平行四边形中的常用辅助线
PART A知识讲解
六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结BF ⑵BF=DE
⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AO=OC,DO=OB ∵AE=FC ∴AO-AE=OC-FC 即OE=OF ∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BF=DE
C
A
图1
A
图2
B
E
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12， BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）
A1
解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB=CE,DC=BE,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在∆ACE中, AC=12,CE=BD=10,AE=2AB=2m
∴12-10
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形
求证：AC+BD=AB+BC+CD+DA
证明：过A,D分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC的延长线于点F
∴AC=AE+CE=AB-BE+(BC-BE)=AB+BC-2BE⋅BC BD=DF+BF=(CD-CF)+(BC+CF)=CD+BC+2BC⋅CF 则AC+BD=AB+BC+CD+DA+2BC⋅CF-2BC⋅BE
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22222222
22222222
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD且AB=CD,AD=BC
∴∠ABC=∠DCF ∵∠AEB=∠DFC=90
∴∆ABE≅∆DCF ∴BE=CF ∴AC+BD=AB+BC+CD+DA
D
2
2
2
2
2
2
C
B
图3
F
B
图4
K
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与
CF交于P点，求证：AP=AB
证明：延长CF交BA的延长线于点K ∵四边形ABCD为正方形
∴AB∥CD且AB=CD,CD=AD,∠BAD=∠BCD=∠D=90
∴∠1=∠K 又∵∠D=∠DAK=90,DF=AF ∴∆CDF≌∆KAF
∴AK=CD=AB ∵CE=
11
CD,DF=AD ∴CE=DF 22
∵∠BCD=∠D=90 ∴∆BCE≌∆CDF ∴∠1=∠2
∵∠1+∠3=90 ∴∠2+∠3=90 ∴∠CPB=90,则∠KPB=90 ∴AP=AB
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。 例5如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有
∆AED∽∆FEC,∆FAB∽∆FEC,∆AED∽∆
FAB
B
图5
F
B
图6
D
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线 例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，AN=BN,BE=交BD于F，求BF:BD
解：连结AC交BD于点O,连结ON
1
BC,NE 3
BD
2
11BEBF
=∵AN=BN ∴ON∥BC且ON=BC ∴
22ONFO
1BF2
= ∵BE=BC ∴BE:ON=2:3 ∴
3FO3BF2
= ∴BF:BD=1:5
∴
BO5
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA=OC,OB=OD=
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
PART B综合演练
一、一般多边行
1、如图，四边形ABCD中，E、
F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？
3、提出问题：如图①所示，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手： （1）当AP=∵AP=
1
AD时（如图②）： 2
11
AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S∆ABP=S∆ABD。 22
11
∵PD=AD－AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S∆CDP=S∆CDA。
22
∴S∆PBC=S四边形ABCD-S∆ABP-S∆CDP
11
S∆ABD-S∆CDA 2211
＝S四边形ABCD-(S四边形ABCD-S∆DBC)-(S四边形ABCD-S∆ABC)
22
11
＝S∆DBC+S∆ABC 22
1
（2）当AP=AD时，探求S∆PBC与S∆ABC与S∆DBC之间的关系，写出求解过程；
31
（3）当AP=AD时，S∆PBC与S∆ABC和S∆DBC之间的关系式为______________________；
6
1
（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求S∆PBC与S∆ABC和S∆DBC之间的关系，
n
＝S四边形ABCD-写出求解过程； 问题解决：当AP=____________________。
mm⎛⎫AD 0≤≤1⎪时，S∆PBC与S∆ABC和S∆DBC之间的关系为nn⎝⎭
① ②
二、多边形
1、如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°，那么∠BCD的度数等于（ ）
A、40° B、50° C、60° D、70°
2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90，∠B、∠C应分别为21和32，检验工人量得∠BDC=148，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。 （1）求BC的长。
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y
（cm）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
2
① ②
三、平行四边形 （矩形、菱形、正方形与其相同）
1、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由； （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
2、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为____________。
1
DC。2
3、如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。（只需研究一组线段相等即可）。 （1）连结_________；（2）猜想：_____________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。
4、如图，在□ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、BF、BD。 （1）求证：△ADE≌△CBF。
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论。
平行四边形中的常用辅助线
PART A知识讲解
六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结BF ⑵BF=DE
⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AO=OC,DO=OB ∵AE=FC ∴AO-AE=OC-FC 即OE=OF ∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BF=DE
C
A
图1
A
图2
B
E
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12， BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）
A1
解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB=CE,DC=BE,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在∆ACE中, AC=12,CE=BD=10,AE=2AB=2m
∴12-10
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形
求证：AC+BD=AB+BC+CD+DA
证明：过A,D分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC的延长线于点F
∴AC=AE+CE=AB-BE+(BC-BE)=AB+BC-2BE⋅BC BD=DF+BF=(CD-CF)+(BC+CF)=CD+BC+2BC⋅CF 则AC+BD=AB+BC+CD+DA+2BC⋅CF-2BC⋅BE
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22222222
22222222
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD且AB=CD,AD=BC
∴∠ABC=∠DCF ∵∠AEB=∠DFC=90
∴∆ABE≅∆DCF ∴BE=CF ∴AC+BD=AB+BC+CD+DA
D
2
2
2
2
2
2
C
B
图3
F
B
图4
K
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与
CF交于P点，求证：AP=AB
证明：延长CF交BA的延长线于点K ∵四边形ABCD为正方形
∴AB∥CD且AB=CD,CD=AD,∠BAD=∠BCD=∠D=90
∴∠1=∠K 又∵∠D=∠DAK=90,DF=AF ∴∆CDF≌∆KAF
∴AK=CD=AB ∵CE=
11
CD,DF=AD ∴CE=DF 22
∵∠BCD=∠D=90 ∴∆BCE≌∆CDF ∴∠1=∠2
∵∠1+∠3=90 ∴∠2+∠3=90 ∴∠CPB=90,则∠KPB=90 ∴AP=AB
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。 例5如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有
∆AED∽∆FEC,∆FAB∽∆FEC,∆AED∽∆
FAB
B
图5
F
B
图6
D
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线 例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD中，AN=BN,BE=交BD于F，求BF:BD
解：连结AC交BD于点O,连结ON
1
BC,NE 3
BD
2
11BEBF
=∵AN=BN ∴ON∥BC且ON=BC ∴
22ONFO
1BF2
= ∵BE=BC ∴BE:ON=2:3 ∴
3FO3BF2
= ∴BF:BD=1:5
∴
BO5
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA=OC,OB=OD=
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
PART B综合演练
一、一般多边行
1、如图，四边形ABCD中，E、
F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？
3、提出问题：如图①所示，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手： （1）当AP=∵AP=
1
AD时（如图②）： 2
11
AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S∆ABP=S∆ABD。 22
11
∵PD=AD－AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S∆CDP=S∆CDA。
22
∴S∆PBC=S四边形ABCD-S∆ABP-S∆CDP
11
S∆ABD-S∆CDA 2211
＝S四边形ABCD-(S四边形ABCD-S∆DBC)-(S四边形ABCD-S∆ABC)
22
11
＝S∆DBC+S∆ABC 22
1
（2）当AP=AD时，探求S∆PBC与S∆ABC与S∆DBC之间的关系，写出求解过程；
31
（3）当AP=AD时，S∆PBC与S∆ABC和S∆DBC之间的关系式为______________________；
6
1
（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求S∆PBC与S∆ABC和S∆DBC之间的关系，
n
＝S四边形ABCD-写出求解过程； 问题解决：当AP=____________________。
mm⎛⎫AD 0≤≤1⎪时，S∆PBC与S∆ABC和S∆DBC之间的关系为nn⎝⎭
① ②
二、多边形
1、如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°，那么∠BCD的度数等于（ ）
A、40° B、50° C、60° D、70°
2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90，∠B、∠C应分别为21和32，检验工人量得∠BDC=148，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子，另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。 （1）求BC的长。
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y
（cm）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
2
① ②
三、平行四边形 （矩形、菱形、正方形与其相同）
1、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由； （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
2、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为____________。
1
DC。2
3、如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。（只需研究一组线段相等即可）。 （1）连结_________；（2）猜想：_____________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。
4、如图，在□ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、BF、BD。 （1）求证：△ADE≌△CBF。
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论。