层次分析法中专家判断合理性的判别标准研究*
熊立 梁樑
（中国科学技术大学商学院，合肥 230026）
摘要：本文给出了一种针对层次分析法中专家判断矩阵合理性的判别方法，并提出了一类数
字比率标度，其基本上涵盖了目前常用的数字标度；文章讨论了语言逻辑与数字标度的不统一性，并基于某种合理的语言逻辑，给出了一种判断专家数字判断矩阵合理性的判别标准。
关键词：层次分析法 判断矩阵 标度 一致性
0 引言
T.L.Saaty 在上世纪七十年代提出了一种实用的决策方法——层次分析法（Analytic Hierarchy Process）[1]-[3]，这种方法采用数字标度的形式，将定量与定性结合，将人的主观判断用数量形式表达和处理，提高了决策的有效性、可靠性和可行性。层次分析法的过程是根据一定的数字标度将专家的自然语言判断结果构造数字判断矩阵A ，衡量判断矩阵A 是否具有满意的一致性，若满足，则认为专家判断较为合理，其结果能应用于实际问题，否则判定专家判断不可接受，需对专家判断进行修正。
其中针对如何衡量专家判别结果的合理性，目前较为常用的方法是根据判断矩阵A 的主特征根来判别A 是否具有满意的一致性。Saaty （1980）在文献[1]中对EM 方法的合理性解释是：由于a ij 的小的扰动引起最大特征根的小的变化，则λmax 对n 的偏差就是对一致性的一个测度。Saaty （2002）在文献[4]中再次论证了特征根法的合理性。在判断矩阵的一致性要求上，Saaty 通过随机生成若干各阶判断矩阵，然后计算其随机平均一致性（RI ），定义了反映判断矩阵一致性程度的“一致性比率”CR =CI /RI ，并建议当CR 小于10％时，判断矩阵的一致性是可以接受的，即此时的专家判断合理，其结果是可以接受的，否则，需要修正判断矩阵，使其满足一致性比率要求。 [1]Saaty （1995）又在文献[2]中提出：当备选方案较少（3或4个）时，一致性比率应小于5％或8％，专家判断结果才是可以接受。
本文认为，衡量专家判断结果的合理性，应该从专家给出的自然语言判断结果出发，若专家给出的自然语言判断是符合语言逻辑的，并且不存在较为矛盾或者不一致情况，则应该认为该专家的判断结果是合理的。那么采用数字标度对语言判断矩阵进行转化，获得相应的数字判断矩阵，其结果应当符合特定的一致性判断标准；若专家的自然语言判断不合理，则转化所获得的数字判断矩阵，也应该是不符合特定的一致性判断标准。也就是说，确定层次
*
国家自然科学基金资助项目（项目编号：70371023）教育部博士点基金资助项目（项目编号：[1**********]）
分析法中专家判断矩阵一致性的标准，应该建立在专家自然语言逻辑的基础上。一套好的一致性判断标准，应该能够最大程度上区分专家判断是否合理。
1 比率数字判断标度模型
文献[5]-[7]中的论述说明了同样的专家自然语言判断，通过不同的数字标度转化，得到的数字判断矩阵是不同的，其一致性指标CI 也是不同的。因此，不同数字标度的一致性判断依据也应该是根据数字标度的变化而变化。不失一般性，本文首先给出一类数字比率标度，其基本上涵盖了目前较为常用的数字标度。如下所示：
给定S t (M , k )是一个数字比率标度。令S t (M , k )∈[1, M ]，M ∈R +。 S t (M , k )=
8M −(M −9)t +(M −1)kt
(1）
9M −1+8t −M −1k
其中，k 为1－9的自然数，M 为最大标度刻度，t 为独立变量。
由于S t (M , k )≥1，并且等号当且仅当k = 1时成立，因此，t >−1。 事实上，该类数字比率标度基本涵盖了目前常用的数字标度，如表1所示：
表1 几种常用数字标度与标度模型的关系
由表1所示，可以通过调整S t (M , k )标度模型中的M 和t 值，使模型逼近于目前常用的各种数字标度。
2 选取合理语言逻辑假设
本文认为，衡量专家判断结果是否合理，应该衡量专家给出的自然语言判断结果是否满足较为合理的语言逻辑。
因此，建立专家判断矩阵一致性的判别标准，应该以专家合理的语言逻辑作为基础。在此我们根据文献[8]和[9]中针对不同专家的自然语言程度与逻辑的统计结果，给出一套较为合理的语言逻辑假设。已知A 对B 的比较等级和B 对C 的比较等级，则A 对C 的比较等
级如表2所示：
表2 合理语言逻辑下标度刻度等级之间的比较
3 数字判断矩阵的一致性判断依据
针对数字判断矩阵的一致性判断依据，Saaty 建议当CR 小于10％时，判断矩阵的一致性是可以接受的，即此时的专家判断合理，其结果是可以接受的，但事实上，往往专家的自然语言判断是合理的，但是通过数字标度转化获得的相应数字判断矩阵却无法通过Saaty 定义的一致性判别标准（CR ）。我们可以通过下例来说明，假定专家有下述这样一个自然语言判断结果：
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1M 1
S M
1B (V −A )
1
S S
⎤
B (V −A )⎥⎥B (S −V )⎥
⎥A ⎥
⎥1⎦
A
显然，该矩阵中的各语言判断结果都较为符合语言逻辑，并不存在较为矛盾的或者不一致的地方。因此，在通常情况下，我们应该认为这个语言判断矩阵应当是合理的。现在，我们使用1－9标度来将该语言判断矩阵转化为数字判断矩阵并计算其一致性比率CR ＝0.1231，即根据一致性比率要求，该专家判断不合理，不能接受。因此本文认为：一致性判断依据的建立应以能够最大程度上区分专家判断结果是否符合语言逻辑为标准，具体方法如下：
步骤一：通过正交实验设计方法，在样本空间中选取足够的试验样本，去代表样本空间的整体，从而计算出各种数字标度下各阶判断矩阵的随机平均一致性。关于正交设计的详细内容，可参照相关文献[10]-[13]。实际证明，正交实验设计方法对于加成模型和二次模型是最理想的，它所选择的样本组合能够很好地代表所有可能的组合
[12]
。根据计算，3－6阶判
断矩阵选择了289个不同组合代表整个样本空间；7－12阶判断矩阵选择了4913个不同组
合代表整个样本空间。在生成的这些矩阵中，我们直接衡量其是否满足假设的合理语言逻辑，其结果显示：除生成的289个3阶矩阵中存在13个符合我们给出的合理语言逻辑假设之外，生成的其他各阶矩阵全部不满足给出的语言逻辑假设。
步骤二：通过正交实验设计方法，同样在样本空间中选取足够的试验样本，去代表符合给定的合理语言逻辑假设的各阶判断矩阵。
步骤三：选取不同的t 值，使用不同的数字标度转化正交实验生成的不满足语言逻辑和满足语言逻辑的试验样本。
步骤四：计算经过不同数字标度转化的数字判断矩阵的一致性指标CI 。
步骤五：采用逐次逼近法寻找一致性判断标准CII ，使其能够最大程度上区分专家判断逻辑是否合理。结果如表3所示。CII 判断标准针对符合逻辑与不符合逻辑的区分程度见表4所示。
表3 各种数字标度下，专家判断矩阵合理性判别标准CII
通过表3给出的数据，当经过相对应的数字标度转化后得到的数字判断矩阵的CI 值小于表中给出的判别标准CII 值时，我们认为专家判断的逻辑合理，其判断结果可以接受；当数字判断矩阵的CI 值大于CII 值时，专家判断存在逻辑上的错误，其判断结果不可接受。
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表4 针对符合逻辑与不符合逻辑的区分程度
5
通过表4给出的数据，我们可以看到，基于语言逻辑判断给出的专家判断合理性的判别标准能够较好地区分专家判断是否合理。其中，当-0.2
当然，本文是基于给出的合理语言逻辑，对各种数字标度建立其相应的一致性判别标准。在层次分析法实际应用中，首先应该要求专家按照制定的比较合理的语言逻辑进行判断，谈后通过本文给出的一致性判断标准，能够较为方便的衡量专家判断结果的合理性。
4 结论
本文首先给出了一种比率数字标度，其基本上能够涵盖目前常用的数字标度；其次，基于一种较为合理的专家判断语言逻辑，通过正交实验的方法得出了一组各种常用数字标度的一致性判别标准。本文给出的专家判断矩阵一致性判别标准，在该种合理的语言逻辑下能够较好地区分专家判断的合理性。当然，专家判断结果的合理性衡量是一个非常值得研究的问题，本文给出的标准是建立在一定的合理语言逻辑下的，在层次分析法的应用中，衡量专家判断矩阵一致性的前提是制定相对比较统一的合理语言判断逻辑，在此基础上，可以通过本文给出的方法，制定各种数字标度相应的一致性判别标准。
参考文献：
[1] T.L Saaty. The Analytic Hierarchy Process[M]. New York: Mc Gtaw Hill, 1980.
[2] T.L.Saaty. Transport planning with multiple criteria: The analytic hierarchy process applications and progress review[J]. Journal of Advanced Transportation 29 (1):81-126. [3] 徐树柏. 层次分析法[M]. 天津大学出版社, 1988.
[4] T.L.Saaty. Decision-making with the AHP:Why is the principal eigenvector necessary[J]. European Journal of Operational Research, 145 (2003), 85-91.
[5] 徐泽水. 关于层次分析中几种标度的模拟评估[J]. 系统工程理论与实践, 2000(7): 58-62.
[6] Harker, P.T. and Vargas, L.G., Reply to `Remarks on the Analytic Hierarchy Process' by J.S. Dyer[J], Management Science, 36 (1990): 269-273.
[7] 何堃. 层次分析法的标度研究[J]. 系统工程理论与实践, 1997(6): 58-61.
[8] 侯岳衡, 沈德家. 指数标度及其与几种标度的比较[J], 系统工程理论与实践, 1995(10): 43-46.
[9] J.S.Finan and W.J.Hurley, Transitive calibration of the AHP verbal scale[J], European Journal of Operational Research, 112 (1999), 367-372.
[10] 中国系统工程学会层次分析法专业学组. 决策科学与层次分析法[M]. 青岛海洋大学出版社, 1992. [11] D. C. Montgomery, Design and Analysis of Experiments[M], 3rd ed., New York: Wiley, 1991.
[12] K. T. Fang and Y.Wang, Number-Theoretic Methods in Statistics[M], New York: Chapman & Hall, 1994. [13] Qingfu Zhang and Yiu-Wing Leung. “An Orthogonal Genetic Algorithm for Multimedia Multicast Routing.”. IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 1999 3 (1):53-63.
Study of Judgment Criterion to Rationality of Decision Makers in AHP
XIONG Li LIANG Liang
Abstract: This paper proposes a new method of determining the reliability of judgment matrix in AHP. We also obtain a pedigree of numeric ratio scales including usual numeric scales. We point out the disagreement between the language description of DM and the numeric relation of scale division in AHP. We also give out a judgment criterion to the rationality of numeric judgment matrix.
Keywords: AHP Judgment matrix Scale Consistency
作者简介：
熊 立，男，汉族，博士研究生，1976年2月出生，上海人，现就读于中国科学技术大学商学院管理科学与工程专业。主要研究方向：决策分析，人力资源管理。
梁 樑，男，汉族，1962年4月出生，安徽合肥人，中国科学技术大学商学院副院长，博士，教授，博士生导师。主要研究领域有：决策分析、生产运作管理等。
层次分析法中专家判断合理性的判别标准研究*
熊立 梁樑
（中国科学技术大学商学院，合肥 230026）
摘要：本文给出了一种针对层次分析法中专家判断矩阵合理性的判别方法，并提出了一类数
字比率标度，其基本上涵盖了目前常用的数字标度；文章讨论了语言逻辑与数字标度的不统一性，并基于某种合理的语言逻辑，给出了一种判断专家数字判断矩阵合理性的判别标准。
关键词：层次分析法 判断矩阵 标度 一致性
0 引言
T.L.Saaty 在上世纪七十年代提出了一种实用的决策方法——层次分析法（Analytic Hierarchy Process）[1]-[3]，这种方法采用数字标度的形式，将定量与定性结合，将人的主观判断用数量形式表达和处理，提高了决策的有效性、可靠性和可行性。层次分析法的过程是根据一定的数字标度将专家的自然语言判断结果构造数字判断矩阵A ，衡量判断矩阵A 是否具有满意的一致性，若满足，则认为专家判断较为合理，其结果能应用于实际问题，否则判定专家判断不可接受，需对专家判断进行修正。
其中针对如何衡量专家判别结果的合理性，目前较为常用的方法是根据判断矩阵A 的主特征根来判别A 是否具有满意的一致性。Saaty （1980）在文献[1]中对EM 方法的合理性解释是：由于a ij 的小的扰动引起最大特征根的小的变化，则λmax 对n 的偏差就是对一致性的一个测度。Saaty （2002）在文献[4]中再次论证了特征根法的合理性。在判断矩阵的一致性要求上，Saaty 通过随机生成若干各阶判断矩阵，然后计算其随机平均一致性（RI ），定义了反映判断矩阵一致性程度的“一致性比率”CR =CI /RI ，并建议当CR 小于10％时，判断矩阵的一致性是可以接受的，即此时的专家判断合理，其结果是可以接受的，否则，需要修正判断矩阵，使其满足一致性比率要求。 [1]Saaty （1995）又在文献[2]中提出：当备选方案较少（3或4个）时，一致性比率应小于5％或8％，专家判断结果才是可以接受。
本文认为，衡量专家判断结果的合理性，应该从专家给出的自然语言判断结果出发，若专家给出的自然语言判断是符合语言逻辑的，并且不存在较为矛盾或者不一致情况，则应该认为该专家的判断结果是合理的。那么采用数字标度对语言判断矩阵进行转化，获得相应的数字判断矩阵，其结果应当符合特定的一致性判断标准；若专家的自然语言判断不合理，则转化所获得的数字判断矩阵，也应该是不符合特定的一致性判断标准。也就是说，确定层次
*
国家自然科学基金资助项目（项目编号：70371023）教育部博士点基金资助项目（项目编号：[1**********]）
分析法中专家判断矩阵一致性的标准，应该建立在专家自然语言逻辑的基础上。一套好的一致性判断标准，应该能够最大程度上区分专家判断是否合理。
1 比率数字判断标度模型
文献[5]-[7]中的论述说明了同样的专家自然语言判断，通过不同的数字标度转化，得到的数字判断矩阵是不同的，其一致性指标CI 也是不同的。因此，不同数字标度的一致性判断依据也应该是根据数字标度的变化而变化。不失一般性，本文首先给出一类数字比率标度，其基本上涵盖了目前较为常用的数字标度。如下所示：
给定S t (M , k )是一个数字比率标度。令S t (M , k )∈[1, M ]，M ∈R +。 S t (M , k )=
8M −(M −9)t +(M −1)kt
(1）
9M −1+8t −M −1k
其中，k 为1－9的自然数，M 为最大标度刻度，t 为独立变量。
由于S t (M , k )≥1，并且等号当且仅当k = 1时成立，因此，t >−1。 事实上，该类数字比率标度基本涵盖了目前常用的数字标度，如表1所示：
表1 几种常用数字标度与标度模型的关系
由表1所示，可以通过调整S t (M , k )标度模型中的M 和t 值，使模型逼近于目前常用的各种数字标度。
2 选取合理语言逻辑假设
本文认为，衡量专家判断结果是否合理，应该衡量专家给出的自然语言判断结果是否满足较为合理的语言逻辑。
因此，建立专家判断矩阵一致性的判别标准，应该以专家合理的语言逻辑作为基础。在此我们根据文献[8]和[9]中针对不同专家的自然语言程度与逻辑的统计结果，给出一套较为合理的语言逻辑假设。已知A 对B 的比较等级和B 对C 的比较等级，则A 对C 的比较等
级如表2所示：
表2 合理语言逻辑下标度刻度等级之间的比较
3 数字判断矩阵的一致性判断依据
针对数字判断矩阵的一致性判断依据，Saaty 建议当CR 小于10％时，判断矩阵的一致性是可以接受的，即此时的专家判断合理，其结果是可以接受的，但事实上，往往专家的自然语言判断是合理的，但是通过数字标度转化获得的相应数字判断矩阵却无法通过Saaty 定义的一致性判别标准（CR ）。我们可以通过下例来说明，假定专家有下述这样一个自然语言判断结果：
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1M 1
S M
1B (V −A )
1
S S
⎤
B (V −A )⎥⎥B (S −V )⎥
⎥A ⎥
⎥1⎦
A
显然，该矩阵中的各语言判断结果都较为符合语言逻辑，并不存在较为矛盾的或者不一致的地方。因此，在通常情况下，我们应该认为这个语言判断矩阵应当是合理的。现在，我们使用1－9标度来将该语言判断矩阵转化为数字判断矩阵并计算其一致性比率CR ＝0.1231，即根据一致性比率要求，该专家判断不合理，不能接受。因此本文认为：一致性判断依据的建立应以能够最大程度上区分专家判断结果是否符合语言逻辑为标准，具体方法如下：
步骤一：通过正交实验设计方法，在样本空间中选取足够的试验样本，去代表样本空间的整体，从而计算出各种数字标度下各阶判断矩阵的随机平均一致性。关于正交设计的详细内容，可参照相关文献[10]-[13]。实际证明，正交实验设计方法对于加成模型和二次模型是最理想的，它所选择的样本组合能够很好地代表所有可能的组合
[12]
。根据计算，3－6阶判
断矩阵选择了289个不同组合代表整个样本空间；7－12阶判断矩阵选择了4913个不同组
合代表整个样本空间。在生成的这些矩阵中，我们直接衡量其是否满足假设的合理语言逻辑，其结果显示：除生成的289个3阶矩阵中存在13个符合我们给出的合理语言逻辑假设之外，生成的其他各阶矩阵全部不满足给出的语言逻辑假设。
步骤二：通过正交实验设计方法，同样在样本空间中选取足够的试验样本，去代表符合给定的合理语言逻辑假设的各阶判断矩阵。
步骤三：选取不同的t 值，使用不同的数字标度转化正交实验生成的不满足语言逻辑和满足语言逻辑的试验样本。
步骤四：计算经过不同数字标度转化的数字判断矩阵的一致性指标CI 。
步骤五：采用逐次逼近法寻找一致性判断标准CII ，使其能够最大程度上区分专家判断逻辑是否合理。结果如表3所示。CII 判断标准针对符合逻辑与不符合逻辑的区分程度见表4所示。
表3 各种数字标度下，专家判断矩阵合理性判别标准CII
通过表3给出的数据，当经过相对应的数字标度转化后得到的数字判断矩阵的CI 值小于表中给出的判别标准CII 值时，我们认为专家判断的逻辑合理，其判断结果可以接受；当数字判断矩阵的CI 值大于CII 值时，专家判断存在逻辑上的错误，其判断结果不可接受。
中国科技论文在线______________________________________________________________________________www.paper.edu.cn
表4 针对符合逻辑与不符合逻辑的区分程度
5
通过表4给出的数据，我们可以看到，基于语言逻辑判断给出的专家判断合理性的判别标准能够较好地区分专家判断是否合理。其中，当-0.2
当然，本文是基于给出的合理语言逻辑，对各种数字标度建立其相应的一致性判别标准。在层次分析法实际应用中，首先应该要求专家按照制定的比较合理的语言逻辑进行判断，谈后通过本文给出的一致性判断标准，能够较为方便的衡量专家判断结果的合理性。
4 结论
本文首先给出了一种比率数字标度，其基本上能够涵盖目前常用的数字标度；其次，基于一种较为合理的专家判断语言逻辑，通过正交实验的方法得出了一组各种常用数字标度的一致性判别标准。本文给出的专家判断矩阵一致性判别标准，在该种合理的语言逻辑下能够较好地区分专家判断的合理性。当然，专家判断结果的合理性衡量是一个非常值得研究的问题，本文给出的标准是建立在一定的合理语言逻辑下的，在层次分析法的应用中，衡量专家判断矩阵一致性的前提是制定相对比较统一的合理语言判断逻辑，在此基础上，可以通过本文给出的方法，制定各种数字标度相应的一致性判别标准。
参考文献：
[1] T.L Saaty. The Analytic Hierarchy Process[M]. New York: Mc Gtaw Hill, 1980.
[2] T.L.Saaty. Transport planning with multiple criteria: The analytic hierarchy process applications and progress review[J]. Journal of Advanced Transportation 29 (1):81-126. [3] 徐树柏. 层次分析法[M]. 天津大学出版社, 1988.
[4] T.L.Saaty. Decision-making with the AHP:Why is the principal eigenvector necessary[J]. European Journal of Operational Research, 145 (2003), 85-91.
[5] 徐泽水. 关于层次分析中几种标度的模拟评估[J]. 系统工程理论与实践, 2000(7): 58-62.
[6] Harker, P.T. and Vargas, L.G., Reply to `Remarks on the Analytic Hierarchy Process' by J.S. Dyer[J], Management Science, 36 (1990): 269-273.
[7] 何堃. 层次分析法的标度研究[J]. 系统工程理论与实践, 1997(6): 58-61.
[8] 侯岳衡, 沈德家. 指数标度及其与几种标度的比较[J], 系统工程理论与实践, 1995(10): 43-46.
[9] J.S.Finan and W.J.Hurley, Transitive calibration of the AHP verbal scale[J], European Journal of Operational Research, 112 (1999), 367-372.
[10] 中国系统工程学会层次分析法专业学组. 决策科学与层次分析法[M]. 青岛海洋大学出版社, 1992. [11] D. C. Montgomery, Design and Analysis of Experiments[M], 3rd ed., New York: Wiley, 1991.
[12] K. T. Fang and Y.Wang, Number-Theoretic Methods in Statistics[M], New York: Chapman & Hall, 1994. [13] Qingfu Zhang and Yiu-Wing Leung. “An Orthogonal Genetic Algorithm for Multimedia Multicast Routing.”. IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 1999 3 (1):53-63.
Study of Judgment Criterion to Rationality of Decision Makers in AHP
XIONG Li LIANG Liang
Abstract: This paper proposes a new method of determining the reliability of judgment matrix in AHP. We also obtain a pedigree of numeric ratio scales including usual numeric scales. We point out the disagreement between the language description of DM and the numeric relation of scale division in AHP. We also give out a judgment criterion to the rationality of numeric judgment matrix.
Keywords: AHP Judgment matrix Scale Consistency
作者简介：
熊 立，男，汉族，博士研究生，1976年2月出生，上海人，现就读于中国科学技术大学商学院管理科学与工程专业。主要研究方向：决策分析，人力资源管理。
梁 樑，男，汉族，1962年4月出生，安徽合肥人，中国科学技术大学商学院副院长，博士，教授，博士生导师。主要研究领域有：决策分析、生产运作管理等。