２０１４年第５３卷第９期数学通报
４１
平面向量数量积的几何解释
朱胜强
（南京外国语学校
２１０００８）
所以所以
ｇ・（ｎ＋６）一ｇ・ａ＋Ｃ・ｂ，（口＋６）・Ｃ—ａ・ｃ＋ｂ・ｃ．
现行其它版本的课标教材，有关向量数量积的几何意义及分配律的证明，也基本上采用类似的方法．但教学中发现，数量积的几何意义其“几何味”不是很浓．
名义上为几何意义，但指的却是两个数的乘积．虽然向量ａ的长度Ｉ口Ｉ与ｂ在ａ的方向上的投影都可以从图上看出来，但它们的积并未通过几何直观呈现．而“长度”与“投影”积的大小如何，与两个向量的模及两个向量的方向有何关系，更是无从知晓．因此，它对于学生认识向量的数量积并没能起到明显作用．
图１
此外，解释向量数量积的几何意义需要涉及有向线段的数量等概念．向量、有向线段、有向线段的数量、向量的投影等概念集中在一起，学生很容易混淆．虽然前面曾用单位圆中的三角函数线表示数量，但教学中只是一带而过，学生对其与向量等概念之间的区别与联系并不十分清楚．
向量的数量积有没有较直观的几何解释呢？笔者在教学中曾对此进行了探索，下面谈～谈自
由此可知ａ・ｂ的几何意义是：数量积ａ・ｂ等于ａ的长度ｌａＩ与ｂ在ａ的方向上的投影Ｉｂｌ・ｃｏｓ０的乘积．
运用数量积的几何意义，数量积对向量加法运算分配律可有如下说明：
如图２，任取一点Ｏ，作ｏ－？ｔ—ａ，蕊一ｂ，茄
３Ｃ，
Ａ
己的一点想法，供大家参考．
１
向量数量积的几何解释
设有非零向量ａ，ｂ．在平面内任取一点０，作
蕊一口，商＝ｂ．将线段ＯＡ绕点。按逆时针方
向旋转９０。，得线段ＯＡ７．则瓦矿与萌的模相等，
且互相垂直．
设向量ａ，ｂ的夹角为口．
当０。＜０＜９０。时，么ＢＯＡ７—９０。一日；或么ＢｏＡ７—９０。＋汐．
总有ｃｏｓ０一ｓｉｎ（９０。－－０）＝ｓｉｎ（９０。＋咿）
所以
ｃｌｎ＋６１ＣＯＳ０＝ＩＣ
ａ
一ｓｉｎＬＢＯＡ
７．
ｃｏｓ０１＋ｌｃｌｂＩ
ｃｏｓ０２，
故ａ・ｂ＝Ｉ口ＩｂＩ
ｃｏｓ０
４２
数学通报
２０１４年第５３卷第９期
一ｌＯＢＩ・Ｊ
ＯＡ
７
ｓｉｎＬＢＯＡ７一Ｓ口∞Ｂ，Ａ，．
此时，ａ・ｂ表示平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的面积（如
图３（１）（２））．
当０—９０。时，么ＢｏＡ７—９０。一０—０。，或么ＢＯＡ７＝９０。＋口一１８０。，总有
ｃｏｓ９０。一０一ｓｉｎ么ＢＯＡ
７．
故ａ・ｂ—ＩａｂＩ
ｃｏｓ９０。
一ｌ０ＢＩ・Ｉ
ＯＡ
７
ｓｉｎ么ＢＯＡ７．
此时，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７好像被“压扇”成一条
线段，面积变为０．
当９０。＜０＜１８０。时，么ＢｏＡ７—０—９０。或
么．８０Ａ７＝２７０。一０，
总有ｃｏｓ０一一ｓｉｎ（口一９０。）＝一ｓｉｎ（２７０。－－０）
＝一ｓｉｎ么ＢＯＡ
７．
故ａ・ｂ—ｆａｂＩ
ＣＯＳ
０
＝一ｌＯＢｌ．１０Ａ７ｓｉｎ么ＢＯＡ７一－－Ｓ口ＯＢＢ＇Ａ，
此时，ａ・ｂ表示平行四边形ＯＢＢ７Ａ７面积的相反数．（如图３（３）（４））．
（１）
（２）
口
８
也
爿一
（３）
（４）
图３
为了让平行四边形ＯＢＢ７Ａ７也能表示负数，此处引入平行四边形“０到Ｂ的面积”这一说法．将平行四边形ＯＢＢ７Ａ７及其内部看成是由线段
ＯＡ７按向量Ｏ百方向平移至ＢＢ７所形成的平面
图形．
若硒与０万的夹角小于９０。，平行四边形
ＯＢＢ’Ａ“‘０到Ｂ的面积”为正数，大小等于平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的面积；
若０百与０万的夹角大于９０。，平行四边形
ＯＢＢ７Ａ“‘０到Ｂ的面积”为负数，其绝对值等于
平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的面积．
若碡与ｏ－－Ｘ成９０。角，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７变
成了线段，记“ｏ到Ｂ的面积”为０．
因此，ａ・ｂ就是平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的“０到
Ｂ的面积”．
观察发现，若Ｏ刀为向上方向，则当日＜９０。时，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７在ＯＡ７的右侧，为蕊所指的一侧ｉ当日＞９０。时，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７在
ＯＡ７的左侧，非Ｏ万所指的一侧．因此，“０到Ｂ的
面积”的正负可由其在线段ＯＡ７的哪一侧直观地看出．
其实，上述几何解释与教材介绍的方法本质上是一致的．如图４，过Ｂ向直线ＯＡ引垂线，垂足记为Ｂ。．线段ＯＢ，为平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的高．又ｌｏＡ７｝＝Ｉｎ｝，所以
Ｂ
／
彳
Ｂ
图４
当０＜９０。时，ａ・６一ＩａＩ・（ｆ一ｌ回ｌｆ
ｂｌ
ｃｏｓ０）
ＯＢｌ
１一Ｓ口０ＢＢ…；
当０＞９０。时，ａ・６一Ｉａｂｃｏｓ０）
一一Ｉ确ｌ
Ｉ・（Ｉ
ＯＢ，Ｉ
２一ＳａＯＢＢ—Ａ，．
２帮学生直观感知向量的数量积
教学中，借助向量数量积的几何解释，可让学生直观地感知向量ａ，ｂ的变化对ｎ・ｂ的影响．
若ｌａｌ，１
ｂ
Ｉ固定不变，仅改变ａ，ｂ的夹角，则
可发现０对平行四边形的面积及其所处的位置的影响．
当０由ｏ。开始逐渐增大时，平行四边形的面积逐渐减小；当日一９０。时，面积变为０，当０继续增大，平行四边形的面积虽然增大，但因其位于ＯＡ
７
的左侧，此时“Ｏ到Ｂ的面积”为负数，表明数量积为负且在减小．而当日一１８０。时，数量积达到最小值（如图５）．
２０１４年第ｊ３卷第９期
Ｂ’６
数学通报
配律．
４
爿’
４３
∥４
，之，，，
．！．
’、
Ｂ’
。｛，４，，’２
，，
一点．
Ｏ
！
ｋ
（）
，，
一，，
如图，作蕊一ａ，商一ｂ，葡一ｃ．将线段ＯＡ
绕点０按逆时针方向旋转９０。得线段ＯＡ７．以
、、
、
’
ｉ
／７
．翻
’’、
ＯＡ７，ＯＢ为邻边作平行四边形ＯＢＢ７Ａ
７．作葡一
Ａ
’、
，’。４
一、罗ｐ
Ｂ、，２：
’●，，
，，爿
，，
ａ，则ＢＢ７可以看成线段ＢＤ绕点Ｂ按逆时针方向旋转９０。而得．以ＢＢ７，ＢＣ为邻边作平行四边形
ＢＣＣ７Ｂ
７．
、－－２
●－●
、、２
图５
若固定口与Ｉｎｌ，变化｛ｂｆ，则可发现ｆ化对数量积的影响．
ｂ
ｊ的变
当ｌｂ１增大时，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的各个内角大小均未变化，ＯＡ７及其对边ＢＢ７也未改变．而边ＯＢ与其对边Ａ７Ｂ７随着ＩｂＩ的变化而同步变化（如图６）．这表明，当ｌ
ｂ
Ｊ变化时，数量积的符号不
图８
变，绝对值的大小发生变化．
蔓基挺
越盘滥塾
由图可知，平行四边形ＯＣＣ７Ａ７的“Ｏ到Ｃ的面积”等于平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的“ｏ到Ｂ的面积”与平行四边形ＢＣＣ７的和．
又平行四边形ＢＣＣ７Ｂ７的“Ｂ到Ｃ的面积”为
口‘Ｃ：
Ｂ
７的“Ｂ到Ｃ的面积”
平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的“０到Ｂ的面积”为
口・ｂ；
平行四边形ＯＣＣ７Ａ７的“０到Ｃ的面积”为
ｎ・（ｂ＋ｃ）．
所以ａ・ｂ＋ａ・ｃ—ａ・（ｂ＋ｃ）．
通过平行四边形来观察“面积和”，比在一条直线上观察有向线段的数量和显得更清晰．如果在几何画板中改变Ｂ，Ｃ的位置，引导学生观察比较，可让学生更易于在图形变化中发现一般规律．
如果将三个平行四边形投影到直线ＯＡ上，也就得到了教材中的说法．
４计算坐标平面中平行四边形或三角形的面积
换一个角度看，平行四边形的面积也可以转化为向量的数量积．
例
已知△ＯＡＢ中，Ａ（ｚ。，Ｙ１），Ｂ（ｚ２，Ｙ：），
试求△０ＡＢ的面积．
解将向量碚按顺时针方向旋转角９０。，得
向量魂７，其坐标为（ｙ：，一ｚ：）．以ＯＡ，ＯＢ为邻边
作平行四边形ＯＡＣＢ，则其“０到Ａ的面积”即为
薇・碡７．
（下转第５７页）
２０１４年第５３卷第９期数学通报
５７
的思维和单一的模式，想当然地认为函数图象是想服务的．这就回答了关于调研中老师们比较困对称的．
惑的“是否超前学习有利于中考”这一问题．
表ｌ选项比例分布表
类似地，对于例２的疑惑也就迎刃而解，试题Ｉ是站位于“平行四边形”，利用平行四边形的性质
Ｉ
选项
Ａ
ＢＣ
Ｄ
ｌ
等逐步发展到了四边形ＡＢＥＤ，并提出了相关的
比例
Ｏ．２８
Ｏ．２５
Ｏ．２５
０．２２
问题；而不是直接站在了“所谓的梯形”上设置相表２
Ｇ４一Ｇ７人数分布表
关问题．
Ｇ４
Ｇ５Ｇ６
Ｇ７结束语笔者写此文的目的之一是想与广大一线教师交流一下命题人员思考问题的角度，使Ａ
１８６３
２８３９
４８６３
８６７４
●
教学一线与命题实现良性的互动，互相补充；另Ｂ
３２３１
２６６８
２１０３
１０９１
外，通过对试题的分析，打破一些在教学过程当中Ｃ３５６０
３９３７３３３４１６５７
出现的一些问题，例如过于注重技能化训练，让大Ｄ
３４１２２６２６１７６９６５５
家不再是“只低头拉车，不抬头看路”．这就是笔者写此文的初衷，不妥之处请指正！
另外，有２５％的考生选择了Ｃ选项．通过表２可以发现，中间分数段的考生选Ｃ者居多，这说
参考文献
／
厅、
，
耳、
１
中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）明在描述、分析点（１，掣）和（捂，掣）的位置时出
、
吐７
、
４
７
［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２
现错误或者位置分析正确，但在把所描出的点用２中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（实验稿）
［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００１
平滑曲线连接起来时出现错误．
３教育部基础教育课程教材专家工作委员会．义务教育数学课
通过对例１进行立体化地剖析不难发现，试程标准（２０１１年版）解读［Ｍ］．北京：北京师范大学出版
题的命制并不是以“知识”为主，而是以“能力”为社，２０１２
核心，站位于学生全面发展的角度进行考查，素材４北京教育考试院．北京市高级中等学校招生考试考试说明
的选择、背景的设置和考查内容都是为能力与思Ｉ－Ｍ］．北京：北京理工大学出版社，２０１２
（上接第４３页）
－Ｙ
Ｃ
参考文献
１单鳟．苏教版普通高中数学课程标准实验教科书・数学４（必
修）［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，２０１２，６
２人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开
Ｄ
＼曰，贾
．圈发中心．普通高中课程标准实验教科书・数学４（必修）Ａ版［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００４，１０
图９
３人民教育出版社，课程材研究所，中学数学教材实验研究组．
普通高中课程标准实验教科书・数学４（必修）Ｂ版［Ｍ］．北又蕊・ｏ－／｝７一ｚ。Ｙ。－－Ｘ：ｙ。，
京；人民教育出版社，２００４，１０
故有２Ｉｓ△０Ａ。ｌ—Ｉｏ－－玄・碡７ｌ—ＩｘｌＹ。一ｚ：Ｙ。１．
４严士健，王尚志．普通高中课程标准实验教科书（必修）数学４
１
［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００４，７
所以Ｓ△ｍ口＝÷ＪｚｌＹ２－－．Ｔ２ｙ１Ｊ．
５张景中，黄楚芳．普通高中课程标准实验教科书（必修）数学
教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的第二册［Ｍ］．长沙：湖南教育出版社，２０１０，８
６国家数学课程标准研制工作组．普通高中数学课程标准（实
研究、建设和资源开发的重要力量．在教材面前，验）［ｓ］．北京：人民教育出版社，２００３，４
教师并非始终是被动的接受者．需要在准确把握数学内容本质的情况下，创造性地使用教材，让内容的呈现方式更符合学生的认知特点，便于学生参与到知识的形成过程中来．
平面向量数量积的几何解释
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
朱胜强
南京外国语学校 210008
数学通报
Bulletin des Sciences Mathematics2014,53(9)
1. 单墫 苏教版普通高中数学课程标准实验教科书·数学4(必修) 2012
2. 人民教育出版社;课程教材研究所;中学数学课程教材研究开发中心 普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)A版 20043. 人民教育出版社;课程材研究所;中学数学教材实验研究组 普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)B版 20044. 严士健;王尚志 普通高中课程标准实验教科书(必修)数学4 20045. 张景中;黄楚芳 普通高中课程标准实验教科书(必修)数学第二册 20106. 国家数学课程标准研制工作组 普通高中数学课程标准(实验) 2003
引用本文格式：朱胜强 平面向量数量积的几何解释[期刊论文]-数学通报 2014(9)
２０１４年第５３卷第９期数学通报
４１
平面向量数量积的几何解释
朱胜强
（南京外国语学校
２１０００８）
所以所以
ｇ・（ｎ＋６）一ｇ・ａ＋Ｃ・ｂ，（口＋６）・Ｃ—ａ・ｃ＋ｂ・ｃ．
现行其它版本的课标教材，有关向量数量积的几何意义及分配律的证明，也基本上采用类似的方法．但教学中发现，数量积的几何意义其“几何味”不是很浓．
名义上为几何意义，但指的却是两个数的乘积．虽然向量ａ的长度Ｉ口Ｉ与ｂ在ａ的方向上的投影都可以从图上看出来，但它们的积并未通过几何直观呈现．而“长度”与“投影”积的大小如何，与两个向量的模及两个向量的方向有何关系，更是无从知晓．因此，它对于学生认识向量的数量积并没能起到明显作用．
图１
此外，解释向量数量积的几何意义需要涉及有向线段的数量等概念．向量、有向线段、有向线段的数量、向量的投影等概念集中在一起，学生很容易混淆．虽然前面曾用单位圆中的三角函数线表示数量，但教学中只是一带而过，学生对其与向量等概念之间的区别与联系并不十分清楚．
向量的数量积有没有较直观的几何解释呢？笔者在教学中曾对此进行了探索，下面谈～谈自
由此可知ａ・ｂ的几何意义是：数量积ａ・ｂ等于ａ的长度ｌａＩ与ｂ在ａ的方向上的投影Ｉｂｌ・ｃｏｓ０的乘积．
运用数量积的几何意义，数量积对向量加法运算分配律可有如下说明：
如图２，任取一点Ｏ，作ｏ－？ｔ—ａ，蕊一ｂ，茄
３Ｃ，
Ａ
己的一点想法，供大家参考．
１
向量数量积的几何解释
设有非零向量ａ，ｂ．在平面内任取一点０，作
蕊一口，商＝ｂ．将线段ＯＡ绕点。按逆时针方
向旋转９０。，得线段ＯＡ７．则瓦矿与萌的模相等，
且互相垂直．
设向量ａ，ｂ的夹角为口．
当０。＜０＜９０。时，么ＢＯＡ７—９０。一日；或么ＢｏＡ７—９０。＋汐．
总有ｃｏｓ０一ｓｉｎ（９０。－－０）＝ｓｉｎ（９０。＋咿）
所以
ｃｌｎ＋６１ＣＯＳ０＝ＩＣ
ａ
一ｓｉｎＬＢＯＡ
７．
ｃｏｓ０１＋ｌｃｌｂＩ
ｃｏｓ０２，
故ａ・ｂ＝Ｉ口ＩｂＩ
ｃｏｓ０
４２
数学通报
２０１４年第５３卷第９期
一ｌＯＢＩ・Ｊ
ＯＡ
７
ｓｉｎＬＢＯＡ７一Ｓ口∞Ｂ，Ａ，．
此时，ａ・ｂ表示平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的面积（如
图３（１）（２））．
当０—９０。时，么ＢｏＡ７—９０。一０—０。，或么ＢＯＡ７＝９０。＋口一１８０。，总有
ｃｏｓ９０。一０一ｓｉｎ么ＢＯＡ
７．
故ａ・ｂ—ＩａｂＩ
ｃｏｓ９０。
一ｌ０ＢＩ・Ｉ
ＯＡ
７
ｓｉｎ么ＢＯＡ７．
此时，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７好像被“压扇”成一条
线段，面积变为０．
当９０。＜０＜１８０。时，么ＢｏＡ７—０—９０。或
么．８０Ａ７＝２７０。一０，
总有ｃｏｓ０一一ｓｉｎ（口一９０。）＝一ｓｉｎ（２７０。－－０）
＝一ｓｉｎ么ＢＯＡ
７．
故ａ・ｂ—ｆａｂＩ
ＣＯＳ
０
＝一ｌＯＢｌ．１０Ａ７ｓｉｎ么ＢＯＡ７一－－Ｓ口ＯＢＢ＇Ａ，
此时，ａ・ｂ表示平行四边形ＯＢＢ７Ａ７面积的相反数．（如图３（３）（４））．
（１）
（２）
口
８
也
爿一
（３）
（４）
图３
为了让平行四边形ＯＢＢ７Ａ７也能表示负数，此处引入平行四边形“０到Ｂ的面积”这一说法．将平行四边形ＯＢＢ７Ａ７及其内部看成是由线段
ＯＡ７按向量Ｏ百方向平移至ＢＢ７所形成的平面
图形．
若硒与０万的夹角小于９０。，平行四边形
ＯＢＢ’Ａ“‘０到Ｂ的面积”为正数，大小等于平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的面积；
若０百与０万的夹角大于９０。，平行四边形
ＯＢＢ７Ａ“‘０到Ｂ的面积”为负数，其绝对值等于
平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的面积．
若碡与ｏ－－Ｘ成９０。角，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７变
成了线段，记“ｏ到Ｂ的面积”为０．
因此，ａ・ｂ就是平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的“０到
Ｂ的面积”．
观察发现，若Ｏ刀为向上方向，则当日＜９０。时，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７在ＯＡ７的右侧，为蕊所指的一侧ｉ当日＞９０。时，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７在
ＯＡ７的左侧，非Ｏ万所指的一侧．因此，“０到Ｂ的
面积”的正负可由其在线段ＯＡ７的哪一侧直观地看出．
其实，上述几何解释与教材介绍的方法本质上是一致的．如图４，过Ｂ向直线ＯＡ引垂线，垂足记为Ｂ。．线段ＯＢ，为平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的高．又ｌｏＡ７｝＝Ｉｎ｝，所以
Ｂ
／
彳
Ｂ
图４
当０＜９０。时，ａ・６一ＩａＩ・（ｆ一ｌ回ｌｆ
ｂｌ
ｃｏｓ０）
ＯＢｌ
１一Ｓ口０ＢＢ…；
当０＞９０。时，ａ・６一Ｉａｂｃｏｓ０）
一一Ｉ确ｌ
Ｉ・（Ｉ
ＯＢ，Ｉ
２一ＳａＯＢＢ—Ａ，．
２帮学生直观感知向量的数量积
教学中，借助向量数量积的几何解释，可让学生直观地感知向量ａ，ｂ的变化对ｎ・ｂ的影响．
若ｌａｌ，１
ｂ
Ｉ固定不变，仅改变ａ，ｂ的夹角，则
可发现０对平行四边形的面积及其所处的位置的影响．
当０由ｏ。开始逐渐增大时，平行四边形的面积逐渐减小；当日一９０。时，面积变为０，当０继续增大，平行四边形的面积虽然增大，但因其位于ＯＡ
７
的左侧，此时“Ｏ到Ｂ的面积”为负数，表明数量积为负且在减小．而当日一１８０。时，数量积达到最小值（如图５）．
２０１４年第ｊ３卷第９期
Ｂ’６
数学通报
配律．
４
爿’
４３
∥４
，之，，，
．！．
’、
Ｂ’
。｛，４，，’２
，，
一点．
Ｏ
！
ｋ
（）
，，
一，，
如图，作蕊一ａ，商一ｂ，葡一ｃ．将线段ＯＡ
绕点０按逆时针方向旋转９０。得线段ＯＡ７．以
、、
、
’
ｉ
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’’、
ＯＡ７，ＯＢ为邻边作平行四边形ＯＢＢ７Ａ
７．作葡一
Ａ
’、
，’。４
一、罗ｐ
Ｂ、，２：
’●，，
，，爿
，，
ａ，则ＢＢ７可以看成线段ＢＤ绕点Ｂ按逆时针方向旋转９０。而得．以ＢＢ７，ＢＣ为邻边作平行四边形
ＢＣＣ７Ｂ
７．
、－－２
●－●
、、２
图５
若固定口与Ｉｎｌ，变化｛ｂｆ，则可发现ｆ化对数量积的影响．
ｂ
ｊ的变
当ｌｂ１增大时，平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的各个内角大小均未变化，ＯＡ７及其对边ＢＢ７也未改变．而边ＯＢ与其对边Ａ７Ｂ７随着ＩｂＩ的变化而同步变化（如图６）．这表明，当ｌ
ｂ
Ｊ变化时，数量积的符号不
图８
变，绝对值的大小发生变化．
蔓基挺
越盘滥塾
由图可知，平行四边形ＯＣＣ７Ａ７的“Ｏ到Ｃ的面积”等于平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的“ｏ到Ｂ的面积”与平行四边形ＢＣＣ７的和．
又平行四边形ＢＣＣ７Ｂ７的“Ｂ到Ｃ的面积”为
口‘Ｃ：
Ｂ
７的“Ｂ到Ｃ的面积”
平行四边形ＯＢＢ７Ａ７的“０到Ｂ的面积”为
口・ｂ；
平行四边形ＯＣＣ７Ａ７的“０到Ｃ的面积”为
ｎ・（ｂ＋ｃ）．
所以ａ・ｂ＋ａ・ｃ—ａ・（ｂ＋ｃ）．
通过平行四边形来观察“面积和”，比在一条直线上观察有向线段的数量和显得更清晰．如果在几何画板中改变Ｂ，Ｃ的位置，引导学生观察比较，可让学生更易于在图形变化中发现一般规律．
如果将三个平行四边形投影到直线ＯＡ上，也就得到了教材中的说法．
４计算坐标平面中平行四边形或三角形的面积
换一个角度看，平行四边形的面积也可以转化为向量的数量积．
例
已知△ＯＡＢ中，Ａ（ｚ。，Ｙ１），Ｂ（ｚ２，Ｙ：），
试求△０ＡＢ的面积．
解将向量碚按顺时针方向旋转角９０。，得
向量魂７，其坐标为（ｙ：，一ｚ：）．以ＯＡ，ＯＢ为邻边
作平行四边形ＯＡＣＢ，则其“０到Ａ的面积”即为
薇・碡７．
（下转第５７页）
２０１４年第５３卷第９期数学通报
５７
的思维和单一的模式，想当然地认为函数图象是想服务的．这就回答了关于调研中老师们比较困对称的．
惑的“是否超前学习有利于中考”这一问题．
表ｌ选项比例分布表
类似地，对于例２的疑惑也就迎刃而解，试题Ｉ是站位于“平行四边形”，利用平行四边形的性质
Ｉ
选项
Ａ
ＢＣ
Ｄ
ｌ
等逐步发展到了四边形ＡＢＥＤ，并提出了相关的
比例
Ｏ．２８
Ｏ．２５
Ｏ．２５
０．２２
问题；而不是直接站在了“所谓的梯形”上设置相表２
Ｇ４一Ｇ７人数分布表
关问题．
Ｇ４
Ｇ５Ｇ６
Ｇ７结束语笔者写此文的目的之一是想与广大一线教师交流一下命题人员思考问题的角度，使Ａ
１８６３
２８３９
４８６３
８６７４
●
教学一线与命题实现良性的互动，互相补充；另Ｂ
３２３１
２６６８
２１０３
１０９１
外，通过对试题的分析，打破一些在教学过程当中Ｃ３５６０
３９３７３３３４１６５７
出现的一些问题，例如过于注重技能化训练，让大Ｄ
３４１２２６２６１７６９６５５
家不再是“只低头拉车，不抬头看路”．这就是笔者写此文的初衷，不妥之处请指正！
另外，有２５％的考生选择了Ｃ选项．通过表２可以发现，中间分数段的考生选Ｃ者居多，这说
参考文献
／
厅、
，
耳、
１
中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）明在描述、分析点（１，掣）和（捂，掣）的位置时出
、
吐７
、
４
７
［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２
现错误或者位置分析正确，但在把所描出的点用２中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（实验稿）
［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００１
平滑曲线连接起来时出现错误．
３教育部基础教育课程教材专家工作委员会．义务教育数学课
通过对例１进行立体化地剖析不难发现，试程标准（２０１１年版）解读［Ｍ］．北京：北京师范大学出版
题的命制并不是以“知识”为主，而是以“能力”为社，２０１２
核心，站位于学生全面发展的角度进行考查，素材４北京教育考试院．北京市高级中等学校招生考试考试说明
的选择、背景的设置和考查内容都是为能力与思Ｉ－Ｍ］．北京：北京理工大学出版社，２０１２
（上接第４３页）
－Ｙ
Ｃ
参考文献
１单鳟．苏教版普通高中数学课程标准实验教科书・数学４（必
修）［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，２０１２，６
２人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开
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＼曰，贾
．圈发中心．普通高中课程标准实验教科书・数学４（必修）Ａ版［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００４，１０
图９
３人民教育出版社，课程材研究所，中学数学教材实验研究组．
普通高中课程标准实验教科书・数学４（必修）Ｂ版［Ｍ］．北又蕊・ｏ－／｝７一ｚ。Ｙ。－－Ｘ：ｙ。，
京；人民教育出版社，２００４，１０
故有２Ｉｓ△０Ａ。ｌ—Ｉｏ－－玄・碡７ｌ—ＩｘｌＹ。一ｚ：Ｙ。１．
４严士健，王尚志．普通高中课程标准实验教科书（必修）数学４
１
［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００４，７
所以Ｓ△ｍ口＝÷ＪｚｌＹ２－－．Ｔ２ｙ１Ｊ．
５张景中，黄楚芳．普通高中课程标准实验教科书（必修）数学
教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的第二册［Ｍ］．长沙：湖南教育出版社，２０１０，８
６国家数学课程标准研制工作组．普通高中数学课程标准（实
研究、建设和资源开发的重要力量．在教材面前，验）［ｓ］．北京：人民教育出版社，２００３，４
教师并非始终是被动的接受者．需要在准确把握数学内容本质的情况下，创造性地使用教材，让内容的呈现方式更符合学生的认知特点，便于学生参与到知识的形成过程中来．
平面向量数量积的几何解释
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
朱胜强
南京外国语学校 210008
数学通报
Bulletin des Sciences Mathematics2014,53(9)
1. 单墫 苏教版普通高中数学课程标准实验教科书·数学4(必修) 2012
2. 人民教育出版社;课程教材研究所;中学数学课程教材研究开发中心 普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)A版 20043. 人民教育出版社;课程材研究所;中学数学教材实验研究组 普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)B版 20044. 严士健;王尚志 普通高中课程标准实验教科书(必修)数学4 20045. 张景中;黄楚芳 普通高中课程标准实验教科书(必修)数学第二册 20106. 国家数学课程标准研制工作组 普通高中数学课程标准(实验) 2003
引用本文格式：朱胜强 平面向量数量积的几何解释[期刊论文]-数学通报 2014(9)