勾股定理计算
22. 如图1，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1. 她分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形. 设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值.
（1）请你帮小萍求出x 的值.
(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，AD ⊥BC 于D ，AD ＝4. 请你按照小萍的方法画图, 得到四边形AEGF ，求△BGC 的周长. （画图所用字母与图1中的字母对应）
图1 图2
已知：点F 在正方形纸片ABCD 的边CD 上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF 折叠纸片，使点C 落在纸片内点C ＇处（如图2）；再继续以BC ＇为轴折叠纸片，把点A 落在纸片上的位置记作A ＇（如图3），则点D 和A ＇之间的距离为_________.
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =a ，BC =b ，DC =a +b ，
且b >a ，点M 是AB 边的中点．
（1）求证：CM ⊥DM ；
（2）求点M 到CD 边的距离．（用含a ，b 的式子表示） A D
证明：（1）
M
B C
解：（2）
已知：如图1，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点A ，C 的坐
标分别为（6，0），（0，2）．点D 是线段BC 上的一个动点（点D 与点B ，C 不重合），过点D 作直线y ＝－1x ＋b 交折线O －A －B 于点E ． 2
（1）在点D 运动的过程中，若△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式，
并写出自变量的取值范围；
（2）如图2，当点E 在线段OA 上时，矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为
矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB ，OA 于点D ，M ，O ′A ′分别交CB ，OA 于
点N ，E ．探究四边形DMEN 各边之间的数量关系，并对你的结论加以证
明；
（3）问题（2）中的四边形DMEN 中，ME 的长为____________．
解：（1）
（2）
（3）答：问题（2）中的四边形DMEN 中，
已知：如图，在□ABCD 中，∠ADC 、∠DAB 的平分线DF 、AE 分别与线段BC 相交于点F 、E ，DF 与AE 相交于点G ．
（1）求证：AE ⊥DF ；
（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．
如图，已知□ABCD 中，点M 是BC 的中点，且AM =6，BD =12，
AD =45，则该平行四边形的面积为（ ）.
B C A D B F E C M 第10题
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90︒，AD =AB =4，BC =7，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C ' 处．
（1）求∠C ' DE 的度数；
（2）求△C ' DE 的面积． A
C' C B E
在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=∠B=90°，
AB=BC=2AD=12，E 为AB 上一动点，且使∠D CE=45°，求BE 的长
（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF 的面积.
（2）如图②，正方形ABCD 的边长为3，正方形CEFG 的边长为1, 求三角形DBF 的面积.
（3）如图③，正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，求三角形DBF 的面积.
从上面计算中你能得到什么结论.
27．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ， A=90°，AB=6，BC=8，AD=14． E为AB 上一点，BE=2，点F 在BC 边上运动，以FE 为一边作菱形FEHG ，使点H 落在AD 边上，点G 落在梯形ABCD 内或其边上．若BF=x，△FCG 的面积为y ．
(1)当x=_________ 时，四边形FEHG 为正方形；
(2)求y 与x 的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(3)在备用图中分别画出△FCG 的面积取得最大值和最小值时相应的图形(不要求尺规
作图，不要求写画法) ，并求△FCG 面积的最大值和最小值；(计算过程可简要书写)
(4)△FOG 的面积由最大值变到最小值时，点G 运动的路线长为______________。 解：(1)答：当x=___________时，四边形FEHG 为正方形．
(2)
(3)
勾股定理计算
22. 如图1，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1. 她分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形. 设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值.
（1）请你帮小萍求出x 的值.
(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，AD ⊥BC 于D ，AD ＝4. 请你按照小萍的方法画图, 得到四边形AEGF ，求△BGC 的周长. （画图所用字母与图1中的字母对应）
图1 图2
已知：点F 在正方形纸片ABCD 的边CD 上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF 折叠纸片，使点C 落在纸片内点C ＇处（如图2）；再继续以BC ＇为轴折叠纸片，把点A 落在纸片上的位置记作A ＇（如图3），则点D 和A ＇之间的距离为_________.
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =a ，BC =b ，DC =a +b ，
且b >a ，点M 是AB 边的中点．
（1）求证：CM ⊥DM ；
（2）求点M 到CD 边的距离．（用含a ，b 的式子表示） A D
证明：（1）
M
B C
解：（2）
已知：如图1，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点A ，C 的坐
标分别为（6，0），（0，2）．点D 是线段BC 上的一个动点（点D 与点B ，C 不重合），过点D 作直线y ＝－1x ＋b 交折线O －A －B 于点E ． 2
（1）在点D 运动的过程中，若△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式，
并写出自变量的取值范围；
（2）如图2，当点E 在线段OA 上时，矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为
矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB ，OA 于点D ，M ，O ′A ′分别交CB ，OA 于
点N ，E ．探究四边形DMEN 各边之间的数量关系，并对你的结论加以证
明；
（3）问题（2）中的四边形DMEN 中，ME 的长为____________．
解：（1）
（2）
（3）答：问题（2）中的四边形DMEN 中，
已知：如图，在□ABCD 中，∠ADC 、∠DAB 的平分线DF 、AE 分别与线段BC 相交于点F 、E ，DF 与AE 相交于点G ．
（1）求证：AE ⊥DF ；
（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．
如图，已知□ABCD 中，点M 是BC 的中点，且AM =6，BD =12，
AD =45，则该平行四边形的面积为（ ）.
B C A D B F E C M 第10题
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90︒，AD =AB =4，BC =7，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C ' 处．
（1）求∠C ' DE 的度数；
（2）求△C ' DE 的面积． A
C' C B E
在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=∠B=90°，
AB=BC=2AD=12，E 为AB 上一动点，且使∠D CE=45°，求BE 的长
（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF 的面积.
（2）如图②，正方形ABCD 的边长为3，正方形CEFG 的边长为1, 求三角形DBF 的面积.
（3）如图③，正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，求三角形DBF 的面积.
从上面计算中你能得到什么结论.
27．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ， A=90°，AB=6，BC=8，AD=14． E为AB 上一点，BE=2，点F 在BC 边上运动，以FE 为一边作菱形FEHG ，使点H 落在AD 边上，点G 落在梯形ABCD 内或其边上．若BF=x，△FCG 的面积为y ．
(1)当x=_________ 时，四边形FEHG 为正方形；
(2)求y 与x 的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(3)在备用图中分别画出△FCG 的面积取得最大值和最小值时相应的图形(不要求尺规
作图，不要求写画法) ，并求△FCG 面积的最大值和最小值；(计算过程可简要书写)
(4)△FOG 的面积由最大值变到最小值时，点G 运动的路线长为______________。 解：(1)答：当x=___________时，四边形FEHG 为正方形．
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