HEFEI UNIVERSITY
自动控制原理小论文
项目名称： 非线性控制系统分析 制作人 ： 程康 1205012023 12电子2班 指导教师： 储忠 完成时间： 2015年7月1号
一、主要内容
（1）典型非线性特性 （2）描述函数 （3）描述函数法
二、基本要求
（1）了解几种典型非线性特性、非线性系统的特点以及分析方法。 （2）理解描述函数的应用条件、定义和求法。
（3）熟练掌握几种典型非线性环节的描述函数，并会运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数。
（4）掌握运用描述函数法分线性系统的稳定性和自振荡的方法，并能计算自振荡的振幅和频率。
三、内容提要
1、典型非线性特性 （1）非线性系统的特点
①叠加原理无法应用于非线性微分方程中。
②非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的输入信号和初始条件有关。
③线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态无关，而非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态却有关。
④有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的自激振荡或极限环。 （2）典型非线性特性
2、描述函数
（1）描述函数的定义
类似于线性系统中的频率特性定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用N (A ) 来表示。
Y
N (A ) =1e j ϕ1=
A
A 12+B 12
A
∠arctg
A 1
B 1
（2）描述函数的应用条件
①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N 和一个线性环节
G (s ) 串联的闭环结构。
②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即y (x ) =-y (-x ) ，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。
③系统的线性部分G (s ) 具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。 （3）描述函数的求法
描述函数求解的一般步骤是：
①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的y (t ) 的数学表达式。
②利用傅氏级数求出y (t ) 的基波分量。
③将基波分量代入描述函数定义，即可求得相应的描述函数N (A ) 。 （4）组合非线性特性的描述函数
①非线性特性的并联
若干个非线性环节并联后总的描述函数，等于个并联环节描述函数之和。 ②非线性环节的串联
两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。 3、描述函数法
（1）非线性系统的稳定性
非线性系统结构中，非线性部分N 可以用描述函数N (A ) 表示，线性部分G (s ) 则用频率特性G (j ω) 表示。
利用描述函数判别非线性系统稳定性的奈奎斯特判据是： ①若G (j ω) 曲线不包围-N (A ) 曲线，则非线性系统是稳定的； ②若G (j ω) 曲线包围-N (A ) 曲线，则非线性系统是不稳定的；
③若G (j ω) 曲线与-N (A ) 曲线相交，理论上将产生振荡，或称为自激振荡。 （2）自激振荡的分析与计算
①自激振荡条件
G (j ω) =-
1
N (A )
②自激振荡的稳定性
判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值A 增大的方向沿-N (A ) 曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值A 增大的方向沿-N (A ) 曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率的计算方法是：振幅可由-N (A ) 曲线的自变量A 来确定，振荡频率ω由G (j ω) 曲线的自变量ω来确定。
7.1 引言
对于非线性系统，描述其运动状态的数学模型是非线性方程，它与线性系统的最大差别是不能使用叠加原理。
一、非线性系统的特点
非线性系统与线性系统相比，在数学模型、稳定性、平衡状态、频率响应、时间响应等许多方法均存在显著的差别，非线性系统具有线性系统所没有的许多特点，其主要体现在以下几个方面：
（1）数学模型
叠加原理无法应用于非线性微分方程中。 （2）稳定性
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的输入信号和初始条件有关。研究非线性系统的稳定性，必须明确两点：一是指明给定系统的初始状态，二是指明相对于哪一个平衡状态来分析稳定性。
（3）系统的零输入响应
线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态无关，换句话讲，线性系统在某一初始状态下的零输入响应是单调收敛的，则在其它初始状态下的零输入响应形式仍为单调收敛，不可能是其它形式（如振荡、发散等）。
而非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态却有关。当初始状态不同时，同一个非线性系统可有不同的零输入响应形式。
（4）自激振荡或极限环
有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。如果非线性有一个稳定的极限环，则它的振幅和频率不受扰动和初始状态的影响。
二、非线性系统的研究方法
目前工程上常用的分析非线性系统的方法有描述函数法、相平面法，以及分析非线性系统稳定性的更一般的方法，即李雅普诺夫直接法。当然，近几年发展起来的一些非线性系统分析法有：神经网络、分形理论、专家系统等等。
三、典型非线性特性 （1）饱和特性
信号较大时，输出呈饱和状态。
（2）死区特性
死区非线性特性的数学描述
⎧0⎪
y =⎨
k (x -a ) ⎪k (x +a ) ⎩
x ≤a x >a x
死区非线性出现在一些对小信号不灵敏的装置中，
如测量元件、执行机构等。其特点是：当输入信号较小时，无输出信号；当信死区非线性对系统性能的主要影响是： （3）滞环特性
) ⎧k (x -asign x
y =⎨
⎩b ⋅signx
≠0y
=0y
滞环非线性主要存在于机械加工设备由于装配带来的间隙，其特性是：当输入信号较小时，输出为零；当输入信号大于a 时，输出呈线性变化；当输入信号反向时，输出保持不变，直到输入小于-a 时，输出才又呈线性变化。
（4）继电器特性 继电器非线性有双位继电器特性、具有死区的继电器特性、具有滞环的继电器特性、具有死区和滞环继电器特性。
7.2 描述函数
非线性系统的描述函数表示，是线性部分频率特性表示法的一种推广。该方法首先通过描述函数将非线性特性线性化，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。
一、描述函数的定义
（1
设非线性环节的输入信号为正弦信号
x (t ) =A sin ωt
其输出y (t ) 一般为非周期正弦信号，可以展开为傅氏级数
y (t ) =A 0+
∑(A cos n ωt +B
n
n =1
∞
n
sin n ωt )
若非线性环节的输入输出部分的静态特性曲线是奇对称的，即
y (x ) =-y (-x ) ，于是输出中将不会出现直流分量，从而A 0=0。
式中：A n =
π⎰
1
2π
y (t ) cos n ωtd (ωt ) ，B n =
1
π
⎰
2π
y (t ) sin n ωtd (ωt )
同时，若线性部分的G (s ) 具有低通滤波器的特性，从而非线性输出中的高频分量部分被线性部分大大削弱，可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即y (t ) =A 1cos n ωt +B 1sin n ωt =Y 1sin(ωt +ϕ1)
式中：A 1=
1
π
⎰
2π
y (t ) cos ωtd (ωt ) ，B 1=
A 1
B 1
1
π
⎰
2π
y (t ) sin ωtd (ωt ) ，
Y 1=
22A 1+B 1，ϕ1=arctg
（2）描述函数的定义
类似于线性系统中的频率特性定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用N (A ) 来表示。
Y
N (A ) =1e j ϕ1=
A
A 12+B 12
A
∠arctg
A 1
B 1
显然，ϕ1≠0时，N (A ) 为复数。 （3）描述函数的应用条件
①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N 和一个线性环节
G (s ) 串联的闭环结构。
②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即y (x ) =-y (-x ) ，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。
③系统的线性部分G (s ) 具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。
二、描述函数的求法 描述函数求解的一般步骤是：
①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的y (t ) 的数学表达式。
②利用傅氏级数求出y (t ) 的基波分量。
③将基波分量代入描述函数定义，即可求得相应的描述函数N (A ) 。 以继电器非线性特性为例，说明描述函数的求解方法。
由于非线性为双位继电器，即在输入大于零时，输出等于定值M ，而输入小于零时，输出为定值-M ，故而，在正弦输入信号的作用下，非线性部分的输出波形为方波周期信号，且周期同输入的正弦信号2π。其波形如下图所示。
由波形图可见，输出的方波周期信号为奇函数，则其傅氏级数中的直流分量与基波的偶函数分量系数均为零，即
A 0=0, A n =0(n =1, 2, 3, , ), B n =0(n =2, 4, 6, )
于是，输出信号y (t ) 可表示为
1114M
y (t ) =(sinωt +sin 3ωt +sin 5ωt +sin 7ωt + ) =
π357π
4M
∑
sin(2n +1) ωt
2n +1n =0
∞
取输出的基波分量，即
y 1(t ) =
4M
π
sin ωt
于是，继电器非线性特性的描述函数为
N (A ) =
Y 14M
∠ϕ1=
A πA
显然，N (A ) 的相位角为零度，其幅值是输入正弦信号幅值A 的函数。 常见非线性特性的描述函数： ①继电器非线性描述函数
N (A ) =
Y 14M
∠ϕ1=
A πA
②饱和非线性特性的描述函数
N (A ) =
B 12k ⎡a a a 2⎤
=arcsin +-() ⎥⎢A π⎢A A A ⎥⎣⎦
(A ≥a )
③其它常见非线性特性的描述函数，见表7-1 例：研究非线性函数y =
11
x +x 3的描述函数。 24
解：画出给定非线性特性曲线。
显然，非线性特性为单值奇函数，所以A 0=A 1=0，
B 1=
1
π
⎰
2π
11
(x +x 3) sin ωtd (ωt ) 24
11
(A sin ωt +A 3sin 3ωt ) sin ωtd (ωt ) 24
将x =A sin ωt 代入上式，得到
B 1=
111
(x +x 3) sin ωtd (ωt ) =π024π13=A +A 32161
⎰
2π
⎰
2π
于是，描述函数为 N (A ) =
B 1132
=+A A 216
三、组合非线性特性的描述函数 简单非线性基本连接形式有串联、并联。 （1）非线性特性的并联计算
总的描述函数为
N (A ) =N 1(A ) +N 2(A )
由此可见，若干个非线性环节并联后总的描述函数，等于个并联环节描述函数之和。
（2）非线性环节的串联
两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。
例：如下两个非线性特性相串联
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性，可见，
k =2, a =2, ∆=1，于是，等效非线性特性的描述函数为
N (A ) =
2k ⎡a ∆a a 2∆∆2⎤
arcsin -arcsin +-() --() ⎥⎢π⎢A A A A A A ⎥⎣⎦4⎡21222112⎤arcsin -arcsin +-() --() ⎥⎢π⎢A A A A A A ⎥⎣⎦
=
7.3 非线性系统的描述函数法
一、非线性系统的稳定性
在上述所示的非线性系统结构中，非线性部分N 可以用描述函数N (A ) 表示，线性部分G (s ) 则用频率特性G (j ω) 表示。
由闭环系统的结构图，可得到系统的闭环频率特性Φ(j ω) 如下
Φ(j ω) =
C (j ω) N (A ) G (j ω)
= R (j ω) 1+N (A ) G (j ω)
其闭环特征方程为
1+N (A ) G (j ω) =0
从而有
G (j ω) =-
1
N (A )
上式-N (A ) 称为非线性特性的负倒描述函数。
表7-1给出了常见非线性函数的负倒描述函数-N (A ) 曲线，其中箭头表示了幅值A 的增大方向。
利用描述函数判别非线性系统稳定性的奈奎斯特判据是： ①若G (j ω) 曲线不包围-N (A ) 曲线，则非线性系统是稳定的； ②若G (j ω) 曲线包围-N (A ) 曲线，则非线性系统是不稳定的；
③若G (j ω) 曲线与-N (A ) 曲线相交，理论上将产生振荡，或称为自激振荡。
11
二、自激振荡的分析与计算
由上述分析可知，当线性部分的频率特性G (j ω) 与负倒描述函数曲线
-N (A ) 相交时，非线性系统产生自激振荡。下面进一步分析自激振荡的条件
和自激振荡的稳定性。
①自激振荡条件
G (j ω) =-
1
N (A )
可以改写为
G (j ω) N (A ) =-1=e -j π
即
⎧G (j ω) N (A ) =1
⎨
⎩∠G (j ω) +∠N (A ) =-π
②自激振荡的稳定性
所谓自激振荡的稳定性是指，当非线性系统受到扰动作用而偏离原来的周的自激振荡。反之，称为不稳定的自激振荡。
如右图所示，线性部分的频率特性G (j ω) 与 负倒描述函数曲线-N (A ) 有两个相交点M 1、M 2这说明系统有两个自激振荡点。
对于M 1点，若受到扰动使幅值A 点将由M 1点移至a 点。由于a 点不被G (j ω) 包围，
12
系统是稳定的，故振荡衰减，振幅A 自动减小，工作点将沿-N (A ) 曲线又回到
M 1点。反之亦然。所以M 1点是稳定的自激振荡。
对于M 2点，若受到扰动使幅值A 减小，则工作点将由M 2点移至d 点。由于d 点不被G (j ω) 包围，系统是稳定的，故振荡衰减，振幅A 进一步减小，工作点将沿-N (A ) 曲线向幅值不断减小的方向移动，从而不能再回到M 2点。反之亦然。所以M 2点是不稳定的自激振荡。
判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值A 增大的方向沿-N (A ) 曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值A 增大的方向沿-N (A ) 曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具体的计算方法是：振幅可由-N (A ) 曲线的自变量A 来确定，振荡频率ω由G (j ω) 曲线的自变量ω来确定。需要注意的是，计算得到的振幅和频率，是非线性环节的输入信号x (t ) =A sin ωt 的振幅和频率，而不是系统的输出信号c (t ) 。
例：具有理想继电器特性的非线性系统如下所示，其中线性部分的传递函数为G (s ) =s (s +1)(s +2) ，试确定其自激振荡的幅值和频率。
解：继电器非线性的描述函数为
N (A ) =
4M 4
=
πA πA
负倒描述函数为
-
1πA
=- N (A ) 4
当A =0时，-N (A ) =0，当A =∞时，-N (A ) =-∞，因此当A =0→∞时，
13
-N (A ) 曲线为整个负实轴。
又线性部分的频率特性为
103010(2-ω2)
G (j ω) ==-4-j
j ω(j ω+1)(j ω+2) ω+5ω2+4ω(ω4+5ω2+4)
画出G (j ω) 和-N (A ) 曲线如下，有图可知，两曲线在负实轴上有一个交点，且该自激振荡点是稳定的。
令Im[G (j ω)]=0，即
10(2-ω2)
=0⇒2-ω2=0 42
ω(ω+5ω+4)
求得自激振荡频率ω=2(rad /s ) 。将ω=2 代入G (j ω) 的实部，得到
Re[G (j ω)]ω=
=-
30
ω4+5ω2+4ω=
=-1. 66
2
2
由G (j ω) N (A ) =-1，可得到
-
1
=G (j ω) N (A )
即有
-
1πA
=-=-1. 66 N (A ) 4
于是求得自激振荡的幅值为
A =2. 1
自激振荡频率为
ω=2(rad /s )
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自动控制原理小论文
项目名称： 非线性控制系统分析 制作人 ： 程康 1205012023 12电子2班 指导教师： 储忠 完成时间： 2015年7月1号
一、主要内容
（1）典型非线性特性 （2）描述函数 （3）描述函数法
二、基本要求
（1）了解几种典型非线性特性、非线性系统的特点以及分析方法。 （2）理解描述函数的应用条件、定义和求法。
（3）熟练掌握几种典型非线性环节的描述函数，并会运用典型非线性特性的串并联分解求取复杂非线性特性的描述函数。
（4）掌握运用描述函数法分线性系统的稳定性和自振荡的方法，并能计算自振荡的振幅和频率。
三、内容提要
1、典型非线性特性 （1）非线性系统的特点
①叠加原理无法应用于非线性微分方程中。
②非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的输入信号和初始条件有关。
③线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态无关，而非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态却有关。
④有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的自激振荡或极限环。 （2）典型非线性特性
2、描述函数
（1）描述函数的定义
类似于线性系统中的频率特性定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用N (A ) 来表示。
Y
N (A ) =1e j ϕ1=
A
A 12+B 12
A
∠arctg
A 1
B 1
（2）描述函数的应用条件
①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N 和一个线性环节
G (s ) 串联的闭环结构。
②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即y (x ) =-y (-x ) ，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。
③系统的线性部分G (s ) 具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。 （3）描述函数的求法
描述函数求解的一般步骤是：
①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的y (t ) 的数学表达式。
②利用傅氏级数求出y (t ) 的基波分量。
③将基波分量代入描述函数定义，即可求得相应的描述函数N (A ) 。 （4）组合非线性特性的描述函数
①非线性特性的并联
若干个非线性环节并联后总的描述函数，等于个并联环节描述函数之和。 ②非线性环节的串联
两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。 3、描述函数法
（1）非线性系统的稳定性
非线性系统结构中，非线性部分N 可以用描述函数N (A ) 表示，线性部分G (s ) 则用频率特性G (j ω) 表示。
利用描述函数判别非线性系统稳定性的奈奎斯特判据是： ①若G (j ω) 曲线不包围-N (A ) 曲线，则非线性系统是稳定的； ②若G (j ω) 曲线包围-N (A ) 曲线，则非线性系统是不稳定的；
③若G (j ω) 曲线与-N (A ) 曲线相交，理论上将产生振荡，或称为自激振荡。 （2）自激振荡的分析与计算
①自激振荡条件
G (j ω) =-
1
N (A )
②自激振荡的稳定性
判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值A 增大的方向沿-N (A ) 曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值A 增大的方向沿-N (A ) 曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率的计算方法是：振幅可由-N (A ) 曲线的自变量A 来确定，振荡频率ω由G (j ω) 曲线的自变量ω来确定。
7.1 引言
对于非线性系统，描述其运动状态的数学模型是非线性方程，它与线性系统的最大差别是不能使用叠加原理。
一、非线性系统的特点
非线性系统与线性系统相比，在数学模型、稳定性、平衡状态、频率响应、时间响应等许多方法均存在显著的差别，非线性系统具有线性系统所没有的许多特点，其主要体现在以下几个方面：
（1）数学模型
叠加原理无法应用于非线性微分方程中。 （2）稳定性
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的输入信号和初始条件有关。研究非线性系统的稳定性，必须明确两点：一是指明给定系统的初始状态，二是指明相对于哪一个平衡状态来分析稳定性。
（3）系统的零输入响应
线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态无关，换句话讲，线性系统在某一初始状态下的零输入响应是单调收敛的，则在其它初始状态下的零输入响应形式仍为单调收敛，不可能是其它形式（如振荡、发散等）。
而非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态却有关。当初始状态不同时，同一个非线性系统可有不同的零输入响应形式。
（4）自激振荡或极限环
有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。如果非线性有一个稳定的极限环，则它的振幅和频率不受扰动和初始状态的影响。
二、非线性系统的研究方法
目前工程上常用的分析非线性系统的方法有描述函数法、相平面法，以及分析非线性系统稳定性的更一般的方法，即李雅普诺夫直接法。当然，近几年发展起来的一些非线性系统分析法有：神经网络、分形理论、专家系统等等。
三、典型非线性特性 （1）饱和特性
信号较大时，输出呈饱和状态。
（2）死区特性
死区非线性特性的数学描述
⎧0⎪
y =⎨
k (x -a ) ⎪k (x +a ) ⎩
x ≤a x >a x
死区非线性出现在一些对小信号不灵敏的装置中，
如测量元件、执行机构等。其特点是：当输入信号较小时，无输出信号；当信死区非线性对系统性能的主要影响是： （3）滞环特性
) ⎧k (x -asign x
y =⎨
⎩b ⋅signx
≠0y
=0y
滞环非线性主要存在于机械加工设备由于装配带来的间隙，其特性是：当输入信号较小时，输出为零；当输入信号大于a 时，输出呈线性变化；当输入信号反向时，输出保持不变，直到输入小于-a 时，输出才又呈线性变化。
（4）继电器特性 继电器非线性有双位继电器特性、具有死区的继电器特性、具有滞环的继电器特性、具有死区和滞环继电器特性。
7.2 描述函数
非线性系统的描述函数表示，是线性部分频率特性表示法的一种推广。该方法首先通过描述函数将非线性特性线性化，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。
一、描述函数的定义
（1
设非线性环节的输入信号为正弦信号
x (t ) =A sin ωt
其输出y (t ) 一般为非周期正弦信号，可以展开为傅氏级数
y (t ) =A 0+
∑(A cos n ωt +B
n
n =1
∞
n
sin n ωt )
若非线性环节的输入输出部分的静态特性曲线是奇对称的，即
y (x ) =-y (-x ) ，于是输出中将不会出现直流分量，从而A 0=0。
式中：A n =
π⎰
1
2π
y (t ) cos n ωtd (ωt ) ，B n =
1
π
⎰
2π
y (t ) sin n ωtd (ωt )
同时，若线性部分的G (s ) 具有低通滤波器的特性，从而非线性输出中的高频分量部分被线性部分大大削弱，可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即y (t ) =A 1cos n ωt +B 1sin n ωt =Y 1sin(ωt +ϕ1)
式中：A 1=
1
π
⎰
2π
y (t ) cos ωtd (ωt ) ，B 1=
A 1
B 1
1
π
⎰
2π
y (t ) sin ωtd (ωt ) ，
Y 1=
22A 1+B 1，ϕ1=arctg
（2）描述函数的定义
类似于线性系统中的频率特性定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用N (A ) 来表示。
Y
N (A ) =1e j ϕ1=
A
A 12+B 12
A
∠arctg
A 1
B 1
显然，ϕ1≠0时，N (A ) 为复数。 （3）描述函数的应用条件
①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N 和一个线性环节
G (s ) 串联的闭环结构。
②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即y (x ) =-y (-x ) ，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。
③系统的线性部分G (s ) 具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。
二、描述函数的求法 描述函数求解的一般步骤是：
①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的y (t ) 的数学表达式。
②利用傅氏级数求出y (t ) 的基波分量。
③将基波分量代入描述函数定义，即可求得相应的描述函数N (A ) 。 以继电器非线性特性为例，说明描述函数的求解方法。
由于非线性为双位继电器，即在输入大于零时，输出等于定值M ，而输入小于零时，输出为定值-M ，故而，在正弦输入信号的作用下，非线性部分的输出波形为方波周期信号，且周期同输入的正弦信号2π。其波形如下图所示。
由波形图可见，输出的方波周期信号为奇函数，则其傅氏级数中的直流分量与基波的偶函数分量系数均为零，即
A 0=0, A n =0(n =1, 2, 3, , ), B n =0(n =2, 4, 6, )
于是，输出信号y (t ) 可表示为
1114M
y (t ) =(sinωt +sin 3ωt +sin 5ωt +sin 7ωt + ) =
π357π
4M
∑
sin(2n +1) ωt
2n +1n =0
∞
取输出的基波分量，即
y 1(t ) =
4M
π
sin ωt
于是，继电器非线性特性的描述函数为
N (A ) =
Y 14M
∠ϕ1=
A πA
显然，N (A ) 的相位角为零度，其幅值是输入正弦信号幅值A 的函数。 常见非线性特性的描述函数： ①继电器非线性描述函数
N (A ) =
Y 14M
∠ϕ1=
A πA
②饱和非线性特性的描述函数
N (A ) =
B 12k ⎡a a a 2⎤
=arcsin +-() ⎥⎢A π⎢A A A ⎥⎣⎦
(A ≥a )
③其它常见非线性特性的描述函数，见表7-1 例：研究非线性函数y =
11
x +x 3的描述函数。 24
解：画出给定非线性特性曲线。
显然，非线性特性为单值奇函数，所以A 0=A 1=0，
B 1=
1
π
⎰
2π
11
(x +x 3) sin ωtd (ωt ) 24
11
(A sin ωt +A 3sin 3ωt ) sin ωtd (ωt ) 24
将x =A sin ωt 代入上式，得到
B 1=
111
(x +x 3) sin ωtd (ωt ) =π024π13=A +A 32161
⎰
2π
⎰
2π
于是，描述函数为 N (A ) =
B 1132
=+A A 216
三、组合非线性特性的描述函数 简单非线性基本连接形式有串联、并联。 （1）非线性特性的并联计算
总的描述函数为
N (A ) =N 1(A ) +N 2(A )
由此可见，若干个非线性环节并联后总的描述函数，等于个并联环节描述函数之和。
（2）非线性环节的串联
两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。
例：如下两个非线性特性相串联
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性，可见，
k =2, a =2, ∆=1，于是，等效非线性特性的描述函数为
N (A ) =
2k ⎡a ∆a a 2∆∆2⎤
arcsin -arcsin +-() --() ⎥⎢π⎢A A A A A A ⎥⎣⎦4⎡21222112⎤arcsin -arcsin +-() --() ⎥⎢π⎢A A A A A A ⎥⎣⎦
=
7.3 非线性系统的描述函数法
一、非线性系统的稳定性
在上述所示的非线性系统结构中，非线性部分N 可以用描述函数N (A ) 表示，线性部分G (s ) 则用频率特性G (j ω) 表示。
由闭环系统的结构图，可得到系统的闭环频率特性Φ(j ω) 如下
Φ(j ω) =
C (j ω) N (A ) G (j ω)
= R (j ω) 1+N (A ) G (j ω)
其闭环特征方程为
1+N (A ) G (j ω) =0
从而有
G (j ω) =-
1
N (A )
上式-N (A ) 称为非线性特性的负倒描述函数。
表7-1给出了常见非线性函数的负倒描述函数-N (A ) 曲线，其中箭头表示了幅值A 的增大方向。
利用描述函数判别非线性系统稳定性的奈奎斯特判据是： ①若G (j ω) 曲线不包围-N (A ) 曲线，则非线性系统是稳定的； ②若G (j ω) 曲线包围-N (A ) 曲线，则非线性系统是不稳定的；
③若G (j ω) 曲线与-N (A ) 曲线相交，理论上将产生振荡，或称为自激振荡。
11
二、自激振荡的分析与计算
由上述分析可知，当线性部分的频率特性G (j ω) 与负倒描述函数曲线
-N (A ) 相交时，非线性系统产生自激振荡。下面进一步分析自激振荡的条件
和自激振荡的稳定性。
①自激振荡条件
G (j ω) =-
1
N (A )
可以改写为
G (j ω) N (A ) =-1=e -j π
即
⎧G (j ω) N (A ) =1
⎨
⎩∠G (j ω) +∠N (A ) =-π
②自激振荡的稳定性
所谓自激振荡的稳定性是指，当非线性系统受到扰动作用而偏离原来的周的自激振荡。反之，称为不稳定的自激振荡。
如右图所示，线性部分的频率特性G (j ω) 与 负倒描述函数曲线-N (A ) 有两个相交点M 1、M 2这说明系统有两个自激振荡点。
对于M 1点，若受到扰动使幅值A 点将由M 1点移至a 点。由于a 点不被G (j ω) 包围，
12
系统是稳定的，故振荡衰减，振幅A 自动减小，工作点将沿-N (A ) 曲线又回到
M 1点。反之亦然。所以M 1点是稳定的自激振荡。
对于M 2点，若受到扰动使幅值A 减小，则工作点将由M 2点移至d 点。由于d 点不被G (j ω) 包围，系统是稳定的，故振荡衰减，振幅A 进一步减小，工作点将沿-N (A ) 曲线向幅值不断减小的方向移动，从而不能再回到M 2点。反之亦然。所以M 2点是不稳定的自激振荡。
判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值A 增大的方向沿-N (A ) 曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值A 增大的方向沿-N (A ) 曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具体的计算方法是：振幅可由-N (A ) 曲线的自变量A 来确定，振荡频率ω由G (j ω) 曲线的自变量ω来确定。需要注意的是，计算得到的振幅和频率，是非线性环节的输入信号x (t ) =A sin ωt 的振幅和频率，而不是系统的输出信号c (t ) 。
例：具有理想继电器特性的非线性系统如下所示，其中线性部分的传递函数为G (s ) =s (s +1)(s +2) ，试确定其自激振荡的幅值和频率。
解：继电器非线性的描述函数为
N (A ) =
4M 4
=
πA πA
负倒描述函数为
-
1πA
=- N (A ) 4
当A =0时，-N (A ) =0，当A =∞时，-N (A ) =-∞，因此当A =0→∞时，
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-N (A ) 曲线为整个负实轴。
又线性部分的频率特性为
103010(2-ω2)
G (j ω) ==-4-j
j ω(j ω+1)(j ω+2) ω+5ω2+4ω(ω4+5ω2+4)
画出G (j ω) 和-N (A ) 曲线如下，有图可知，两曲线在负实轴上有一个交点，且该自激振荡点是稳定的。
令Im[G (j ω)]=0，即
10(2-ω2)
=0⇒2-ω2=0 42
ω(ω+5ω+4)
求得自激振荡频率ω=2(rad /s ) 。将ω=2 代入G (j ω) 的实部，得到
Re[G (j ω)]ω=
=-
30
ω4+5ω2+4ω=
=-1. 66
2
2
由G (j ω) N (A ) =-1，可得到
-
1
=G (j ω) N (A )
即有
-
1πA
=-=-1. 66 N (A ) 4
于是求得自激振荡的幅值为
A =2. 1
自激振荡频率为
ω=2(rad /s )
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