南京市2017年初中毕业生学业考试
数学注意事项：
1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） ．．．．．．．1．计算12＋（－18）÷（－6）－（－3）³2的结果是（ ） A ．7 B ．8 C ．21 D ．36 【答案】C ．
【考点】有理数的计算．
【分析】利用有理数的运算法则直接计算，注意运算顺序和符号变化． 【解答】解．原式＝12＋3－（－6）．
＝15＋6． ＝21．
故：选C ．
2．计算106³（102）3÷104的结果是（ ） A ．103 B ．107 C ．108 D ．109 【答案】C ． 【考点】幂的运算．
【分析】利用幂的运算法则直接计算，注意运算顺序． 【解答】解．原式＝106³106÷104．
＝106＋6－4． ＝108．
故：选C ．
3．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；
乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（ ） A ．三棱柱 B ．四棱柱 C ．三棱锥 D ．四棱锥 【答案】D ．
【考点】几何体的一般特征．
【分析】分析4个选项中的各几何体的侧面、底面、棱的特征，即可得出正确选项． 【解答】
故：选D ．
4．若3 ＜a ＜10 ，则下列结论中正确的是（ ） A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜4 C ．2＜a ＜3 D ．2＜a ＜4 【答案】B ． 【考点】估算．
【分析】用平方法分别估算出3 、10 的取值范围，借助数轴进而估算出a 的取值范围． 【解答】估算3 ：∵12＝1，22＝4．
∴1＜3 ＜2．
估算10 ：∵32＝9，42＝16．
∴3＜10 ＜4．
画数轴：
故：1＜a ＜4，选B ．
5．若方程（x －5）2＝19的两根为a 和b ，且a ＞b ，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 是19的算术平方根 B ．b 是19的平方根 C ．a －5是19的算术平方根 D ．b ＋5是19的平方根 【答案】C ．
【考点】直接开平方法解一元二次方程、平方根、算术平方根的定义．
【分析】分析4个选项中的各几何体的侧面、底面、棱的特征，即可得出正确选项． 【解答】解方程（x －5）2＝19得：
x －5＝±19 ．
∴x 1＝5＋19 ，x 2＝5－19 ．
∵方程（x －5）2＝19的两根为a 和b ，且a ＞b ． ∴a ＝5＋19 ，b ＝5－19 ．
∴a －5＝19 ，b －5＝－19 ，b ＋5＝10－19 ． 【选法一】针对解方程的结果，判断各选项的准确性
a ＝5＋19 ，a 不是19的算术平方根，故：选项A 错； b ＝5－19 ，b 不是19的平方根，故：选项B 错； a －5＝19 ，a －5是19的算术平方根，故：选项C 正确； b ＋5＝10－19 ，b ＋5不是19的平方根，故：选项D 错．
【选法二】针对各选项对应的a 、b 、a －5、b ＋5的结果，进行判断：
对于选项：A ．a 是19的算术平方根，则a ＝19 ，故：错； 对于选项：B ．b 是19的平方根，则b ＝±19 ，故：错；
对于选项：C ．a －5是19的算术平方根，则a －5＝19 ，故：正确； 对于选项：D ．b ＋5是19的平方根，则b ＋5＝±19 ，故：错．
综上，故选：C ．
6．过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（ ） 1717A ．（46 ） B ．（4，3） C ．（5，6 ） D ．（5，3） 【答案】A ．
【考点】三角形外接圆圆心的确定、相似三角形的应用、平面直角坐标系中线段长的计算、数形结合． 【分析】在平面直角坐标系中绘制符合条件的图形（如图），并判断图形的特征，不难发现： （1）AB ∥x 轴，点C 在AB 的垂直平分线上，△ABC 是等腰三角形，且CA ＝CB ；
（2）过A 、B 、C 三点的圆为△ABC 的外接圆，圆心M 为AB 、AC （或BC ）两边垂直平分线EM 、CD 的交点；
（3）欲计算M 的坐标，只要计算出线段DM （或CM ）、AD 的长； CE CM EM （4）△CEM ∽△CDA ，可得相似比：CD ＝CA ＝DA ；
1
（5）△CDA 的边长：AB ＝|6－2|＝4，AD ＝2 AB ＝2，CD ＝|5－2|＝3，AC ＝2＋3 ＝13 ，
113
△CEM 中的边长：CE ＝2AC ＝2 ；
把求得的线段长代入（4）中的比例式中即可求得CM 长，问题得解. 【简解】如题，根据题意得：C 点在AB 的中垂线上，CA ＝CB ；
过A 、B 、C 三点的圆为△ABC 的外接圆，圆心M 为AB 、AC 两中垂线的交点M ； 13
AB ＝4，AD ＝2，CD ＝3，AC ＝13 ，CE ＝2．
∵Rt △CEM ∽Rt △CDA ． CE CM ∴CD ＝CA ． ∴CE ²CA ＝CD ²CM ．
13
2 ³13 ＝3³CM ． 13
∴CM ＝6．
135
DM ＝CD －CM ＝3－6＝6． 517
∴M 点的纵坐标为：2＋6 ＝6． 17
故：M （4，6 ），选A ．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上） ．．．
7．计算：|－3|＝_________（－3） ＝__________． 【答案】3；3．
【考点】|－3|是绝对值的计算、（－3） 是二次根式的运算．
【分析】根据绝对值的定义和二次根式运算的要求进行化简，注意符号的变化．
⎧a （a ＞0时）
|a |＝⎨0（a ＝0时） ；
⎩－a （a ＜0时）a （a ＞0时）⎧
a ＝|a |＝⎨0（a ＝0时）
⎩－a （a ＜0时）
【解答】|－3|＝－（－3）＝3；（－3） ＝|－3|＝3．
8．2016年南京实现GDP 约10 500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市．用科学记数法表示10 500是________________． 【答案】1.05³104． 【考点】科学记数法．
【分析】把一个大于10或小于1的正数写成a ³10n 的形式，其中：1≤a ＜10，n 是整数．应用方法：把小数点移动到第一个不是0的数字后面，移几位就乘以10的几次幂（小数点向左移则指数为正，向右移则指数为负。）注意：本题要审题，用科学记数法表示的数：是不带单位的10 500，而不是10 500亿． 【解答】10 500＝1.05³104．
29．若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______________．
x －1【答案】x ≠1． 【考点】分式的定义．
【分析】分式在实数范围内有意义的条件是：分母≠0 ． 【解答】x －1≠0，解得x ≠1．
1012 8 ³6 的结果是__________________． 【答案】63 ．
【考点】二次根式的化简．
a b ＝ab （a ≥0，b ≥0）；常用结论：m n ＝m n （m ≥0，n ≥0） ． 【解答】12 ＋8 ³6
＝2³3 ＋8³6 ＝23 ＋4³3 ＝23 ＋43 ＝63 ．
2111．方程 －x ＝0的解是_____________________．
x ＋2【答案】x ＝2． 【考点】解分式方程．
【分析】根据解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等即可得解 ．注意点主要有：去分母时不要漏乘，去分母后分子如是多项式需要添加括号． 【解答】去分母：2x －（x ＋2）＝0．
去括号：2x －x －2＝0． 移项：2x －x ＝2． 合并同类项：x ＝2．
系数化为1：本题无需此步骤． 检验：经检验x ＝2是原方程的解． ∴原方程的解为：x ＝2．
12．已知关于x 的方程x 2＋p x ＋q ＝0的两根为－3和－1，则p ＝_______，q ＝_________． 【答案】4，3．
【考点】一元二次方程根的定义或根与系数的关系． 【分析】解法有2种：
解法一：根据根的定义，分别把两根代入原方程中，得到两个关于P 、q 的方程，将两方程组成方程
组，解此方程组即可求解；
b c
解法二：根据一元二次方程a x ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）根与系数的关系：x 1＋x 2＝－a x 1·x 2＝a 分别把
2
两根代入到两个关系式中即可求解．
比较上述两种解法，不难发现，解法二求解比较便捷．
【解答】解法一：
⎧9－3p ＋q ＝0
根据题意得：⎨．
⎩1－p ＋q ＝0⎧p ＝4
解这个方程组得：⎨．
q ＝3⎩
解法二：
p q
根据题意得：（－3）＋（－1）＝－ 1（－3）³（－1）＝1 解得：p ＝4，q ＝3．
13．下面是某市2013～2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图．该市私人汽车拥有量年净增长量最多的是__________________年，私人汽车拥有量年增长率最大的是___________________年．
【答案】2016，2015．
【考点】统计图的特征及统计数据之间的数量关系．
【分析】理解题意、确定统计数据之间的数量关系是本题的关键：
（1）年净增长量＝某年度拥有量－上一年度拥有量，可从“私人汽车拥有量条形统计图”中获取数
据；
某年度拥有量－上一年度拥有量（2）年增长率＝³100％，可以从“私人汽车拥有量年增长率折线
上一年度拥有量
统计图”中直接得出答案．
【解答】借用统计表来解答：
14．如图，∠1是五边形ABCDE 的一个外角．若∠1＝65°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝_________°．
【答案】425．
【考点】多边形（n 边形）的内角和计算公式：（n －2）²180、多边形外角的定义（或外角和＝360°）．
【分析】从不同的角度分析，可以得到不同的解法：
C
E
解法一：用内角和公式求解：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝（n －2）²180－∠AED ．
＝（n －2）²180－（180－∠1）． ＝（n －3）²180＋∠1．
解法二：用外角的定义（或外角和＝360°）：每一个内角＝180－相邻的外角，故：
∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝180³（n －1）－（360－∠1）．
＝（n －3）²180＋∠1．
B
解法三：借助辅助线，如图，连接AD ．
∠BAE ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＝四边形ABCD 内角和＋∠2＋∠3． C
又∠1是△ADE 的外角，∠1＝∠2＋∠3．
故：∠BAE ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＝四边形ABCD 内角和＋∠1．
E 小结：解法一为常规解法，解法二不常用，解法三比较便捷． 【解答】选用解法一：
∠AED=180°－∠1＝115°．
∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝（5－2）²180°－∠AED ．
＝3³180°－115°． ＝425°．
15．如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝78°，则∠EAC ＝_____________°．
【答案】27．
【考点】菱形的主要性质，圆内接四边形的性质，外角在解决问题中的应用．
【分析】根据菱形的性质可以得出：∠B ＝∠D ＝78°、∠2＝1
2（180°－∠D ）等等角的度数；
根据圆内接四边形的性质可以得出：∠AEC ＝180°－∠D ，∠3＝∠D ＝78°等等角的度数； 又∠3是△AEC 的外角，∠3＝∠1＋∠2． 故：∠EAC （∠1）＝∠3－∠2．
【简解】在菱形ABCD 中：
∠2＝1
2180°－∠D ）＝51°． ∵四边形ADCE 是⊙O 的内接四边形． ∴∠3＝180°－∠AEC ＝∠D ＝78°． ∵∠3是△AEC 的外角．
∴∠1＝∠3－∠2＝78°－51°＝27°． 即：则∠EAC ＝27°．
4
16．函数y 1＝x 与y 2x 的图像如图所示，下列关于函数y ＝y 1＋y 2的结论：①函数的图像关于原点对称；②当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；③当x ＞0时，函数的图像最低点的坐标是（2，4）．其中所有正确的结论的序号是_____________________．
【答案】①、③．
【考点】函数的三种表达方式、函数图像的画法、图形（图像）的变换． 【分析】本题是选拔性功能比较强的试题，对学生数学思维能力的要求比
较高，要解决此问题需要熟练掌握数形结合的数学思想方法，同时要具备数学联想与想象等优良的思维品质．
4
（1）对函数y ＝y 1＋y 2的理解：y ＝y 1＋y 2，即y ＝x ＋x ：
4
①一个联想：x ＋x 是一个似曾相识的式子：
1212
我们知道由（x －x ）≥0，可以得到：x ＋x ≥2； 据此可以联想到（x －（x －
12
x ）≥0，可得：x ＋x ≥2„„
42
x ）≥0，可得x ＋x ≥4；
4
由此可见：当x ＞0时，x ＋x 有最小值4此时x ＝2； 故：结论③正确；
4
②一个想象：我们学过图形的变换，涉及过图像的平移，那么y ＝x ＋x 其图像是不是可以看4
作是把y 2＝x 沿y 轴向上或向下平移对应|x|单位后得到的图形，故其图像也就是由两支曲线构成；
（2）函数的表达方式有三种，可以用另两种方式表示一下，看其有哪些特征． 列表：
画出图像：
【简解】选项①函数的图像关于原点对称：观察表格或图像不难发现，其正确；
选项②当x ＜2时，y 随x 的增大而减小：观察图像当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大，或者，当x
＝0时，y 没有意义，故其错误；
选项③当x ＞0时，函数的图像最低点的坐标是（2，4）：通过联想或观察列表及图像，其正确；
也可使用求差法判断：
4
令x ＝2时y ′＝4；x ＝2＋m 时，y ″＝2＋m ＋．
2＋m
（2－m ）（2＋m ）－444m 2
y ′－y ″＝4－（2＋m ＋ ）＝2－m －＝ ＝－ ．
2＋m 2＋m 2＋m 2＋m ∵图像位于第一象限． ∴2＋m ＞0． 又m 2≥0．
m 2
∴－ ≤0，且当m ＝0时取等号．
2＋m ∴y ′－y ″≤0． 即：y ′≤y ″．
故：当x ＞0时，y 有最小值4，此时x ＝2． 综上：正确的结论的序号是①、③．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程．．．．．．．或演算步骤）
1117．（7分）计算（a ＋2＋a ）÷（a －a ）． 【考点】分式的化简、分解因式．
【分析】根据分式化简的一般步骤进行即可．
a 2＋2a ＋1a 2－111【解答】（a ＋2＋a ）÷（a －a ）＝÷a 通分
a
a 2＋2a ＋1a ＝³ 除法转化为乘法 a a －1（a ＋1）2a ＝³ 分解因式 a （a ＋1）（a －1）a ＋1＝ 约分 a －1
⎧－2x ≤6． ①
18．（7分）解不等式组⎨ x ＞－2． ②
⎩ 3（x －1）＜x ＋1． ③
请结合题意，完成本题解答．
（1）解不等式①，得_________________________． 依据是：______________________________________． （2）解不等式③，得_________________________． （3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集_____________________． 【考点】不等式（组）的解法，确定解集的公共部分．
【分析】应用不等式的性质，解不等式（组），确定解集的公共部分延伸到三个不等式组成的不等式组中，由
于题干已有铺垫“从图中可以找出三个不等式解集的公共部分”，降低了难度．用数轴表示解集时，主要实心点与空心点的选择．
【解答】解：（1）x ≥－3.
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. （2）3x －3＜x ＋1．
3x －x ＜1＋3． 2x ＜4． ∴x ＜2． （3）．
（4）－2＜x ＜2．
19．（7分）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CF ，EF 、BD 相交于点O ．
求证OE ＝OF ．
【考点】平行四边形的性质、平行四边形的判定或全等三角形的
判定和性质．
【分析】根据平行四边形的性质，AD ＝BC ，AD ∥BC ，又AE
＝
CF ，得到DE ＝BF ，DE ∥BF.
方法一：若连接BE 、DF ，则四边形BEDF 为平行四边形，EF 与BD 就互相平分，问题得解；
方法二：DE ∥BF 可得关于△DEO 、△BFO 两组内错角相等，另外∠DOE 与∠BOF 是对顶角，它们也相等，
所以根据ASA 或AAS 可得两个△全等，问题得解．
【解答】
方法一：证明：连接BE 、DF
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ∵AE ＝BF
∴AD －AE ＝BC －CF 即DE ＝BF 又∵DE ∥BF
∴四边形BEDF 为平行四边形 ∵EF 、BD 相交于点O ∴OE ＝OF
方法二：证明：
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∵AE ＝BF
∴AD －AE ＝BC －CF 即DE ＝BF ∴△DOE ≌△BOF ∴OE ＝OF
20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
（1）该公司员工月收入的中位数是____________元，众数是____________元．
（2）根据上表，可以算得该公司员工收入的平均数为6 276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由． 【考点】数据的集中趋势，平均数、中位数、众数确定与应用．
【分析】反映一组数据的平均水平，要考虑异常数据的影响，平均数题设中已给出，注意中位数与众数的确
定方法．中位数：把数据从小到大（或从大到小）排列，最中间的一个（或两个数据的平均数）数据 （带单位）；众数：一组数据中出现次数最多的数据（带单位）．
【解答】（1）把数据从小到大排列，最中间的一个是第13个，所以，中位数为3400元；
这组数据中出现次数最多的数据为3000元，所以，众数为3000元． 答案：3400，3000．
（2）本题答案不为一，选平均数6 276元肯定不合适，因为25名员工中只有3名员工达到或超过
平均数，绝大多数员工收入水平均未达到平均数水平．
参考答案：用中位数反映该公司全体员工收入水平较为合适．在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大．该公司员工收入的中位数是3400元，这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元．因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势．
21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是____________； （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率． 【考点】概率的计算方法，枚举法、树状图、列表法在求概率中的应用．
【分析】选用适当分析工具（枚举法、树状图、列表法）确定所有等可能的结果与符合条件的结果是解决此
类问题的常用方法．
【解答】（1）枚举法：所有可能出现的结果有：男、女，共2种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满
1
足“第二个孩子是女孩”（记为事件A ）的结果有1种，所有P （A ）＝2 ． 1答案：2
（2）枚举法：乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果有：（男，男）、（男，女）、
（女，男）、（女，女），共有4种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足“少3
有一个孩子是女孩”（记为事件A ）的结果有3种，所有P （A ）＝4．
附：树状图
22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．
如图，已知∠AOB ．请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
A
O B
【考点】尺规作图．
【分析】首先要选择好判断一个角是否为直角的方法，我们学习过的与作直角相关的内容包括：过一点作已
知直线的垂线，作线段的垂直平分线、三角形的高、三线合一、勾股图（勾3股4弦5）、直径所对的圆周角是直角等，也可先作一个直角，比较这两个角的大小．小丽用的方法就是三线合一． 若用：过一点作已知直线的垂线，则可在OA 上任意取一点M ，过点M 作直线OB 的垂线，若该垂线经过点O ，则∠AOB ＝90°；或者过点O 作直线OB 的垂线OD ，若OD 与OA 重合，则∠AOB ＝90°；
若用：勾股图（勾3股4弦5），可先确定单位线段长，在射线OA 上依次截取4个单位长度线段OM ，在射线OB 上依次截取3个单位长度线段ON ，连接MN ，若MN 为5个单位长度线段，则∠AOB ＝90°；
若用：直径所对的圆周角是直角，则可在OA 、OB 上任意取两点M 、N ，连接MN ．以MN 为直径作圆，若点O 在所作圆上，则∠AOB ＝90°；或者作△OMN 的外接圆，若圆心在MN 上，则∠AOB ＝90°；
方法还是很多的，不过最好要选择简便的方法．
【解答】参考解法：
方法一：如图①，在OA 、OB 上分别截取OM ＝4个单位长度线段，ON ＝3个单位长度线段．连接
MN ，若MN ＝3个单位长度线段，则∠AOB ＝90°；
方法二：如图②，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，以MN 为直径画圆．若点O 在圆上，则∠AOB
＝90°.
23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择．如果调整文具购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x 个甲种文具时，需购买y 个乙种文具．
（1）①当减少购买1个甲种文具时，x ＝_______，y ＝_______；
②求y 与x 之间的函数关系式．
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购买了多少个？
【考点】一次函数的应用及二元一次方程组的应用．
【分析】根据题意描述的数量关系，进行解答即可；求一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）表达式有两种方式，其一
是根据数量关系直接写出，其二是根据两组对应值（或两个点的坐标）建立k 、b 的方程组，求出函数表达式.
本题描述的数量关系有：购买x 个甲种文具，则减少购买（100－x ）个甲种文具；
购买y 个乙种文具的数量＝2³减少购买的甲种文具的数量； 购买甲种文具的金额＋购买乙种文具的金额＝540元．
【解答】解：
（1）①：当减少购买1个甲种文具时，x ＝100－1＝99，y ＝2；
答案：99，2
②：购买x 个甲种文具时，减少购买（100－x ）个甲种文具． 根据题意，得：y ＝2（100－x ）＝－2x ＋200． ∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－2x ＋200．
⎧y ＝－2x ＋200
（2）根据题意，得：⎨．
⎩5x ＋3y ＝540
⎧x ＝60解得：⎨．
y ＝80⎩
答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个．
24．（8分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点．连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ．连接PO ，交⊙O 于点D ．
（1）求证：PO 平分∠APC ．
（2）连接DB ．若∠C ＝30°，求证：DB ∥AC ．
【考点】切线的性质，圆周角定理、三角形全等的判定、角平分线的性质等．
【分析】熟悉常用的解题思路，如：PA 、PB 是⊙O 的切线，连接经过切点的半径，则∠OAP ＝∠OBP ＝90°，
很容易即可证得△OAP ≌△OBP ；∠C ＝30°，则图中所有角的度数均可以求出来，应用角的关系，易证DB ∥AC ．
【解答】证明： （1）如图，连接OB ．
∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点． ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ．
∵OA ＝OB ． ∴PO 平分∠APC ． （2）∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ．
∴∠OBC ＝∠OBP ＝∠CAP ＝90° ∵∠C ＝30°
∴∠1＝90°－∠C ＝60° ∠APC ＝90°－∠C ＝60° ∵PO 平分∠APC ． 1
∴∠4＝2 ∠APC ＝30° ∴∠2＝90°－∠4＝60° ∵OB ＝OD
∴△OBD 为等边三角形 ∴∠3＝60° ∴∠1＝∠3 ∴DB ∥AC
25．（8分）如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处．一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上．这时，E 处距离港口A 有多远？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【考点】三角函数的应用，中位线性质或图形的相似等．
【分析】三角函数的应用通常需要构造直角三角形，解法有两种，其一为直接计
算，其二为不能直接计算时需要建立方程（组）进行解答，方程模型通常有：线段的和差、三角函数式、勾股方程等．本题已知条件中C 为中
点，可以取AD 中点F ，连接CF ，得到中位线CF ，则CF ∥BD ，从而构造出两个直角三角形；方程可以由：AD －AE ＝DE （5km ）建立，只要选择一个线段长为未知数（x ），把AD 、AE 分别用x 的代数式表示出来即可求解，显然，选择CF 为未知数最为合适．
【解答】解：如图，取AD 中点F ，连接CF ，设CF ＝x ．
∵C 恰好在AB 的中点． ∴CF 是△ABD 的中位线． ∴CF ∥BD ，BD ＝2CF ＝2x ． 在Rt △ACF 中，∠A ＝37°． CF
∵tanA ＝AF ．
CF x
∴AF ＝tanA ＝．
tan37°在Rt △ECF 中，∠CEF ＝45°． CF
∵tan ∠CEF ＝EF ．
CF x
∴EF ＝＝＝x ．
tan ∠CEF tan45°x
∴AE ＝AF ＋EF ＝ ＋x ．
tan37°在Rt △ABD 中，∠A ＝37°． BD
∵tanA ＝AD ． BD
∴AD ＝tanA ＝
2x
．
tan37°
∵AD －AE ＝DE ． ∴
2x x
－（＋x ）＝5．
tan37°tan37°
x 即－x ＝5． tan37°
5tan37°5³0.75∴x ＝＝ ＝15．
1－tan37°1－0.75
x 15
∴AE ＝AF ＋EF ＝ ＋x ＝＋15≈35（km ）．
tan37°tan37°∴E 处距离港口A 大约35km ．
26．（8分）已知函数y ＝－x 2＋（m －1）x ＋m （m 为常数）． （1）该函数的图像与x 轴公共点的个数是（ ）
A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2
（2）求证：不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y ＝（x ＋1）2的图像上． （3）当－2≤m ≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围．
【考点】二次函数的图像与性质，二次函数图像与x 轴交点个数的判定，点与图像位置关系的判定，二次函
数的取值范围等．
【分析】解决二次函数问题，需要借助图像，形、数、式要充分结合起来，寻求问题解决的突破口．
■判定函数的图像与x 轴公共点的个数：即确定b 2－4ac 的值与0的大小关系；
■判断一个点是否在函数图像上，通常是代入横坐标，比较纵坐标，实际上是将位置关系问题，转化为数（代数式）的计算（化简）问题．本函数y ＝－x 2＋（m －1）x ＋m 根据顶点坐标公式（或m －1（m ＋1）2m －1
配方法）等方法可以得到顶点坐标为（2 ），把顶点横坐标x ＝2 代入y ＝（x 4
2
（m ＋1）
＋1）2中化简，将化简结果与顶点纵坐标 比较，如相等，则得证，实际上就是代数式4
的化简．
（m ＋1）2■求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围，根据顶点纵坐标：k ＝，可以把顶点的纵坐4（m ＋1）2
标k 看作是关于m 的二次函数，问题也就转化为当－2≤m ≤3时，求函数k ＝的取值4范围了，结合图像（对应于解答图中的实线部分）即可得解．
【解答】解：
（1）b 2－4ac ＝（m －1）2－4³（－1）³m ＝m 2－2m ＋1＋4m ＝m 2－2m ＋1＝（m ＋1）2．
∵（m ＋1）2≥0． ∴b 2－4ac ≥0．
当b 2－4ac ＝0时，该函数的图像与x 轴有唯一的公共点； 当b 2－4ac ＞0时，该函数的图像与x 轴有2个公共点； 综上：该函数的图像与x 轴有1个或2个公共点． 答案：D ．
（2）设函数y ＝－x 2＋（m －1）x ＋m 的顶点坐标为（h ，k ）．
根据顶点坐标公式得：
m －1m －1b
顶点横坐标：h ＝－2a ＝－＝2 ．
2³（－1）m －1
把顶点横坐标：h ＝2，代入函数关系式，得：
m －1m －12
顶点纵坐标： k ＝－（2）＋（m －1）²2 ＋m 【注：也可用顶点纵坐标公式来求】
（m －1）2（m －1）2
＝－＋＋m ． 42（m －1）2＋4m （m ＋1）2＝＝ ． 44
m －1（m ＋1）2
即：顶点坐标为：（2，）． 4【注】顶点坐标也可通过配方法求得：
y ＝－x 2＋（m －1）x ＋m ． ＝－〔x 2－（m －1）x 〕＋m ．
m －1m －12
＝－〔x －（m －1）x ＋（2 ）－（2）2〕＋m ．
2
m －1m －12
＝－〔（x －2）－（2 ）2〕＋m ． m －1m －1
＝－（x －2 ）2＋（2）2＋m ．
2
m －1（m ＋1）
＝－（x －2 ）2＋ ． 4
m －1
把x ＝2 ，代入函数y ＝（x ＋1）2得： m －1m ＋1（m ＋1）222
y ＝（2＋1）＝（2 ）＝ ． 4
∴不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y ＝（x ＋1）2的图像上． （m ＋1）2（3）顶点纵坐标k ＝，k 为m 的二次函数． 4 该函数的顶点坐标为（－1，0），如图所示．
当m ＝－1是，k 有最小值0． 当m ＜－1时，k 随m 的增大而减小． 当m ＞－1时，k 随m 的增大而增大． 1
当m ＝－2时，k ＝4 ． 当m ＝3时，k ＝4．
∴当－2≤m ≤3时，该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围是：0≤k ≤4
27．（11分）折纸的思考． 【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步．对折纸片ABCD （AB ＞BC ）（图①）使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）． 第二步．如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB 、PC ，得到△PBC ．
（1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】
（2）如图④，小明画③的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长3cm 另一边长a cm ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围． 【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为___________cm．
【考点】轴对称的性质，图形的变换，相似三角形的判定与性质，相似比方程模型等． 【分析】问题（1）应用折叠（重合）可得全等等相关知识；
问题（2）审请题意，实际上问的就是图④中的等边三角形经过哪些变换可得到图⑤中的等边三角形，
考查的图形的变换作图：旋转、位似（放大）； 问题（3）分析讨论．
情况1：如图1，一边在边长为3cm 的边上，随着a 逐渐增大，高h （h ＝a ）逐渐增大（如图2），当
边长增大到3cm 时（如图3），达到最大，a 若再增大，等边三角形的一个顶点就在矩形外33
部了（如图4），故此种情况a 的最大值：a ＝h ＝2. 33
即：0＜a ≤ 2 ；
acm
acm
3cm
acm
acm
3cm 3cm
图1 图2 图3 图4
情况2：一边在边长为acm 的边上（如图1），此时等边三角形的边长为23 ，a ≥23 方能在形内
画出最大的等边三角形（如图2），若a ＜23 ，等边三角形的一个顶点就在矩形外部了（如图3），此种情况，a 的最小值为23 . 即：a ≥
23 ；
acm
acm
acm
3cm
图1 图2 图3
情况3：介于上述两种情况之间，三边都在矩形的内部. ．
以情况1的情形为起点：
33
如图1，此时等边三角形AMN 的顶点M 与C 点重合，a ＝2 ，点M 由C 点沿CD 方向移
动；
当运动到如图2位置时，边长BM ＝BN ＞3，线段BN 向点A 逼近，若此时a 的值保持不变，
点N 就在矩形的外部，故a 的值要增大，增大AD 向上平移经过点N 时的距离，如图3所示；
点M 继续移动，如图4，a 则继续增大；
最终，BN 与AB 重合，此时出现情况2，如图5； 33
此时a 的取值范围为：2 ＜a ＜23 ．
D
D
D
acm
acm
M
acm
M
M
B 3cm
图1 图2 图3
N
D
D
acm
M
acm
M
图4 图5 问题（4），画出符合条件的图形，进行比较．
B 3cm
16裁法1：a ＝4cm ； 裁法2：a ＝17 cm ； 裁法3：a ＝5cm
简述裁法3的解题过程：∠BAE ＝90°－∠AEB ＝∠FEC ，又∠B ＝∠C ＝90°．
∴△ABE ∽△ECF ．
AB AE 4∴EC =EF =1 ．
设EC=x，则AB=4x．
∴BE=4x－x ＝3x ．
∵AB 2＋BE 2＝AE 2．
∴（4x ）2＋（3x ）2＝42．
4解得：x ＝5．
16∴AB ＝4x ＝5． 16比较三种裁法得到的正方形的边长：17 ＞4＞5．
16故填：5
【解答】解
（1）由第一次折叠可得：
EF 为BC 的垂直平分线
∴BP ＝PC
由第二次折叠可得：BP ＝BC
∴BP ＝PC ＝BC
∴△PBC 是等边三角形
（2）本题答案不唯一，下列解法供参考.
如图，以点B 为旋转中心，在矩形ABCD 中把△PBC 逆时针方向旋转适当的角度，得到△P 1BC 1； 在以B 点为位似中心，将△P 1BC 1放大，使点C1的对应点C2落在CD 上，得到△P 2BC 2.
【注】也可以在矩形ABCD 内部，以B 为顶点作一个等边三角形，在以B 为位似中心将其放大；还可
以先以B 为顶点，作一个大的等边三角形，再以B 为位似中心将其缩小等
.
21 / 22
3） acm 0＜a ≤ 33
2
4）16
5
D acm M B 3cm
33 2 ＜a ＜23
22 / 22 acm a ≥23 （ （
南京市2017年初中毕业生学业考试
数学注意事项：
1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） ．．．．．．．1．计算12＋（－18）÷（－6）－（－3）³2的结果是（ ） A ．7 B ．8 C ．21 D ．36 【答案】C ．
【考点】有理数的计算．
【分析】利用有理数的运算法则直接计算，注意运算顺序和符号变化． 【解答】解．原式＝12＋3－（－6）．
＝15＋6． ＝21．
故：选C ．
2．计算106³（102）3÷104的结果是（ ） A ．103 B ．107 C ．108 D ．109 【答案】C ． 【考点】幂的运算．
【分析】利用幂的运算法则直接计算，注意运算顺序． 【解答】解．原式＝106³106÷104．
＝106＋6－4． ＝108．
故：选C ．
3．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；
乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（ ） A ．三棱柱 B ．四棱柱 C ．三棱锥 D ．四棱锥 【答案】D ．
【考点】几何体的一般特征．
【分析】分析4个选项中的各几何体的侧面、底面、棱的特征，即可得出正确选项． 【解答】
故：选D ．
4．若3 ＜a ＜10 ，则下列结论中正确的是（ ） A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜4 C ．2＜a ＜3 D ．2＜a ＜4 【答案】B ． 【考点】估算．
【分析】用平方法分别估算出3 、10 的取值范围，借助数轴进而估算出a 的取值范围． 【解答】估算3 ：∵12＝1，22＝4．
∴1＜3 ＜2．
估算10 ：∵32＝9，42＝16．
∴3＜10 ＜4．
画数轴：
故：1＜a ＜4，选B ．
5．若方程（x －5）2＝19的两根为a 和b ，且a ＞b ，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 是19的算术平方根 B ．b 是19的平方根 C ．a －5是19的算术平方根 D ．b ＋5是19的平方根 【答案】C ．
【考点】直接开平方法解一元二次方程、平方根、算术平方根的定义．
【分析】分析4个选项中的各几何体的侧面、底面、棱的特征，即可得出正确选项． 【解答】解方程（x －5）2＝19得：
x －5＝±19 ．
∴x 1＝5＋19 ，x 2＝5－19 ．
∵方程（x －5）2＝19的两根为a 和b ，且a ＞b ． ∴a ＝5＋19 ，b ＝5－19 ．
∴a －5＝19 ，b －5＝－19 ，b ＋5＝10－19 ． 【选法一】针对解方程的结果，判断各选项的准确性
a ＝5＋19 ，a 不是19的算术平方根，故：选项A 错； b ＝5－19 ，b 不是19的平方根，故：选项B 错； a －5＝19 ，a －5是19的算术平方根，故：选项C 正确； b ＋5＝10－19 ，b ＋5不是19的平方根，故：选项D 错．
【选法二】针对各选项对应的a 、b 、a －5、b ＋5的结果，进行判断：
对于选项：A ．a 是19的算术平方根，则a ＝19 ，故：错； 对于选项：B ．b 是19的平方根，则b ＝±19 ，故：错；
对于选项：C ．a －5是19的算术平方根，则a －5＝19 ，故：正确； 对于选项：D ．b ＋5是19的平方根，则b ＋5＝±19 ，故：错．
综上，故选：C ．
6．过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（ ） 1717A ．（46 ） B ．（4，3） C ．（5，6 ） D ．（5，3） 【答案】A ．
【考点】三角形外接圆圆心的确定、相似三角形的应用、平面直角坐标系中线段长的计算、数形结合． 【分析】在平面直角坐标系中绘制符合条件的图形（如图），并判断图形的特征，不难发现： （1）AB ∥x 轴，点C 在AB 的垂直平分线上，△ABC 是等腰三角形，且CA ＝CB ；
（2）过A 、B 、C 三点的圆为△ABC 的外接圆，圆心M 为AB 、AC （或BC ）两边垂直平分线EM 、CD 的交点；
（3）欲计算M 的坐标，只要计算出线段DM （或CM ）、AD 的长； CE CM EM （4）△CEM ∽△CDA ，可得相似比：CD ＝CA ＝DA ；
1
（5）△CDA 的边长：AB ＝|6－2|＝4，AD ＝2 AB ＝2，CD ＝|5－2|＝3，AC ＝2＋3 ＝13 ，
113
△CEM 中的边长：CE ＝2AC ＝2 ；
把求得的线段长代入（4）中的比例式中即可求得CM 长，问题得解. 【简解】如题，根据题意得：C 点在AB 的中垂线上，CA ＝CB ；
过A 、B 、C 三点的圆为△ABC 的外接圆，圆心M 为AB 、AC 两中垂线的交点M ； 13
AB ＝4，AD ＝2，CD ＝3，AC ＝13 ，CE ＝2．
∵Rt △CEM ∽Rt △CDA ． CE CM ∴CD ＝CA ． ∴CE ²CA ＝CD ²CM ．
13
2 ³13 ＝3³CM ． 13
∴CM ＝6．
135
DM ＝CD －CM ＝3－6＝6． 517
∴M 点的纵坐标为：2＋6 ＝6． 17
故：M （4，6 ），选A ．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上） ．．．
7．计算：|－3|＝_________（－3） ＝__________． 【答案】3；3．
【考点】|－3|是绝对值的计算、（－3） 是二次根式的运算．
【分析】根据绝对值的定义和二次根式运算的要求进行化简，注意符号的变化．
⎧a （a ＞0时）
|a |＝⎨0（a ＝0时） ；
⎩－a （a ＜0时）a （a ＞0时）⎧
a ＝|a |＝⎨0（a ＝0时）
⎩－a （a ＜0时）
【解答】|－3|＝－（－3）＝3；（－3） ＝|－3|＝3．
8．2016年南京实现GDP 约10 500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市．用科学记数法表示10 500是________________． 【答案】1.05³104． 【考点】科学记数法．
【分析】把一个大于10或小于1的正数写成a ³10n 的形式，其中：1≤a ＜10，n 是整数．应用方法：把小数点移动到第一个不是0的数字后面，移几位就乘以10的几次幂（小数点向左移则指数为正，向右移则指数为负。）注意：本题要审题，用科学记数法表示的数：是不带单位的10 500，而不是10 500亿． 【解答】10 500＝1.05³104．
29．若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______________．
x －1【答案】x ≠1． 【考点】分式的定义．
【分析】分式在实数范围内有意义的条件是：分母≠0 ． 【解答】x －1≠0，解得x ≠1．
1012 8 ³6 的结果是__________________． 【答案】63 ．
【考点】二次根式的化简．
a b ＝ab （a ≥0，b ≥0）；常用结论：m n ＝m n （m ≥0，n ≥0） ． 【解答】12 ＋8 ³6
＝2³3 ＋8³6 ＝23 ＋4³3 ＝23 ＋43 ＝63 ．
2111．方程 －x ＝0的解是_____________________．
x ＋2【答案】x ＝2． 【考点】解分式方程．
【分析】根据解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等即可得解 ．注意点主要有：去分母时不要漏乘，去分母后分子如是多项式需要添加括号． 【解答】去分母：2x －（x ＋2）＝0．
去括号：2x －x －2＝0． 移项：2x －x ＝2． 合并同类项：x ＝2．
系数化为1：本题无需此步骤． 检验：经检验x ＝2是原方程的解． ∴原方程的解为：x ＝2．
12．已知关于x 的方程x 2＋p x ＋q ＝0的两根为－3和－1，则p ＝_______，q ＝_________． 【答案】4，3．
【考点】一元二次方程根的定义或根与系数的关系． 【分析】解法有2种：
解法一：根据根的定义，分别把两根代入原方程中，得到两个关于P 、q 的方程，将两方程组成方程
组，解此方程组即可求解；
b c
解法二：根据一元二次方程a x ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）根与系数的关系：x 1＋x 2＝－a x 1·x 2＝a 分别把
2
两根代入到两个关系式中即可求解．
比较上述两种解法，不难发现，解法二求解比较便捷．
【解答】解法一：
⎧9－3p ＋q ＝0
根据题意得：⎨．
⎩1－p ＋q ＝0⎧p ＝4
解这个方程组得：⎨．
q ＝3⎩
解法二：
p q
根据题意得：（－3）＋（－1）＝－ 1（－3）³（－1）＝1 解得：p ＝4，q ＝3．
13．下面是某市2013～2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图．该市私人汽车拥有量年净增长量最多的是__________________年，私人汽车拥有量年增长率最大的是___________________年．
【答案】2016，2015．
【考点】统计图的特征及统计数据之间的数量关系．
【分析】理解题意、确定统计数据之间的数量关系是本题的关键：
（1）年净增长量＝某年度拥有量－上一年度拥有量，可从“私人汽车拥有量条形统计图”中获取数
据；
某年度拥有量－上一年度拥有量（2）年增长率＝³100％，可以从“私人汽车拥有量年增长率折线
上一年度拥有量
统计图”中直接得出答案．
【解答】借用统计表来解答：
14．如图，∠1是五边形ABCDE 的一个外角．若∠1＝65°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝_________°．
【答案】425．
【考点】多边形（n 边形）的内角和计算公式：（n －2）²180、多边形外角的定义（或外角和＝360°）．
【分析】从不同的角度分析，可以得到不同的解法：
C
E
解法一：用内角和公式求解：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝（n －2）²180－∠AED ．
＝（n －2）²180－（180－∠1）． ＝（n －3）²180＋∠1．
解法二：用外角的定义（或外角和＝360°）：每一个内角＝180－相邻的外角，故：
∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝180³（n －1）－（360－∠1）．
＝（n －3）²180＋∠1．
B
解法三：借助辅助线，如图，连接AD ．
∠BAE ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＝四边形ABCD 内角和＋∠2＋∠3． C
又∠1是△ADE 的外角，∠1＝∠2＋∠3．
故：∠BAE ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＝四边形ABCD 内角和＋∠1．
E 小结：解法一为常规解法，解法二不常用，解法三比较便捷． 【解答】选用解法一：
∠AED=180°－∠1＝115°．
∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝（5－2）²180°－∠AED ．
＝3³180°－115°． ＝425°．
15．如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝78°，则∠EAC ＝_____________°．
【答案】27．
【考点】菱形的主要性质，圆内接四边形的性质，外角在解决问题中的应用．
【分析】根据菱形的性质可以得出：∠B ＝∠D ＝78°、∠2＝1
2（180°－∠D ）等等角的度数；
根据圆内接四边形的性质可以得出：∠AEC ＝180°－∠D ，∠3＝∠D ＝78°等等角的度数； 又∠3是△AEC 的外角，∠3＝∠1＋∠2． 故：∠EAC （∠1）＝∠3－∠2．
【简解】在菱形ABCD 中：
∠2＝1
2180°－∠D ）＝51°． ∵四边形ADCE 是⊙O 的内接四边形． ∴∠3＝180°－∠AEC ＝∠D ＝78°． ∵∠3是△AEC 的外角．
∴∠1＝∠3－∠2＝78°－51°＝27°． 即：则∠EAC ＝27°．
4
16．函数y 1＝x 与y 2x 的图像如图所示，下列关于函数y ＝y 1＋y 2的结论：①函数的图像关于原点对称；②当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；③当x ＞0时，函数的图像最低点的坐标是（2，4）．其中所有正确的结论的序号是_____________________．
【答案】①、③．
【考点】函数的三种表达方式、函数图像的画法、图形（图像）的变换． 【分析】本题是选拔性功能比较强的试题，对学生数学思维能力的要求比
较高，要解决此问题需要熟练掌握数形结合的数学思想方法，同时要具备数学联想与想象等优良的思维品质．
4
（1）对函数y ＝y 1＋y 2的理解：y ＝y 1＋y 2，即y ＝x ＋x ：
4
①一个联想：x ＋x 是一个似曾相识的式子：
1212
我们知道由（x －x ）≥0，可以得到：x ＋x ≥2； 据此可以联想到（x －（x －
12
x ）≥0，可得：x ＋x ≥2„„
42
x ）≥0，可得x ＋x ≥4；
4
由此可见：当x ＞0时，x ＋x 有最小值4此时x ＝2； 故：结论③正确；
4
②一个想象：我们学过图形的变换，涉及过图像的平移，那么y ＝x ＋x 其图像是不是可以看4
作是把y 2＝x 沿y 轴向上或向下平移对应|x|单位后得到的图形，故其图像也就是由两支曲线构成；
（2）函数的表达方式有三种，可以用另两种方式表示一下，看其有哪些特征． 列表：
画出图像：
【简解】选项①函数的图像关于原点对称：观察表格或图像不难发现，其正确；
选项②当x ＜2时，y 随x 的增大而减小：观察图像当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大，或者，当x
＝0时，y 没有意义，故其错误；
选项③当x ＞0时，函数的图像最低点的坐标是（2，4）：通过联想或观察列表及图像，其正确；
也可使用求差法判断：
4
令x ＝2时y ′＝4；x ＝2＋m 时，y ″＝2＋m ＋．
2＋m
（2－m ）（2＋m ）－444m 2
y ′－y ″＝4－（2＋m ＋ ）＝2－m －＝ ＝－ ．
2＋m 2＋m 2＋m 2＋m ∵图像位于第一象限． ∴2＋m ＞0． 又m 2≥0．
m 2
∴－ ≤0，且当m ＝0时取等号．
2＋m ∴y ′－y ″≤0． 即：y ′≤y ″．
故：当x ＞0时，y 有最小值4，此时x ＝2． 综上：正确的结论的序号是①、③．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程．．．．．．．或演算步骤）
1117．（7分）计算（a ＋2＋a ）÷（a －a ）． 【考点】分式的化简、分解因式．
【分析】根据分式化简的一般步骤进行即可．
a 2＋2a ＋1a 2－111【解答】（a ＋2＋a ）÷（a －a ）＝÷a 通分
a
a 2＋2a ＋1a ＝³ 除法转化为乘法 a a －1（a ＋1）2a ＝³ 分解因式 a （a ＋1）（a －1）a ＋1＝ 约分 a －1
⎧－2x ≤6． ①
18．（7分）解不等式组⎨ x ＞－2． ②
⎩ 3（x －1）＜x ＋1． ③
请结合题意，完成本题解答．
（1）解不等式①，得_________________________． 依据是：______________________________________． （2）解不等式③，得_________________________． （3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集_____________________． 【考点】不等式（组）的解法，确定解集的公共部分．
【分析】应用不等式的性质，解不等式（组），确定解集的公共部分延伸到三个不等式组成的不等式组中，由
于题干已有铺垫“从图中可以找出三个不等式解集的公共部分”，降低了难度．用数轴表示解集时，主要实心点与空心点的选择．
【解答】解：（1）x ≥－3.
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. （2）3x －3＜x ＋1．
3x －x ＜1＋3． 2x ＜4． ∴x ＜2． （3）．
（4）－2＜x ＜2．
19．（7分）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CF ，EF 、BD 相交于点O ．
求证OE ＝OF ．
【考点】平行四边形的性质、平行四边形的判定或全等三角形的
判定和性质．
【分析】根据平行四边形的性质，AD ＝BC ，AD ∥BC ，又AE
＝
CF ，得到DE ＝BF ，DE ∥BF.
方法一：若连接BE 、DF ，则四边形BEDF 为平行四边形，EF 与BD 就互相平分，问题得解；
方法二：DE ∥BF 可得关于△DEO 、△BFO 两组内错角相等，另外∠DOE 与∠BOF 是对顶角，它们也相等，
所以根据ASA 或AAS 可得两个△全等，问题得解．
【解答】
方法一：证明：连接BE 、DF
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ∵AE ＝BF
∴AD －AE ＝BC －CF 即DE ＝BF 又∵DE ∥BF
∴四边形BEDF 为平行四边形 ∵EF 、BD 相交于点O ∴OE ＝OF
方法二：证明：
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∵AE ＝BF
∴AD －AE ＝BC －CF 即DE ＝BF ∴△DOE ≌△BOF ∴OE ＝OF
20．（8分）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
（1）该公司员工月收入的中位数是____________元，众数是____________元．
（2）根据上表，可以算得该公司员工收入的平均数为6 276元．你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由． 【考点】数据的集中趋势，平均数、中位数、众数确定与应用．
【分析】反映一组数据的平均水平，要考虑异常数据的影响，平均数题设中已给出，注意中位数与众数的确
定方法．中位数：把数据从小到大（或从大到小）排列，最中间的一个（或两个数据的平均数）数据 （带单位）；众数：一组数据中出现次数最多的数据（带单位）．
【解答】（1）把数据从小到大排列，最中间的一个是第13个，所以，中位数为3400元；
这组数据中出现次数最多的数据为3000元，所以，众数为3000元． 答案：3400，3000．
（2）本题答案不为一，选平均数6 276元肯定不合适，因为25名员工中只有3名员工达到或超过
平均数，绝大多数员工收入水平均未达到平均数水平．
参考答案：用中位数反映该公司全体员工收入水平较为合适．在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大．该公司员工收入的中位数是3400元，这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元．因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势．
21．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是____________； （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率． 【考点】概率的计算方法，枚举法、树状图、列表法在求概率中的应用．
【分析】选用适当分析工具（枚举法、树状图、列表法）确定所有等可能的结果与符合条件的结果是解决此
类问题的常用方法．
【解答】（1）枚举法：所有可能出现的结果有：男、女，共2种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满
1
足“第二个孩子是女孩”（记为事件A ）的结果有1种，所有P （A ）＝2 ． 1答案：2
（2）枚举法：乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果有：（男，男）、（男，女）、
（女，男）、（女，女），共有4种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足“少3
有一个孩子是女孩”（记为事件A ）的结果有3种，所有P （A ）＝4．
附：树状图
22．（8分）“直角”在初中几何学习中无处不在．
如图，已知∠AOB ．请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
A
O B
【考点】尺规作图．
【分析】首先要选择好判断一个角是否为直角的方法，我们学习过的与作直角相关的内容包括：过一点作已
知直线的垂线，作线段的垂直平分线、三角形的高、三线合一、勾股图（勾3股4弦5）、直径所对的圆周角是直角等，也可先作一个直角，比较这两个角的大小．小丽用的方法就是三线合一． 若用：过一点作已知直线的垂线，则可在OA 上任意取一点M ，过点M 作直线OB 的垂线，若该垂线经过点O ，则∠AOB ＝90°；或者过点O 作直线OB 的垂线OD ，若OD 与OA 重合，则∠AOB ＝90°；
若用：勾股图（勾3股4弦5），可先确定单位线段长，在射线OA 上依次截取4个单位长度线段OM ，在射线OB 上依次截取3个单位长度线段ON ，连接MN ，若MN 为5个单位长度线段，则∠AOB ＝90°；
若用：直径所对的圆周角是直角，则可在OA 、OB 上任意取两点M 、N ，连接MN ．以MN 为直径作圆，若点O 在所作圆上，则∠AOB ＝90°；或者作△OMN 的外接圆，若圆心在MN 上，则∠AOB ＝90°；
方法还是很多的，不过最好要选择简便的方法．
【解答】参考解法：
方法一：如图①，在OA 、OB 上分别截取OM ＝4个单位长度线段，ON ＝3个单位长度线段．连接
MN ，若MN ＝3个单位长度线段，则∠AOB ＝90°；
方法二：如图②，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，以MN 为直径画圆．若点O 在圆上，则∠AOB
＝90°.
23．（8分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择．如果调整文具购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x 个甲种文具时，需购买y 个乙种文具．
（1）①当减少购买1个甲种文具时，x ＝_______，y ＝_______；
②求y 与x 之间的函数关系式．
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购买了多少个？
【考点】一次函数的应用及二元一次方程组的应用．
【分析】根据题意描述的数量关系，进行解答即可；求一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）表达式有两种方式，其一
是根据数量关系直接写出，其二是根据两组对应值（或两个点的坐标）建立k 、b 的方程组，求出函数表达式.
本题描述的数量关系有：购买x 个甲种文具，则减少购买（100－x ）个甲种文具；
购买y 个乙种文具的数量＝2³减少购买的甲种文具的数量； 购买甲种文具的金额＋购买乙种文具的金额＝540元．
【解答】解：
（1）①：当减少购买1个甲种文具时，x ＝100－1＝99，y ＝2；
答案：99，2
②：购买x 个甲种文具时，减少购买（100－x ）个甲种文具． 根据题意，得：y ＝2（100－x ）＝－2x ＋200． ∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－2x ＋200．
⎧y ＝－2x ＋200
（2）根据题意，得：⎨．
⎩5x ＋3y ＝540
⎧x ＝60解得：⎨．
y ＝80⎩
答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个．
24．（8分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点．连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ．连接PO ，交⊙O 于点D ．
（1）求证：PO 平分∠APC ．
（2）连接DB ．若∠C ＝30°，求证：DB ∥AC ．
【考点】切线的性质，圆周角定理、三角形全等的判定、角平分线的性质等．
【分析】熟悉常用的解题思路，如：PA 、PB 是⊙O 的切线，连接经过切点的半径，则∠OAP ＝∠OBP ＝90°，
很容易即可证得△OAP ≌△OBP ；∠C ＝30°，则图中所有角的度数均可以求出来，应用角的关系，易证DB ∥AC ．
【解答】证明： （1）如图，连接OB ．
∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点． ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ．
∵OA ＝OB ． ∴PO 平分∠APC ． （2）∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ．
∴∠OBC ＝∠OBP ＝∠CAP ＝90° ∵∠C ＝30°
∴∠1＝90°－∠C ＝60° ∠APC ＝90°－∠C ＝60° ∵PO 平分∠APC ． 1
∴∠4＝2 ∠APC ＝30° ∴∠2＝90°－∠4＝60° ∵OB ＝OD
∴△OBD 为等边三角形 ∴∠3＝60° ∴∠1＝∠3 ∴DB ∥AC
25．（8分）如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处．一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上．这时，E 处距离港口A 有多远？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【考点】三角函数的应用，中位线性质或图形的相似等．
【分析】三角函数的应用通常需要构造直角三角形，解法有两种，其一为直接计
算，其二为不能直接计算时需要建立方程（组）进行解答，方程模型通常有：线段的和差、三角函数式、勾股方程等．本题已知条件中C 为中
点，可以取AD 中点F ，连接CF ，得到中位线CF ，则CF ∥BD ，从而构造出两个直角三角形；方程可以由：AD －AE ＝DE （5km ）建立，只要选择一个线段长为未知数（x ），把AD 、AE 分别用x 的代数式表示出来即可求解，显然，选择CF 为未知数最为合适．
【解答】解：如图，取AD 中点F ，连接CF ，设CF ＝x ．
∵C 恰好在AB 的中点． ∴CF 是△ABD 的中位线． ∴CF ∥BD ，BD ＝2CF ＝2x ． 在Rt △ACF 中，∠A ＝37°． CF
∵tanA ＝AF ．
CF x
∴AF ＝tanA ＝．
tan37°在Rt △ECF 中，∠CEF ＝45°． CF
∵tan ∠CEF ＝EF ．
CF x
∴EF ＝＝＝x ．
tan ∠CEF tan45°x
∴AE ＝AF ＋EF ＝ ＋x ．
tan37°在Rt △ABD 中，∠A ＝37°． BD
∵tanA ＝AD ． BD
∴AD ＝tanA ＝
2x
．
tan37°
∵AD －AE ＝DE ． ∴
2x x
－（＋x ）＝5．
tan37°tan37°
x 即－x ＝5． tan37°
5tan37°5³0.75∴x ＝＝ ＝15．
1－tan37°1－0.75
x 15
∴AE ＝AF ＋EF ＝ ＋x ＝＋15≈35（km ）．
tan37°tan37°∴E 处距离港口A 大约35km ．
26．（8分）已知函数y ＝－x 2＋（m －1）x ＋m （m 为常数）． （1）该函数的图像与x 轴公共点的个数是（ ）
A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2
（2）求证：不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y ＝（x ＋1）2的图像上． （3）当－2≤m ≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围．
【考点】二次函数的图像与性质，二次函数图像与x 轴交点个数的判定，点与图像位置关系的判定，二次函
数的取值范围等．
【分析】解决二次函数问题，需要借助图像，形、数、式要充分结合起来，寻求问题解决的突破口．
■判定函数的图像与x 轴公共点的个数：即确定b 2－4ac 的值与0的大小关系；
■判断一个点是否在函数图像上，通常是代入横坐标，比较纵坐标，实际上是将位置关系问题，转化为数（代数式）的计算（化简）问题．本函数y ＝－x 2＋（m －1）x ＋m 根据顶点坐标公式（或m －1（m ＋1）2m －1
配方法）等方法可以得到顶点坐标为（2 ），把顶点横坐标x ＝2 代入y ＝（x 4
2
（m ＋1）
＋1）2中化简，将化简结果与顶点纵坐标 比较，如相等，则得证，实际上就是代数式4
的化简．
（m ＋1）2■求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围，根据顶点纵坐标：k ＝，可以把顶点的纵坐4（m ＋1）2
标k 看作是关于m 的二次函数，问题也就转化为当－2≤m ≤3时，求函数k ＝的取值4范围了，结合图像（对应于解答图中的实线部分）即可得解．
【解答】解：
（1）b 2－4ac ＝（m －1）2－4³（－1）³m ＝m 2－2m ＋1＋4m ＝m 2－2m ＋1＝（m ＋1）2．
∵（m ＋1）2≥0． ∴b 2－4ac ≥0．
当b 2－4ac ＝0时，该函数的图像与x 轴有唯一的公共点； 当b 2－4ac ＞0时，该函数的图像与x 轴有2个公共点； 综上：该函数的图像与x 轴有1个或2个公共点． 答案：D ．
（2）设函数y ＝－x 2＋（m －1）x ＋m 的顶点坐标为（h ，k ）．
根据顶点坐标公式得：
m －1m －1b
顶点横坐标：h ＝－2a ＝－＝2 ．
2³（－1）m －1
把顶点横坐标：h ＝2，代入函数关系式，得：
m －1m －12
顶点纵坐标： k ＝－（2）＋（m －1）²2 ＋m 【注：也可用顶点纵坐标公式来求】
（m －1）2（m －1）2
＝－＋＋m ． 42（m －1）2＋4m （m ＋1）2＝＝ ． 44
m －1（m ＋1）2
即：顶点坐标为：（2，）． 4【注】顶点坐标也可通过配方法求得：
y ＝－x 2＋（m －1）x ＋m ． ＝－〔x 2－（m －1）x 〕＋m ．
m －1m －12
＝－〔x －（m －1）x ＋（2 ）－（2）2〕＋m ．
2
m －1m －12
＝－〔（x －2）－（2 ）2〕＋m ． m －1m －1
＝－（x －2 ）2＋（2）2＋m ．
2
m －1（m ＋1）
＝－（x －2 ）2＋ ． 4
m －1
把x ＝2 ，代入函数y ＝（x ＋1）2得： m －1m ＋1（m ＋1）222
y ＝（2＋1）＝（2 ）＝ ． 4
∴不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y ＝（x ＋1）2的图像上． （m ＋1）2（3）顶点纵坐标k ＝，k 为m 的二次函数． 4 该函数的顶点坐标为（－1，0），如图所示．
当m ＝－1是，k 有最小值0． 当m ＜－1时，k 随m 的增大而减小． 当m ＞－1时，k 随m 的增大而增大． 1
当m ＝－2时，k ＝4 ． 当m ＝3时，k ＝4．
∴当－2≤m ≤3时，该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围是：0≤k ≤4
27．（11分）折纸的思考． 【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步．对折纸片ABCD （AB ＞BC ）（图①）使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）． 第二步．如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB 、PC ，得到△PBC ．
（1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】
（2）如图④，小明画③的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长3cm 另一边长a cm ．对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围． 【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为___________cm．
【考点】轴对称的性质，图形的变换，相似三角形的判定与性质，相似比方程模型等． 【分析】问题（1）应用折叠（重合）可得全等等相关知识；
问题（2）审请题意，实际上问的就是图④中的等边三角形经过哪些变换可得到图⑤中的等边三角形，
考查的图形的变换作图：旋转、位似（放大）； 问题（3）分析讨论．
情况1：如图1，一边在边长为3cm 的边上，随着a 逐渐增大，高h （h ＝a ）逐渐增大（如图2），当
边长增大到3cm 时（如图3），达到最大，a 若再增大，等边三角形的一个顶点就在矩形外33
部了（如图4），故此种情况a 的最大值：a ＝h ＝2. 33
即：0＜a ≤ 2 ；
acm
acm
3cm
acm
acm
3cm 3cm
图1 图2 图3 图4
情况2：一边在边长为acm 的边上（如图1），此时等边三角形的边长为23 ，a ≥23 方能在形内
画出最大的等边三角形（如图2），若a ＜23 ，等边三角形的一个顶点就在矩形外部了（如图3），此种情况，a 的最小值为23 . 即：a ≥
23 ；
acm
acm
acm
3cm
图1 图2 图3
情况3：介于上述两种情况之间，三边都在矩形的内部. ．
以情况1的情形为起点：
33
如图1，此时等边三角形AMN 的顶点M 与C 点重合，a ＝2 ，点M 由C 点沿CD 方向移
动；
当运动到如图2位置时，边长BM ＝BN ＞3，线段BN 向点A 逼近，若此时a 的值保持不变，
点N 就在矩形的外部，故a 的值要增大，增大AD 向上平移经过点N 时的距离，如图3所示；
点M 继续移动，如图4，a 则继续增大；
最终，BN 与AB 重合，此时出现情况2，如图5； 33
此时a 的取值范围为：2 ＜a ＜23 ．
D
D
D
acm
acm
M
acm
M
M
B 3cm
图1 图2 图3
N
D
D
acm
M
acm
M
图4 图5 问题（4），画出符合条件的图形，进行比较．
B 3cm
16裁法1：a ＝4cm ； 裁法2：a ＝17 cm ； 裁法3：a ＝5cm
简述裁法3的解题过程：∠BAE ＝90°－∠AEB ＝∠FEC ，又∠B ＝∠C ＝90°．
∴△ABE ∽△ECF ．
AB AE 4∴EC =EF =1 ．
设EC=x，则AB=4x．
∴BE=4x－x ＝3x ．
∵AB 2＋BE 2＝AE 2．
∴（4x ）2＋（3x ）2＝42．
4解得：x ＝5．
16∴AB ＝4x ＝5． 16比较三种裁法得到的正方形的边长：17 ＞4＞5．
16故填：5
【解答】解
（1）由第一次折叠可得：
EF 为BC 的垂直平分线
∴BP ＝PC
由第二次折叠可得：BP ＝BC
∴BP ＝PC ＝BC
∴△PBC 是等边三角形
（2）本题答案不唯一，下列解法供参考.
如图，以点B 为旋转中心，在矩形ABCD 中把△PBC 逆时针方向旋转适当的角度，得到△P 1BC 1； 在以B 点为位似中心，将△P 1BC 1放大，使点C1的对应点C2落在CD 上，得到△P 2BC 2.
【注】也可以在矩形ABCD 内部，以B 为顶点作一个等边三角形，在以B 为位似中心将其放大；还可
以先以B 为顶点，作一个大的等边三角形，再以B 为位似中心将其缩小等
.
21 / 22
3） acm 0＜a ≤ 33
2
4）16
5
D acm M B 3cm
33 2 ＜a ＜23
22 / 22 acm a ≥23 （ （