6. 不等式选讲
6.1均值不等式在证明中的应用
2
x 2y
2(x +y )+
1. （1）已知a , b ∈R , x , y ∈R ，求证：+≥；
（2（1x 2a （2是9
6.26.2.12⎧⎪x +5x +4, x ≤0
2. 已知函数f (x ) =⎨若函数y =f (x ) -a x 恰有4个零点，则实数a 的
⎪⎩2x -2, x >0
取值范围为_______. 答案：(1,2)
解析：分别作出函数y =f (x ) 与y =a |x |的图像， 由图知，a
a =0时，函数y =f (x ) 与y =a |x |有三个交点，
故a >0.
当x >0，a ≥2时，函数y =f (x ) 与y =a |x |当x >0，0
因此当x 1时，函数y f ) 与=|x |当x
考点：单绝对值不等式
3. 存在x
2
⎫
答案：⎛-, 2 ⎪ 4
⎝
⎭9
令y 1二象限；
y 2=2则y 1 y 1 即x -此时所以②当t 12即y 1 的左半部分和y 2 的交点的位于第二象限； 无需联列方程，只要y 1 与y 轴的交点小于2 即可；
y 1=t -x 与y 轴的交点为(0,t ) ，所以t
又因为t >0 ，所以0
综上，实数t 的取值范围是：-
⎫
故答案为：⎛ -, 2⎪．
4
⎝
⎭9
9
4
6.2.24. （1（2（1作出函数图像可知，当x ∈(0,2) 时，y
⎫
故x ≥a -2对⎡-, ⎢22⎪都成立，
⎣
⎭
a 1
故-≥a -2， 故a ≤，
故a
4
3
a 2
6.2.35. （1（2⎪
（1） f (x ) =x -2-x -5=⎨2x -7, 2
⎪3, x ≥5⎩
当2
当x ≤2 时，f (x ) ≥x 2-8x +15的解集为空集；
当2
15的解集为x |5≤x ≤5} 当x ≥5 时，f (x ) ≥x 2-8x +15的解集为{x |5≤x ≤6} 综上：不等式f (x ) ≥x 2-8x +
15的解集：x |5≤x ≤6}
6.2.4{
{
6. （1（2（1当x 1»
12
（2）由（1）得f (x )min =- ，若∀x ∈R ，f (x )≥t 2-则只需f (x )min =-≥t 2-
52
111
t ，解得≤t ≤5 ， 22
5211
t 恒成立， 2
⎤
综上，t 的取值范围为⎡,5⎢2⎥ ⎣⎦
1
考点：不同系数绝对值相加减型不等式
6.3已知绝对值不等式解求参数
7.
(1)当a (2)（1 (2) ⎧即 ⎪⎨
⎪⎩
考点：已知绝对值不等式解求参数
6.4已知绝对值不等式解的范围求参数范围
2
8. 已知函数f (x ) =|x +a |+|x -2|.
（1）当a =-3时，求不等式f (x ) ≥3的解集；
（2）若f (x ) ≤|x -4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围. 答案：
⎧⎪
（1）当a =-3时，f (x ) =|x -3|+|x -2|=⎨
⎪⎩
5-2x (x 3)
⎧
所以不等式f (x ) ≥3可化为⎨
⎩x
，或⎨
5-2x ≥3⎩
≥3
⎩
x >3
2x -5≥3
解得x ≤1或x ≥4
因此不等式f (x ) ≥3的解集为{x |x ≤1x 4} （2）由已知f (x ) ≤|x -4|即为|x +a |+|x -2|≤|4|， 也即|x +a |≤|x |-若f (x ) -4|则∀x ∈[1,2]|||x -| 也就是∀x ∈[1,2]，|a |所以∀x ∈[1,2]，⎨
⎩⎧
x +a ≥-x +a ≤从而⎨
⎩
⎧
1+a ≥-2
，
2+a ≤2
解得-3≤a ≤0
因此a 的取值范围为a ∈[-3,0].
考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减
6.5含绝对值不等式的恒成立问题
9. 已知函数f (x ) =2x ++2x -，
（1
（2围。
（1由f (x ) 可得f 所以 （2当a +b 2a +b 当且仅当(2a +b ) a ≤0 时取'' ='' ，
2a +b +a a +b
≥1 恒成立，
2a +b +a -
2a +b +a 11
a +b f (x ) ≥0 ，≥f (x ) 2a +b 2
∴-
1
f (x ) ≤1 ，f (x ) ≤2 2
11≤x ≤ 22
考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式
6.6
10. (1)求x (2)
(1)f (则当x (2)∴ ∴x -1得函数f (x ) 的最小值为4 , 则实数a 的取值范围为a ≥4 .
考点：含绝对值不等式的能成立问题
6.7利用绝对值的三角不等式放缩求最值
11. 已知实数x , y 满足：|x +y |
3165． 18
证明： 3|y |=|3y |=|2(x +y )+(2x -y )|≤2x +y +2x -y ，
∴3|y ∴|y |
解得不等式①：x ≤-5；②：无解；③：x ≥4，
所以f (x ) ≥f (4)的解集为{x |x ≤-5或x ≥4}．
（2）f (x ) >g (x ) 即f (x ) =|x -3|+|x +4|的图象恒在g (x ) =k (x -3) 图象的上方，
⎧-2x -1, x ≤-4, ⎪可以作出f (x ) =|x -3|+|x +4|=⎨7, -4
⎪2x +1, x ≥3⎩
而g (x ) =k (x -3) 图象为恒过定点P (3,0) ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数y =f (x ), y =g (x ) 图
象， 其中k PB =2, A (-4,7) ，∴k PA =-1，
由图可知，要使得f (x ) 的图象恒在g (x ) 实数k 的取值范围应该为-1
数形结合在含参绝对值不等式中的应用
7. 证明不等式的基本方法
7.1比较法证明不等式
13. 设不等式|2x -1|
（1）试比较ab +1与a +b 的大小；
22（2）设max 表示数集A
的最大数．h =求证：h ≥2. 答案：（1）ab +1>a +b ; （2）见解析
解析：（1）先解出M ={x |0
(ab +1)
（2）可知h 故h ≥
7.27.3分析法证明不等式
14. 已知f (x ) =x ++x -, 不等式f (x )
（1）求M ；
（2）当a , b ∈M 时, 证明:2a +b
（1）解不等式：x ++x -
⎧x ≥1⎧-1≤x
⇒1≤x
⇒-2
（2
a , b ∈(⇒(a 2
7.415. 设（1）（2）由a +b =+=1
a 1b a +b ，a >0, b >0. 得ab =1 ab （1）由基本不等式及ab =1 ，有a +b ≥=2 ，即a +b ≥2；
（2）假设a 2+a
则由a 2+a 0 得0
同理0
从而ab
故a 2+a
考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用
8.5
16. （1（2）设-1，与S n =2∴数列{a n 2n -111n 11⎫⎛1∵b n =，∴b n -=-n +2，T n -=- 3=n +1+4+ +n +2⎪
1n 111--n n 3233⋅23
9. 柯西不等式
9.1柯西不等式的代数形式
(1)(2(1)得则(2=故考点：柯西不等式的代数形式
9.2一般形式的柯西不等式
18. 已知函数f (x ) =m -|x -2|,m ∈R , 且f (x +2) ≥0的解集为[-1,1],
(1)求m 的值;
(2)若a , b , c ∈R , 且111++=m , 求证a +2b +3c ≥9. a 2b 3c
(1) f (x +2) =m -x ≥0, ∴x ≤m ∴m ≥0, -m ≤x ≤m , ∴f (x +2) ≥0的解集是[-1,1] 故
m (2)a ≥
6. 不等式选讲
6.1均值不等式在证明中的应用
2
x 2y
2(x +y )+
1. （1）已知a , b ∈R , x , y ∈R ，求证：+≥；
（2（1x 2a （2是9
6.26.2.12⎧⎪x +5x +4, x ≤0
2. 已知函数f (x ) =⎨若函数y =f (x ) -a x 恰有4个零点，则实数a 的
⎪⎩2x -2, x >0
取值范围为_______. 答案：(1,2)
解析：分别作出函数y =f (x ) 与y =a |x |的图像， 由图知，a
a =0时，函数y =f (x ) 与y =a |x |有三个交点，
故a >0.
当x >0，a ≥2时，函数y =f (x ) 与y =a |x |当x >0，0
因此当x 1时，函数y f ) 与=|x |当x
考点：单绝对值不等式
3. 存在x
2
⎫
答案：⎛-, 2 ⎪ 4
⎝
⎭9
令y 1二象限；
y 2=2则y 1 y 1 即x -此时所以②当t 12即y 1 的左半部分和y 2 的交点的位于第二象限； 无需联列方程，只要y 1 与y 轴的交点小于2 即可；
y 1=t -x 与y 轴的交点为(0,t ) ，所以t
又因为t >0 ，所以0
综上，实数t 的取值范围是：-
⎫
故答案为：⎛ -, 2⎪．
4
⎝
⎭9
9
4
6.2.24. （1（2（1作出函数图像可知，当x ∈(0,2) 时，y
⎫
故x ≥a -2对⎡-, ⎢22⎪都成立，
⎣
⎭
a 1
故-≥a -2， 故a ≤，
故a
4
3
a 2
6.2.35. （1（2⎪
（1） f (x ) =x -2-x -5=⎨2x -7, 2
⎪3, x ≥5⎩
当2
当x ≤2 时，f (x ) ≥x 2-8x +15的解集为空集；
当2
15的解集为x |5≤x ≤5} 当x ≥5 时，f (x ) ≥x 2-8x +15的解集为{x |5≤x ≤6} 综上：不等式f (x ) ≥x 2-8x +
15的解集：x |5≤x ≤6}
6.2.4{
{
6. （1（2（1当x 1»
12
（2）由（1）得f (x )min =- ，若∀x ∈R ，f (x )≥t 2-则只需f (x )min =-≥t 2-
52
111
t ，解得≤t ≤5 ， 22
5211
t 恒成立， 2
⎤
综上，t 的取值范围为⎡,5⎢2⎥ ⎣⎦
1
考点：不同系数绝对值相加减型不等式
6.3已知绝对值不等式解求参数
7.
(1)当a (2)（1 (2) ⎧即 ⎪⎨
⎪⎩
考点：已知绝对值不等式解求参数
6.4已知绝对值不等式解的范围求参数范围
2
8. 已知函数f (x ) =|x +a |+|x -2|.
（1）当a =-3时，求不等式f (x ) ≥3的解集；
（2）若f (x ) ≤|x -4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围. 答案：
⎧⎪
（1）当a =-3时，f (x ) =|x -3|+|x -2|=⎨
⎪⎩
5-2x (x 3)
⎧
所以不等式f (x ) ≥3可化为⎨
⎩x
，或⎨
5-2x ≥3⎩
≥3
⎩
x >3
2x -5≥3
解得x ≤1或x ≥4
因此不等式f (x ) ≥3的解集为{x |x ≤1x 4} （2）由已知f (x ) ≤|x -4|即为|x +a |+|x -2|≤|4|， 也即|x +a |≤|x |-若f (x ) -4|则∀x ∈[1,2]|||x -| 也就是∀x ∈[1,2]，|a |所以∀x ∈[1,2]，⎨
⎩⎧
x +a ≥-x +a ≤从而⎨
⎩
⎧
1+a ≥-2
，
2+a ≤2
解得-3≤a ≤0
因此a 的取值范围为a ∈[-3,0].
考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减
6.5含绝对值不等式的恒成立问题
9. 已知函数f (x ) =2x ++2x -，
（1
（2围。
（1由f (x ) 可得f 所以 （2当a +b 2a +b 当且仅当(2a +b ) a ≤0 时取'' ='' ，
2a +b +a a +b
≥1 恒成立，
2a +b +a -
2a +b +a 11
a +b f (x ) ≥0 ，≥f (x ) 2a +b 2
∴-
1
f (x ) ≤1 ，f (x ) ≤2 2
11≤x ≤ 22
考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式
6.6
10. (1)求x (2)
(1)f (则当x (2)∴ ∴x -1得函数f (x ) 的最小值为4 , 则实数a 的取值范围为a ≥4 .
考点：含绝对值不等式的能成立问题
6.7利用绝对值的三角不等式放缩求最值
11. 已知实数x , y 满足：|x +y |
3165． 18
证明： 3|y |=|3y |=|2(x +y )+(2x -y )|≤2x +y +2x -y ，
∴3|y ∴|y |
解得不等式①：x ≤-5；②：无解；③：x ≥4，
所以f (x ) ≥f (4)的解集为{x |x ≤-5或x ≥4}．
（2）f (x ) >g (x ) 即f (x ) =|x -3|+|x +4|的图象恒在g (x ) =k (x -3) 图象的上方，
⎧-2x -1, x ≤-4, ⎪可以作出f (x ) =|x -3|+|x +4|=⎨7, -4
⎪2x +1, x ≥3⎩
而g (x ) =k (x -3) 图象为恒过定点P (3,0) ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数y =f (x ), y =g (x ) 图
象， 其中k PB =2, A (-4,7) ，∴k PA =-1，
由图可知，要使得f (x ) 的图象恒在g (x ) 实数k 的取值范围应该为-1
数形结合在含参绝对值不等式中的应用
7. 证明不等式的基本方法
7.1比较法证明不等式
13. 设不等式|2x -1|
（1）试比较ab +1与a +b 的大小；
22（2）设max 表示数集A
的最大数．h =求证：h ≥2. 答案：（1）ab +1>a +b ; （2）见解析
解析：（1）先解出M ={x |0
(ab +1)
（2）可知h 故h ≥
7.27.3分析法证明不等式
14. 已知f (x ) =x ++x -, 不等式f (x )
（1）求M ；
（2）当a , b ∈M 时, 证明:2a +b
（1）解不等式：x ++x -
⎧x ≥1⎧-1≤x
⇒1≤x
⇒-2
（2
a , b ∈(⇒(a 2
7.415. 设（1）（2）由a +b =+=1
a 1b a +b ，a >0, b >0. 得ab =1 ab （1）由基本不等式及ab =1 ，有a +b ≥=2 ，即a +b ≥2；
（2）假设a 2+a
则由a 2+a 0 得0
同理0
从而ab
故a 2+a
考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用
8.5
16. （1（2）设-1，与S n =2∴数列{a n 2n -111n 11⎫⎛1∵b n =，∴b n -=-n +2，T n -=- 3=n +1+4+ +n +2⎪
1n 111--n n 3233⋅23
9. 柯西不等式
9.1柯西不等式的代数形式
(1)(2(1)得则(2=故考点：柯西不等式的代数形式
9.2一般形式的柯西不等式
18. 已知函数f (x ) =m -|x -2|,m ∈R , 且f (x +2) ≥0的解集为[-1,1],
(1)求m 的值;
(2)若a , b , c ∈R , 且111++=m , 求证a +2b +3c ≥9. a 2b 3c
(1) f (x +2) =m -x ≥0, ∴x ≤m ∴m ≥0, -m ≤x ≤m , ∴f (x +2) ≥0的解集是[-1,1] 故
m (2)a ≥