凸函数的性质及其应用 1

摘要

高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。

同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。

本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt 风险厌恶度量的知识。

关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题

Abstract

Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.

Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.

The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.

Key words：Convex function；Inequality ；Economics ；Optimization problem

摘要 . ............................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................... I I

第1章绪论 . ............................................................................................................ 1

第2章预备知识 . ...................................................................................................... 3

2.1 凸函数的定义 . .............................................................................................. 3

2.2 凸函数的定理 . .............................................................................................. 6

2.3 凸函数的简单性质 . ...................................................................................... 9

2.4 几种常见的不等式 . .................................................................................... 10

第3章在数学中的应用 . ........................................................................................ 12

3.1. 初等不等式的证明 . ..................................................................................... 12

3.2 函数不等式的证明 . .................................................................................... 14

3.3 积分不等式的证明 . .................................................................................... 15

第4章凸函数在经济学的中应用 . ........................................................................ 19

4.1 最优化问题 . ................................................................................................ 19

4.1.1 线性规划下的最优化问题 . .............................................................. 19

4.1.2 非线性规划下的最优化问题 . .......................................................... 21

4.2 Arrow-pratt 风险厌恶度量 . ........................................................................ 26

结论 . ............................................................................................................................ 28

参考文献 . .................................................................................................................... 29

致谢 . ............................................................................................................................ 30

第1章绪论

提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。而在大学阶段对凸函数的研究就更加深入了。由于其有很多好的性质，因此在数学之中将其分离出来，独立研究。在整个函数研究领域中占有十分重要的地位。它的概念最先见于国外学者的著述之中。从众多的文献中我们知道现在对凸函数的研究已从定义上升到凸分析再到凸函数的运用，尤其是它在纯粹数学和运用数学之中的许多领域有着举足轻重的作用。如今已成为众多的学科有力工具和理论基础，比如说在对策论，数学规划，变分学，数理经济学以及最优控制等等学科。本文重点通过凸函数的性质引出凸函数的运用，在应用方面主要探讨的是凸函数在两大领域的运用——数学和经济学，当然凸函数在其他的方面也有很多的应用。

在数学领域中，本文主要讨论了运用凸函数的方法来证明复杂的不等式比传统的方法更加的便利，并通过一些实际的例子我们可以得出结论的是：利用凸函数的方法显然比较简洁。

在经济学领域中，作为凸函数应用的的新发展。主要是最优控制方面的简单介绍。介绍经济学中一些重要的方法和一些工具，目标函数，凸规划等。从这些方法中得出的结论给经济学中投资决策有着重要的依据。

到目前为止，我们知道凸函数在许多的方面都有应用，但是我们也要注意到凸函数的局限性。从以往的论文或者专著来看，凸函数还是有一定的局限性，最为突出的就是其在理论上的。使得凸函数的运用更为广泛显得很劲瓶。所以必须更深入的研究凸函数。

凸函数是一种十分重要的数学概念，它在许多领域都有具有广泛的应用。正是由于凸函数有许多优良的性质的应用，现已经成为许多学科的重要理论基础和有力工具。2010年梁艳在发表《凸函数的应用》[1]一文阐述了凸函数的性质在证明数学中不等式应用。2009年黑志华，付云权在他们的《凸函数在微观经济学中的应用》[2]一文中阐述如何利用凸函数的性质去解决经济学中的一些问题。同样的在国外也得到了广泛的应用。如Neculai Andnei发表的《Convex function》[3]，主要介绍了一些有关凸函数的性质定理以及例举出了一些实际的应用。

现在由于凸函数在概念上的净瓶，出现许多的新的发展，比如广义凸函数，下面简单的介绍一下些。

凸函数的理论起源于本世纪前期，最初的理论奠基来自于Jenson ，Holder 等的著述之中，但是那时候并没有引起人们的关注。然而就在本世纪的40，50年代才引起了广泛的重视，由于某种的需要随之而来的就是对其概念研究，已经在运用方面的研究。就在50年代初期和60年代的末期，我们的学者对其进行了大量的研究，并得到了一些重

要的，有价值的研究成果。于是在上世纪60年代产生了凸分析，其概念也被推广。

定义1.1[4]：我们可以设集合C ∈R n , x , y ∈C 属于其中的数，令实数a 其中实数a 的取值范围在[0, 1]，那么下面的不等式是成立：

ax +(1-a )y ∈C

则称集合C 为凸集。

设h : A ∈R n →R , 其中A 为凸集

定义1.2[4]：如果有一个函数h 满足下面的不等式的话：

h [λx +(1-λ)y ]≤max {h (x ), h (y )}

对于任何的x,y 都属于开凸集C 中，其中，则称h 是A 上的拟凸函数。h 为拟凸函数的充要条件的是x,y 属于开凸集C 中，那么目的函数h 在开凸集C 上可微的。

当以下不等式

x , y ∈C , (x -y )∨h (y )≥0⇒h (x )≥h (y ) T

成立，则可以称h 在开凸集C 上的伪凸。

本文从结构上分为两个部分，第一部分就是凸函数的性质，这部分可以说是为第二部分做理论上的铺垫，重点是凸函数的性质及其一些相关定理和不等式。第二部分就是实际应用。

本文共分为4章，以下我对本文各个章节所做出的具体安排：

第1章为绪论。在本章的内容主要是阐述了本论文研究背景及其目的，凸函数在国内外研究现状，和一些最新的发展，最后就是涉及本论文的结构。

第2章为预备知识。预备知识是我们研究前为第一部分所做的准备工作。在本章首先介绍了凸函数的定义，凸函数的定理以及凸函数的简单的性质，最后就是一些常见的不等式以及这些性质的证明过程。

第3章就是凸函数在不等式证明的应用。本章主要分为两个方面进行凸函数应用的探讨。首先就是在数学中的应用，将其分为三个小块进行。在不等式的证明中又分为三个模块。

第4章就是凸函数在经济学中的应用，分为最优问题的介绍和Arrow-pratt 风险厌恶度量。在最优化之中分为线性下的最优化以及非线性下的最优化，并从非线性引出凸线性规划问题，最后简单的介绍了一下Arrow-pratt 风险厌恶度量。

最后就是结论。总结了本文的内容，并且对未来凸函数应用的展望。

第2章预备知识

2.1 凸函数的定义

下面介绍一下有关凸函数的定义

定义2.1[5]：我们可以设函数h ，其中有I →R ，∀x , y ∈I ，∀λ∈[0, 1]以下不等式

h [λx +(1-λ)y ]≤λh (x )+(1-λ)h (y )

成立，则我们就称函数h 是I 上的凸函数。如果我们假设对于任意的数λ∈[0, 1]，且有x ≠y 并且有以下的不等式成立

h [λx +(1-λ)y ]

则我们将这种称为函数h 是I 上的严格凸函数。

其实对于这些公式在纯粹的数学公式来说是很难理解的，在数学中我们一般用数学的几何图像来解释这些公式，这样我们就可以更加容易理解这些所代表的意思。当然随着我们知识的不断积累单纯，固定的思维不应该再我们脑袋里重复出现，导数就是一个例子。下面我们运用几何知识来解释凸函数的意义，但这只限于几何。

我们可以设函数y =h (x )，在区间I 上有定义并且对于任意的两个数x 1, x 2∈I 且连续。如下图2-1所示的那样我们就称这个函数在这个区间上是一个凸函数。这只是凸函数几何定义的文字叙述形式，这样看来是枯燥的，下面我们运用几何的形式来解释，这样更为直观些。

图2-1 凸函数几何图

下面我们列举几个等价的定义

定义2.2[5]：我们同样可以设函数h 在区间I 上有定义，如果这个函数在区间I 上的凸函数的话，就要满足以下式子：

⎛x +x 2⎫h (x 1)+h (x 2) ∀x 1, x 2∈I , 有h 1⎪≤2⎝2⎭

如图所示

图2-2 凸函数几何图

下面是一个推论可以有定义2得出来，但是还是要经过一般性的推导

定义2.3[5]：同样根据定义2.2我们可以设函数h 在区间I 上有定义，函数h 称为凸函数，只有当以下式子得到满足时

⎛x +x 2+ +x n ⎫h (x 1)+h (x 2)+ +h (x n ) ∀x 1, x 2, , x n ∈I , 有h 1⎪≤n n ⎝⎭

从中我们不难看出这三种定义不等式均是等价的。

在定义2.2成立的条件下可以证明定义2.3, 我们用逆数学归纳法证明。下面我们对定义进行推导证明。

证明：我们可以先假设当n =2时成立，显然根据定义2.2是成立的

当n =4时

h (x 1)+h (x 2)+h (x 3)+h (x 4)⎛x +x 2+x 3+x 4⎫左边=h 1 ⎪，右边=44⎝⎭

⎛x +x 2⎫h (x 1)+h (x 2)由于h 1推导出下式 ⎪≤2⎝2⎭

⎛x 1+x 2x 3+x 4+ ⎛x 1+x 2+x 3+x 4⎫h ⎪=h 42⎝⎭ ⎝⎫⎪⎪≤⎪⎪⎭⎛x +x 2h 1⎝2⎫⎛x 3+x 4⎪+h ⎭⎝22⎫⎪⎭

h (x 1)+h (x 2)h (x 3)+h (x 4)+h (x 1)+h (x 2)+h (x 3)+h (x 4)≤= 24

即

⎛x +x 2+x 3+x 4⎫h (x 1)+h (x 2)+h (x 3)+h (x 4) h 1⎪≤44⎝⎭

可以看出将n =2k 时，经过上述的方法反复的计算可以证明其成立。我们可以另外设

N =x 1+x 2+ +x m m

则有

x 1+x 2+ +x m =Nm

两边同时加上N 得：

x 1+x 2+ +x m +N =Nm +N

对其进行变形得

x 1+x 2+ +x m +N =N (m +1)

N =x 1+x 2+ x m +N m +1

由n =k +1时成立，故

⎛x +x 2+ +x n +N ⎫h (x 1)+h (x 2)+ +h (x m )+h (N ) h (N )=h 1⎪≤m +1m +1⎝⎭

(m +1)h (N )≤h (x 1)+h (x 2)+ +h (x m )+h (N )

mh (N )+h (N )≤h (x 1)+h (x 2)+ +h (x m )+h (N )

mh (N )≤h (x 1)+h (x 2)+ +h (x m )

h (N )≤h (x 1)+h (x 2)+ +h (x m ) m

其中

⎛x +x + +x n ⎫h (N )=h 12⎪ m ⎝⎭

2.2 凸函数的定理

在凸函数有很多非常重要的定理，这些定理在实际的应用中起到了举足轻重的作用。下面简单的介绍几个定理及其一些证明。

定理2.1[5]：可以设一个函数h 在区间I 上有定义，则以下的条件是等价的

（x 1, x 2, x 3∈I 且有x 1

（Ⅰ）h (x )在区间I 凸函数

（Ⅱ）h (x 2)-h (x 1)h (x 3)-h (x 2) ≤x 2-x 1x 3-x 2

h (x 3)-h (x 1)h (x 3)-h (x 2) ≤x 3-x 1x 3-x 2

h (x 2)-h (x 1)h (x 3)-h (x 1) ≤x 2-x 1x 3-x 1（Ⅲ）（Ⅳ）

下面我们只给出其中之一的证明，其余的证明都是雷同的。现证明Ⅰ与Ⅳ等价。

图2-3 定理证明图

证明：根据凸函数的定义我们可以得到（其中x 1, x 3关系如图所示）

h [λx 1+(1-λ)x 3]≤λh (x 1)+(1-λ)h (x 3)

将（Ⅳ）变换得到：

h (x 2)-h (x 1)h (x 3)-h (x 1) ≤x 2-x 1x 3-x 1

h (x 2)-h (x 1)≤

h (x 2)≤x 2-x 1[h (x 3)-h (x 1)] x 3-x 1x 2-x 1[h (x 3)-h (x 1)]+h (x 1) x 3-x 1

h (x 2)≤⎛x 2-x 1⎫x 2-x 1⎪h (x 3)+ 1-h (x 1) ⎪x 3-x 1⎝x 3-x 1⎭

⎛x 3-x 1-(x 2-x 1)⎫x 2-x 1⎪h (x 2)≤h (x 3)+ ⎪h (x 1) x 3-x 1x -x 31⎝⎭

h (x 2)≤⎛x 3-x 2⎫x 2-x 1⎪h (x 3)+ h (x 1) ⎪x 3-x 1⎝x 3-x 1⎭

这是我们可以记λ=x 2-x 1，其中λ∈[0, 1]，我们可以得到以下式子 x 3-x 1

λx 1+(1-λ)x 3=⎛x -x ⎫x 2-x 1x -x x -x x 1+ 1-21⎪x 3=21x 1+32x 3=x 2 x 3-x 1x 3-x 1x 3-x 1⎝x 3-x 1⎭

λx 1+(1-λ)x 3=x 2

h (x 2)=h ⎡⎣λx 1+(1-λ)x 3≤λh (x 1)⎤⎦+(1-λ)h (x 3)=x -x x 2-x 1h (x 3)+32h (x 1) x 3-x 1x 3-x 1

我们可以综合上面我们可以知道，从Ⅰ可以推到Ⅱ。反过来对于任意的λ∈[0, 1]，记x 2=λx 3+(1-λ)x 1，反过来我们把上式改变下就可以得到由从Ⅱ 推到Ⅰ。故我们可以得到结论是：Ⅰ与Ⅳ等价。当然其他的等价条件我们同样可以仿效得到类似的结论。

显然我们可以通过上面的式子得到一个重要的等式如下

h (x )在区间凸函数，且在该区间三点满足如图3所示的关系，那么我们可以得到

以下不等式

h (x 2)-h (x 1)h (x 3)-h (x 1)h (x 3)-h (x 2) ≤≤x 2-x 1x 3-x 1x 3-x 2

定理2.2[6]：设函数h 在区间I 上有定义且一阶可导，如果h 在区间区间I 上严格单调增，则函数h 严格凸的。

推论2.1[6]：设函数h 在区间I 上有定义且二阶可导，如果对于任意的x ∈I , h ''(x )>0（≥0），则函数h 严格凸的。

定理2.3[7]：如果函数h 在区间I 上有定义，则我们可以得到以下的一些等价的命题：（Ⅰ）h (x )在区间I 凸函数

（Ⅱ）对于∀P i ≥0, P 1+P 2+ +P n =1对于∀x 1, x 2, , x n ∈I 有

h (P 1x 1+P 2x 2+ +P n x n )≤P 1h (x 1)+P 2h (x 2)+ +P n h (x n )

（Ⅲ）对于∀P i ≥0且P i (i =1, 2, 3, n ) 不全为零，对于∀x 1, x 2, , x n ∈I 有不等式

⎛P 1x 1+P 2x 2+ +P n x n

h P 1+P 2+ +P n ⎝

现证明Ⅰ与Ⅱ等价

⎫P 1x 1+P 2x 2+ +P n x n

⎪ ⎪≤P 1+P 2+ +P n ⎭

证明：对于上面的三个等价命题中，显然我们可以从Ⅱ推到Ⅰ，只需要将n =2时即可，然后再根据第2章预备知识中定义2.1的不等式形式可以得出结论成立。

现只需证明从Ⅰ推到Ⅱ，在Ⅰ成立的条件下得出不等式

h [λx 1+(1-λ)x 2≤λh (x 1)+(1-λ)h (x 2)]

显然我们可以已经数学归纳法，这是=2已经是成立的

假设n =k 时也是成立的。即

h (P 1x 1+P 2x 2+ +P k x k )≤P 1h (x 1)+P 2h (x 2)+ +P k h (x k )

则当n =k +1时有

⎡⎤Px 11+P 2x 2+L P k x k

h (Px +P k +1x k +1⎥ 11+P 2x 2+L +P k x k +P k +1x k +1)=h ⎢(1-P k +1)1-P k +1⎣⎦

⎛P 1x 1+P 2x 2+ +P k x k

≤(1-P k +1)h 1-P k +1⎝

其中

⎫

⎪⎪+P k +1x k +1 ⎭

⎛Px +P x +L +P k x k

1-P h (k +1) 1122

1-P k +1⎝⎫⎡Ph ⎤1(x 1) +P 2h (x 2) +L +P k h (x k ) ≤1-P ⎪(k +1)⎢⎥

1-P k +1⎭⎣⎦

=P 1h (x 1)+P 2h (x 2)+ +P k h (x k )

综合以上的式子我们可以得到以下结果：

h (P 1x 1+P 2x 2+ +P k x k +P k +1x k +1)≤P 1h (x 1)+P 2h (x 2)+ +P k h (x k )+P k +1h (x k +1)

所以当n =k +1时不等式也是成立的

图2-4 定理4图

2.3 凸函数的简单性质

（Ⅰ）我们设函数h 及f 均为区间I 凸函数，那么h +f 在区间I 也是凸函数[7]。（Ⅱ）设函数h 及f 均为区间I 凸函数，则当k 1, k 2>0时，那么线性表达式k 1h +k 2f 在区间I 也是凸函数。

(Ⅲ) 设函数h (U )为单调递增凸函数，U =f (x )是凸函数，则复合函数h (f (x ))也是凸函数。

(Ⅳ) 如果函数h 在区间I 上有定义且为凹函数且有h (x )>0，则凸函数，然而它的反推是不成立的

现在我们可以对Ⅳ性质进行简单的证明，证明如下所示：证明：由于h (x )>0为凹函数，那么得到不等式

为区间I 上的h x h [λx 1+(1-λ)x 2]≥λh (x 1)+(1-λ)h (x 2)

其中x 1, x 2∈I 且λ∈[0, 1]

要证明

是凸函数，我们只要证明下面不等式成立就可以了 h x (1-λ) 1λ

≤+

h λx 1+1-λx 2h x 1h x 2我们可以得到

≤

h λx 1+1-λx 2h λh x 1+1-λh x 2x 2现在只需要综合以上的式子并由于h (x )>0，根据公式x 2+y 2≥2xy 得

h 2(x )+h 2(y )≥2h (x )h (y )

故

(1-λ) 1λ

≤+

h λx 1+1-λx 2h x 1h x 2除此证明外我们还可以例举出一个实际而简单实例来说明如下式：当h (x )=e -x 时在区间上为凸函数，但是反推是不成立的。

在区间上任然是凸函数，所以性质（Ⅵ）h x 2.4 几种常见的不等式

凸函数的最基本不等式如下[6]

设h (x )为区间I 凸函数，则对于I 内的任意一组值∀x 1, x 2, , x n ∈I 必有不等式

⎛x +x 2+ +x n ⎫h (x 1)+h (x 2)+ +h (x n ) h 1⎪≤

n n ⎝⎭

成立。

Jensen 不等式如下[6]

对于函数h (x )，在I →R 是区间I

上的凸函数的充分必要条件是对于任意的及λk ∈[0, 1]其中k =1, 2, n ，并且有∑k =1λk =1，则不等式

h (λ1+λ2x 2+ +λn x n )≤λ1h (x 1)+λ2h (x 2)+ +λn h (x n )

称为Jensen 不等式

Cauchy-Schwarz 不等式如下[6]

Cauchy-Schwarz 不等式其实就是利用Jensen 不等式推导出来的下面的不等式就是Cauchy-Schwarz 不等式

∑a k b k ≤

k =1

∑a k

k =1

∑b k

k =1

Hadamard 不等式如下[5]

如果函数在区间[a , b ]上有定义且为凸函数，则对于a ≤x 1≤x 2≤b 则有不等式

1⎛x +x 2⎫

h 1⎪≤

⎝2⎭x 2-x 1

⎰

x 2

x 1

h (x )dx ≤

[h (x 1)+h (x 2)] 2

第3章在数学中的应用

凸函数属于函数的一种，在数学之中使用的最为广泛。在数学中我们一般就是利用其性质来证明各类不等式，将复杂的不等式进行一定的变换得到你想要的凸函数形式，然后得出证明。这样便化难为简了。

本章讨论的关键问题是凸函数在数学中的不等式证明，将凸函数的性质用来证明不等式与传统的方法比如说数学归纳法比较，凸出前者的便利性。在本章中我们就三种不等式进行简单的证明，所用到的大多是凸函数的简单性质以及相关的定理[8]。在这些不等式中有些比较复杂，一般的证明方法来证明就比较困难了。然而当我们用凸函数时，这些实际问题便容易得到了解决[9]。所以证明不等式也就是凸函数性质的一个非常重要的应用，但是关键的是我们要把复杂的不等式经过一些变换从而得凸函数的形式。

3.1. 初等不等式的证明

1⎛x +y ⎫例 3.1 证明不等式(x n +y n )> ⎪其中x , y >0, x ≠y 且n >1

22⎝⎭

解析：当我们看到这个等式的时候，就会觉得如果我们用一般的数学归纳方法来证明就会出现两种结果。一是证明出来了就是过程太复杂，二是就根本就没有这么出来。像这样的就是非常复杂和繁琐的，包括里面的所需要的思想。两个不同的未知数，显然不能用一般的求导。这里我们可以选择构造法来解决。这是数学之中常用的一种来解决繁琐的方程或者不等式。此题如果不用构造法几乎是很难证明出来的，所以对于此题我们选择了构造法[10]。

证明：令h (t )=t n （t >0, n >1）一阶求导可以得

h ' (t )=nt n -1

h ' ' (t )=n (n -1)t n -2 ， t >0, n >1

依据第二章中的凸函数的定义和定理我们可以得出

h (t )在(0, +∞)上是严格的凸函数，再由凸函数的定义式我们可得

⎛t +t ⎫h (t )+h (t 2) h 12⎪≤1

2⎝2⎭

由上式变换得到

1n ⎛x +y ⎫

x +y n )> (⎪ 22⎝⎭

例 3.2 证明不等式，当x , y >0, x ≠y 时，有下列不等式

x ln x +y ln y >(x +y )ln

x +y

成立

解析：这些不等是在历年的考研试卷出现的频率较高，难倒了不少的考生。其实这个不等式是俄罗斯的数学竞赛题，通过改编而来。当我们看到此不等式时，我们首先想

x +y

到的是将ln 用函数h (t )=ln t 来构造其中t >0。则我们可以看到

x +y ⎛x +y ⎫

，但是如果我们仔细观察就会发现要证明这个不等式利用h (t )=ln t h =ln ⎪

22⎝⎭

是构造不出来

h (x )+h (y )

的，因此此构造法是不可行的。但是我们仔细观察你就会发2

现在不等式的两遍都有两个相同的数，这样我们可以构造出这样的一个函数来

可以得到形如h (t )=t ln t (t >0), 再在不等式的两边同时乘以就2

x ln x +y ln y x +y x +y

>ln 的不等式。

222

证明：设函数h (t )=t ln t (t >0) 一阶求导得到

h ' (t )=1+ln t ，其中t >0

可以看出h ' (t )>0

h ' ' (t )=

(t >0)⇒h ' ' (t )>0 t

根据第二章凸函数的性质中的推理可以看出h (t )在(0, +∞)上是严格的凸函数，又根据凸函数的定义得到：

对于任意的x , y >0, x ≠y 时都有

h (x )+h (y )⎛x +y ⎫

>h ⎪即 2⎝2⎭

x ln x +y ln y x +y x +y >ln

222

x +y

x ln x +y ln y >(x +y )ln

这两道题都是初等不等式，用构造法来构造成凸函数证明显然就比较简单了。但是

如果我们用传统的方法来证明，证明的过程繁琐甚至证明不出来。从上面的几个例子我们可以得出的结论就是，运用凸函数的性质定理来证明初等不等式显得很简单及巧妙。

3.2 函数不等式的证明

例 3.3证明对于任何的非负数实数x , y ，有

⎛x +y ⎫

2arctan ⎪≥arctan x +arctan y

⎝2⎭

解析：对于函数不等式，我们见得最多就是三角函数组成的不等式，比起初等不等式构造起来就更加困难了，但是还是可以仿效初等不等式来构造。构造成凸函数的形式，从而得到证明此题可以辅助函数[11]h (t )=-arctan x 其中要求x >0。

证明：记h (t )=-arctan x （ x >0）。二阶求导得

h ' ' (x )=

显然在(0, +∞)上是严格的凸函数

由定义得到

1+x 22

(x >0)

⎛x +y ⎫h (x )+h (y )对于任何的非负数实数x , y ，则有h ，则有 ⎪≤

22⎝⎭

故有

a r c t a x n +2

a r y c t a n ⎛x +y ⎫

≥-a r c t a ⎪

⎝2⎭

⎛x +y ⎫

2arctan ⎪≥arctan x +arctan y

2⎝⎭

⎛π⎫1-cos 2x 1+cos 2x

例 3.4：设x ∈ 0, ⎪，证明(sin x )+(cos x )≥

⎝2⎭

解析：这个题看起来非常的复杂，难度也比前面的大，普通的方法是很难到达证明的，因为其中就要涉及到不等式符号大小的判定，我们可以记A =(sin x )和B =(cos x )

其中可以将1-cos 2x 化简得2A ，将1+cos 2x 化简得2B 。

证明：先变换得

(sin x )1-cos 2x +(cos x )1+cos 2x =(sin x )2A +(cos x )2B

其中记A =(sin x )和B =(cos x )原式化简得到

原式=(A )+(B ), 显然A >0, B >0

又记h (t )=t n ，由以上可知道h (t )在(0, +∞)上是严格的凸函数，再由凸函数的定义

⎛A +B ⎫h (A )+h (B )式我们可得h 则 ⎪≤

2⎝2⎭

⎛⎫sin x +cos x ()(

)⎛A +B ⎫⎛1⎫⎛1⎫2

h =h =h == ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪22⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝⎭

然而

⎡(A )A +(B )B ⎤h (A )+h (B )

=h ⎢ ⎥ 22⎢⎥⎣⎦

因此

(sin x )1-cos 2x +(cos x )1+cos 2x ≥

在证明函数不等式时我们还是可以利用构造法来解题，只不过函数不等式比初等不等式更加复杂。构造起来有点麻烦，但是一旦找到合适的辅助函数就变得简单了。

3.3 积分不等式的证明

在证明不等式时有一种思想是常用到的—分割[12]，这种思想是一种极限的思想，就是将极小不规则的图形看着是规则的。这种思想的应用使得不等式的证明变得简单易懂。

h (x )在区间[a , b ]上是连续的，例3.5：我们设函数g (x )，且有g (x )≥0，⎰h (x )dx >0，

m ≤g (x )≤M , φ(x )在闭区间[a , b ]上是有定义的，并且二介导数φ(x )>0证明不等式

' '

⎛b g (x )h (x )dx ⎫ ⎰⎪φ a b ⎪≤ ⎰h (x )dx ⎪⎝a ⎭

⎰φ(g (x ))h (x )dx

⎰h (x )dx

b a

解析：此题在考研机构中经常被讲到，也是考研的热点题。此题就要设计一些微积分定义的知识，其中将要用到微元法。下面简答的介绍一些微元法。

图3-1 微元法

如图3-1所示，我们将函数h (x )在区间[a , b ]分成N 等份，这里面有N 分点：

a =x 0

那么第k 个子区间的长度为：

∆x k =x k -x k -1 (k =1, 2, , n )

从图中我们可以看出形成了一个曲边梯形。

在我们可以在区间[x k -1, x k ]取一点λk ，且其对应的曲边梯形的面积为∆A k

∆A k ≈h (λk )∆x k

那么所有的小曲边梯形就构成了整个曲边梯形的面积；

A =∑∆A k ≈∑h (λk )∆x k

k =1

当N 无限的大时，则每个子区间的就会越来越少，我们设子区间的最大值为

d =max {∆x k }→0，上式就可以写成：

A =lim ∑h (λk )∆x k =⎰h (x )dx

d →0

k =1

下面我们就要用到以上的结论了

证明：由于函数g (x )，h (x )在区间[a , b ]上是连续的，则我们可以依据微积分的微元法思想将区间[a , b ]分割成n 等份并将每等份的标记为：

x k =a +

(b -a ) (k =1, 2, , n ) n

又由于φ'' (x ) >0则得φ(x ) 在区间是凸函数，根据凸函数相关的性质定理得到：

即:

⎛h 1g 1+h 2g 2+ h n g n ⎝h 1+h 2+ +h n

⎫h 1φ(g 1)+h 2φ(g 2)+ h n φ(g n )⎪ ⎪≤h 1+h 2+ +h n ⎭

b -a ⎫⎛

()()g x h x ∑⎪k k

⎪≤φ

b -a ⎪

∑h (x k )⎪

n ⎝⎭

∑g (x k )h (x k )

b -a

∑h (x k )n

当n →+∞时则取极限值，又根据以上积分的定义所得到的结论可以得证明即：

⎛b g (x )h (x )dx ⎫ ⎰⎪φ a b ⎪≤ ⎰h (x )dx ⎪⎝a ⎭

⎰φ(g (x ))h (x )dx

⎰h (x )dx

b a

例 3.6：我们设函数h (x ) 在闭区间[a , b ]上是可积函数，且有m ≤h (x ) ≤M ，设φ(x ) 是区间m ≤φ(x ) ≤M 上的连续凸函数，则

1b ⎛1b ⎫

()h x dx ≤φ(h (x ))dx ⎪⎰⎰a a

⎝b -a ⎭b -a

证明：由题意可知h (x ) 在闭区间[a , b ]上是可积函数的，则根据积分的定义我们可以将整个区间分成若干等份，则有：

x k =a +(b -a ) (k =1, 2, , n )

n (b -a )

我们记h (x k )=h k ∆x k =

由以上可以得如下不等式：

上式同时取极限值得：

⎛h 1+h 2+ +h n ⎫φ(h 1)+φ(h 2)+ +φ(h n ) (3-1) ⎪≤

n n ⎝⎭

φ(h 1)+φ(h 2)+ +φ(h n )⎛h +h 2+ +h n ⎫

lim φ 1⎪≤lim

n →+∞n →+∞n n ⎝⎭φ lim

h 1+h 2+ +h n ⎫φ(h 1)+φ(h 2)+ +φ(h n ) (3-2) ⎪≤lim n →+∞n →+∞n n ⎝⎭⎛

当n →+∞时则取极限值，∆x k 无限趋近于零。又根据以上积分的定义所得到的结论可以得证明即：

h 1+h 2+ +h n ⎡1b -a ⎤

(=lim ⎢h 1+h 2+ +h n )⎥

n →+∞n →+∞a -b n n ⎣⎦lim

1b ⎡1n ⎤

=lim ⎢h ∆x =h (x )dx ∑k (k )⎥⎰a n →+∞a -b k ⎣⎦b -a

对(3-2)右端进行类似的化简得出下列等式：

lim

ϕ(h 1)+ϕ(h 2)+L +ϕ(h n )

n →+∞

1b -a 1b

=lim ⎡ϕ(h 1)+ϕ(h 2)+L +ϕ(h n )⎤⎦n =b -a ⎰a ϕ(h (x ))dx b -a n →+∞⎣

综上所述可以得到：

1b ⎛1b ⎫

()h x dx ≤φ(h (x ))dx ⎪⎰⎰a a

⎝b -a ⎭b -a

通过上面的这些不等式的证明来看，利用凸函数的相关性质及定理来证明数学中的那些复杂而繁琐的不等式，可以使整个过程变得既巧妙又简练，并可以使不等式的难度降低。在将不等式转化过程中，有时候我们会遇到那些繁，杂，偏的不等式，这时候找到一个合适函数成为了解题的关键。另外一种情况就是一眼看不出有合适的凸函数进行转化，只能进行间接的应用。这时我们就要对原不等式进行变换，然后再找到合适的方法来证明。

第4章凸函数在经济学的中应用

在经济学中的许多投资决策都和数学有关[13]，在大学阶段我们学过已经涉及，可见数学和经济学关系是如此的紧密。在许多的决策中用数学知识计算出来的结果，给经济学家分析数据提供了有力的依据。

4.1 最优化问题

前面我们介绍凸函数的新的发展，其中就介绍了拟凸函数。在最优化问题中这些都得到了应用。在最优化问题中最重要的是找到所谓的目标函数以及约束条件，常见的Largrange 问题约束条件:

⎧h 1(x 1, x 2, , x n )=a 1

⎪h (x , x , , x )=a 212n 2⎪⎪

（m

⎪ ⎪⎪⎩h m (x 1, x 2, , x n )=a m

下求解最值。

我们可以对Largrange 函数：设λ1, λ2, λm ，并把这些数称为Largrange 乘子，则以下

L (x )=L (x 1, x 2, , x m )=h (x )-∑λk (g k (x )-a k )

k =1m

=h (x 1, x 2, , x m )-∑λk (g k (x 1, x 2, , x m )-a k )

k =1

称为Largrange 函数，我们常常可以看到不等式的约束条件在最优化的经济中被用到。

4.1.1 线性规划下的最优化问题

最优化问题就是根据目标函数以及所给的约束条件求的最值，以获得想要的值。一般的线性约束最优化问题是由线性目标函数和线性约束条件组成。本小节通过以下几个的例子来说明求解方法。

例 4.1：在约束条件为

⎧x 1≥3⎪

⎨x 2≥1 ⎪2x +x ≤10⎩12

求y =4x 1+2x 2的最大值

解：对上面的约束条件我们可以画出它的图形，如下图4-2所示

图4-1 可行解区域图

从上面的4-1图可以看出，在极值点的出现只可能在左下角和右上角。对于该目标函数的极小值来说只能在图形的最左下面，而且只要一个点，即角点。那么目标函数的极小值点为x 1=3，x 2=1，y =14。其次就是目标函数的极大值的点，从图形我们可以看出，是在右上方的俩个角，而且从图形我们可以看出极大值不止一个，单单是两个角点，即分别为x 1=4. 5，x 2=1和x 1=3，x 2=4就可以成为最大值点，又由于目标函数的斜率与可行区域右上角边界约束条件的斜率相等，所有整个又上方边际都是最大值点。

例 4.2：在约束条件

⎧x 1≥3

⎪

⎨x 2≥1 ⎪2x +x ≤10⎩12

求y =3x 1-2x 2的最大值

解：对上面的约束条件我们可以画出它的图形，如下图4-2所示

图4-2 可行解区域图

图4-2表明，我们将目标函数变形得x 2=x 1-y ，和斜率为-2的直线相比目标

函数的直线经过可行解区域。从目标函数的斜率知道，要取得极值点只能是在两个点上，一个点就是正上方的角点，另一个就是最右下方的角点。这两个角点的值分别为x 1=3，

x 2=4和x 1=4.5，x 2=1，得出Y max =12.5。

4.1.2 非线性规划下的最优化问题

以上说明的是在线性条件下的最优化问题，而在非线性条件下的最优化中最重要的是凸规划。我们一般会把线性与非线性的区别搞混淆，现在我们把它们两个进行区分以下。所谓的线性规划就是它的目标函数和约束条件的自变量都是线性函数，否则就是非线性函数，后者就是所谓的非线性规划。在实际生活中有许多的问题可以转化成线性规划，只要找到其中的目标函数，提取其中的约束条件并依据此解出它的解即为所要的，还有些实际问题可以转化成非线性规划来解答。

图4-3 凸规划

下面我们可以简单的介绍一下有关凸规划的相关知识

⎧min f (x )⎪

⎨s . t . g i (x )≤0, i =1, , p , (MP ) ⎪h j (x )=0, j =1, , q . ⎩

其中

⎧g i (x )≤0, i =1, , p ⎫⎪⎪n

X =⎨x ∈R ⎬为约束集

()h x =0, j =1, , q ⎪⎪j ⎩⎭

如果(MP ) 的约束集X 是凸集，目标函数f 是X 上的凸函数，则(MP ) 叫做非线性凸规划，或简称为凸规划[14]。

对于非线性规划（MP ），如果g i (x )≤0, i =1, , p 都是R n 上的凸函数，并且对于

h j (x )=0, j =1, , q 都是线性函数，f (x )是X 上的凸函数，则（MP ）是凸规划。在最优解中凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解

以下给出判断是否是凸规划的一个定理[15] 设f (x ):R n →R 为二次函数，如下列方程

f (x )=

x Qx +b T x +c 2

[14]

。

其中Q 是n 阶对称矩阵，则

(1)f (x )是R n 上的凸函数的充要条件是Q 为半定矩阵

(2)f (x )是R n 上的严格凸函数的充要条件是Q 为定矩阵本小节通过适当的例子，来说明这类问题的求解方法。例 4.3：

⎧min f (x )=x 12+x 2-4x 1+4⎪

⎪s . t . g 1(x )=-x 1+x 2-2≤0

⎨2

⎪g 2(x )=x 1-x 2+1≤0⎪x 1, x 2≥0⎩

判定是否为凸规划并求其最优解

解：我们可以对上面的式子进行变形为

2⎧min f (x )=(x 1-2)2+x 2⎪

⎪g 1(x )=-x 1+x 2-2≤0

⎨2

⎪g 2(x )=x 1-x 2+1≤0⎪x 1, x 2≥0⎩

我们可以通过大学里所学的线代知识可以判断这个显然是正定矩阵

⎡∂2f ⎢2∂x 2

∇f (x )=⎢21

⎢∂f ⎢∂x x ⎣21∂2f ⎤

⎥

∂x 1x 2⎥⎡20⎤

=⎥ ∂2f ⎥⎢02⎣⎦2⎥∂x 2⎦

以上为正定矩阵，同理我们可以判定∇2g 1(x ), ∇2g 2(x )

⎡00⎤

∇2g 1(x )=⎢⎥⎣00⎦⎡00⎤

∇g 2(x )=⎢⎥ 00⎣⎦

均为半定矩阵。所以我们得出结论为该式子为凸规划。

对于上式我们可以画出图形来解释，如图

4-4

图4-4 最小值点

通过以上可以看出，要满足所有的条件并取得最小值只能在交点出才可以。通过计算解得交点的值为(x 1, x 2)=(0. 58, 1, 34)带入计算得

min f (x )=3. 8

例 4.4：

⎧min f (x )=x 12+x 2⎪

⎨s . t . g (x )=1-x 1-x 2≤0 ⎪x 1, x 2≤1⎩

试判定是否为凸规划并求其最优解

解： f (x )=x 12+x 2为正定矩阵

以下是判定g (x )=1-x 1-x 2 的格式

⎡∂2g

⎢2∂x 2

∇g (x )=⎢21

⎢∂g ⎢∂x x ⎣21∂2g ⎤

⎥

∂x 1x 2⎥⎡00⎤

=⎢2⎥∂g ⎥⎣00⎦

2⎥∂x 2⎦

为半正定矩阵。所以我们可以看出这个式子为凸规划。

对于上式我们可以画出图形来解释，如图

4-5

图4-5 最小值点

通过条件可以看出只要在在点x *取的最小值

x *=(x 1, x 2)

通过转化实质就是求圆的半径。直线g (x )=1-x 1-x 2于圆相切。其斜率为1，得出一个三元方程。设半径为R

⎧

⎪x 12+x 2=R 2⎪

⎨g (x )=1-x 1-x 2=0 ⎪dx 2

=1⎪

dx 1⎩

解得R =

带入上式得 2

min f (x )=x 12+x 2=

下面举个实际的例子

例 4.5：假设某制造长使用某种规格的铁皮了，制作一批容量为10L ，密闭的圆柱形铁桶，试问：如何设计铁桶的尺寸，使得制作铁桶使用的材料最少？

解：如图4-6所示

图4-6 铁桶

从铁桶的形状来看，密闭的圆形铁桶是由上下两个圆盘形状的底面和一个侧面，而铁桶的尺寸和容量是由底面的半径，铁桶的高决定的，所有我们可以设变量底面的半径和高分别为R ，H ，即

R=底面的半径， H=铁桶的高

根据以前所学的立体体积可知，这个铁桶是由两个部分组成的，两个圆形组成底面，一个长方形组成侧面。底面积等于2πR 2，而铁桶的侧面积等于2πRH ，铁桶的体积等

于πR 2H 。由题目的意思我们可以知道铁桶的体积就等于它的容量即为10L 。根据实际情况看，铁桶的底面半径和其高均不能为负数。这样我们可以将这个实际问题转化为数学规划来解，如下面的优化模型。

⎧min S =2πR 2+2πRH ⎪

(4-1) s .. t πR 2H =10⎨

⎪R . H ≥0⎩

要解答这个问题我们可以将这个（4-1）进行一次变换。设参数A =10/π，将其带入（4-1）得

⎧min S =2πR 2+2πRH ⎪

s .. t H =A /R 2 (4-2) ⎨⎪R . H ≥0⎩

再将其变形得

⎧R 21R 21⎪min S =2πA (+) =20(+)

A R A R (4-3) ⎨

⎪s.. t R >0⎩

可以看出上式(4-3)可以看出目标函数为凸函数。根据凸函数的特性和最优解的有关定理[16]，求出最优解为

⎛A ⎫

R = ⎪

⎝2⎭

最优值为

1/3

⎛5⎫= ⎪ ⎝π⎭

1/3

⎛π⎫

min S =30 ⎪

⎝5⎭

相应的得出铁桶高的最优解

1/3

⎛5⎫

H =2R =2 ⎪

⎝π⎭

1/3

4.2 Arrow-pratt 风险厌恶度量

设效用函数[17]U (x ) 且函数具有一二阶导数则以下函数

U ' '(x )

λ(x ) ='

U (x )

λ(x ) 称为风险厌恶度量。现对λ(x ) 定义了三种形式如下表所示

表1 风险类型

序号

满足条件

风险类型风险中性厌恶风险爱好风险

1 ○2 ○3 ○

λ(x ) =0 λ(x ) >0 λ(x )

在人们有风险的情况下，常会用到效用函数U (x ) 来描述，其中将x 称为经济获利大小。在有风险的情况下，人们所追求的不只是最大，恰恰是与主观判断有关系的最大决策，所以对于以上3种形式我们从数学角度可以得到有意义的结果。

U ' '(x ) （1）当λ(x ) =0是，由λ(x ) =' =0得到U ' '(x ) =0此时有U (x ) 为线性函数

U (x )

U (x ) =ax +b (a >0)

对于这样的风险者，一般将其称作风险中性。

U ' '(x )

（2）当λ(x ) >0是，由λ(x ) ='

U (x )

U [λx 1+(1-λ) x 2]≥λU (x 1) +(1-λ) U (x 2), λ∈(0,1)

对于这样的风险者，一般将其称作厌恶风险。

U ' '(x )

（3）当λ(x ) 0得到U ' '(x ) >0此时U (x ) 为凸函数

U (x )

U [λx 1+(1-λ) x 2]≤λU (x 1) +(1-λ) U (x 2), λ∈(0,1)

对于这样的风险者，一般将其称作爱好风险。

结论

从本文可以看出凸函数有很多的优良性质，这些性质被广泛的运用到了各个领域。诸如控制论，运筹学这些领域，本文仅仅是探讨凸函数在数学和经济领域。

在数学领域中，我们可以利用凸函数的几个简单性质来证明各种性质不等式，包括初等不等式，函数不等式以及积分不等式。这三种不等式形式从简单到复杂，一般方法来证明复杂程度也随之增加。从上述我们可以看出，运用凸函数概念和性质来解题显得巧妙，简练。利用凸函数的性质及定理解题时关键要找到合适的凸函数，如果一开始不等式的形式并不是明显的凸函数，则接下来我们需要对你进行一些变形，从而达到我们想要的凸函数。

在经济学中，我们最关心的是利益问题。如何投入才能使获取的利益到达最大化，这就涉及到了最优问题。最优化问题中我们常把它们分为线性的和非线性的，凸规划正是凸函数在最优化问题的实践。在实际问题中往往以文字叙述来说明，往往这样看起来太繁琐了。在最优化问题中，我们可以通过将其转化为数学问题在解答，首先我们要建立目标函数，提取约束条件，然后将其转化成凸函数来解答。最后我们简单的介绍了凸函数在Arrow-pratt 风险厌恶度量中的应用。

在未来凸函数的应用将更加广泛，对人类的贡献将是更大。

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致谢

在此我要感谢我的论文指导老师—姜亦成，感谢他几个月对我的论文悉心的指导。还要感谢其他所有帮助过我的同学以及大学四年来给予我教育的所有老师，是你们让我的大学生活更加的丰富多彩。谢谢你们！