知识宝库考研社区(www.1zhao.org)友情提示：购买原版，饮水思源！
新东方考研高等数学电子教材
主讲：汪诚义
欢迎使用新东方在线电子教材
附录I
一、微分学在经济方面的应用
例1．设某企业每月需要使用某种材料2400公斤，每公斤成本150元，每年库存费为成本的6%，而每次订货费为100元。试求每批订货量为多少时，方使每月库存费和订货费之和最少？并求出这个最少费用（假设材料是均匀使用的）。
解：设每批订货x 公斤
∵均匀使用，平均库存量为批量的一半，即
x 150×0. 06，每公斤库存费为，每批库存费为212
150×0. 06x
×=0. 375x （元）
122
2400240000
订货费（元） ×100=
x x 240000
y =+0. 375x
x
240000
y ′=−+0. 375 2
x
令y ′=0 解出x 0=800 （另一负值不合题意舍去） y ′′
x 0=800
>0 ∴x 0=800为极小值点
∵只有唯一的极值，可知x 0=800也是最小值点 y
x =800
=600元
故每批订货800公斤，每月库存费与订货费之和为600元最少。
若另售价定为每件4元可卖出120件，如果每件售价减少0. 1元则可多卖出20 例2．某商品的成本每件3元，
件，试求该商品每件售价定为多少时，方可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：以x 表示卖出件数，售价为p 元/件，利润为L 则L =(p −3)⋅x ，由题意可知x −120=
20
(4−p ) 0. 1
于是 x =920−200p ，因此L =(p −3)(920−200p ) L =−200p +1520p −2760，L ′=−400p +1520 令L ′=0 得p =3. 8，
2
又L ′′=−400
∴当p =3. 8（元）时，L =128（元）为极大值也是最大值 例3．设某商品单价为p 时，售出商品数量为Q =
a
−c p +b
其中a , b , c 均为正数，且a >bc 。
（1）求p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；
（2）要使销售额最大，商品单价p 应取何值？最大销售额是多少？ 解：（1）设售出商品的销售额为R ，则
⎞⎛a
⎟R =pQ =p ⎜c −⎟， ⎜p +b ⎠⎝
R ′=
令R ′=0，得
ab −c (p +b )
2
p +b 2
。
p 0=
b
c
b ab
−b =
c c
a −>0。
)
当0
a −bc 时，有R ′>0。所以随单价p 的增加，相应的销售额也将增加。
)
当p >
b
c
a −bc 时，有R ′
b c
)
（2）由（1）可知，当p =
a −bc 时，销售额R 取得最大值，最大销售额为
)
R max
⎡⎤
⎥⎞⎢a ⎛ab
⎥⎟⎢=⎜⎜c −b ⎟⎢ab −c ⎥
⎠⎝
⎢⎥⎣c ⎦
= （p =
a −bc 。
)
2
ab a
−b , Q =−c =c p +b
a
−c ） ab c
例4．某商品进价为a （元/件），根据以往经验，当销售价为b （元/件）时，销售量为c 件（a , b , c 均为正常数，且b ≥
4
a ），市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价。试问，当销3
售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。
解：设p 表示降价后的销售价，x 为增加的销售量，L (x )为总利润，那么
则
x 0. 4c
=， b −p 0. 1b
b
x 。 4c
b ⎞
x −a ⎟(c +x )。 4c ⎠
p =b − 从而
L (x )=⎜b − 对x 求导，得
L ′(x )=− 令L ′(x )=0，得惟一驻点 x 0= 由问题的实际意义或L ′′(x 0)=−
⎛⎝
3b
x +b 2c 4
(3b −4a )c 。
2b
b
⎛3⎝8
1⎞a ⎟ 2⎠
p =b −⎜b − = 时，得最大利润
L (x 0)=
51
b +a （元） 82
c
(5b −4a )2（元）。 16b
2p 2
>0。 例5．设某商品需求量Q 是价格p 的单调减少函数：Q =Q (p )，其需求弹性η=2
192−p
（1）设R 为总收益函数，证明
dR
=Q (1−η)。 dp
（2）求p =6时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。 解：（1）R (p )=pQ (p )。 上式两边对p 求导数，得
dR dQ
=Q +p dp dp
⎛⎝
p dQ ⎞
⎟ Q dp ⎟⎠
=Q ⎜⎜1+
=Q (1−η)。 （2）
ER p dR p
==Q (1−η) Ep R dp pQ
=1−η
2p 2
=1−
192−p 2192−3p 2
=2
192−p
ER 192−3×627
= =≈0. 54
Ep p =613192−62
经济意义：当p =6时，若价格上涨1%，则总收益将增加0. 54%
例6．设某商品的需求函数为Q =100−5P ，其中价格P ∈(0, 20)，Q 为需求量。 （1）求需求量对价格的弹性E d (E d >0)；
（2）推导益增加。
dR
=Q (1−E d )（其中R 为收益），并用弹性E d 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收dP
解：（1）E d =
P P
Q ′=。 Q 20−P
（2）由R =PQ ，得
dR
=Q +P Q ′ dP
⎛⎝
P ⎞Q ′⎟ ⎟Q ⎠
=Q ⎜⎜1+
=Q (1−E d )。
又由E d =
P
=1，得P =10。
20−P
dR
当10
1，于是
故当10
二、多元函数微分学在经济方面的应用（数学三和数学四）
例1．某公司通过电视和报纸两种形式作广告，已知销售收入R （万元）与电视广告费x （万元），报纸广告费y （万元）有如下关系：
R (x , y )=15+14x +32y −8xy −2x −10y ，
2
2
（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略； （2）如果提供的广告费用为1. 5万元，求相应的广告策略。
解：（1）利润函数为L =R −(x +y )=15+13x +31y −8xy −2x −10y ，
2
2
⎧∂L
=13−8y −4x =0, ⎪⎪∂x
令 ⎨
∂L ⎪=31−8x −20y =0, ⎪⎩∂y
⇒x =
35⎛35⎞
，y =，⎜, ⎟为L (x , y )唯一的驻点。 44⎝44⎠
2
2
3535⎛5⎞⎛3⎞⎛35⎞
L ⎜, ⎟=15+13×+31×−8××−2×⎜⎟−10×⎜⎟
4444⎝4⎠⎝4⎠⎝44⎠
=39. 25万元
当电视广告费与报纸广告费分别为0. 75万元和1. 25万元时，最大利润为39. 25（万元），此即为最佳广告策略。
（2）求广告费用为1. 5万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件：x +y =1. 5下，L (x , y )的最大值。 令 F (x , y )=L (x , y )+λϕ(x , y )
=15+13x +31y −8xy −2x −10y +λ(x +y −1. 5)，
2
2
⎧F x ′=13−8y −4x +λ=0, ⎪
解方程组 ⎨F y ′=31−8x −20y +λ=0,
⎪
⎩x +y −1. 5=0,
⇒x =0，y =1. 5，这是唯一的驻点，又由题意L (x , y )一定存在最大值，故 L (0, 1. 5)=39（万元）为最大值。
例2．设生产某种产品必须投入两种要素，x 1和x 2分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数
αβ
Q =2x 1x 2，其中α, β为正常数，且α+β=1假设两种要素的价格分别为P 1和P 2，试问：当产出量为12时，
两要素各投入多少可以使投入总费用最小。
解：需要在产出量2x 1x 2=12的条件下，求总费用P 1x 1+P 2x 2的最小值，为此作拉格朗日函数 F (x 1, x 2, λ)=P 1x 1+P 2x 2+λ12−2x 1x 2
α
β
α
β
()
令
∂F α−1β
=P 1−2λx 1x 2=0 （1） ∂x 1
∂F αβ−1
=P 2−2λx 1x 2=0 （2） ∂x 2
∂F αβ
=12−2x 1x 2=0 （3） ∂λ
P αP 2βx 1
=，x 1=2x 2
P 1βP 1αx 2
由（1）和（2），得
将x 1代入（3），得
⎛P 1β⎞⎛P 2α⎞⎟⎜ x 2=6⎜，x 6=1⎜P α⎟⎜P β⎟⎟ ⎝2⎠⎝1⎠
⎛P 2α⎞⎛P 1β⎞
⎟⎜ 因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故说明x 1=6⎜，x 6=2⎜P β⎟⎜P α⎟⎟时，投入总费用最小。 ⎝1⎠⎝2⎠
例3．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P 1=18−2Q 1，
β
α
αβ
P 2=12−Q 2其中P 1, P 2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元／吨），Q 1和Q 2分别表示该产品在两个
市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 c =2Q +5
其中，Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q =Q 1+Q 2
（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。 解：（1）根据题意，总利润函数为 L =R −C =P 1Q 1+P 2Q 2−(2Q +5) =−2Q 1−Q 2+16Q 1+10Q 2−5
2
2
′1=−4Q 1+16=0 令L Q
′2=−2Q 2+10=0 L Q
，P 2=7（万元／吨） 解得Q 1=4，Q 2=5，则P 1=10（万元／吨）
因驻点(4, 5)唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，最大利润为 L =−2×4−5+16×4+10×5−5=52（万元）
（2）若实行价格无差别策略，则P 1=P 2，于是有约束条件2Q 1−Q 2=6构造拉格朗日函数 F (Q 1, Q 2, λ)=−2Q 1−Q 2+16Q 1+10Q 2−5+λ(2Q 1−Q 2−6)，
2
2
2
2
′1=−4Q 1+16+2λ=0 令 F Q
′2=−2Q 2+10−λ=0 F Q
F λ′=2Q 1−Q 2−6=0
解得 Q 1=5，Q 2=4，λ=2，则P 1=P 2=8，最大利润为 L =−2×5−4+16×5+10×4−5=49（万元）
由（1），（2）结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润
三．差分方程（数学三）
1．差分和差分方程概念
（1）差分概念
函数y =f (x )，记y x =f (x )，则y x +1=f (x +1)， 一阶差分 Δy k =y x +1−y x =f (x +1)−f (x )， 二阶差分 Δy x =Δ(Δy x )=Δy x +1−Δy x
2
2
2
=(y x +2−y x +1)−(y x +1−y x )=y x +2−2y x +1+y x ， ……
n 阶差分 Δy x =
n
∑(−1)C
i
i =0
n
i n
y x +n −i
（2）差分性质 （i ）Δ(cy x )=c Δy x
（ii ）Δ(y x ±z x )=Δy x ±Δz x （3）差分方程的概念
f x , y x , Δy x , , Δy x =0 或 g (x , y x , y x +1, , y x +n )=0
均是差分方程。
（i ）差分方程的阶就是差分方程中出现差分的最高阶数。
（ii ）差分方程的解就是代入差分方程，能使之成为恒等式的函数。
（iii ）差分方程的通解就是差分方程的解中所含独立的任意常数的个数恰等于方程阶数的解。 （iv ）差分方程的特解就是差分方程的解中不含任意常数或通解中的任意常数已被确定的解。 （v ）初始条件就是确定差分方程通解中任意常数的条件。
2．一阶常系数线性差分方程的求解方法
（1）齐次方程 y x +1−ay x =0 （a ≠0常数） 通解 y x =ca c 为任意常数
x
(
n
)
（2）非齐次方程 y x +1−ay x =f (x ) （a ≠0常数） 通解 y x =y x +ca c 为任意常数
y x 为非齐次方程的特解，先根据f (x )形状确定其形状，再用待定系数法。 （i ）f (x )=b （常数）
若a ≠1，设y x =A （待定常数）算出y x =
x
b 1−a
若a =−1，设y x =Ax 算出y x =bx （ii ）f (x )=b 0+b 1x
若a ≠1，设y x =A 0+A 1x 算出y x =b 0+b 1x （b 0, b 1常数）
若a =−1，设y x =A 0x +A 1x 算出y x =⎜b 0− （iii ）f (x )=b ⋅d
x
2
⎛⎝1⎞1
b 1⎟x +b 1x 2 2⎠2
若a −d ≠0，设x =Ad 算出x = （b , d 为常数）
x
b
d x d −a
若a −d =0，设x =Axd 算出x =bxd
x x −1
（iv ）f (x )=b 1cos ω x +b 2sin ω x , b 1, b 2, ω均为常数 若D =(cos ω−a )+sin
2
2
ω≠0，
设x =A 1cos ω x +A 2sin ω x ， 算出 A 1=
1
[b 1(cos ω−a )−b 2sin ω] D 1
A 2=[b 1(cos ω−a )+b 2sin ω]
D
若D =0，设x =x [A 1cos ω x +A 2sin ω x ] 算出 A 1=b 1，A 2=b 2或A 1=−b 1，A 2=−b 2 （v ）f (x )=bx
n
若a ≠1，
设x =A 0+A 1x + +A n x 若a =1，
(
n
)（b 常数，n 正整数）代入方程确定常数。
设x =x A 0+A 1x + +A n x 3、典型例题
例1．求解y x +1+2y x =5x 解：相当a =−2， ∴齐次方程通解为C (−2)
x 2
(
n
)代入方程确定常数
令非齐次方程特解x =A 0+A 1x +A 2x 代入方程化简后 3A 0+A 1+A 2+(3A 1+2A 2)x +3A 2x =5x
2
2
2
⎧3A 2=5⎪
⎨3A 1+2A 2=0
⎪3A +A +A =0
12⎩0
5105，A 1=−，A 0=− 392752105
故x =x −x −
3927
52105x
通解为y x =C (−2)+x −x −
3927
解出A 2= 例2．
（1）设y t =t ，试计算Δy t ，Δy t ，Δy t （2）求差分方程y t +1−3y t =2的通解 （3）求差分方程2y t +1−6y t =3的通解
解：（1）Δy t =y t +1−y t =(t +1)−t =3t +3t +1
3
3
2
t
323
Δy t +1=y t +2−y t +1=(t +2)−(t +1)=3t +9t +7
3
3
2
Δy t +2=y t +3−y t +2=(t +3)−(t +2)=3t +15t +19
3
3
2
Δy t =Δy t +1−Δy t =6t +6 Δy t +1=Δy t +2−Δy t +1=6t +12 Δy t =Δy t +1−Δy t =6
（2）对应齐次方程通解为C 3（C 为任意常数） 非齐次方程特解x =−1 ∴非齐次方程通解y t =C 3−1
（3）对应齐次方程2y t +1−6y t =0，a =3，通解为C 3
t
t t
3
2
2
2
2
11t
3，a =3，d =3，b =
22
b 1t
现在a −d =0，故令x =At 3，A ==
d 6
1t t
因此所求通解为y t =t 3+C 3
6
非齐次方程y t +1−3y t =
例3．设某种商品t 时刻供给量S t ，需求量D t ，价格P t 它们关系为
S t =3+2P t ；D t =4−3P t −1，又假定在每个时期中S t =D t ，且当t =0时，P t =P 0求价格随时间t 变化的规律。
解：∵S t =D t ， ∴3+2P t =4−3P t −1， 即P t +
31P t −1= 22
3
≠1， 2
这是一阶常系数线性非齐次差分方程，由于a =− 故方程特解为 t =
11+
32
=
1 5
t
t
1⎛3⎞⎛3⎞
对应齐次方程通解为C ⎜−⎟，于是P t =+C ⎜−⎟
5⎝2⎠⎝2⎠
又t =0时P t =P 0确定常数C =P 0−
1， 5
1⎛1⎞⎛3⎞
故P t =+⎜P 0−⎟⎜−⎟
5⎝5⎠⎝2⎠
t
附录 II
（数学一和数学二的补充资料）
一、曲率（数学一和数学二）
f (x )，它在点M (x , y )处的曲率k =
设曲线y =
y ′′
1+(y ′)2
3
，若k ≠0，则称R =
1
为点M (x , y )处的曲率半k
径，在M 点的法线上，凹向这一边取一点D ，使MD =R ，则称D 为曲率中心，以D 为圆心，R 为半径的圆周称为曲率圆。
（数学一和数学二） 例、求曲线y =ln x 上曲率最大的点。
解：由y =ln x ⇒y ' =
11
, y ' ' =−2, 于是y =ln x 曲率为 x x
−
k (x ) =
y ' '
1+(y ' ) 23/2
1
x x 2
==
13/2(1+x 2) 3/2
(1+2)
x
(1+x 2) 3/2−3x 2(1+x 2) 1/21−2x 2
=从而k ' (x ) = 2325/2
(1+x ) (1+x )
令k ' (x ) =0，在ln x 的定义域(0, +∞) 内取得驻点x =
22
，当x >时，k ' (x )
x
22
时，k ' (x ) >0, 即k (x ) 单调增加，故知k (x ) 在x =处取得唯一的极大值，亦即最大值。因此，y =ln x 22
22
, ln 。 22
上，曲率最大的点为(
二、平面曲线的弧长（数学一和数学二）
1．直角坐标系
设光滑曲线y =y (x )，(a ≤x ≤b )[也即y (x )有连续的导数] 弧长S =
∫
b
a
+y ′x dx
22
而dS =+y ′x dx 也称为弧微分
2．极坐标系
设光滑曲线r =r (θ)，(α≤θ≤ 弧长S =
β
β)[r (θ)在[α, β]上有连续导数]
22′′+r θr θd θ ∫α
3．参数方程所表曲线的弧长
⎧x =x (t )(α≤t ≤β)[x (t )，y (t )在[α, β]上有连续的导数] 设光滑曲线C ⎨
()y y t =⎩
曲线C 的弧长S =
22
′′+x t y t dt ∫α
β
例1、 求星形线x +y
2323
=a 的周长（a >0常数）
3
3
23
解：星形线的参数方程x =a cos t , y =a sin t , (0≤t ≤2π)
π
π
周长l =4
2
∫
20
x ' (t )]+[y ' (t )]dt =12a ∫2sin t cos tdt
22
π
=6a sin t |02=6a
例2、 求心形线r =a (1+cos θ), (0≤θ≤2π) 的周长 解：l =2
π
∫
π
r (θ)]+[r ' (θ)]d θ=2a ∫
22
π
1+cos θ]2+[sinθ]2d θ
=2a ∫2cos d θ=8a
02
θ
a 2
例3、 求曲线y =a ln 2, (0≤x ≤b
a −x
解：l =
∫
b
+(y ' ) dx =∫
2
b
4a 2x 2
dx +2
22
(a −x )
=∫
b
b 2a 2a 2+x 2
−1]dx dx =∫[2
2220a −x a −x
=a ln
a +x b a +b
|0−b =a ln −b a −x a −b
三、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）
设平面曲线C =∩位于x 轴上方，它绕x 轴一周所得旋转曲面的面积为S 。
AB
1．设AB 的方程为y =y (x )(a ≤x ≤b ) 则S =2π
∩
∫
b
a
y (x +y ′x dx
2
2．设AB 的极坐标方程为r =r (θ)，(α≤θ≤ 则S =2π
∩
β)
∫α
β
r (θ)sin θr ′θ2+r ′θ2d θ
β)
3．设AB 的参数方程为x =x (t )，y =y (t )，(α≤t ≤ 则S =2π
∩
∫α
β
y (t x ′t +y ′t dt
2
2
∩
4．设AB 以弧长S 为参数的参数方程x =x (s ), y =y (s ), (0≤s ≤l )
则S =2π
∫
l
y (s ) ds
例1、 求下列旋转面的面积
（1）y =sin x (0≤x ≤π), y =0围成的图形绕x 轴旋转所得曲面； （2）r =a (1+cos θ)(a >0) 绕极轴旋转所成曲面
解：（1）该旋转面的面积为
S =2π∫y +y ' 2dx =2π∫sin x +cos 2xdx
ππ
=−2π∫
1−1
π
+cos 2x d (cosx )
2
10
=2π∫+u du =4π∫+u 2du
=4π[
u 1
+u 2+ln(u ++u 2)]|10 22
=2π(2+ln(1+2))
（2）这是心形线r (θ) =a (1+cos θ) ，则r (−θ) =r (θ) ，曲线关于极轴对称，在极轴上方部分，于是它绕极轴转所成曲面的面积为
r =
a (1+cos θ), 0≤θ≤π
知识宝库考研社区(www.1zhao.org)友情提示：购买原版，饮水思源！
于是S =2π
π
∫
π
r (θ) sin θr 2(θ) +[r ' (θ)]2d θ
=2π∫a (1+cos θ) a 2(1+cos θ) 2+a 2sin 2θsin θd θ
=−2π∫
π
2a (1+cos θ) d (1+cos θ)
5
2
2
32
2322
=−22a π(1+cos θ) 2|π=πa 0
55
[(1+cos θ) 2+sin 2θ=+2cos θ+cos 2θ+sin 2θ=2(1+cos ) ]
2a
3
⎧⎪x =a cos t
(0≤t ≤2π) 绕直线y =x 旋转一周所得旋转体的侧（表）面积 例2、 求由星形线⎨3
⎪⎩y =a sin t
解：考虑t ∈[
π3
3π5
, π]，而t ∈[, π]与之对称。 4444
a sin 3t −a cos 3t
曲线上一点M (t )(x (t ), y (t )) 它到直线y =x 的距离d (t ) =
2
而M (t ) 到M (t +dt ) 一段弧长为
dl =x ' (t )]2+[y ' (t )]2dt =3a sin t cos t dt (∵cos 2t +sin 2t =1)
则微元侧（表）面积
dS =2πd (t ) dl =32πa 2sin 3t −cos 3t t cos t dt
则整个侧面面积（这个问题也是表面积）为
S =62πa
2
π
3π4
sin 3t −cos 3t sin t cos t dt
4
3
=πa 2(42−1) 5
（积分时，为了去掉绝对值符号还必须分成[
ππ
π3π
, ]和[, ]两段进行，在后面一个区间上cos t 是负的） 4224
四、微分学的应用（数学一和数学二）
例1、用面积为A 的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶。问油桶的直径为多长时，油桶的容积最大？又这时油桶的高是多少？
解：设油桶的直径为x ，高为y ，容积为V 。则V =π(y , A =2π(+2π⋅解出y =
x 2
2
x 2
2
x π
⋅y =x 2+πxy , 由后一式22
A x
−代入前一式，得目标函数 πx 2A x A ππ
V =x 2(−) =x −x 3(x >0)
πx 2448A 32
求导，有V ' =−πx , 令V ' =0即
48
A 32
−πx =0 48
2A 32A
（负根舍去）。又V ' ' =−πx , V ' ' []
2A
时，其容积最大，这时油桶的高 3π
2A
3π
2A
是V (x ) 的唯一极大值点，它也是3π
解得驻点x =
最大值点，即圆柱油桶的直径为
y =
A x A 3π12A −=⋅−=πx 2π2A 23πA ⋅3π
=2A
（∵
π
3A 32A 32A
=(2=） 2π23π23π
例2、某窗的形状为半圆置于矩形之上，若此窗框的周长为一定值l ，试确定半圆的半径r 和矩形的高h ，使所
能通过的光线最为充足。
解：本题实际是求窗的面积最大时的圆半径r 和矩形高h 的值，设窗的面积为S ，则有
S =
π
2
r 2+2rh , 满足条件l =πr +2r +2h
l 11
(l −πr −2r ) 代入S 中得S =πr 2+r (l −πr −2r ) (0
π+222
解出h =
则S ' (r ) =πr +l −2(π+2) r =l −(π+4) r , 令S ' (r ) =0, 解出r 0=
l π+4l l
由于此问题只有唯一的驻点，所以它必为所求，因此r =和h =时S 面积最大，亦即通过光线最充
π+4π+4
足。
例3、把一根长为a 的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各长多少时，圆形面积与正方形面积之和最小？ 解：（1）建立目标函数，设圆形周长为x ，则正方形周长为a −x ，圆形面积与正方形面积之和为
x 2a −x 24+π2a a 2S =π() +(=x −x +
2π416π816
这就是目标函数
（2）求目标函数S (x ) 的最小值点
(0a a πa π4+π4+π
。又S ' ' =>0, 故x =是S (x ) 的唯一极小值点，它也x −=0, 得唯一驻点x =
4+π4+π8π88π
a πa π4a
是S (x ) 的最小值点。因此，当铅丝两段长分别为与a −时，所围圆形面积与正方形面积之=
4+π4+π4+π
令S ' =和最小。
x 2y 2
例4、在椭圆2+2=1位于第一象限的部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积
a b
为最小（其中a >0，b >0）。
知识宝库考研社区(www.1zhao.org)友情提示：购买原版，饮水思源！
分析：先写出如图所示阴影部分面积的表达式，然后再求其最小值。 解：设P (x 0, y 0) 为所求的点，则可得此点处的切线方程为
xx 0yy 2
+2=1 2a b
b 2令x =0，得该切线在y 轴上的截距为，
y 0a 2
令y =0，得该切线在x 轴上的截距为
x 0
于是所求阴影部分的面积为
1a 2b 21S =−πab x 0∈(0, a )
2x 0y 04
为求S 的最小值，可改为求A =x 0y 0=
2
b a 2−2x 0
=0 A ' =
22a a −x 0
bx 0
a
2
a 2−x 0的最大值。令
得(0, a ) 内唯一驻点x 0=
a
。且A ' 在x 0=
a
2
的左侧为正，右侧为负，从而x 0=
a
2
为A 的极大值点，即是
S 的极小值点，而S (
a
2
) 为S 的极小值。因此所求之点为(
a
2
,
b
)
五、积分学的应用（数学一和数学二）
例1．由抛物线y =x 及y =4x 绕y 轴旋转一周构成一旋转抛物面的容器（剖面图见图），高为H 。现于其中盛水，水高
2
2
H
，问要将水全部抽出，外力需作多少功？
2
解：设水的比重为μ，图中阴影部分的水重量为
π⎜y −⎟dy ⋅μ=π μ ydy
⎛⎝y ⎞4⎠
34
抽出这部分水外力需作的功为 dW =
3
π μ y (H −y )dy 4
故抽出全部水外力需作的功
31
W =π μ ∫2y (H −y )dy =π μ H 3
0416
例2．半径为R 的球沉入水中，上顶点与水面相切，将球从水中取出要作多少功？（设球的比重为
1）
H
解：首先建立坐标系，取x 轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心。见图
任取[−R , R ]中的小区间[x , x +dx ]相应的球体中的薄片，其重量为πR −x dx ，在水中时浮力与重量相
2
2
()
等。当球从水中移出时，此薄片离水面的距离是R +x ，故对它需作功 dW =(R +x )πR −x dx
2
2
()
因此，将球从水中取出时要作功 W =
∫
R
−R
π(R +x )(R 2−x 2)dx =π∫R (R 2−x 2)dx =2πR ∫(R 2−x 2)dx =πR 4
R
R
−R
43
例3．某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h ，应为多少
m （米）？
解：如图建立坐标系，则抛物线的方程为y =x 。闸门矩形部分承受的水压力 P 1=2
2
∫
h +1
1
ρg (h +1−y )dy
h +1
⎡y 2⎤2
=2ρg ⎢(h +1)y −⎥=ρgh ，
2⎦1⎣
其中ρ为水的密度，g 为重力加速度。闸门下部承受的水压力
P 2=2
∫ρg (h +1−y 0
1
y dy
=4ρg ⎜h +
⎛1⎝32⎞⎟。 15⎠
P 15h 25=，即=，得h =2， 由题意知，
2⎞4P 24⎛1
4⎜h +⎟
15⎠⎝3
h =−
1
（舍去），故h =2。即闸门矩形部分的高应为2m 。
3
例4．设有一质量均匀的细直杆AB ，其长为l ，质量为M 。
在AB 的延长线上与端点B 的距离为a 处有一质量为m 的质点N 1，试求细杆对点N 1的引力
解：建立坐标系如图，积分变量为x ，积分区间为[0, l ]，细杆在[x , x +dx ]这一段的质量为dM =
M
dx ， l
M
dx ⋅m
， 该小段对位于N 1处的质点的引力为dF =k l +a −x 2
其中k 为引力系数，于是细杆AB 对质点N 1的引力为
kMm l dx kMm Mm
F =∫k dx == 22∫00l a l +a l +a −x l l +a −x l
六、微分方程的应用（数学一和数学二）
1、几何方面
例1、 在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点P (x , y ) 处的曲率等于此曲线在该点法线段PQ 长度的倒数
（Q 是法线与X 轴的交点），且曲线在点(1, 1) 处的切线与X 轴平行
解：见图，所求曲线为y =f (x ) ，于是其在P (x , y ) 点处的曲率为
K =
y ' '
(1+y ' )
2
3
2
=
y ' '
（因为曲线为凹的，故y ' ' >0） 2
(1+y ' )
曲线y =f (x ) 在P (x , y ) 点处的法线方程
Y −y =−
1
(X −x ) (y ' ≠0) y '
它与X 轴的交点Q 的坐标Q (x +yy ' , 0), 于是
PQ =(yy ' ) +y =y (1+y ' )
由题设K =
222
12
1
，即PQ
y ' '
(1+y ' 2)
32
=
1y (1+y ' 2)
12
,
⇒yy ' ' =1+y ' 2－这是不显含x 的方程，初始条件为y |x =1=1, y ' |x =1=0
令y ' =p , y ' ' =p
dp
，于是方程变为 dy
yp ⇒
dp p dy =1+p 2⇒dp = dy y 1+p 2
1
ln(1+p 2) =ln y +C 1, 代入y ' |x =1=0, 得C 1=0 2
⇒p 2=y 2−1⇒p =±y 2−1, 积分得
ln(y +y 2−1) =±(x −1) +C 2, 代入y |x =1=1, 得C 2=0
故所求曲线为y +
y 2−1=e ±(x −1) , 即y =
1x −1
(e +e −(x −1) ) 2
[∵y −y 2−1=
1y +y 2−1
=e ∓(x −1) ]
例2、 已知曲线过(1, 1) 点，如果把曲线上任一点P 处的切线与y 轴的交点记作Q ，则以PQ 为直径所做的圆都
经过点F (1, 0) ，求此曲线方程。
解：作草图（见图），所求曲线设为y =f (x ), 于是切线方程为
Y −y =−y ' (X −x )
切线PQ 与y 轴的交点Q 的坐标为Q (0, y −xy ' ) 设M 点为切线段PQ 的中点，坐标为(, y −
x
2xy ' 2
因为圆经过点F (1, 0) ，所以MQ =MF ，于是得方程
121⎧
⎪yy ' =y −1+,
x x （*） ⎨⎪⎩y |x =1=1
令y =Z ，则方程（*）⇒
2
1211
(y )' =y 2−1+ 2x x
2
Z −2+x 2
（1）Z ' =Z ⇒
x ⇒Z ' =2
, （**） x
dZ 2
=dx ⇒ln Z =2ln x +ln C , Z =Cx 2 Z x
2
（2）令Z =C (x ) x 为（**）的解，代入并整理，得
22221
⇒C ' (x ) =−2+3⇒C (x ) =−2+C ,
x x x x x
2122
故（**）的通解为Z =(−2+C ) x =2x −1+,
x x C ' (x ) x 2=−2+
即方程的通解为y =2x −1+, 代入初值y |x =1=1, 得=0 于是所求曲线为y =2x −1
22
2
M (r , θ) 为L 上任一点，M 0(2, 0) 为L 上一定点。若极径OM 0, OM 例3、 设曲线L 的极坐标方程为r =r (θ) ，
与曲线L 所围成的曲边扇形的面积值等于L 上M 0、M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。
1θ222
解：曲边扇形的面积公式为S =∫r (θ) d θ。又弧微分dS =r +r ' d θ, 于是由题设有
20
1θ21θ22
r (ρ) d ρ=r (ρ) +r ' (ρ) d ρ ∫∫0022
两边对θ求导，即得r (θ) =
2
r 2(θ) +r ' (θ) 2，所求r 所满足的微分方程为
dr dr =±r 4−r 2=±r r 2−1, 即=±d θ（它与原方程等价）
2d θr r −1
注意到
∫r
dr r 2−1
=∫
dr r 2−
1r 2
=−arcsin
π1
再由条件r (0) =2, 可知C =, 所以曲=±θ+C 为方程的通解，
r 6
线L 的方程为：r sin(
π
6
±θ) =1
2、微分方程在物理力学方面的应用
例1．从船上向海中沉放某种探索仪器，下沉深度y （从海平面算起），下沉速度v ，下沉过程中受到阻力和浮力，仪器质量m ，体积B ，海水比重ρ，阻力与v 成正比（比例系数k >0）试建立y 与v 所满足方程，并求y =y (v )。
解：根据牛顿第二定律
d 2y
m 2=mg −B ρ−kv
dt
∵v =
dy ， dt
d 2y dv dv ∴2==v
dt dy dt
则 dy =
mv
dv ，v =0，
y =0mg −B ρ−kv
m m (mg −B ρ)mg −B ρ−kv
v −ln 2k mg −B ρk
得 y =−
例2．某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增加阻力，使
飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km /h 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k =6. 0×10）问从着陆点算起滑行的最长距离是多少？
解：由题设，飞机的质量m =9000kg ，着陆时的水平速度v 0=700km /h 。从飞机接触跑道开始计时，设
6
t 时刻飞机的滑行距离为x (t )，速度为v (t )。
解一：根据牛顿第二定律，得
dv
=−kv 。 dt
dv dv dv dx
又 =⋅=v ，
dx dt dx dt
m
由以上二式得 dx =−
m
dv ， k
m
v +C 。 k
积分得 x (t )=−
由于 v (0)=v 0，x (0)=0，
m
v 0， k m
从而 x (t )=(v 0−v (t ))。
k
故得 C = 当v (t )→0时， x (t )→
mv 09000×700
==1. 05(km ) 6k 6. 0×10
所以，飞机滑行的最长距离为1. 05km 。 解二：根据牛顿第二定律，得m 所以
dv
=−kv ， dt
dv k
=−dt 。 v m
k
−t m
两端积分得通解v =Ce
k −t m
，代入初始条件v
t =0
=v 0解得C =v 0，
故 v (t )=v 0e
。
飞机滑行的最长距离为 x =
∫
+∞
k
mv 0−m +∞mv 0
v (t )dt =−e ==1. 05(km )。
0k k
解三：根据牛顿第二定律，得
dx d 2x
m 2=−k ，
dt dt d 2x k dx
+=0， 2
m dt dt
其特征方程为λ+ 故 x =C 1+C 2e
2
k k
λ=0，解之得λ1=0，λ2=−， m m
。
k
k −t m
kC 2−m dx
=0，v ==−e =v 0， 由x
t =0t =0dt t =0t =0m
得 C 1=−C 2=
mv 0
， k
k −⎞⎛
⎜1−e m ⎟。 ⎜⎟⎝⎠
mv 0
于是 x (t )=
k
当t →+∞时，x (t )→
mv 0
=1. 05(km ) k
所以，飞机滑行的最长距离为1. 05km 。
七、方向导数与梯度（数学一）
1、平面情形
z =f (x , y ) 在平面上过点P 0(x 0, y 0) 沿方向l =(cosα, cos β) 的方向导数
f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) −f (x 0, y 0) ∂f
|(x 0, y 0) =lim
t →0t ∂l
z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处的梯度为 ⎛∂f (x 0, y 0) ∂f (x 0, y 0) ⎞
⎟, gradf (x 0, y 0) =⎜⎟ ⎜∂x ∂y ⎠⎝
而方向导数与梯度的关系为
∂f
|(x 0, y 0) =[gradf (x 0, y 0)]⋅l ∂l
=gradf (x 0, y 0) cos(gradf (x 0, y 0ˆ) , l )
由此可见，当l 的方向与gradf (x 0, y 0) 的方向一致时，又方向导数与偏导数的关系为
∂f
|(x , y ) 为最大，这时等于gradf (x 0, y 0) ∂l 00
∂f (x 0, y 0) ∂f (x 0, y 0) ∂f
|(x 0, y 0) =cos α+cos β ∂l ∂x ∂y
这相当用两向量的点乘的坐标公式
2、空间情形
u =f (x , y , z ) 在空间上过点P 0(x 0, y 0, z 0) 沿方向l =(cosα, cos β, cos γ) 的方向导数
f (x 0+t cos α, y 0+t cos β, z 0+t cos γ) −f (x 0, y 0, z 0) ∂f
|(x 0, y 0, z 0) =lim
0t →t ∂l
u =f (x , y , z ) 在点P 0(x 0, y 0, z 0) 处的梯度
⎛∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f (x 0, y 0, z 0) ⎞
⎟gradf (x 0, y 0, z 0) =⎜, , ⎜⎟∂x ∂y ∂z ⎝⎠
而方向导数与梯度的关系为
=gradf (x 0, y 0, z 0) cos(gradf (x 0, y 0, z 0) , l )
由此可见，当l 的方向与gradf (x 0, y 0, z 0) 的方向一致时，又方向导数与偏导数的关系为
∂f
|(x , y , z ) =[gradf (x 0, y 0, z 0)]⋅l ∂l 000
∂f
|(x 0, y 0, z 0) 为最大，这时等于gradf (x 0, y 0, z 0) ∂l
∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f
|(x 0, y 0, z 0) =cos α+cos β+cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z
例1．求函数z =ln x +y
(
22
)在点P (x , y )沿与此点的等位线外法线方向上的方向导数和梯度。
2
解：等位线方程为ln x +y
(
2
)=ln c
y 0
2
，即x +y =c
222
过P 0(x 0, y 0)的外法线方向的方向余弦 cos α=
x 0x +y
20
20
，cos β=
x +y
2020
∴
x 0y 0∂z ∂z ∂z
=⋅+⋅
2222()x , y ∂l (x 0, y 0)∂x (x 0, y 0)x 0∂y 00+y 0x 0+y 0
⎞2x 0⎛x 0
⎜⎟+2y 0
=2
2⎜2222⎟+x 0+y 0x y +x y 000⎠⎝0
=
⎛⎞y 0
⎜⎟ ⎜x 2+y 2⎟
0⎠⎝0
2
x +y
2
020
(gradz )
⎛2x 02y 0
, =⎜2222
(x 0, y 0)⎜⎝x 0+y 0x 0+y 0⎞
⎟ ⎟⎠
例2．求函数z =1−x +y
(
22
)在点P ⎛⎜
1
⎝2
,
1⎞
⎟处沿x 2+y 2=1的内法线方向上的方向导数和梯度。 2⎠
解：x +y =1上点P 0⎜
22
⎛1⎝2
,
1⎞
⎟处内法线的方向余弦 2⎠
，
cos α=−
1，cos β=−
12
又
∂z ∂z
，=−2⎛11⎞⎛11⎞=−2
, , ⎟⎟∂x ⎜∂y ⎜⎝22⎠⎝22⎠∂z ⎛1⎞⎛1⎞
⎟+−2⎜−⎟=2 ⎛11⎞=−2⎜−
, ⎟∂l ⎜2⎠2⎠⎝⎝⎝22⎠
1⎞=−2, −2 ⎟2⎠
因此
()()
(gradz ⎛1
⎜⎝2
,
()
例3．求函数u =
1
γ
=
1x +y +z
2
2
2
在非原点P 0(x 0, y 0, z 0)处梯度的大小和方向。
解：
∂u 1x x =−2⋅=−3， ∂x γγγ
∂u y =−3 ∂y γ∂u z =−3 ∂z γ
⎛x 0y 0z 0⎞
=⎜−3, −3, −3⎟⎟P 0⎜⎝γ0γ0γ0⎠
222
x 0+y 0+z 0
(gradu )
其中γ0= 梯度大小 gradu
P 0
=
1
γ
3
(x
20
+y +z
20
1220
=
1
γ
20
梯度的三个方向余弦 cos α=cos ∠(gradu , i )=−
x 0
γ
20
cos β=cos ∠(gradu , j )=−
y 0
γ
20
cos γ=cos ∠(gradu , k )=−
z 0
2γ0
八、多元函数微分法的几何应用（数学一）
1．曲面上一点处的切平面和法线
曲面F (x , y , z )=0，点(x 0, y 0, z 0)
切平面：F x ′(x 0, y 0, z 0)(x −x 0)+F y ′(x 0, y 0, z 0)(y −y 0)+F z ′(x 0, y 0, z 0)(z −z 0)=0 法线：
x −x 0y −y 0z −z 0
==
′′′F x x 0, y 0, z 0F y x 0, y 0, z 0F z x 0, y 0, z 0
2．空间曲线上一点处的切线和法平面
空间曲线x =x (t )，y =y (t )，z =z (t )，点(x 0, y 0, z 0)，x 0=x (t 0)，y 0=y (t 0)，z 0=z (t 0)。 切线：
x −x 0y −y 0z −z 0
== ′′′x t 0y t 0z t 0 法平面：x ′(t 0)(x −x 0)+y ′(t 0)(y −y 0)+z ′(t 0)(z −z 0)=0
3．典型例题
例1．求椭球面x +2y +3z =21上某点的切平面π的方程，要求π通过已知直线
2
2
2
1
x −6y −3 L :==21−1
z −
解：令F (x , y , z )=x +2y +3z −21=0设所求之点P (x 0, y 0, z 0)则其切平面为
2
2
2
2x 0(x −x 0)+4y 0(y −y 0)+6z 0(z −z 0)=0化简为 x 0x +2y 0y +3z 0z −x 0+2y 0+3z 0=0 即 x 0x +2y 0y +3z 0z −21=0 下面找出关于x 0, y 0, z 0的三个条件
（1）在L 上取一点（尽量简单）⎜0, 0, ⎟代入得0+0+
(
222
)
⎛
⎝7⎞2⎠
21
z 0−21=0∴z 0=2 2
（2）法向量n (x 0, 2y 0, 3z 0)应与L 的方向向量(2, 1, −1)垂直，2x 0+2y 0−3z 0=0， ∵z 0=2，∴y 0=3−x 0 （3）(x 0, 3−x 0, 2)应在椭球面上 x 0+2(3−x 0)+3(2)−21=0
2
2
2
得x 0=1或x 0=3
共有两个点P 1(1, 2, 2)，P 2(3, 0, 2)对应切平面方程
π1:x +4y +6z −21=0 π2:x +2z −7=0
⎧x =t e u cos udu
∫0⎪⎪
例2．求曲线Γ⎨y =2sin t +cos t 在t =0处的切线和法平面方程。
⎪3t
=+z 1e ⎪⎩⎧x =0⎪
解：当t =0时，⎨y =1，
⎪z =2⎩
x ′=e cos t ，x ′(0)=1；y ′=2cos t −sin t ，y ′(0)=2；z ′=3e ，z ′(0)=3，
t
3t
故 切线方程为
x −0y −1z −2
==。 123
法平面方程为x +2(y −1)+3(z −2)=0，即
x +2y +3z −8=0
例3．证明曲面x +y +z
23
23
23
23
23
=a 上任意一点的切平面在各坐标轴上截距平方和为a 2
23
23
23
证：令F (x , y , z )=x +y +z −a ，
2−32−32−3′′′ F x =x ，F y =y ，F z =z 。
333
故 在曲面上任一点(x 0, y 0, z 0)处切平面方程为 x 0
−
111
13
(x −x 0)+y 0(y −y 0)+z 0(z −z 0)=0，
−
13
−
13
在上式中令y =z =0得切平面在x 轴上的截距为
2⎞⎛2
33⎟z x =x 0+x ⎜y 0+0⎟ ⎜
⎠⎝22⎞⎛2
333⎟ =x ⎜x 0y z ++00⎟ ⎜
⎠⎝
1
30
23130
130
=x a ，
由曲面方程的对称性，可知切平面在y , z 轴上的截距分别为 y =y a ，z =z a ，
130
23
130
23
⎞⎛2
222
故 x +y +z =⎜a 3⎟⎜⎟
⎝⎠
43
2
22
⎞⎛2
⎜x 03+y 03+z 03⎟
⎟⎜
⎠⎝2
3
=a ⋅a
=a 2。
例4、 证明曲面S :F (ax −by , cx −bz ) =0上任一点处的切平面与常向量平行，其中a , b , c 为常数，
a 2+b 2+c 2≠0, F (u , v ) 有一阶连续的偏导数。
分析：由曲面方程求出任一点处的法向量n ，曲面上任意点处的切平面与常向量l 平行⇔n ⋅l =0, 由此若能确定l ，则得证。
证：记G (x , y , z ) =f (ax −by , cx −bz ), 则
∂G
=aF 1' +cF 2' , ∂x ∂G
=−bF 1' , ∂y ∂G
=−bF 2' ∂z
引入函数G 后，曲面S 的方程可写为G (x , y , z ) =0, 则S 上任一点处的法向量为
n ={aF 1' +cF 2' , −bF 1' , −bF 2' }
n 与某向量l ={l 1, l 2, l 3}垂直⇔n ⋅l =(al 1−bl 2) F 1' +(cl 1−bl 3) F 2' =0
当l 1, l 2, l 3满足al 1−bl 2=0, cl 1−bl 3=0时恒有n ⋅l =0。因此可取l ={b , a , c },则n ⋅l =0。S 上任一点的切平面与l ={b , a , c }平行。
知识宝库考研社区(www.1zhao.org)友情提示：购买原版，饮水思源！
新东方考研高等数学电子教材
主讲：汪诚义
欢迎使用新东方在线电子教材
附录I
一、微分学在经济方面的应用
例1．设某企业每月需要使用某种材料2400公斤，每公斤成本150元，每年库存费为成本的6%，而每次订货费为100元。试求每批订货量为多少时，方使每月库存费和订货费之和最少？并求出这个最少费用（假设材料是均匀使用的）。
解：设每批订货x 公斤
∵均匀使用，平均库存量为批量的一半，即
x 150×0. 06，每公斤库存费为，每批库存费为212
150×0. 06x
×=0. 375x （元）
122
2400240000
订货费（元） ×100=
x x 240000
y =+0. 375x
x
240000
y ′=−+0. 375 2
x
令y ′=0 解出x 0=800 （另一负值不合题意舍去） y ′′
x 0=800
>0 ∴x 0=800为极小值点
∵只有唯一的极值，可知x 0=800也是最小值点 y
x =800
=600元
故每批订货800公斤，每月库存费与订货费之和为600元最少。
若另售价定为每件4元可卖出120件，如果每件售价减少0. 1元则可多卖出20 例2．某商品的成本每件3元，
件，试求该商品每件售价定为多少时，方可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：以x 表示卖出件数，售价为p 元/件，利润为L 则L =(p −3)⋅x ，由题意可知x −120=
20
(4−p ) 0. 1
于是 x =920−200p ，因此L =(p −3)(920−200p ) L =−200p +1520p −2760，L ′=−400p +1520 令L ′=0 得p =3. 8，
2
又L ′′=−400
∴当p =3. 8（元）时，L =128（元）为极大值也是最大值 例3．设某商品单价为p 时，售出商品数量为Q =
a
−c p +b
其中a , b , c 均为正数，且a >bc 。
（1）求p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；
（2）要使销售额最大，商品单价p 应取何值？最大销售额是多少？ 解：（1）设售出商品的销售额为R ，则
⎞⎛a
⎟R =pQ =p ⎜c −⎟， ⎜p +b ⎠⎝
R ′=
令R ′=0，得
ab −c (p +b )
2
p +b 2
。
p 0=
b
c
b ab
−b =
c c
a −>0。
)
当0
a −bc 时，有R ′>0。所以随单价p 的增加，相应的销售额也将增加。
)
当p >
b
c
a −bc 时，有R ′
b c
)
（2）由（1）可知，当p =
a −bc 时，销售额R 取得最大值，最大销售额为
)
R max
⎡⎤
⎥⎞⎢a ⎛ab
⎥⎟⎢=⎜⎜c −b ⎟⎢ab −c ⎥
⎠⎝
⎢⎥⎣c ⎦
= （p =
a −bc 。
)
2
ab a
−b , Q =−c =c p +b
a
−c ） ab c
例4．某商品进价为a （元/件），根据以往经验，当销售价为b （元/件）时，销售量为c 件（a , b , c 均为正常数，且b ≥
4
a ），市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价。试问，当销3
售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。
解：设p 表示降价后的销售价，x 为增加的销售量，L (x )为总利润，那么
则
x 0. 4c
=， b −p 0. 1b
b
x 。 4c
b ⎞
x −a ⎟(c +x )。 4c ⎠
p =b − 从而
L (x )=⎜b − 对x 求导，得
L ′(x )=− 令L ′(x )=0，得惟一驻点 x 0= 由问题的实际意义或L ′′(x 0)=−
⎛⎝
3b
x +b 2c 4
(3b −4a )c 。
2b
b
⎛3⎝8
1⎞a ⎟ 2⎠
p =b −⎜b − = 时，得最大利润
L (x 0)=
51
b +a （元） 82
c
(5b −4a )2（元）。 16b
2p 2
>0。 例5．设某商品需求量Q 是价格p 的单调减少函数：Q =Q (p )，其需求弹性η=2
192−p
（1）设R 为总收益函数，证明
dR
=Q (1−η)。 dp
（2）求p =6时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。 解：（1）R (p )=pQ (p )。 上式两边对p 求导数，得
dR dQ
=Q +p dp dp
⎛⎝
p dQ ⎞
⎟ Q dp ⎟⎠
=Q ⎜⎜1+
=Q (1−η)。 （2）
ER p dR p
==Q (1−η) Ep R dp pQ
=1−η
2p 2
=1−
192−p 2192−3p 2
=2
192−p
ER 192−3×627
= =≈0. 54
Ep p =613192−62
经济意义：当p =6时，若价格上涨1%，则总收益将增加0. 54%
例6．设某商品的需求函数为Q =100−5P ，其中价格P ∈(0, 20)，Q 为需求量。 （1）求需求量对价格的弹性E d (E d >0)；
（2）推导益增加。
dR
=Q (1−E d )（其中R 为收益），并用弹性E d 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收dP
解：（1）E d =
P P
Q ′=。 Q 20−P
（2）由R =PQ ，得
dR
=Q +P Q ′ dP
⎛⎝
P ⎞Q ′⎟ ⎟Q ⎠
=Q ⎜⎜1+
=Q (1−E d )。
又由E d =
P
=1，得P =10。
20−P
dR
当10
1，于是
故当10
二、多元函数微分学在经济方面的应用（数学三和数学四）
例1．某公司通过电视和报纸两种形式作广告，已知销售收入R （万元）与电视广告费x （万元），报纸广告费y （万元）有如下关系：
R (x , y )=15+14x +32y −8xy −2x −10y ，
2
2
（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略； （2）如果提供的广告费用为1. 5万元，求相应的广告策略。
解：（1）利润函数为L =R −(x +y )=15+13x +31y −8xy −2x −10y ，
2
2
⎧∂L
=13−8y −4x =0, ⎪⎪∂x
令 ⎨
∂L ⎪=31−8x −20y =0, ⎪⎩∂y
⇒x =
35⎛35⎞
，y =，⎜, ⎟为L (x , y )唯一的驻点。 44⎝44⎠
2
2
3535⎛5⎞⎛3⎞⎛35⎞
L ⎜, ⎟=15+13×+31×−8××−2×⎜⎟−10×⎜⎟
4444⎝4⎠⎝4⎠⎝44⎠
=39. 25万元
当电视广告费与报纸广告费分别为0. 75万元和1. 25万元时，最大利润为39. 25（万元），此即为最佳广告策略。
（2）求广告费用为1. 5万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件：x +y =1. 5下，L (x , y )的最大值。 令 F (x , y )=L (x , y )+λϕ(x , y )
=15+13x +31y −8xy −2x −10y +λ(x +y −1. 5)，
2
2
⎧F x ′=13−8y −4x +λ=0, ⎪
解方程组 ⎨F y ′=31−8x −20y +λ=0,
⎪
⎩x +y −1. 5=0,
⇒x =0，y =1. 5，这是唯一的驻点，又由题意L (x , y )一定存在最大值，故 L (0, 1. 5)=39（万元）为最大值。
例2．设生产某种产品必须投入两种要素，x 1和x 2分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数
αβ
Q =2x 1x 2，其中α, β为正常数，且α+β=1假设两种要素的价格分别为P 1和P 2，试问：当产出量为12时，
两要素各投入多少可以使投入总费用最小。
解：需要在产出量2x 1x 2=12的条件下，求总费用P 1x 1+P 2x 2的最小值，为此作拉格朗日函数 F (x 1, x 2, λ)=P 1x 1+P 2x 2+λ12−2x 1x 2
α
β
α
β
()
令
∂F α−1β
=P 1−2λx 1x 2=0 （1） ∂x 1
∂F αβ−1
=P 2−2λx 1x 2=0 （2） ∂x 2
∂F αβ
=12−2x 1x 2=0 （3） ∂λ
P αP 2βx 1
=，x 1=2x 2
P 1βP 1αx 2
由（1）和（2），得
将x 1代入（3），得
⎛P 1β⎞⎛P 2α⎞⎟⎜ x 2=6⎜，x 6=1⎜P α⎟⎜P β⎟⎟ ⎝2⎠⎝1⎠
⎛P 2α⎞⎛P 1β⎞
⎟⎜ 因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故说明x 1=6⎜，x 6=2⎜P β⎟⎜P α⎟⎟时，投入总费用最小。 ⎝1⎠⎝2⎠
例3．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P 1=18−2Q 1，
β
α
αβ
P 2=12−Q 2其中P 1, P 2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元／吨），Q 1和Q 2分别表示该产品在两个
市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 c =2Q +5
其中，Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q =Q 1+Q 2
（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。 解：（1）根据题意，总利润函数为 L =R −C =P 1Q 1+P 2Q 2−(2Q +5) =−2Q 1−Q 2+16Q 1+10Q 2−5
2
2
′1=−4Q 1+16=0 令L Q
′2=−2Q 2+10=0 L Q
，P 2=7（万元／吨） 解得Q 1=4，Q 2=5，则P 1=10（万元／吨）
因驻点(4, 5)唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，最大利润为 L =−2×4−5+16×4+10×5−5=52（万元）
（2）若实行价格无差别策略，则P 1=P 2，于是有约束条件2Q 1−Q 2=6构造拉格朗日函数 F (Q 1, Q 2, λ)=−2Q 1−Q 2+16Q 1+10Q 2−5+λ(2Q 1−Q 2−6)，
2
2
2
2
′1=−4Q 1+16+2λ=0 令 F Q
′2=−2Q 2+10−λ=0 F Q
F λ′=2Q 1−Q 2−6=0
解得 Q 1=5，Q 2=4，λ=2，则P 1=P 2=8，最大利润为 L =−2×5−4+16×5+10×4−5=49（万元）
由（1），（2）结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润
三．差分方程（数学三）
1．差分和差分方程概念
（1）差分概念
函数y =f (x )，记y x =f (x )，则y x +1=f (x +1)， 一阶差分 Δy k =y x +1−y x =f (x +1)−f (x )， 二阶差分 Δy x =Δ(Δy x )=Δy x +1−Δy x
2
2
2
=(y x +2−y x +1)−(y x +1−y x )=y x +2−2y x +1+y x ， ……
n 阶差分 Δy x =
n
∑(−1)C
i
i =0
n
i n
y x +n −i
（2）差分性质 （i ）Δ(cy x )=c Δy x
（ii ）Δ(y x ±z x )=Δy x ±Δz x （3）差分方程的概念
f x , y x , Δy x , , Δy x =0 或 g (x , y x , y x +1, , y x +n )=0
均是差分方程。
（i ）差分方程的阶就是差分方程中出现差分的最高阶数。
（ii ）差分方程的解就是代入差分方程，能使之成为恒等式的函数。
（iii ）差分方程的通解就是差分方程的解中所含独立的任意常数的个数恰等于方程阶数的解。 （iv ）差分方程的特解就是差分方程的解中不含任意常数或通解中的任意常数已被确定的解。 （v ）初始条件就是确定差分方程通解中任意常数的条件。
2．一阶常系数线性差分方程的求解方法
（1）齐次方程 y x +1−ay x =0 （a ≠0常数） 通解 y x =ca c 为任意常数
x
(
n
)
（2）非齐次方程 y x +1−ay x =f (x ) （a ≠0常数） 通解 y x =y x +ca c 为任意常数
y x 为非齐次方程的特解，先根据f (x )形状确定其形状，再用待定系数法。 （i ）f (x )=b （常数）
若a ≠1，设y x =A （待定常数）算出y x =
x
b 1−a
若a =−1，设y x =Ax 算出y x =bx （ii ）f (x )=b 0+b 1x
若a ≠1，设y x =A 0+A 1x 算出y x =b 0+b 1x （b 0, b 1常数）
若a =−1，设y x =A 0x +A 1x 算出y x =⎜b 0− （iii ）f (x )=b ⋅d
x
2
⎛⎝1⎞1
b 1⎟x +b 1x 2 2⎠2
若a −d ≠0，设x =Ad 算出x = （b , d 为常数）
x
b
d x d −a
若a −d =0，设x =Axd 算出x =bxd
x x −1
（iv ）f (x )=b 1cos ω x +b 2sin ω x , b 1, b 2, ω均为常数 若D =(cos ω−a )+sin
2
2
ω≠0，
设x =A 1cos ω x +A 2sin ω x ， 算出 A 1=
1
[b 1(cos ω−a )−b 2sin ω] D 1
A 2=[b 1(cos ω−a )+b 2sin ω]
D
若D =0，设x =x [A 1cos ω x +A 2sin ω x ] 算出 A 1=b 1，A 2=b 2或A 1=−b 1，A 2=−b 2 （v ）f (x )=bx
n
若a ≠1，
设x =A 0+A 1x + +A n x 若a =1，
(
n
)（b 常数，n 正整数）代入方程确定常数。
设x =x A 0+A 1x + +A n x 3、典型例题
例1．求解y x +1+2y x =5x 解：相当a =−2， ∴齐次方程通解为C (−2)
x 2
(
n
)代入方程确定常数
令非齐次方程特解x =A 0+A 1x +A 2x 代入方程化简后 3A 0+A 1+A 2+(3A 1+2A 2)x +3A 2x =5x
2
2
2
⎧3A 2=5⎪
⎨3A 1+2A 2=0
⎪3A +A +A =0
12⎩0
5105，A 1=−，A 0=− 392752105
故x =x −x −
3927
52105x
通解为y x =C (−2)+x −x −
3927
解出A 2= 例2．
（1）设y t =t ，试计算Δy t ，Δy t ，Δy t （2）求差分方程y t +1−3y t =2的通解 （3）求差分方程2y t +1−6y t =3的通解
解：（1）Δy t =y t +1−y t =(t +1)−t =3t +3t +1
3
3
2
t
323
Δy t +1=y t +2−y t +1=(t +2)−(t +1)=3t +9t +7
3
3
2
Δy t +2=y t +3−y t +2=(t +3)−(t +2)=3t +15t +19
3
3
2
Δy t =Δy t +1−Δy t =6t +6 Δy t +1=Δy t +2−Δy t +1=6t +12 Δy t =Δy t +1−Δy t =6
（2）对应齐次方程通解为C 3（C 为任意常数） 非齐次方程特解x =−1 ∴非齐次方程通解y t =C 3−1
（3）对应齐次方程2y t +1−6y t =0，a =3，通解为C 3
t
t t
3
2
2
2
2
11t
3，a =3，d =3，b =
22
b 1t
现在a −d =0，故令x =At 3，A ==
d 6
1t t
因此所求通解为y t =t 3+C 3
6
非齐次方程y t +1−3y t =
例3．设某种商品t 时刻供给量S t ，需求量D t ，价格P t 它们关系为
S t =3+2P t ；D t =4−3P t −1，又假定在每个时期中S t =D t ，且当t =0时，P t =P 0求价格随时间t 变化的规律。
解：∵S t =D t ， ∴3+2P t =4−3P t −1， 即P t +
31P t −1= 22
3
≠1， 2
这是一阶常系数线性非齐次差分方程，由于a =− 故方程特解为 t =
11+
32
=
1 5
t
t
1⎛3⎞⎛3⎞
对应齐次方程通解为C ⎜−⎟，于是P t =+C ⎜−⎟
5⎝2⎠⎝2⎠
又t =0时P t =P 0确定常数C =P 0−
1， 5
1⎛1⎞⎛3⎞
故P t =+⎜P 0−⎟⎜−⎟
5⎝5⎠⎝2⎠
t
附录 II
（数学一和数学二的补充资料）
一、曲率（数学一和数学二）
f (x )，它在点M (x , y )处的曲率k =
设曲线y =
y ′′
1+(y ′)2
3
，若k ≠0，则称R =
1
为点M (x , y )处的曲率半k
径，在M 点的法线上，凹向这一边取一点D ，使MD =R ，则称D 为曲率中心，以D 为圆心，R 为半径的圆周称为曲率圆。
（数学一和数学二） 例、求曲线y =ln x 上曲率最大的点。
解：由y =ln x ⇒y ' =
11
, y ' ' =−2, 于是y =ln x 曲率为 x x
−
k (x ) =
y ' '
1+(y ' ) 23/2
1
x x 2
==
13/2(1+x 2) 3/2
(1+2)
x
(1+x 2) 3/2−3x 2(1+x 2) 1/21−2x 2
=从而k ' (x ) = 2325/2
(1+x ) (1+x )
令k ' (x ) =0，在ln x 的定义域(0, +∞) 内取得驻点x =
22
，当x >时，k ' (x )
x
22
时，k ' (x ) >0, 即k (x ) 单调增加，故知k (x ) 在x =处取得唯一的极大值，亦即最大值。因此，y =ln x 22
22
, ln 。 22
上，曲率最大的点为(
二、平面曲线的弧长（数学一和数学二）
1．直角坐标系
设光滑曲线y =y (x )，(a ≤x ≤b )[也即y (x )有连续的导数] 弧长S =
∫
b
a
+y ′x dx
22
而dS =+y ′x dx 也称为弧微分
2．极坐标系
设光滑曲线r =r (θ)，(α≤θ≤ 弧长S =
β
β)[r (θ)在[α, β]上有连续导数]
22′′+r θr θd θ ∫α
3．参数方程所表曲线的弧长
⎧x =x (t )(α≤t ≤β)[x (t )，y (t )在[α, β]上有连续的导数] 设光滑曲线C ⎨
()y y t =⎩
曲线C 的弧长S =
22
′′+x t y t dt ∫α
β
例1、 求星形线x +y
2323
=a 的周长（a >0常数）
3
3
23
解：星形线的参数方程x =a cos t , y =a sin t , (0≤t ≤2π)
π
π
周长l =4
2
∫
20
x ' (t )]+[y ' (t )]dt =12a ∫2sin t cos tdt
22
π
=6a sin t |02=6a
例2、 求心形线r =a (1+cos θ), (0≤θ≤2π) 的周长 解：l =2
π
∫
π
r (θ)]+[r ' (θ)]d θ=2a ∫
22
π
1+cos θ]2+[sinθ]2d θ
=2a ∫2cos d θ=8a
02
θ
a 2
例3、 求曲线y =a ln 2, (0≤x ≤b
a −x
解：l =
∫
b
+(y ' ) dx =∫
2
b
4a 2x 2
dx +2
22
(a −x )
=∫
b
b 2a 2a 2+x 2
−1]dx dx =∫[2
2220a −x a −x
=a ln
a +x b a +b
|0−b =a ln −b a −x a −b
三、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）
设平面曲线C =∩位于x 轴上方，它绕x 轴一周所得旋转曲面的面积为S 。
AB
1．设AB 的方程为y =y (x )(a ≤x ≤b ) 则S =2π
∩
∫
b
a
y (x +y ′x dx
2
2．设AB 的极坐标方程为r =r (θ)，(α≤θ≤ 则S =2π
∩
β)
∫α
β
r (θ)sin θr ′θ2+r ′θ2d θ
β)
3．设AB 的参数方程为x =x (t )，y =y (t )，(α≤t ≤ 则S =2π
∩
∫α
β
y (t x ′t +y ′t dt
2
2
∩
4．设AB 以弧长S 为参数的参数方程x =x (s ), y =y (s ), (0≤s ≤l )
则S =2π
∫
l
y (s ) ds
例1、 求下列旋转面的面积
（1）y =sin x (0≤x ≤π), y =0围成的图形绕x 轴旋转所得曲面； （2）r =a (1+cos θ)(a >0) 绕极轴旋转所成曲面
解：（1）该旋转面的面积为
S =2π∫y +y ' 2dx =2π∫sin x +cos 2xdx
ππ
=−2π∫
1−1
π
+cos 2x d (cosx )
2
10
=2π∫+u du =4π∫+u 2du
=4π[
u 1
+u 2+ln(u ++u 2)]|10 22
=2π(2+ln(1+2))
（2）这是心形线r (θ) =a (1+cos θ) ，则r (−θ) =r (θ) ，曲线关于极轴对称，在极轴上方部分，于是它绕极轴转所成曲面的面积为
r =
a (1+cos θ), 0≤θ≤π
知识宝库考研社区(www.1zhao.org)友情提示：购买原版，饮水思源！
于是S =2π
π
∫
π
r (θ) sin θr 2(θ) +[r ' (θ)]2d θ
=2π∫a (1+cos θ) a 2(1+cos θ) 2+a 2sin 2θsin θd θ
=−2π∫
π
2a (1+cos θ) d (1+cos θ)
5
2
2
32
2322
=−22a π(1+cos θ) 2|π=πa 0
55
[(1+cos θ) 2+sin 2θ=+2cos θ+cos 2θ+sin 2θ=2(1+cos ) ]
2a
3
⎧⎪x =a cos t
(0≤t ≤2π) 绕直线y =x 旋转一周所得旋转体的侧（表）面积 例2、 求由星形线⎨3
⎪⎩y =a sin t
解：考虑t ∈[
π3
3π5
, π]，而t ∈[, π]与之对称。 4444
a sin 3t −a cos 3t
曲线上一点M (t )(x (t ), y (t )) 它到直线y =x 的距离d (t ) =
2
而M (t ) 到M (t +dt ) 一段弧长为
dl =x ' (t )]2+[y ' (t )]2dt =3a sin t cos t dt (∵cos 2t +sin 2t =1)
则微元侧（表）面积
dS =2πd (t ) dl =32πa 2sin 3t −cos 3t t cos t dt
则整个侧面面积（这个问题也是表面积）为
S =62πa
2
π
3π4
sin 3t −cos 3t sin t cos t dt
4
3
=πa 2(42−1) 5
（积分时，为了去掉绝对值符号还必须分成[
ππ
π3π
, ]和[, ]两段进行，在后面一个区间上cos t 是负的） 4224
四、微分学的应用（数学一和数学二）
例1、用面积为A 的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶。问油桶的直径为多长时，油桶的容积最大？又这时油桶的高是多少？
解：设油桶的直径为x ，高为y ，容积为V 。则V =π(y , A =2π(+2π⋅解出y =
x 2
2
x 2
2
x π
⋅y =x 2+πxy , 由后一式22
A x
−代入前一式，得目标函数 πx 2A x A ππ
V =x 2(−) =x −x 3(x >0)
πx 2448A 32
求导，有V ' =−πx , 令V ' =0即
48
A 32
−πx =0 48
2A 32A
（负根舍去）。又V ' ' =−πx , V ' ' []
2A
时，其容积最大，这时油桶的高 3π
2A
3π
2A
是V (x ) 的唯一极大值点，它也是3π
解得驻点x =
最大值点，即圆柱油桶的直径为
y =
A x A 3π12A −=⋅−=πx 2π2A 23πA ⋅3π
=2A
（∵
π
3A 32A 32A
=(2=） 2π23π23π
例2、某窗的形状为半圆置于矩形之上，若此窗框的周长为一定值l ，试确定半圆的半径r 和矩形的高h ，使所
能通过的光线最为充足。
解：本题实际是求窗的面积最大时的圆半径r 和矩形高h 的值，设窗的面积为S ，则有
S =
π
2
r 2+2rh , 满足条件l =πr +2r +2h
l 11
(l −πr −2r ) 代入S 中得S =πr 2+r (l −πr −2r ) (0
π+222
解出h =
则S ' (r ) =πr +l −2(π+2) r =l −(π+4) r , 令S ' (r ) =0, 解出r 0=
l π+4l l
由于此问题只有唯一的驻点，所以它必为所求，因此r =和h =时S 面积最大，亦即通过光线最充
π+4π+4
足。
例3、把一根长为a 的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各长多少时，圆形面积与正方形面积之和最小？ 解：（1）建立目标函数，设圆形周长为x ，则正方形周长为a −x ，圆形面积与正方形面积之和为
x 2a −x 24+π2a a 2S =π() +(=x −x +
2π416π816
这就是目标函数
（2）求目标函数S (x ) 的最小值点
(0a a πa π4+π4+π
。又S ' ' =>0, 故x =是S (x ) 的唯一极小值点，它也x −=0, 得唯一驻点x =
4+π4+π8π88π
a πa π4a
是S (x ) 的最小值点。因此，当铅丝两段长分别为与a −时，所围圆形面积与正方形面积之=
4+π4+π4+π
令S ' =和最小。
x 2y 2
例4、在椭圆2+2=1位于第一象限的部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积
a b
为最小（其中a >0，b >0）。
知识宝库考研社区(www.1zhao.org)友情提示：购买原版，饮水思源！
分析：先写出如图所示阴影部分面积的表达式，然后再求其最小值。 解：设P (x 0, y 0) 为所求的点，则可得此点处的切线方程为
xx 0yy 2
+2=1 2a b
b 2令x =0，得该切线在y 轴上的截距为，
y 0a 2
令y =0，得该切线在x 轴上的截距为
x 0
于是所求阴影部分的面积为
1a 2b 21S =−πab x 0∈(0, a )
2x 0y 04
为求S 的最小值，可改为求A =x 0y 0=
2
b a 2−2x 0
=0 A ' =
22a a −x 0
bx 0
a
2
a 2−x 0的最大值。令
得(0, a ) 内唯一驻点x 0=
a
。且A ' 在x 0=
a
2
的左侧为正，右侧为负，从而x 0=
a
2
为A 的极大值点，即是
S 的极小值点，而S (
a
2
) 为S 的极小值。因此所求之点为(
a
2
,
b
)
五、积分学的应用（数学一和数学二）
例1．由抛物线y =x 及y =4x 绕y 轴旋转一周构成一旋转抛物面的容器（剖面图见图），高为H 。现于其中盛水，水高
2
2
H
，问要将水全部抽出，外力需作多少功？
2
解：设水的比重为μ，图中阴影部分的水重量为
π⎜y −⎟dy ⋅μ=π μ ydy
⎛⎝y ⎞4⎠
34
抽出这部分水外力需作的功为 dW =
3
π μ y (H −y )dy 4
故抽出全部水外力需作的功
31
W =π μ ∫2y (H −y )dy =π μ H 3
0416
例2．半径为R 的球沉入水中，上顶点与水面相切，将球从水中取出要作多少功？（设球的比重为
1）
H
解：首先建立坐标系，取x 轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心。见图
任取[−R , R ]中的小区间[x , x +dx ]相应的球体中的薄片，其重量为πR −x dx ，在水中时浮力与重量相
2
2
()
等。当球从水中移出时，此薄片离水面的距离是R +x ，故对它需作功 dW =(R +x )πR −x dx
2
2
()
因此，将球从水中取出时要作功 W =
∫
R
−R
π(R +x )(R 2−x 2)dx =π∫R (R 2−x 2)dx =2πR ∫(R 2−x 2)dx =πR 4
R
R
−R
43
例3．某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h ，应为多少
m （米）？
解：如图建立坐标系，则抛物线的方程为y =x 。闸门矩形部分承受的水压力 P 1=2
2
∫
h +1
1
ρg (h +1−y )dy
h +1
⎡y 2⎤2
=2ρg ⎢(h +1)y −⎥=ρgh ，
2⎦1⎣
其中ρ为水的密度，g 为重力加速度。闸门下部承受的水压力
P 2=2
∫ρg (h +1−y 0
1
y dy
=4ρg ⎜h +
⎛1⎝32⎞⎟。 15⎠
P 15h 25=，即=，得h =2， 由题意知，
2⎞4P 24⎛1
4⎜h +⎟
15⎠⎝3
h =−
1
（舍去），故h =2。即闸门矩形部分的高应为2m 。
3
例4．设有一质量均匀的细直杆AB ，其长为l ，质量为M 。
在AB 的延长线上与端点B 的距离为a 处有一质量为m 的质点N 1，试求细杆对点N 1的引力
解：建立坐标系如图，积分变量为x ，积分区间为[0, l ]，细杆在[x , x +dx ]这一段的质量为dM =
M
dx ， l
M
dx ⋅m
， 该小段对位于N 1处的质点的引力为dF =k l +a −x 2
其中k 为引力系数，于是细杆AB 对质点N 1的引力为
kMm l dx kMm Mm
F =∫k dx == 22∫00l a l +a l +a −x l l +a −x l
六、微分方程的应用（数学一和数学二）
1、几何方面
例1、 在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点P (x , y ) 处的曲率等于此曲线在该点法线段PQ 长度的倒数
（Q 是法线与X 轴的交点），且曲线在点(1, 1) 处的切线与X 轴平行
解：见图，所求曲线为y =f (x ) ，于是其在P (x , y ) 点处的曲率为
K =
y ' '
(1+y ' )
2
3
2
=
y ' '
（因为曲线为凹的，故y ' ' >0） 2
(1+y ' )
曲线y =f (x ) 在P (x , y ) 点处的法线方程
Y −y =−
1
(X −x ) (y ' ≠0) y '
它与X 轴的交点Q 的坐标Q (x +yy ' , 0), 于是
PQ =(yy ' ) +y =y (1+y ' )
由题设K =
222
12
1
，即PQ
y ' '
(1+y ' 2)
32
=
1y (1+y ' 2)
12
,
⇒yy ' ' =1+y ' 2－这是不显含x 的方程，初始条件为y |x =1=1, y ' |x =1=0
令y ' =p , y ' ' =p
dp
，于是方程变为 dy
yp ⇒
dp p dy =1+p 2⇒dp = dy y 1+p 2
1
ln(1+p 2) =ln y +C 1, 代入y ' |x =1=0, 得C 1=0 2
⇒p 2=y 2−1⇒p =±y 2−1, 积分得
ln(y +y 2−1) =±(x −1) +C 2, 代入y |x =1=1, 得C 2=0
故所求曲线为y +
y 2−1=e ±(x −1) , 即y =
1x −1
(e +e −(x −1) ) 2
[∵y −y 2−1=
1y +y 2−1
=e ∓(x −1) ]
例2、 已知曲线过(1, 1) 点，如果把曲线上任一点P 处的切线与y 轴的交点记作Q ，则以PQ 为直径所做的圆都
经过点F (1, 0) ，求此曲线方程。
解：作草图（见图），所求曲线设为y =f (x ), 于是切线方程为
Y −y =−y ' (X −x )
切线PQ 与y 轴的交点Q 的坐标为Q (0, y −xy ' ) 设M 点为切线段PQ 的中点，坐标为(, y −
x
2xy ' 2
因为圆经过点F (1, 0) ，所以MQ =MF ，于是得方程
121⎧
⎪yy ' =y −1+,
x x （*） ⎨⎪⎩y |x =1=1
令y =Z ，则方程（*）⇒
2
1211
(y )' =y 2−1+ 2x x
2
Z −2+x 2
（1）Z ' =Z ⇒
x ⇒Z ' =2
, （**） x
dZ 2
=dx ⇒ln Z =2ln x +ln C , Z =Cx 2 Z x
2
（2）令Z =C (x ) x 为（**）的解，代入并整理，得
22221
⇒C ' (x ) =−2+3⇒C (x ) =−2+C ,
x x x x x
2122
故（**）的通解为Z =(−2+C ) x =2x −1+,
x x C ' (x ) x 2=−2+
即方程的通解为y =2x −1+, 代入初值y |x =1=1, 得=0 于是所求曲线为y =2x −1
22
2
M (r , θ) 为L 上任一点，M 0(2, 0) 为L 上一定点。若极径OM 0, OM 例3、 设曲线L 的极坐标方程为r =r (θ) ，
与曲线L 所围成的曲边扇形的面积值等于L 上M 0、M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。
1θ222
解：曲边扇形的面积公式为S =∫r (θ) d θ。又弧微分dS =r +r ' d θ, 于是由题设有
20
1θ21θ22
r (ρ) d ρ=r (ρ) +r ' (ρ) d ρ ∫∫0022
两边对θ求导，即得r (θ) =
2
r 2(θ) +r ' (θ) 2，所求r 所满足的微分方程为
dr dr =±r 4−r 2=±r r 2−1, 即=±d θ（它与原方程等价）
2d θr r −1
注意到
∫r
dr r 2−1
=∫
dr r 2−
1r 2
=−arcsin
π1
再由条件r (0) =2, 可知C =, 所以曲=±θ+C 为方程的通解，
r 6
线L 的方程为：r sin(
π
6
±θ) =1
2、微分方程在物理力学方面的应用
例1．从船上向海中沉放某种探索仪器，下沉深度y （从海平面算起），下沉速度v ，下沉过程中受到阻力和浮力，仪器质量m ，体积B ，海水比重ρ，阻力与v 成正比（比例系数k >0）试建立y 与v 所满足方程，并求y =y (v )。
解：根据牛顿第二定律
d 2y
m 2=mg −B ρ−kv
dt
∵v =
dy ， dt
d 2y dv dv ∴2==v
dt dy dt
则 dy =
mv
dv ，v =0，
y =0mg −B ρ−kv
m m (mg −B ρ)mg −B ρ−kv
v −ln 2k mg −B ρk
得 y =−
例2．某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增加阻力，使
飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km /h 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k =6. 0×10）问从着陆点算起滑行的最长距离是多少？
解：由题设，飞机的质量m =9000kg ，着陆时的水平速度v 0=700km /h 。从飞机接触跑道开始计时，设
6
t 时刻飞机的滑行距离为x (t )，速度为v (t )。
解一：根据牛顿第二定律，得
dv
=−kv 。 dt
dv dv dv dx
又 =⋅=v ，
dx dt dx dt
m
由以上二式得 dx =−
m
dv ， k
m
v +C 。 k
积分得 x (t )=−
由于 v (0)=v 0，x (0)=0，
m
v 0， k m
从而 x (t )=(v 0−v (t ))。
k
故得 C = 当v (t )→0时， x (t )→
mv 09000×700
==1. 05(km ) 6k 6. 0×10
所以，飞机滑行的最长距离为1. 05km 。 解二：根据牛顿第二定律，得m 所以
dv
=−kv ， dt
dv k
=−dt 。 v m
k
−t m
两端积分得通解v =Ce
k −t m
，代入初始条件v
t =0
=v 0解得C =v 0，
故 v (t )=v 0e
。
飞机滑行的最长距离为 x =
∫
+∞
k
mv 0−m +∞mv 0
v (t )dt =−e ==1. 05(km )。
0k k
解三：根据牛顿第二定律，得
dx d 2x
m 2=−k ，
dt dt d 2x k dx
+=0， 2
m dt dt
其特征方程为λ+ 故 x =C 1+C 2e
2
k k
λ=0，解之得λ1=0，λ2=−， m m
。
k
k −t m
kC 2−m dx
=0，v ==−e =v 0， 由x
t =0t =0dt t =0t =0m
得 C 1=−C 2=
mv 0
， k
k −⎞⎛
⎜1−e m ⎟。 ⎜⎟⎝⎠
mv 0
于是 x (t )=
k
当t →+∞时，x (t )→
mv 0
=1. 05(km ) k
所以，飞机滑行的最长距离为1. 05km 。
七、方向导数与梯度（数学一）
1、平面情形
z =f (x , y ) 在平面上过点P 0(x 0, y 0) 沿方向l =(cosα, cos β) 的方向导数
f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) −f (x 0, y 0) ∂f
|(x 0, y 0) =lim
t →0t ∂l
z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处的梯度为 ⎛∂f (x 0, y 0) ∂f (x 0, y 0) ⎞
⎟, gradf (x 0, y 0) =⎜⎟ ⎜∂x ∂y ⎠⎝
而方向导数与梯度的关系为
∂f
|(x 0, y 0) =[gradf (x 0, y 0)]⋅l ∂l
=gradf (x 0, y 0) cos(gradf (x 0, y 0ˆ) , l )
由此可见，当l 的方向与gradf (x 0, y 0) 的方向一致时，又方向导数与偏导数的关系为
∂f
|(x , y ) 为最大，这时等于gradf (x 0, y 0) ∂l 00
∂f (x 0, y 0) ∂f (x 0, y 0) ∂f
|(x 0, y 0) =cos α+cos β ∂l ∂x ∂y
这相当用两向量的点乘的坐标公式
2、空间情形
u =f (x , y , z ) 在空间上过点P 0(x 0, y 0, z 0) 沿方向l =(cosα, cos β, cos γ) 的方向导数
f (x 0+t cos α, y 0+t cos β, z 0+t cos γ) −f (x 0, y 0, z 0) ∂f
|(x 0, y 0, z 0) =lim
0t →t ∂l
u =f (x , y , z ) 在点P 0(x 0, y 0, z 0) 处的梯度
⎛∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f (x 0, y 0, z 0) ⎞
⎟gradf (x 0, y 0, z 0) =⎜, , ⎜⎟∂x ∂y ∂z ⎝⎠
而方向导数与梯度的关系为
=gradf (x 0, y 0, z 0) cos(gradf (x 0, y 0, z 0) , l )
由此可见，当l 的方向与gradf (x 0, y 0, z 0) 的方向一致时，又方向导数与偏导数的关系为
∂f
|(x , y , z ) =[gradf (x 0, y 0, z 0)]⋅l ∂l 000
∂f
|(x 0, y 0, z 0) 为最大，这时等于gradf (x 0, y 0, z 0) ∂l
∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f (x 0, y 0, z 0) ∂f
|(x 0, y 0, z 0) =cos α+cos β+cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z
例1．求函数z =ln x +y
(
22
)在点P (x , y )沿与此点的等位线外法线方向上的方向导数和梯度。
2
解：等位线方程为ln x +y
(
2
)=ln c
y 0
2
，即x +y =c
222
过P 0(x 0, y 0)的外法线方向的方向余弦 cos α=
x 0x +y
20
20
，cos β=
x +y
2020
∴
x 0y 0∂z ∂z ∂z
=⋅+⋅
2222()x , y ∂l (x 0, y 0)∂x (x 0, y 0)x 0∂y 00+y 0x 0+y 0
⎞2x 0⎛x 0
⎜⎟+2y 0
=2
2⎜2222⎟+x 0+y 0x y +x y 000⎠⎝0
=
⎛⎞y 0
⎜⎟ ⎜x 2+y 2⎟
0⎠⎝0
2
x +y
2
020
(gradz )
⎛2x 02y 0
, =⎜2222
(x 0, y 0)⎜⎝x 0+y 0x 0+y 0⎞
⎟ ⎟⎠
例2．求函数z =1−x +y
(
22
)在点P ⎛⎜
1
⎝2
,
1⎞
⎟处沿x 2+y 2=1的内法线方向上的方向导数和梯度。 2⎠
解：x +y =1上点P 0⎜
22
⎛1⎝2
,
1⎞
⎟处内法线的方向余弦 2⎠
，
cos α=−
1，cos β=−
12
又
∂z ∂z
，=−2⎛11⎞⎛11⎞=−2
, , ⎟⎟∂x ⎜∂y ⎜⎝22⎠⎝22⎠∂z ⎛1⎞⎛1⎞
⎟+−2⎜−⎟=2 ⎛11⎞=−2⎜−
, ⎟∂l ⎜2⎠2⎠⎝⎝⎝22⎠
1⎞=−2, −2 ⎟2⎠
因此
()()
(gradz ⎛1
⎜⎝2
,
()
例3．求函数u =
1
γ
=
1x +y +z
2
2
2
在非原点P 0(x 0, y 0, z 0)处梯度的大小和方向。
解：
∂u 1x x =−2⋅=−3， ∂x γγγ
∂u y =−3 ∂y γ∂u z =−3 ∂z γ
⎛x 0y 0z 0⎞
=⎜−3, −3, −3⎟⎟P 0⎜⎝γ0γ0γ0⎠
222
x 0+y 0+z 0
(gradu )
其中γ0= 梯度大小 gradu
P 0
=
1
γ
3
(x
20
+y +z
20
1220
=
1
γ
20
梯度的三个方向余弦 cos α=cos ∠(gradu , i )=−
x 0
γ
20
cos β=cos ∠(gradu , j )=−
y 0
γ
20
cos γ=cos ∠(gradu , k )=−
z 0
2γ0
八、多元函数微分法的几何应用（数学一）
1．曲面上一点处的切平面和法线
曲面F (x , y , z )=0，点(x 0, y 0, z 0)
切平面：F x ′(x 0, y 0, z 0)(x −x 0)+F y ′(x 0, y 0, z 0)(y −y 0)+F z ′(x 0, y 0, z 0)(z −z 0)=0 法线：
x −x 0y −y 0z −z 0
==
′′′F x x 0, y 0, z 0F y x 0, y 0, z 0F z x 0, y 0, z 0
2．空间曲线上一点处的切线和法平面
空间曲线x =x (t )，y =y (t )，z =z (t )，点(x 0, y 0, z 0)，x 0=x (t 0)，y 0=y (t 0)，z 0=z (t 0)。 切线：
x −x 0y −y 0z −z 0
== ′′′x t 0y t 0z t 0 法平面：x ′(t 0)(x −x 0)+y ′(t 0)(y −y 0)+z ′(t 0)(z −z 0)=0
3．典型例题
例1．求椭球面x +2y +3z =21上某点的切平面π的方程，要求π通过已知直线
2
2
2
1
x −6y −3 L :==21−1
z −
解：令F (x , y , z )=x +2y +3z −21=0设所求之点P (x 0, y 0, z 0)则其切平面为
2
2
2
2x 0(x −x 0)+4y 0(y −y 0)+6z 0(z −z 0)=0化简为 x 0x +2y 0y +3z 0z −x 0+2y 0+3z 0=0 即 x 0x +2y 0y +3z 0z −21=0 下面找出关于x 0, y 0, z 0的三个条件
（1）在L 上取一点（尽量简单）⎜0, 0, ⎟代入得0+0+
(
222
)
⎛
⎝7⎞2⎠
21
z 0−21=0∴z 0=2 2
（2）法向量n (x 0, 2y 0, 3z 0)应与L 的方向向量(2, 1, −1)垂直，2x 0+2y 0−3z 0=0， ∵z 0=2，∴y 0=3−x 0 （3）(x 0, 3−x 0, 2)应在椭球面上 x 0+2(3−x 0)+3(2)−21=0
2
2
2
得x 0=1或x 0=3
共有两个点P 1(1, 2, 2)，P 2(3, 0, 2)对应切平面方程
π1:x +4y +6z −21=0 π2:x +2z −7=0
⎧x =t e u cos udu
∫0⎪⎪
例2．求曲线Γ⎨y =2sin t +cos t 在t =0处的切线和法平面方程。
⎪3t
=+z 1e ⎪⎩⎧x =0⎪
解：当t =0时，⎨y =1，
⎪z =2⎩
x ′=e cos t ，x ′(0)=1；y ′=2cos t −sin t ，y ′(0)=2；z ′=3e ，z ′(0)=3，
t
3t
故 切线方程为
x −0y −1z −2
==。 123
法平面方程为x +2(y −1)+3(z −2)=0，即
x +2y +3z −8=0
例3．证明曲面x +y +z
23
23
23
23
23
=a 上任意一点的切平面在各坐标轴上截距平方和为a 2
23
23
23
证：令F (x , y , z )=x +y +z −a ，
2−32−32−3′′′ F x =x ，F y =y ，F z =z 。
333
故 在曲面上任一点(x 0, y 0, z 0)处切平面方程为 x 0
−
111
13
(x −x 0)+y 0(y −y 0)+z 0(z −z 0)=0，
−
13
−
13
在上式中令y =z =0得切平面在x 轴上的截距为
2⎞⎛2
33⎟z x =x 0+x ⎜y 0+0⎟ ⎜
⎠⎝22⎞⎛2
333⎟ =x ⎜x 0y z ++00⎟ ⎜
⎠⎝
1
30
23130
130
=x a ，
由曲面方程的对称性，可知切平面在y , z 轴上的截距分别为 y =y a ，z =z a ，
130
23
130
23
⎞⎛2
222
故 x +y +z =⎜a 3⎟⎜⎟
⎝⎠
43
2
22
⎞⎛2
⎜x 03+y 03+z 03⎟
⎟⎜
⎠⎝2
3
=a ⋅a
=a 2。
例4、 证明曲面S :F (ax −by , cx −bz ) =0上任一点处的切平面与常向量平行，其中a , b , c 为常数，
a 2+b 2+c 2≠0, F (u , v ) 有一阶连续的偏导数。
分析：由曲面方程求出任一点处的法向量n ，曲面上任意点处的切平面与常向量l 平行⇔n ⋅l =0, 由此若能确定l ，则得证。
证：记G (x , y , z ) =f (ax −by , cx −bz ), 则
∂G
=aF 1' +cF 2' , ∂x ∂G
=−bF 1' , ∂y ∂G
=−bF 2' ∂z
引入函数G 后，曲面S 的方程可写为G (x , y , z ) =0, 则S 上任一点处的法向量为
n ={aF 1' +cF 2' , −bF 1' , −bF 2' }
n 与某向量l ={l 1, l 2, l 3}垂直⇔n ⋅l =(al 1−bl 2) F 1' +(cl 1−bl 3) F 2' =0
当l 1, l 2, l 3满足al 1−bl 2=0, cl 1−bl 3=0时恒有n ⋅l =0。因此可取l ={b , a , c },则n ⋅l =0。S 上任一点的切平面与l ={b , a , c }平行。