第1课时 数与式(一)
⎧⎪a，a＞0，
一、绝对值 |a|＝⎨0，a＝0， ⎪⎩－a，a＜0．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
图1－1(1)
图1－1(2)
绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等．即|a|＝|－a|．
两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
图1－2(1)
图1－2(2)
两个绝对值不等式:
|x|0)⇔；|x|>a(a>0)⇔． 例1 解方程：（1）|x－1|＝2． （2）|x－1|＋|x－3|＝4．
练 习
1．填空：
(1)若|x|＝5，则x＝_________；若|x|＝|－4|，则x＝_________．
(2)如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________．
3．化简：|x－5|－|2x－13|(x＞5)．
4．解方程：
(1)|x－2|＝1； (2)|x＋2|＋|x－1|＝4； (3)|x－2|＋|2x＋3|＝6．
二、乘法公式
[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ．
补充：(1)立方和公式： (a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；
(2)立方差公式： (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(3)三数和平方公式 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca；
(4)两数和立方公式 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
33223(5)两数差立方公式 (a－b)＝a－3ab＋3ab－b．
22例1 化简：(x－1)(x+1)(x－x＋1)(x＋x＋1)．
111例2 若x3，求x2＋和x－ xxx
例3 已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ca＝4，求a2＋b2＋c2的值．
练 习
11111． a2－b2＝(b＋； (2)(4m＋)2＝16m2＋4m＋( )； 9423
2222 (3)(a＋2b－c)＝a＋4b＋c＋( )．
12．(1)若x2mx＋k是一个完全平方式，则k等于 ( ) 2111(A)m2 (B)2 (C)m2 m2 4316
22(2)不论a，b为何实数，a＋b－2a－4b＋8的值( )
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数
三、二次根式
1．把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式
与
一般
地，
b与b互为有理化因式．
2..分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
a，a＞0，⎧⎪⎧a，a≥0，0，a＝0， 3.二次根式的意义 ＝|a|＝⎨也可以写成＝|a|＝⎨ ⎩－a，a＜0．⎪⎩－a，a＜0．例1 将下列式子化为最简二次根式：(1)12b；(2)b(a≥0)；(3)xy(x＜0)．
例2 计算：(3－3)．
例3 试比较下列各组数的大小：
（1
（2
例 4 化简：9－45；(2)
2例5、已知x-3x+1=0，求x+3
1x2＋2(0＜x＜1)． x1的值． x3
例6、已知a+b+c=0，求
例7、计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
（1
）
（3）
例8、
设x=111111a(+)+b(+)+c(+)的值． bccaab （
2）
x≥1) （4
）
33x+y的值． y=
x2+3x+96xx-1x例9、化简：（1） （2） +-336+2xx-279x-xx+x-x
111（其中n是正整数）； =-n(n+1)nn+1
111+++ （2）计算：； 1⨯22⨯39⨯10
1111 （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有 +++
111 （其中n是正整数）成立． =-n(n+1)nn+1
（2）解：由（1）可知
111+++ 1⨯22⨯39⨯1011111 =(1)+)++( )223910
1 =1- 10
9 ＝． 10
111（3）证明： +++2⨯33⨯4n(n+1)
111111) ＝(-)+(-)++(-2334nn+1
11 ＝-， 2n+1
又n≥2，且n是正整数，
1 一定为正数， n＋1
1111+++ ＜ ． 2⨯33⨯4n(n+1)2
c例11 设e=，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． a例10 （1）试证：
解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得
2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0， 1 ∴e＝＜1，舍去；或e＝2． 2
∴e＝2．
练习
1－1．(1)________________； 1＋
2(2)(5－x)(x－3)＝(x－3)－x，则x的取值范围是_______；
(3)424－6＋3－2150＝______________；
＋1－x－1＋1－1(4)若x＝＝_________． 2＋1＋x－1＋1－1
2．等式
a2－1－a2
3．若b＝，求a＋b的值． a＋
1
4．比较大小：2填“＞”，或“＜”)．
18195．(1)(2＋(2－＝________；
22(2)(1－a)＋a)＝2，则a满足的条件是____；
1111(3)＋
＝_______． 1＋＋＋＋
6计算： （1）(x+)
（3）(a+2)(a-2)(a+4a+16) （4）(x+2xy+y)(x-xy+y) 42222222xx＝成立的条件是 ( ) x-2x-2(A)x≠2 (B)x＞0 (C)x＞2 (D)0＜x＜2 132 （2）(m-151111n)(m2+mn+n2) 225104
【课后作业】
1． 解不等式：x+3+x-2
x2+xy+y22．
设x=的值． y=x+y
aba2+b2
3． 当3a+ab-2b=0(a≠0,b≠0)，求--的值． baab22
4．
设x=42x+x+2x-1的值．
5计算(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
2226．已知a=1x+20,b=1x+19,c1x+2，1求代数式a+b+c-ab-bc-ac的202020
值．
7．化简或计算：
(1)
(3)
(2) (4) ÷+
第1课时 数与式(一)
⎧⎪a，a＞0，
一、绝对值 |a|＝⎨0，a＝0， ⎪⎩－a，a＜0．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
图1－1(1)
图1－1(2)
绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等．即|a|＝|－a|．
两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
图1－2(1)
图1－2(2)
两个绝对值不等式:
|x|0)⇔；|x|>a(a>0)⇔． 例1 解方程：（1）|x－1|＝2． （2）|x－1|＋|x－3|＝4．
练 习
1．填空：
(1)若|x|＝5，则x＝_________；若|x|＝|－4|，则x＝_________．
(2)如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________．
3．化简：|x－5|－|2x－13|(x＞5)．
4．解方程：
(1)|x－2|＝1； (2)|x＋2|＋|x－1|＝4； (3)|x－2|＋|2x＋3|＝6．
二、乘法公式
[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ．
补充：(1)立方和公式： (a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；
(2)立方差公式： (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(3)三数和平方公式 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca；
(4)两数和立方公式 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
33223(5)两数差立方公式 (a－b)＝a－3ab＋3ab－b．
22例1 化简：(x－1)(x+1)(x－x＋1)(x＋x＋1)．
111例2 若x3，求x2＋和x－ xxx
例3 已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ca＝4，求a2＋b2＋c2的值．
练 习
11111． a2－b2＝(b＋； (2)(4m＋)2＝16m2＋4m＋( )； 9423
2222 (3)(a＋2b－c)＝a＋4b＋c＋( )．
12．(1)若x2mx＋k是一个完全平方式，则k等于 ( ) 2111(A)m2 (B)2 (C)m2 m2 4316
22(2)不论a，b为何实数，a＋b－2a－4b＋8的值( )
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数
三、二次根式
1．把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式
与
一般
地，
b与b互为有理化因式．
2..分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
a，a＞0，⎧⎪⎧a，a≥0，0，a＝0， 3.二次根式的意义 ＝|a|＝⎨也可以写成＝|a|＝⎨ ⎩－a，a＜0．⎪⎩－a，a＜0．例1 将下列式子化为最简二次根式：(1)12b；(2)b(a≥0)；(3)xy(x＜0)．
例2 计算：(3－3)．
例3 试比较下列各组数的大小：
（1
（2
例 4 化简：9－45；(2)
2例5、已知x-3x+1=0，求x+3
1x2＋2(0＜x＜1)． x1的值． x3
例6、已知a+b+c=0，求
例7、计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
（1
）
（3）
例8、
设x=111111a(+)+b(+)+c(+)的值． bccaab （
2）
x≥1) （4
）
33x+y的值． y=
x2+3x+96xx-1x例9、化简：（1） （2） +-336+2xx-279x-xx+x-x
111（其中n是正整数）； =-n(n+1)nn+1
111+++ （2）计算：； 1⨯22⨯39⨯10
1111 （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有 +++
111 （其中n是正整数）成立． =-n(n+1)nn+1
（2）解：由（1）可知
111+++ 1⨯22⨯39⨯1011111 =(1)+)++( )223910
1 =1- 10
9 ＝． 10
111（3）证明： +++2⨯33⨯4n(n+1)
111111) ＝(-)+(-)++(-2334nn+1
11 ＝-， 2n+1
又n≥2，且n是正整数，
1 一定为正数， n＋1
1111+++ ＜ ． 2⨯33⨯4n(n+1)2
c例11 设e=，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． a例10 （1）试证：
解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得
2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0， 1 ∴e＝＜1，舍去；或e＝2． 2
∴e＝2．
练习
1－1．(1)________________； 1＋
2(2)(5－x)(x－3)＝(x－3)－x，则x的取值范围是_______；
(3)424－6＋3－2150＝______________；
＋1－x－1＋1－1(4)若x＝＝_________． 2＋1＋x－1＋1－1
2．等式
a2－1－a2
3．若b＝，求a＋b的值． a＋
1
4．比较大小：2填“＞”，或“＜”)．
18195．(1)(2＋(2－＝________；
22(2)(1－a)＋a)＝2，则a满足的条件是____；
1111(3)＋
＝_______． 1＋＋＋＋
6计算： （1）(x+)
（3）(a+2)(a-2)(a+4a+16) （4）(x+2xy+y)(x-xy+y) 42222222xx＝成立的条件是 ( ) x-2x-2(A)x≠2 (B)x＞0 (C)x＞2 (D)0＜x＜2 132 （2）(m-151111n)(m2+mn+n2) 225104
【课后作业】
1． 解不等式：x+3+x-2
x2+xy+y22．
设x=的值． y=x+y
aba2+b2
3． 当3a+ab-2b=0(a≠0,b≠0)，求--的值． baab22
4．
设x=42x+x+2x-1的值．
5计算(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
2226．已知a=1x+20,b=1x+19,c1x+2，1求代数式a+b+c-ab-bc-ac的202020
值．
7．化简或计算：
(1)
(3)
(2) (4) ÷+