一、基础知识：
1．幂函数： 幂函数与二次函数
⑴、幂函数的定义：一般的，我们把形如 函数叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。 ⑵、幂函数的性质：当α＞0时，
①幂函数y=x图像都过 和 点；
②在区间［0，+∞）上是单调 函数； α
2．二次函数：
（1）、二次函数定义： 叫做二次函数。
（2）、二次函数的表示法：
①一般式： ；
②两点式： ；
③顶点式： ．
（3）、二次函数的性质：对于二次函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0)
①当a>0时，抛物线开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， 当x= 时，函数y 取得最 值为 ；
②当a
（4）、二次方程的根的分布问题：给定二次方程f (x ) =ax +bx +c =0(a >0) ，设x ，x 为方程f （x ）=012
的两个实数根，
①若x ＜m ＜x ，则f （m ） 0； 12
22
②若m
③如f (x ) =0在(m , n ) （m ＜n ）内有两个实数解，则需满足 ．
④方程f （x ）=0的两根中一根小于m ，另一根大于n （m ＜n ），则需满足 ．
⑤二次方程f （x ）=0的两根都大于m ，则需满足 ．
二、经典例题：
○题型一 幂函数的图象与性质
例1．已知函数f (x ) =(m 2-m -1) x -5m -3, m 为何值时，f (x ) 是：（1）幂函数；（2）幂函数，且是(0，+∞) 上的增函数；（3）正比例函数；（4）反比例函数；（
5
变式训练：若y=(m -1)x
○题型二 二次函数的解析式
例2 若二次函数f (x ) 满足f (2-x ) =f (2+x ) ，顶点为A ，图象与x 轴交于B (-1,0) 和C 点，S ∆ABC =18，m 2-3m +3 是一次函数，则m=________。
求f (x ) 的解析式．
变式训练：已知二次函数f (x ) =ax 2+bx (a , b 为常数，且a ≠0) 满足条件：f (x -1) =f (3-x ) ，且方程f (x ) =2x 有等根
（1）求f (x ) 的解析式；
（2）是否存在实数m 、n (m
○题型三 二次函数的图象和性质
例3 已知12≤a ≤1，若f (x ) =ax -2x +1在区间[1,3]上的最大值为M (a ) ，最小值为N (a ) ，令3
g (a ) =M (a ) -N (a ．)
（1）求g (a ) 的函数解析式；
（2）（2）判断g (a ) 的单调性，并求出g (a ) 的最小值．
．
变式训练：已知f (x )=x2+(lg a +2)x+lgb满足f (-1) =-2, 且对任意x ∈R ，恒有f (x ) ≥2x 成立．
（1） 求实数a , b 的值；（2）解不等式f (x )
．
○题型四 一元二次方程根的分布
例4 当m 取什么实数时，方程x 2+(m -3) x +m =0 分别有：
1； 2① 两个正根； ②两个根都大于
变式训练：当m 取什么实数时，方程x 2+(m -3) x +m =0 分别有：
① 两个负根； ②两个根都小于1；
三、巩固练习：
1．函数y =-x -4x +1, x ∈[-3,3]时的值域是
1
22 2．若(a +1)
2
2 3．已知a >0，函数f (x ) =ax +bx +c ，若x 0满足关于x 的方程2ax +b =0，下面四个命题（1）
（2）∃x ∈R , f (x ) ≥f (x 0) ；（3） ∀x ∈R , f (x ) ≤f (x 0) ；（4）∀x ∈R , f (x ) ≥f (x 0) ∃x ∈R , f (x ) ≤f (x 0) ；
则其中为错误命题的是
4. 当0＜x ＜1时，f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x
四、课后作业：
1. 幂函数f(x)=xα(α是有理数）的图象过点（2，8），则f(x)= ．
2．如果幂函数y=（m 2-3m+3）x m 212-1, 则f(x),g(x)，h(x）的大小关系是 . -m -2的图象不过原点，则m 的取值是 ．
3．当0≤x ≤1时，函数y =ax +a -1的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是
4．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是_______．
5．若对于任意a ∈[-1, 1]，函数f (x ) =x 2+(a -4) x +4-2a 的值恒大于零， 则x 的取值范围是 ．
6. 设实数a ∈［-1，3］，函数f(x)＝x 2-(a+3)x+2a，当f(x)＞1时，实数x 的取值范围是
7．已知函数f (x ) =-4x 2+4ax -4a -a 2在区间[0，1]内有一最大值-5，求a 的值．
8. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )=x 2+2x ．
(Ⅰ) 求函数g (x )的解析式；
(Ⅱ) 解不等式g (x )≥f (x )-x -1；
(Ⅲ) 若h (x )=g (x )-λf (x )+1在[-1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
一、基础知识：
1．幂函数： 幂函数与二次函数
⑴、幂函数的定义：一般的，我们把形如 函数叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。 ⑵、幂函数的性质：当α＞0时，
①幂函数y=x图像都过 和 点；
②在区间［0，+∞）上是单调 函数； α
2．二次函数：
（1）、二次函数定义： 叫做二次函数。
（2）、二次函数的表示法：
①一般式： ；
②两点式： ；
③顶点式： ．
（3）、二次函数的性质：对于二次函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0)
①当a>0时，抛物线开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， 当x= 时，函数y 取得最 值为 ；
②当a
（4）、二次方程的根的分布问题：给定二次方程f (x ) =ax +bx +c =0(a >0) ，设x ，x 为方程f （x ）=012
的两个实数根，
①若x ＜m ＜x ，则f （m ） 0； 12
22
②若m
③如f (x ) =0在(m , n ) （m ＜n ）内有两个实数解，则需满足 ．
④方程f （x ）=0的两根中一根小于m ，另一根大于n （m ＜n ），则需满足 ．
⑤二次方程f （x ）=0的两根都大于m ，则需满足 ．
二、经典例题：
○题型一 幂函数的图象与性质
例1．已知函数f (x ) =(m 2-m -1) x -5m -3, m 为何值时，f (x ) 是：（1）幂函数；（2）幂函数，且是(0，+∞) 上的增函数；（3）正比例函数；（4）反比例函数；（
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变式训练：若y=(m -1)x
○题型二 二次函数的解析式
例2 若二次函数f (x ) 满足f (2-x ) =f (2+x ) ，顶点为A ，图象与x 轴交于B (-1,0) 和C 点，S ∆ABC =18，m 2-3m +3 是一次函数，则m=________。
求f (x ) 的解析式．
变式训练：已知二次函数f (x ) =ax 2+bx (a , b 为常数，且a ≠0) 满足条件：f (x -1) =f (3-x ) ，且方程f (x ) =2x 有等根
（1）求f (x ) 的解析式；
（2）是否存在实数m 、n (m
○题型三 二次函数的图象和性质
例3 已知12≤a ≤1，若f (x ) =ax -2x +1在区间[1,3]上的最大值为M (a ) ，最小值为N (a ) ，令3
g (a ) =M (a ) -N (a ．)
（1）求g (a ) 的函数解析式；
（2）（2）判断g (a ) 的单调性，并求出g (a ) 的最小值．
．
变式训练：已知f (x )=x2+(lg a +2)x+lgb满足f (-1) =-2, 且对任意x ∈R ，恒有f (x ) ≥2x 成立．
（1） 求实数a , b 的值；（2）解不等式f (x )
．
○题型四 一元二次方程根的分布
例4 当m 取什么实数时，方程x 2+(m -3) x +m =0 分别有：
1； 2① 两个正根； ②两个根都大于
变式训练：当m 取什么实数时，方程x 2+(m -3) x +m =0 分别有：
① 两个负根； ②两个根都小于1；
三、巩固练习：
1．函数y =-x -4x +1, x ∈[-3,3]时的值域是
1
22 2．若(a +1)
2
2 3．已知a >0，函数f (x ) =ax +bx +c ，若x 0满足关于x 的方程2ax +b =0，下面四个命题（1）
（2）∃x ∈R , f (x ) ≥f (x 0) ；（3） ∀x ∈R , f (x ) ≤f (x 0) ；（4）∀x ∈R , f (x ) ≥f (x 0) ∃x ∈R , f (x ) ≤f (x 0) ；
则其中为错误命题的是
4. 当0＜x ＜1时，f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x
四、课后作业：
1. 幂函数f(x)=xα(α是有理数）的图象过点（2，8），则f(x)= ．
2．如果幂函数y=（m 2-3m+3）x m 212-1, 则f(x),g(x)，h(x）的大小关系是 . -m -2的图象不过原点，则m 的取值是 ．
3．当0≤x ≤1时，函数y =ax +a -1的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是
4．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是_______．
5．若对于任意a ∈[-1, 1]，函数f (x ) =x 2+(a -4) x +4-2a 的值恒大于零， 则x 的取值范围是 ．
6. 设实数a ∈［-1，3］，函数f(x)＝x 2-(a+3)x+2a，当f(x)＞1时，实数x 的取值范围是
7．已知函数f (x ) =-4x 2+4ax -4a -a 2在区间[0，1]内有一最大值-5，求a 的值．
8. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )=x 2+2x ．
(Ⅰ) 求函数g (x )的解析式；
(Ⅱ) 解不等式g (x )≥f (x )-x -1；
(Ⅲ) 若h (x )=g (x )-λf (x )+1在[-1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．