第一讲 相似图形
一、图形的相似
1、相似图形、相似多边形的定义：形状相同的图形叫做相似图形（本质特征---形状相同。图形的相似可以看成一个图形的放大或缩小。）
2、比例的基本性质 若a c =，则ad=bc.(黄金分割点：把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等b d
于另一部分与这部分之比。其比值是（5-1）：2≈0.618，由于按此比例设计的造型最能引起人的美感，因此称为黄金分割)
典型例题：
例1、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
例2、如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB=4．
(1)求AD 的长．
(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．
例3、如图，一块长3m 、宽1.5m 的矩形黑板ABCD 如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm ．边框的内边缘所成的矩形ABCD 与边框的外边缘所成的矩形EFGH 相似吗？为什么？
思考：若将例3中问题一般化，设矩形ABCD 的一组邻边长分别是a,b ，边框宽为x ，那么满足什么条件可以使得两矩形相似呢？
例4、买西瓜为什么挑大个？
思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？
“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”
例5、猜想性质：棱长为1的正方体的体积V1=1，棱长为2的正方体的体积V2=8，棱长为3的正方体的体积V3=27，…，由此可得：V 1111182==() , 1==() , 2==() ，…，8V 327V 3272333233
由此猜想立体相似具有下列性质：立体相似图形的体积之比等于对应线段之比的______； 问题解决：星期天，小强帮妈妈去超市买鱼，正赶上超市促销．超市里有一种“竹荚鱼”个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm 的每条1元，鱼长13cm 的每条1.5元．买哪种鱼合算呢小强数学成绩非常棒，只见他稍做思考，立即做出了合理的决定．你知道小强买的是哪种鱼？为什么呢？
专项训练：
1、已知x 3=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） y 2
A ．y 2x +y 5x +25= B．2x=3y C．= D．= x 3y 2y +24
2、如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB=acm，宽BC=bcm，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ） A. 2:1 B.1:2 C.3:1 D.1:3
3、下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A. 正方形与矩形 B.正方形与菱形 C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
4、已知矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝（ ） A. -15+1 B. C.3 D.2 22
5、如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 两点分别在AB ，DC 上，若AE ＝4，EB ＝6，DF ＝2，FC ＝3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为（ ）
A.1:2 B.2:3 C.2:5 D.4:9
6、如图：矩形ABCD 的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似？
二、相似三角形的判定
1、判定方法：（只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边的比相等”就可以得到三角形相似的判定定理）
（1）定义法：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似。（解题时一般不使用）
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）AA 法：两角对应相等的两个三角形相似
（4）SAS 法：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似。
（5）SSS 法：三组对应边的比相等的两个三角形相似。
（6）HL 法：斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。（只适合直角三角形）
2、相似的基本图形
典型例题：
例1、如图已知在三角形ABC 中, 点D,E,F 分别是边AB,AC,BC 上的点,DE 平行于BC,EF 平行与AB, 且AD ：DB=3:5,那么CF ：CB 等于（ ）
A.5:8 B.3:8 C.3:5 D.2:5
例2、已知：如图，在△ABC 中，AB=2，AC=4，BC=6。M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长；
例3、△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点E 位于边BC 的中点
( 1)如图1，设DE 与AB 交于点M ，EF 与AC 交于点N ，求证：△BEM ∽△CNE ；
（2）如图2，将△DEF 绕点E 旋转，使得DE 与BA 的延长线交于点M ，EF 与AC 交于点N ，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
例4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB 上是否存在点P ，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP 的长；若不存在，请说明理由．
例5、如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，沿AE 折叠矩形，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，G 为边AD 上一点，GD=CF，连接BD,GE. 求证：BD ⊥GE.
A
E
B F C
专项练习：
1、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）
2、如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有（ ）
A ．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3、如图，△A B D 与△A E C 都是等边三角形，A B ≠A C ，下列结论中：①B E ＝D C ；②∠B O D ＝60°；③△B O D ∽△C O E ．正确的序号是________．
4、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AD ∥BC ，AD=4，AB=5，BC=6，点P 是AB 上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB 的长为______．
5、如图，已知点O 是△ABC 中BC
6、已知： ABCD 中，E 是BA 边延长线上一点，CE 交对角线DB 于点G ，交AD 边于点F ． 求证：CG 2=GF ∙GE 。
7、如图（1），在Rt △ABC 中，∠BAC= 90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE ⊥OB 交BC 边于点E 。
（1）求证：△ABF ∽△COE ；
AC OF =2时，如图（2），求的值； AB OE AC OF =n 时，请直接写出（3）当O 为AC 边中点，的值。 AB OE （2）当O 为AC 边中点，
8、如图，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 、始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点。
（1）求证：△ABE ∽△ECM ；
（2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积。
三、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等
（2）相似三角形的对应边成比例
（3）相似三角形的对应高之比=对应中线之比=对应角平分线之比=相似比
（4）相似三角形的周长之比=相似比
（5）相似三角形的面积之比=相似比的平方
典型例题：
例1、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位／秒，若两动点同时出发，移动t 秒时，△PQA 与△ABC 相似，求t 的值。
例2、一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D 的高度，如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB=1.25m。已知李明直立时的身高为1.75m ，求路灯的高CD 的长. （结果精确到0.1m ）
例3、已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．
（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证DE AD =； CF CD
（2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE AD =成立？并证明你的结论； CF CD
DE 的值． CF （3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出
专项练习： 1、如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD=4，BC=8，BD ：DC=5：3，则DE 的长等于（ ）
A ．20151617 B． C． D． 3434
2、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF=4∶25，求DE ∶EC 的值．
3、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到圆桌后在地面上形成圆形的示意图. 已知桌面直径为1.2m ，桌面离地面1m. 若灯泡离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A ．
m 2 B ．m 2 C ．m 2 D ．m 2
4、平面直角坐标系中，已知点O(0，0) 、A(0，2) 、B(1，0) ，点P 是反比例函数y =-1图 x 象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ．若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似， 则相应的点P 共有（ ）
A．1个 B．2个 C ．3个 D．4个
5、（1）如图1，已知DE ∥BC ，DE 平分△ABC 的面积，则AD =______； BD
（2）如图2，已知DE ∥FG ∥BC ，点D 、F 是线段AB 的三等分点，记△ADE 、四边形DFGE 和四边形FBCG 的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3= ；
（3）如图3，已知D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，且四边形CEDF 为平行四边形，△ADF 和△BDE 的面积分别为4和25，则四边形CEDF 的面积是 ．
6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上）
（1）若△CEF 与△ABC 相似．
①当AC=BC=2时，AD 的长为 ；
②当AC=3，BC=4时，AD 的长为 ；
（2）当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．
7、已知在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB （如图1）或线段AB 的延长线（如图2）于点P ．
（1）当点P 在线段AB 上时，求证：△APQ ∽△ABC ；
（2）当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．
8、已知△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称(点A 的对称点是点C) ，点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，联结AF 、AE ，交BD 于点G ．
（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD ；
（2）如图2，当AB=AD时，M 是线段AG 上一点，联结BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF=12∠BAF ，AF=AD ，试探究线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的结论． 23
图1 图2
第一讲 相似图形
一、图形的相似
1、相似图形、相似多边形的定义：形状相同的图形叫做相似图形（本质特征---形状相同。图形的相似可以看成一个图形的放大或缩小。）
2、比例的基本性质 若a c =，则ad=bc.(黄金分割点：把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等b d
于另一部分与这部分之比。其比值是（5-1）：2≈0.618，由于按此比例设计的造型最能引起人的美感，因此称为黄金分割)
典型例题：
例1、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A ．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
例2、如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB=4．
(1)求AD 的长．
(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．
例3、如图，一块长3m 、宽1.5m 的矩形黑板ABCD 如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm ．边框的内边缘所成的矩形ABCD 与边框的外边缘所成的矩形EFGH 相似吗？为什么？
思考：若将例3中问题一般化，设矩形ABCD 的一组邻边长分别是a,b ，边框宽为x ，那么满足什么条件可以使得两矩形相似呢？
例4、买西瓜为什么挑大个？
思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？
“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”
例5、猜想性质：棱长为1的正方体的体积V1=1，棱长为2的正方体的体积V2=8，棱长为3的正方体的体积V3=27，…，由此可得：V 1111182==() , 1==() , 2==() ，…，8V 327V 3272333233
由此猜想立体相似具有下列性质：立体相似图形的体积之比等于对应线段之比的______； 问题解决：星期天，小强帮妈妈去超市买鱼，正赶上超市促销．超市里有一种“竹荚鱼”个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm 的每条1元，鱼长13cm 的每条1.5元．买哪种鱼合算呢小强数学成绩非常棒，只见他稍做思考，立即做出了合理的决定．你知道小强买的是哪种鱼？为什么呢？
专项训练：
1、已知x 3=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） y 2
A ．y 2x +y 5x +25= B．2x=3y C．= D．= x 3y 2y +24
2、如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB=acm，宽BC=bcm，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ） A. 2:1 B.1:2 C.3:1 D.1:3
3、下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A. 正方形与矩形 B.正方形与菱形 C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
4、已知矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝（ ） A. -15+1 B. C.3 D.2 22
5、如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 两点分别在AB ，DC 上，若AE ＝4，EB ＝6，DF ＝2，FC ＝3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为（ ）
A.1:2 B.2:3 C.2:5 D.4:9
6、如图：矩形ABCD 的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似？
二、相似三角形的判定
1、判定方法：（只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边的比相等”就可以得到三角形相似的判定定理）
（1）定义法：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似。（解题时一般不使用）
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）AA 法：两角对应相等的两个三角形相似
（4）SAS 法：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似。
（5）SSS 法：三组对应边的比相等的两个三角形相似。
（6）HL 法：斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。（只适合直角三角形）
2、相似的基本图形
典型例题：
例1、如图已知在三角形ABC 中, 点D,E,F 分别是边AB,AC,BC 上的点,DE 平行于BC,EF 平行与AB, 且AD ：DB=3:5,那么CF ：CB 等于（ ）
A.5:8 B.3:8 C.3:5 D.2:5
例2、已知：如图，在△ABC 中，AB=2，AC=4，BC=6。M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长；
例3、△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点E 位于边BC 的中点
( 1)如图1，设DE 与AB 交于点M ，EF 与AC 交于点N ，求证：△BEM ∽△CNE ；
（2）如图2，将△DEF 绕点E 旋转，使得DE 与BA 的延长线交于点M ，EF 与AC 交于点N ，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
例4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB 上是否存在点P ，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP 的长；若不存在，请说明理由．
例5、如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，沿AE 折叠矩形，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，G 为边AD 上一点，GD=CF，连接BD,GE. 求证：BD ⊥GE.
A
E
B F C
专项练习：
1、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）
2、如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有（ ）
A ．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3、如图，△A B D 与△A E C 都是等边三角形，A B ≠A C ，下列结论中：①B E ＝D C ；②∠B O D ＝60°；③△B O D ∽△C O E ．正确的序号是________．
4、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AD ∥BC ，AD=4，AB=5，BC=6，点P 是AB 上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB 的长为______．
5、如图，已知点O 是△ABC 中BC
6、已知： ABCD 中，E 是BA 边延长线上一点，CE 交对角线DB 于点G ，交AD 边于点F ． 求证：CG 2=GF ∙GE 。
7、如图（1），在Rt △ABC 中，∠BAC= 90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE ⊥OB 交BC 边于点E 。
（1）求证：△ABF ∽△COE ；
AC OF =2时，如图（2），求的值； AB OE AC OF =n 时，请直接写出（3）当O 为AC 边中点，的值。 AB OE （2）当O 为AC 边中点，
8、如图，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 、始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点。
（1）求证：△ABE ∽△ECM ；
（2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积。
三、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等
（2）相似三角形的对应边成比例
（3）相似三角形的对应高之比=对应中线之比=对应角平分线之比=相似比
（4）相似三角形的周长之比=相似比
（5）相似三角形的面积之比=相似比的平方
典型例题：
例1、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位／秒，若两动点同时出发，移动t 秒时，△PQA 与△ABC 相似，求t 的值。
例2、一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D 的高度，如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB=1.25m。已知李明直立时的身高为1.75m ，求路灯的高CD 的长. （结果精确到0.1m ）
例3、已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．
（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证DE AD =； CF CD
（2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE AD =成立？并证明你的结论； CF CD
DE 的值． CF （3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出
专项练习： 1、如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD=4，BC=8，BD ：DC=5：3，则DE 的长等于（ ）
A ．20151617 B． C． D． 3434
2、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF=4∶25，求DE ∶EC 的值．
3、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到圆桌后在地面上形成圆形的示意图. 已知桌面直径为1.2m ，桌面离地面1m. 若灯泡离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A ．
m 2 B ．m 2 C ．m 2 D ．m 2
4、平面直角坐标系中，已知点O(0，0) 、A(0，2) 、B(1，0) ，点P 是反比例函数y =-1图 x 象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ．若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似， 则相应的点P 共有（ ）
A．1个 B．2个 C ．3个 D．4个
5、（1）如图1，已知DE ∥BC ，DE 平分△ABC 的面积，则AD =______； BD
（2）如图2，已知DE ∥FG ∥BC ，点D 、F 是线段AB 的三等分点，记△ADE 、四边形DFGE 和四边形FBCG 的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3= ；
（3）如图3，已知D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，且四边形CEDF 为平行四边形，△ADF 和△BDE 的面积分别为4和25，则四边形CEDF 的面积是 ．
6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上）
（1）若△CEF 与△ABC 相似．
①当AC=BC=2时，AD 的长为 ；
②当AC=3，BC=4时，AD 的长为 ；
（2）当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．
7、已知在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB （如图1）或线段AB 的延长线（如图2）于点P ．
（1）当点P 在线段AB 上时，求证：△APQ ∽△ABC ；
（2）当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．
8、已知△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称(点A 的对称点是点C) ，点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，联结AF 、AE ，交BD 于点G ．
（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD ；
（2）如图2，当AB=AD时，M 是线段AG 上一点，联结BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF=12∠BAF ，AF=AD ，试探究线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的结论． 23
图1 图2