排列与组合
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()
A．36种 B．30种C．42种 D．60种
2．(2011·山东临沂一模)根据工作需要，现从4名女教师，a名男教师中选3名教师
5组成一个援川团队，其中a＝8xdx，要求团队中男、女教师都有，则不同的组队方案种
数为()
A．140 B．100C．80 D．70
3．(2010·成都毕业班摸底)现将10个参加2009年全国高中数学联赛的名额分配给某区四个不同的学校，要求一个学校1个、一个学校2个、一个学校3个、一个学校4个，则不同的分配方案种数共有()
A．43200 B．12600C．24 D．20
4．(2011·孝感月考)有6本不同的书，其中1本数学书，2本英语书，3本音乐书，将他们排成一排，则英语书不相邻，音乐书也不相邻的不同排法的种数为()
A．18 B．60C．120 D．240
5．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有()
A．36种 B．48种C．60种 D．64种
6．(2011·湖南十二校联考)某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选5个进行游览，如果A、B、C为必选城市，并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A、B、C三个城市(A、B、C三个城市可以不相邻)，则不同的游览线路共有()
A．80种 B．120种C．480种
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2010·浙江温州一模)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有__________．
8．(2010·福建厦门质检) 2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答) D．600种
9．(2010·浙江台州一模)反复抛掷一个质地均匀的正方体骰子，依次记录每一次落地时骰子向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷．若抛掷四次恰好停止，则这四次点数的所有不同结果的种数为________．(用数字作答)
三、解答题(共55分)
10．(15分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数；
(1)能组成多少个正整数？
(2)能组成多少个六位奇数？
(3)能组成多少个能被25整除的四位数？
11．(20分)某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天的游览地，满足下面条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙两个风景点至少选一个；
(2)甲、乙两个风景点至多选一个；
(3)甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一个．
(3)甲、乙必须选一个且只能选一个的种数是C21·C61＝12(种)．
——探究提升——
12．(20分)有6本不同的书，
(1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少种不同分法？
(2)分成三堆，每堆2本有多少种不同的分堆方法？ (3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？
(5)分成三堆，有两堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
(6)摆在三层书架上，每层2本有多少种不同的摆法？
课时作业63 排列与组合
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()
A．36种 B．30种
C．42种 D．60种
解析：直接法：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，故共有C21C62＋C22C61＝2×15＋6＝36种选法；间接法：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，故共有C83－C63＝56－20＝36种选法．
答案：A
2．(2011·山东临沂一模)根据工作需要，现从4名女教师，a名男教师中选3名教师
5组成一个援川团队，其中a＝8xdx，要求团队中男、女教师都有，则不同的组队方案种
数为()
A．140 B．100
C．80 D．70
55解析：∵(16x2)′＝8x，
55∴a＝8xdx＝16×42＝5.
故团队中男、女教师都有的组队方案种数为C41C52＋C42C51＝40＋30＝70.
答案：D
3．(2010·成都毕业班摸底)现将10个参加2009年全国高中数学联赛的名额分配给某区四个不同的学校，要求一个学校1个、一个学校2个、一个学校3个、一个学校4个，则不同的分配方案种数共有()
A．43200 B．12600
C．24 D．20
解析：A44＝4×3×2×1＝24.
答案：C
4．(2011·孝感月考)有6本不同的书，其中1本数学书，2本英语书，3本音乐书，将他们排成一排，则英语书不相邻，音乐书也不相邻的不同排法的种数为()
A．18 B．60
C．120 D．240
解析：分两步，先排3本音乐书有A33＝6种排法；再排数学书、英语书，若数学书排在音乐书的两头，则英语书必须分开排在音乐书的中间，这时有2×A22＝4种排法；若数学书排在音乐书之间，则音乐书的另一个空档必须排1本英语书，剩下的1本英语书可排在形成的四个空中的任意一个，此时有2×2×4＝16种排法．综上可知，共有6×(4＋16)＝120种满足题意的不同排法
答案：C
5．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有()
A．36种 B．48种
C．60种 D．64种
解析：依题意分两类：①茄子与辣椒只有一种被选中，则不同的种植方案种数为C21A33＝12；②茄子与辣椒都被选中，则不同的种植方案种数为C32C21A33＝36，故不同的种植方案共有48种．
答案：B
6．(2011·湖南十二校联考)某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选5个进行游览，如果A、B、C为必选城市，并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A、B、C三个城市(A、B、C三个城市可以不相邻)，则不同的游览线路共有()
A．80种 B．120种
C．480种 D．600种
解析：首先从剩余的另外4个城市选出2个，共有C42＝6种方法，将选出的5个城市全排，则共有A55种方法，由于要求必须按照先A后B再C的顺序经过A、B、C
C42×A55三个城市，所以需去除三座城市的全排的情况，所以不同的游览线路共有A33＝120
种线路，故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2010·浙江温州一模)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有__________．
解析：甲、乙两人从4门课程中各选修2门共有C42·C42＝36种选法，其中甲、乙所选的课程相同的选法为C42＝6种，故至少有1门不相同的选法共有C42C42－C42＝30种．
答案：30
8．(2010·福建厦门质检) 2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)
解析：将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A32＝24种不同的展出方案．
答案：24
9．(2010·浙江台州一模)反复抛掷一个质地均匀的正方体骰子，依次记录每一次落地时骰子向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷．若抛掷四次恰好停止，则这四次点数的所有不同结果的种数为________．(用数字作答)
解析：假设第四次抛出的数字为1，则前三次抛出的数字应该是2,3,4,5,6中的两个，先选一个排在前三个空中，有C51C31种排法，再从剩下的四个数字中选一个排在剩余的两个空中，有C41种排法，根据分步乘法计数原理共有6C51C31C41＝360种不同的结果．
答案：360
三、解答题(共55分)
10．(15分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数；
(1)能组成多少个正整数？
(2)能组成多少个六位奇数？
(3)能组成多少个能被25整除的四位数？
解：(1)组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法种数依次为A51，A51A51，A51A52，A51A53，A51A54，A51A55，
所以可组成A51＋A51A51＋A51A52＋A51A53＋A51A54＋A51A55＝1630个正整数．
(2)首位与个位的位置是特殊位置，0,1,3,5是特殊元素，先选个位数字，有A31种不同的选法；再考虑首位，有A41种不同的选法，其余四个位置的排法有A44种．
所以能组成A31A41A44＝288个六位奇数．
(3)能被25整除的四位数的特征是最后两位数字是25或50，这两种形式的四位数依次有A31·A31和A42个，所以，能组成A31A31＋A42＝21个能被25整除的四位数．
11．(20分)某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天的游览地，满足下面条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙两个风景点至少选一个；
(2)甲、乙两个风景点至多选一个；
(3)甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一个．
解：(1)解法一：甲、乙至少选一个有两种情况：甲、乙都选有C22种，或者甲、乙两个中只选一个有C21C61种．所以，至少选一个的种数是C22＋C21C61＝1＋12＝13(种)．
解法二：甲、乙至少选一个可看成所有选法种数C82减去甲、乙都不选的种数C62.所以，甲、乙至少选一个的种数是C82－C62＝28－15＝13(种)．
(2)解法一：甲、乙至多选一个有两种情况：甲、乙都不选有C62种，或者甲、乙两个中只选一个有C21C61种．所以，甲、乙至多选一个的种数是C62＋C21C61＝15＋12＝27(种)．
解法二：甲、乙至多选一个可看成所有选法种数C82减去甲、乙都选的种数C22.所以，甲、乙至多选一个的种数是C82－C22＝28－1＝27(种)．
(3)甲、乙必须选一个且只能选一个的种数是C21·C61＝12(种)．
——探究提升——
12．(20分)有6本不同的书，
(1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少种不同分法？
(2)分成三堆，每堆2本有多少种不同的分堆方法？ (3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？
(5)分成三堆，有两堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
(6)摆在三层书架上，每层2本有多少种不同的摆法？
解：(1)在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有C62C42C22＝90(种)．
(2)6本书平均分成三堆，用(1)的方法重复了A33倍，故共有C62C42C22A33＝15(种)．
(3)从6本书中先取1本作一堆，再从剩下的5本中取2本作一堆，最后3本作一堆，共有C61C52C33＝60(种)．
(4)用(3)的方法分堆后，甲、乙、丙3人每人任取一堆，共有C61C52C33·A33＝360(种)．
C61C51C44(5)均匀分堆或部分均匀分堆要除以均匀分堆数的全排列数，故共有A22＝
15(种)．
(6)本题即为6本书放在6个位置上，共有A66＝720(种)．
排列与组合
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()
A．36种 B．30种C．42种 D．60种
2．(2011·山东临沂一模)根据工作需要，现从4名女教师，a名男教师中选3名教师
5组成一个援川团队，其中a＝8xdx，要求团队中男、女教师都有，则不同的组队方案种
数为()
A．140 B．100C．80 D．70
3．(2010·成都毕业班摸底)现将10个参加2009年全国高中数学联赛的名额分配给某区四个不同的学校，要求一个学校1个、一个学校2个、一个学校3个、一个学校4个，则不同的分配方案种数共有()
A．43200 B．12600C．24 D．20
4．(2011·孝感月考)有6本不同的书，其中1本数学书，2本英语书，3本音乐书，将他们排成一排，则英语书不相邻，音乐书也不相邻的不同排法的种数为()
A．18 B．60C．120 D．240
5．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有()
A．36种 B．48种C．60种 D．64种
6．(2011·湖南十二校联考)某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选5个进行游览，如果A、B、C为必选城市，并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A、B、C三个城市(A、B、C三个城市可以不相邻)，则不同的游览线路共有()
A．80种 B．120种C．480种
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2010·浙江温州一模)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有__________．
8．(2010·福建厦门质检) 2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答) D．600种
9．(2010·浙江台州一模)反复抛掷一个质地均匀的正方体骰子，依次记录每一次落地时骰子向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷．若抛掷四次恰好停止，则这四次点数的所有不同结果的种数为________．(用数字作答)
三、解答题(共55分)
10．(15分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数；
(1)能组成多少个正整数？
(2)能组成多少个六位奇数？
(3)能组成多少个能被25整除的四位数？
11．(20分)某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天的游览地，满足下面条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙两个风景点至少选一个；
(2)甲、乙两个风景点至多选一个；
(3)甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一个．
(3)甲、乙必须选一个且只能选一个的种数是C21·C61＝12(种)．
——探究提升——
12．(20分)有6本不同的书，
(1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少种不同分法？
(2)分成三堆，每堆2本有多少种不同的分堆方法？ (3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？
(5)分成三堆，有两堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
(6)摆在三层书架上，每层2本有多少种不同的摆法？
课时作业63 排列与组合
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()
A．36种 B．30种
C．42种 D．60种
解析：直接法：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，故共有C21C62＋C22C61＝2×15＋6＝36种选法；间接法：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，故共有C83－C63＝56－20＝36种选法．
答案：A
2．(2011·山东临沂一模)根据工作需要，现从4名女教师，a名男教师中选3名教师
5组成一个援川团队，其中a＝8xdx，要求团队中男、女教师都有，则不同的组队方案种
数为()
A．140 B．100
C．80 D．70
55解析：∵(16x2)′＝8x，
55∴a＝8xdx＝16×42＝5.
故团队中男、女教师都有的组队方案种数为C41C52＋C42C51＝40＋30＝70.
答案：D
3．(2010·成都毕业班摸底)现将10个参加2009年全国高中数学联赛的名额分配给某区四个不同的学校，要求一个学校1个、一个学校2个、一个学校3个、一个学校4个，则不同的分配方案种数共有()
A．43200 B．12600
C．24 D．20
解析：A44＝4×3×2×1＝24.
答案：C
4．(2011·孝感月考)有6本不同的书，其中1本数学书，2本英语书，3本音乐书，将他们排成一排，则英语书不相邻，音乐书也不相邻的不同排法的种数为()
A．18 B．60
C．120 D．240
解析：分两步，先排3本音乐书有A33＝6种排法；再排数学书、英语书，若数学书排在音乐书的两头，则英语书必须分开排在音乐书的中间，这时有2×A22＝4种排法；若数学书排在音乐书之间，则音乐书的另一个空档必须排1本英语书，剩下的1本英语书可排在形成的四个空中的任意一个，此时有2×2×4＝16种排法．综上可知，共有6×(4＋16)＝120种满足题意的不同排法
答案：C
5．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有()
A．36种 B．48种
C．60种 D．64种
解析：依题意分两类：①茄子与辣椒只有一种被选中，则不同的种植方案种数为C21A33＝12；②茄子与辣椒都被选中，则不同的种植方案种数为C32C21A33＝36，故不同的种植方案共有48种．
答案：B
6．(2011·湖南十二校联考)某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选5个进行游览，如果A、B、C为必选城市，并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A、B、C三个城市(A、B、C三个城市可以不相邻)，则不同的游览线路共有()
A．80种 B．120种
C．480种 D．600种
解析：首先从剩余的另外4个城市选出2个，共有C42＝6种方法，将选出的5个城市全排，则共有A55种方法，由于要求必须按照先A后B再C的顺序经过A、B、C
C42×A55三个城市，所以需去除三座城市的全排的情况，所以不同的游览线路共有A33＝120
种线路，故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2010·浙江温州一模)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有__________．
解析：甲、乙两人从4门课程中各选修2门共有C42·C42＝36种选法，其中甲、乙所选的课程相同的选法为C42＝6种，故至少有1门不相同的选法共有C42C42－C42＝30种．
答案：30
8．(2010·福建厦门质检) 2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)
解析：将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A32＝24种不同的展出方案．
答案：24
9．(2010·浙江台州一模)反复抛掷一个质地均匀的正方体骰子，依次记录每一次落地时骰子向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷．若抛掷四次恰好停止，则这四次点数的所有不同结果的种数为________．(用数字作答)
解析：假设第四次抛出的数字为1，则前三次抛出的数字应该是2,3,4,5,6中的两个，先选一个排在前三个空中，有C51C31种排法，再从剩下的四个数字中选一个排在剩余的两个空中，有C41种排法，根据分步乘法计数原理共有6C51C31C41＝360种不同的结果．
答案：360
三、解答题(共55分)
10．(15分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数；
(1)能组成多少个正整数？
(2)能组成多少个六位奇数？
(3)能组成多少个能被25整除的四位数？
解：(1)组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法种数依次为A51，A51A51，A51A52，A51A53，A51A54，A51A55，
所以可组成A51＋A51A51＋A51A52＋A51A53＋A51A54＋A51A55＝1630个正整数．
(2)首位与个位的位置是特殊位置，0,1,3,5是特殊元素，先选个位数字，有A31种不同的选法；再考虑首位，有A41种不同的选法，其余四个位置的排法有A44种．
所以能组成A31A41A44＝288个六位奇数．
(3)能被25整除的四位数的特征是最后两位数字是25或50，这两种形式的四位数依次有A31·A31和A42个，所以，能组成A31A31＋A42＝21个能被25整除的四位数．
11．(20分)某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天的游览地，满足下面条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙两个风景点至少选一个；
(2)甲、乙两个风景点至多选一个；
(3)甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一个．
解：(1)解法一：甲、乙至少选一个有两种情况：甲、乙都选有C22种，或者甲、乙两个中只选一个有C21C61种．所以，至少选一个的种数是C22＋C21C61＝1＋12＝13(种)．
解法二：甲、乙至少选一个可看成所有选法种数C82减去甲、乙都不选的种数C62.所以，甲、乙至少选一个的种数是C82－C62＝28－15＝13(种)．
(2)解法一：甲、乙至多选一个有两种情况：甲、乙都不选有C62种，或者甲、乙两个中只选一个有C21C61种．所以，甲、乙至多选一个的种数是C62＋C21C61＝15＋12＝27(种)．
解法二：甲、乙至多选一个可看成所有选法种数C82减去甲、乙都选的种数C22.所以，甲、乙至多选一个的种数是C82－C22＝28－1＝27(种)．
(3)甲、乙必须选一个且只能选一个的种数是C21·C61＝12(种)．
——探究提升——
12．(20分)有6本不同的书，
(1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少种不同分法？
(2)分成三堆，每堆2本有多少种不同的分堆方法？ (3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？
(5)分成三堆，有两堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
(6)摆在三层书架上，每层2本有多少种不同的摆法？
解：(1)在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有C62C42C22＝90(种)．
(2)6本书平均分成三堆，用(1)的方法重复了A33倍，故共有C62C42C22A33＝15(种)．
(3)从6本书中先取1本作一堆，再从剩下的5本中取2本作一堆，最后3本作一堆，共有C61C52C33＝60(种)．
(4)用(3)的方法分堆后，甲、乙、丙3人每人任取一堆，共有C61C52C33·A33＝360(种)．
C61C51C44(5)均匀分堆或部分均匀分堆要除以均匀分堆数的全排列数，故共有A22＝
15(种)．
(6)本题即为6本书放在6个位置上，共有A66＝720(种)．