以重新写为：ｆＫ
引入无穷矩阵：
（Ｈｍ，），（Ｇｍ，），，ｋ＝ｇｋ－２ｍ，则有：Ｈ＝Ｇ＝Ｈｍ，ｋｋｋ＝ｈｋ－２ｍＧｍ，
&
Ｃｊ－１＝ＨＣｊＤｊ－１＝ＧＣｊ
（５）
式（５）即是Ｍａｌｌａｔ的塔式分解算法。根据实际需要可以依次对其逐级分解下去，这样就构成了多级小波分解的递推形式。因此，只要使用的小波函数尺度合适，便可以在任意尺度上观察信号。本文采用了Ｈａａｒ小波［３］。Ｈａａｒ小波实质上是一阶的
也是最简单的具有紧支特性的显式正交小波。Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波，
! （" （ｘ）" （ｘ）（ｘ）/ｆｘ）＝/ｆ＝２ｆＭｈＫＧ
ｈ
由式（１２）可以得出：
（ｘ）Ｍｈ＝１ｈ
２
（１２）
" （ｘ）/ｆＫ
" （ｘ）ｆ
Ｇ
（１３）
表明，用核函数Ｇ在ｘ点计算得到的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ向量式（１３）
正比于归一化的用核函数Ｋ估计的概率密度的函数Ｍｈ（ｘ）
" （ｘ）的梯度，归一化因子为用核函数Ｇ估计的点的概率密ｆＫ
（ｘ）总是指向概率密度增加最大的度。因此ＭｅａｎＳｈｉｆｔ向量Ｍｈ方向。
２ＭｅａｎＳｈｉｆｔ
２．１概率密度梯度估计
２］
核密度估计方法［１，是统计模式识别中的一种重要的非参
（ｘ）（又称为数估计概率密度函数的方法，该方法是从核函数Ｋ
窗口函数）出发，对每个样本ｘｉ，用正定矩阵+ｉ表示ｘｉ处的窗
２．２带宽ｈ的选取
核函数的形状通常不是密度估计中最关键的因素，带宽ｈ对模型光滑程度的影响作用较大。带宽ｈ的选择可以是全局固
８］
定的，也可以是自适应的［７，。带宽的大小可以看作是分割分辨
口形状和相对尺度。
对一个概率密度函数（，已知ｄ维空间中ｎ个采样点ｘｉ，ｆｘ）…，（的核函数估计为：ｉ＝１，ｎ，ｆｘ）
" （ｘ）ｆ＝
ｘ－ｘ
%Ｋｎ
ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
（ｘ）ｗ"
ｉ
率，带宽越大，越多的图像细节就会被忽略。因为Ｖｎ＝ｈ，如果ｈ
（６）
非常大，将有更多的点对ｘ处的密度产生影响，由于分布是归一化的，即：
１Ｋｘ－ｘ＝Ｋ
" -（ｕ）ｄｕ＝１ｉ
ｎ
ｄ
（ｘｉ）Ｖｎ%ｗ
其中，为ｄ维空间的立方体的体积，（ｘｉ）Ｖｎ＝ｈ，ｈ为带宽，ｗ≥０是一个赋给采样点ｘｉ的权重，（ｘ）是一个核函数，并且满足Ｋ≥０ｄ
（１４）
因而距离ｘｉ较远的点也分担了对ｘ的部分权重，从而较近点的权重减弱，距离远和距离近的点的权重相差不大，在这种情况" " 下，（ｘ）是ｎ因此ｆ（ｘ）非常光ｆ
孙小炜，李言俊，陈义：基于小波多尺度分解的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ图像滤波方法
时间和精度要求的计算结果。
２００８，４４（１８）１９
滑；反之，如果ｈ很小，那么只有很少的点分担Ｖｎ，因此各点之! 间的权重由于距离的影响而出现较大的落差，因而ｆ（ｘ）是ｎ个以样本点为中心的尖脉冲的叠加，好像是一个充满噪声的估计［９］。
如何选择合适的带宽，是核函数密度估计能够成功运用的关键。通常考虑对于径向高斯核函数，在一维情况下最优带宽! ｎ为：ｈｏｐｔ＝１．０６＊!
［９］
－１
３．３算法的实现
设集合｛Ｘｉ｝ｉ＝１，为原始图像数据，Ｔ为收敛门限，Ｘ为收…，ｎ
敛点，算法实现如下：采用Ｈａｒｒ小波，对输入图像进行三层Ｍａｌｌａｔ塔式分解。（１）（２）对分解后的每一层图像中的水平、垂直、对角细节信息
分别进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波，即对所有数据点Ｘｉ，…，分别ｉ＝１，ｎ，计算每一点的Ｍｈ（Ｘｉ），根据Ｍｈ（Ｘｉ）值移动窗口中心到下一个（Ｘｉ），重复这个过程直到Ｍｈ（Ｘｉ）则代点，并计算该点的Ｍｈ＜Ｔ，表不需要再移动，将该点的像素值Ｘ赋值给初始数据点Ｘｉ，即Ｘｉ＝Ｘ。
采用Ｇａｕｓｓ核函数进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ，用式（１７），式（１８）（３）
进行加速计算。
（４）重复步骤（１）和（２）直到所有数据收敛。（５）用小波逆变换对滤波后的图像进行重构。
＊
＊
＊
! 定义为标准差。，其中! 则对于ｄ维情况，最
优带宽为：
! ｈｏｐｔ＝!
"
４
１ｎ
－
１（１５）
３多尺度ＭｅａｎＳｈｉｆｔ图像滤波方法３．１ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波
ＭｅａｎＳｈｉｆｔ聚类是通过在待检测图像空间搜索下一个平移点，同时设置搜索停止条件，当平移向量小于给定值时停止平移，这使得图像在高密度区域产生模糊效应。设集合｛Ｐｉ｝和集…，分别为ｄ维输入、输出图像的像素点集合，从合｛Ｒｉ｝，ｉ＝１，２，用式（１３）分别计算该点像素的输入图像每一点像素Ｐｉ开始，
（ｘ）直至收敛，将计算结果存入输出图像Ｒｉ。ＭｅａｎＳｈｉｆｔ向量Ｍｈ
４实验结果与分析
为了验证本文方法的有效性，将本文方法与传统的高斯滤波、小波软域值方法及传统Ｍｅａｎｓｈｉｆｔ滤波方法进行比较。将
一幅核磁共振（ＭＲＩ）图像（分辨率为５１２×灰度范围为５１２，加入１２％的高斯噪声进行去噪。实验平台为Ｐｅｎｔｉｕｍ［０，２５５］）
软件环境为ＶＣ＋＋６．０软件平台。高斯滤波窗ＩＶ２．４ＧＨｚ的ＰＣ，
口为５×５；小波软域值滤波采用Ｓｙｍ４小波基和Ｄｏｎｏｈｏ阈值；实验中设定ＭｅａｎＳｈｉｆｔ收敛门限，带宽用式（１５）计算。图１为实验结果图像。
３．２算法的优化
采用高斯核函数进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ可以取得更好的图像滤波效果，但是需要选择较大的带宽! ，并且收敛速度也更慢。Ｌ．
（ＦａｓｔＧａｕｓｓＧｒｅｅｎｇａｒｄ和Ｊ．Ｓｔｒａｉｎ［１０］提出一种快速高斯变换
方法，将高斯变换的计算次数由Ｏ（ｍｎ）降低到Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＧＴ）
（ｍ＋ｎ），其中ｍ表示计算ｍ个点的高斯变换，Ｏｎ表示ｎ个高斯函数之和。但是，随着数据维数的增加，计算次数呈指数增长。Ｃ．Ｙａｎｇ等［１１］提出了一种改进的ＦＧＴ算法，将数据位数扩展到了１０维。但是，对于一般的数字图像处理来说，图像数据量小于，数据维数小于３维，文献［１１］的方法对于低维数据（＜６）的计算效果并不是非常理想。因此，采用傅立叶级数来加速高斯变换，在保证计算精度的同时减少计算时间。
设点ｘｋ的高斯变换具有如下形式：
（ｘｋ）Ｇ＝１
带宽。
函数ｅ的复Ｆｏｕｒｉｅｒ级数展开式为：ｅ＝#Ｃｋｅ
－ｘ
－∞
Ｐ
２
#ｑｅ
ｊ＝１
ｊ
Ｎ
－ｘｋ－ｘｊ
２"
２
（１６）
其中，“源点”，“目标点”，ｑｊ表示加权系数，ｘｋ表示ｘｊ表示" 为
－ｘ
２
＋∞
ｉｋ２! ｘ
（ｋ２! ｘ（ｋ２! ｘ≈＝#ａｋｃｏｓ＋ｉ#ｂｋｓｉｎ
ｋ＝－ｎｋ＝－ｎ
（１７）
ｎｎ
（ｋ２! ｘ）ａ０＋２#ａｋｃｏｓ
ｋ＝１
&
((((((’(((((()
Ｌ／２
ａ０＝２
ａｋ＝４
０
%ｅ%ｅ
－ｘ
２
ｄｘ
（１８）
（ｋ２! ｘ）…，ｃｏｓｄｘｋ＝１，Ｐ
以峰值信噪比ＰＳＮＲ（ＰｅａｋＳｉｇｎａｌｔｏＮｏｉｓｅＲａｔｉｏ）作为去噪效果测度指标，有些文献中也称为峰－峰信噪比，给定一幅大Ｍ×ｆ０（ｘ，，则图像ｆＮ（ｆｘ）ｙ）的ＰＳＮＲ为：
Ｌ／２
－ｘ
２
０
其中Ｐ为截断项，（１８）中Ｐ根据实际需要的计算精度确定。式
的系数项ａｋ，…，以降低式（１７）计算时
ｋ＝０，ｎ可以事先算出，和截断项Ｐ，并将求得的常系数ａｋ代入式（１７），即可得到满足
２０２００８，４４（１８）
"
#######$
ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
（ｍａｘ（（）），（ｆ０（ｘ，）））ｍａｘｆｘ，ｙｍａｘｙ１）ｆｘ，ｙ－ｆ（ｘ，ｙ! ! （
０
ｘ＝０
ｙ＝０２２
%
&&&&&&&’
（ｆ，ＰＳＮＲｆ０）＝１０＊ｌｇ
（１９）
（＊）为求最大值运算。其中ｍａｘ
图１中，（ａ）为原始图像；（ｂ）为在其中加入了１２％的高斯噪声；（ｃ）为高斯滤波结果；（ｄ）为小波软域值滤波结果；（ｅ）为文献［４］提出的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ方法滤波结果，空间带宽和颜色带宽分别取３，（ｆ）为本文提出的小波多尺度ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波结９０；果。表１中是对分别加入１２％和２５％的高斯噪声的图像使用４种不同滤波方法得到的ＰＳＮＲ结果的比较。
表１
不同噪声情况下几种滤波方法ＰＳＮＲ比较
噪声图像高斯滤波小波滤波Ｍｅａｎｓｈｉｆｔ滤波本文方法
（ｓ＝０．１２）２２．０７７９ＰＳＮＲ
（ｓ＝０．２５）１８．３６３６ＰＳＮＲ
２９．２８５７２５．８５４５
２７．６１８０２５．８５６４
２７．１５０６２５．３９９６
３０．５３２７２５．９２２４
理。为了加速ＭｅａｎＳｈｉｆｔ迭代计算速度，采用复Ｆｏｕｒｉｅｒ级数来
进行快速高斯变换，从而加快高斯核函数的计算精度和速度，在保证计算性能的不变的同时大大降低ＭｅａｎＳｈｉｆｔ迭代的计算时间。实验仿真结果表明本文所提出的方法是高效的。
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比较结果图１（ｃ）（ｆ）和分析表１可知，本文滤波方法去噪～效果明显优于高斯滤波和小波软域值滤波方法。高斯滤波和小
波软域值滤波方法损失较多的高频细节成分，使图像模糊不清，本文方法既降低了图像的噪声同时又尽可能地保留图像的细节。由实验结果可知，本文方法的去噪效果也优于文献［４］的本文方法若根据噪声强弱调ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波方法。实验发现，
节高斯核函数的带宽，可达到更佳的去噪和保留图像细节效果。在低噪声时，采用较小的带宽，可更好地保留图像细节；在强噪声时，较大的带宽，可达到较好的去噪效果。本文方法存在的缺陷是需进行一次小波多级分解和多个子图像重构及多个
运算量较大，需要耗费较大的计算时间，ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波处理，
不利于图像的实时去噪处理。
５结语
本文提出了一种基于小波多尺度分解的ＭｅａｎＳｈｉｆｔ图像滤波方法。在该方法中，采用Ｍａｌｌａｔ算法对图像进行多尺度小波分解，对不同分辨率图像细节分别进行ＭｅａｎＳｈｉｆｔ滤波处
（上接１６页）
性能的影响。生成的语音训练映射图，与语谱图比较更加直观，易于“看图说话”，为语音训练提供一种新的可视化途径。
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４结束语
本文提出了一种利用ＳＯＭ网络的语音训练方法。利用
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ＳＯＭ网络的输出层可视化特点为语音受试者提供的视觉信
对行加强训练，并讨论了输出层神经元个数选取对ＳＯＭ网络类