1.1 菱形的性质与判定（二）
一、选择题
1．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
A ．对角线相等的平行四边形 B ．每条对角线平分一组对角的四边形
C ．对角线互相垂直的平行四边形 D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB ∥CD ；②AB =CD ；③AC ⊥BD ；④AD =•BC ；
⑤AD ∥BC ．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD 是菱形的选法有（ ）．
A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种
3．菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）
A ．8cm 和
B ．4cm 和
C ．8cm 和
D ． 4cm 和
二、填空题
4．如图1所示，已知平行四边形ABCD ，AC ，BD 相交于点O ，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
图1 图2
5．如图2所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DE ∥AB ，DF ∥CA ，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
6．菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD ：∠ABC =1：2，则BD =_____，菱形的面积是______．
7．在菱形ABCD 中，AB =4，AB 边上的高DE 垂直平分边AB ，则BD =_____，AC =_____．
三、解答题
8．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD =BC ，四边形ABCD 是菱形吗？说明理由．
四、思考题
9．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且OC =OD , PD ∥AC ，PC ∥BD ，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．
参考答案
一、1．A 点拨：本题用排除法作答．
2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．
3．C 点拨：如图所示，若∠ABC =60°，则△ABC 为等边三角形，•
所以AC =AB =11×32=8（cm ），AO =AC =4cm ． 42
因为AC ⊥BD ，
在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OB
所以BD =2OB
．
，• =
cm ）
二、4．AB =BC 点拨：还可添加AC ⊥BD 或∠ABD =∠CBD 等．
5．点D 在∠BAC 的平分线上（或AE =AF ）
6．12cm ；
2
点拨：如图所示，过D 作DE ⊥AB 于E ，
因为AD ∥BC ，•所以∠BAD +∠ABC =180°．
又因为∠BAD ：∠ABC =1：2，所以∠BAD =60°，
因为AB =AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD =AD =12cm ．所以AE =6cm ． 在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108， 所以ED
，所以S 菱形ABCD =12×
cm 2）．
7．4；
点拨：如图所示，因为DE 垂直平分AB ，
又因为DA =AB ，所以DA =DB =4．所以△ABD 是等边三角形，所以∠BAD =60°， 由已知可得AE =2．在Rt △AED •中，•AE 2+DE 2=AD 2，即22+DE 2=42，所以DE 2=12，
所以DE
11AC ·BD =AB ·DE ，即AC ·4=4×
AC
22
三、8．解：四边形ABCD 是菱形，因为四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为AB =BC ，所以 ABCD 是菱形．
点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD 为平行四边形，又AB =BC ，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．
四、9．解：四边形PCOD 是菱形．理由如下：
因为PD ∥OC ，PC ∥OD ，所以四边形PCOD 是平行四边形．
又因为OC =OD ，
所以平行四边形PCOD 是菱形．
1.1 菱形的性质与判定（二）
一、选择题
1．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
A ．对角线相等的平行四边形 B ．每条对角线平分一组对角的四边形
C ．对角线互相垂直的平行四边形 D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB ∥CD ；②AB =CD ；③AC ⊥BD ；④AD =•BC ；
⑤AD ∥BC ．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD 是菱形的选法有（ ）．
A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种
3．菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）
A ．8cm 和
B ．4cm 和
C ．8cm 和
D ． 4cm 和
二、填空题
4．如图1所示，已知平行四边形ABCD ，AC ，BD 相交于点O ，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
图1 图2
5．如图2所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DE ∥AB ，DF ∥CA ，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
6．菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD ：∠ABC =1：2，则BD =_____，菱形的面积是______．
7．在菱形ABCD 中，AB =4，AB 边上的高DE 垂直平分边AB ，则BD =_____，AC =_____．
三、解答题
8．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD =BC ，四边形ABCD 是菱形吗？说明理由．
四、思考题
9．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且OC =OD , PD ∥AC ，PC ∥BD ，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．
参考答案
一、1．A 点拨：本题用排除法作答．
2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．
3．C 点拨：如图所示，若∠ABC =60°，则△ABC 为等边三角形，•
所以AC =AB =11×32=8（cm ），AO =AC =4cm ． 42
因为AC ⊥BD ，
在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OB
所以BD =2OB
．
，• =
cm ）
二、4．AB =BC 点拨：还可添加AC ⊥BD 或∠ABD =∠CBD 等．
5．点D 在∠BAC 的平分线上（或AE =AF ）
6．12cm ；
2
点拨：如图所示，过D 作DE ⊥AB 于E ，
因为AD ∥BC ，•所以∠BAD +∠ABC =180°．
又因为∠BAD ：∠ABC =1：2，所以∠BAD =60°，
因为AB =AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD =AD =12cm ．所以AE =6cm ． 在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108， 所以ED
，所以S 菱形ABCD =12×
cm 2）．
7．4；
点拨：如图所示，因为DE 垂直平分AB ，
又因为DA =AB ，所以DA =DB =4．所以△ABD 是等边三角形，所以∠BAD =60°， 由已知可得AE =2．在Rt △AED •中，•AE 2+DE 2=AD 2，即22+DE 2=42，所以DE 2=12，
所以DE
11AC ·BD =AB ·DE ，即AC ·4=4×
AC
22
三、8．解：四边形ABCD 是菱形，因为四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为AB =BC ，所以 ABCD 是菱形．
点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD 为平行四边形，又AB =BC ，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．
四、9．解：四边形PCOD 是菱形．理由如下：
因为PD ∥OC ，PC ∥OD ，所以四边形PCOD 是平行四边形．
又因为OC =OD ，
所以平行四边形PCOD 是菱形．