相似三角形专题知识点

相似三角形

1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：X Kb1. Co m

222①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④△POF∽△BNF；⑤当

△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．

其中正确的结论有（ ）

2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）

5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）

A．a

B． C． D．

分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．

解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，

∴△ACD∽△BCA，

∵AB=4，AD=2，

∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，

∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，

∵△ABD的面积为a，

∴△ACD的面积为a，

故选C．

．

9、（2013菏泽）如图，边长为6别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19

．

分析：由图可得，S

1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．

解答：解：如图，设正方形S2，

根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，

∴AC=2CD，CD==2，

222∴EC=2+2，即EC=；

2∴S2的面积为EC==8；

∵S133×3=9，

∴S1+S2故选B CD，可得AC=2CD，

CD=2，

点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．

10、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）

的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）

14、（9-2图形的相似·2013如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，3、4及x，那么x的值（ ）

A. 只有1个 B. 2个 C. 可以有3个 D. 有无数个

.解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x，故x的值可以为5.两种情况。

15、（Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）

17、（2013•牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②

三角形；④当∠ABC=45°时，BN=；③△PMN为等边PC．其中正确的个数是（ ）

23、（2013

•黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．

26、（2013•牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 ．

30、（2013•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：

222

①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE+DC=DE， 其中正确的有（ ）个．

36、（2013年潍坊市）如图，直角三角形ABC中，ACB90，AB10， BC6，在线段AB上取一点D，作DFAB交AC于点F.现将ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；

AD的中点E的对应点记为E1.若E1FA1∽E1BF，则AD

=__________.

解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC= AB2-BC2 = 102-62 =8，设AD=2x，

∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1， ∴AE=DE=DE1=A1E1=x，

∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC =DF：BC ， 即2x：8 =DF：6 ，解得DF=1.5x，

在Rt△DE1F中，E1F2= DF2+DE12 = 3.25 x 2 ，

又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F:A1E1 =BE1 :E1F ，∴E1F2=A1E1•BE1， 即3.25x2=x（10-3x），解得x=1.6 ，∴AD的长为2×1.6 =3.2． 47、（2013•衢州）【提出问题】

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BCB、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN∠ACN． 【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ 【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△中，，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC

与∠

ACN

49、(2013年广东省8分、22)如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.

(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“

（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

解析：

（1） S1= S2+ S3；

（2）△BCF∽△DBC∽△CDE; 选△BCF∽△CDE

证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90° 在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90° ∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE. 51、（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，MABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNCS有最小值？若存在，求S的最小值；

52、（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点． （1）求证：△ADP∽△ABQ；

2

（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边ABAB和BC的数量关系．

（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；

（3）如图4，在直角梯形ABCD中，DC90，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论.

D

A

B

H B

解析：

解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，理由如下：

∵A36°，ABAC ∴BACB72° ∵CD平分ACB ∴DCB36°

∴

BDCB∵ABCD，∴△BCD ∽△BCBD



ABBC

又∵BC

CDADBD∴ ABAB

∴D是AB

（2）直线CD是△ABC设△ABC的边AB∴

:AB，SDBC:SADCBD:AD DBC:SADC

······································· （3分） 的黄金分割线 ∴△EBG ∽△EAH，△EGC ∽△EHD

BGEG

① 

AHEHGCEG

② 

HDEH

BGGCBGAH

由①、 ②得 即 ③ 

AHHDGCHD

同理，由△BGF ∽△DHF，△CGF ∽△AHF得

∴

BGGCBGHD 即 ④ HDAHGCAH

AHHD由③、④得 HDAH

∴AHHD

∴BGGC

∴ 梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等

1∴S梯形ABGHS梯形GCDHS梯形ABCD 2

∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 ························ （3分）

64、（2013•娄底压轴题）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC

上，AD交EF

于点H． （1）求证：；

（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动）t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与tt

相似三角形

1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：X Kb1. Co m

222①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④△POF∽△BNF；⑤当

△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．

其中正确的结论有（ ）

2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）

5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）

A．a

B． C． D．

分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．

解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，

∴△ACD∽△BCA，

∵AB=4，AD=2，

∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，

∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，

∵△ABD的面积为a，

∴△ACD的面积为a，

故选C．

．

9、（2013菏泽）如图，边长为6别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19

．

分析：由图可得，S

1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．

解答：解：如图，设正方形S2，

根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，

∴AC=2CD，CD==2，

222∴EC=2+2，即EC=；

2∴S2的面积为EC==8；

∵S133×3=9，

∴S1+S2故选B CD，可得AC=2CD，

CD=2，

点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．

10、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）

的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）

14、（9-2图形的相似·2013如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，3、4及x，那么x的值（ ）

A. 只有1个 B. 2个 C. 可以有3个 D. 有无数个

.解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x，故x的值可以为5.两种情况。

15、（Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）

17、（2013•牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②

三角形；④当∠ABC=45°时，BN=；③△PMN为等边PC．其中正确的个数是（ ）

23、（2013

•黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．

26、（2013•牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 ．

30、（2013•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：

222

①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE+DC=DE， 其中正确的有（ ）个．

36、（2013年潍坊市）如图，直角三角形ABC中，ACB90，AB10， BC6，在线段AB上取一点D，作DFAB交AC于点F.现将ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；

AD的中点E的对应点记为E1.若E1FA1∽E1BF，则AD

=__________.

解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC= AB2-BC2 = 102-62 =8，设AD=2x，

∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1， ∴AE=DE=DE1=A1E1=x，

∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC =DF：BC ， 即2x：8 =DF：6 ，解得DF=1.5x，

在Rt△DE1F中，E1F2= DF2+DE12 = 3.25 x 2 ，

又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E1F:A1E1 =BE1 :E1F ，∴E1F2=A1E1•BE1， 即3.25x2=x（10-3x），解得x=1.6 ，∴AD的长为2×1.6 =3.2． 47、（2013•衢州）【提出问题】

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BCB、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN∠ACN． 【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ 【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△中，，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC

与∠

ACN

49、(2013年广东省8分、22)如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.

(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“

（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

解析：

（1） S1= S2+ S3；

（2）△BCF∽△DBC∽△CDE; 选△BCF∽△CDE

证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90° 在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90° ∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE. 51、（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，MABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNCS有最小值？若存在，求S的最小值；

52、（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点． （1）求证：△ADP∽△ABQ；

2

（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边ABAB和BC的数量关系．

（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；

（3）如图4，在直角梯形ABCD中，DC90，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论.

D

A

B

H B

解析：

解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，理由如下：

∵A36°，ABAC ∴BACB72° ∵CD平分ACB ∴DCB36°

∴

BDCB∵ABCD，∴△BCD ∽△BCBD



ABBC

又∵BC

CDADBD∴ ABAB

∴D是AB

（2）直线CD是△ABC设△ABC的边AB∴

:AB，SDBC:SADCBD:AD DBC:SADC

······································· （3分） 的黄金分割线 ∴△EBG ∽△EAH，△EGC ∽△EHD

BGEG

① 

AHEHGCEG

② 

HDEH

BGGCBGAH

由①、 ②得 即 ③ 

AHHDGCHD

同理，由△BGF ∽△DHF，△CGF ∽△AHF得

∴

BGGCBGHD 即 ④ HDAHGCAH

AHHD由③、④得 HDAH

∴AHHD

∴BGGC

∴ 梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等

1∴S梯形ABGHS梯形GCDHS梯形ABCD 2

∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 ························ （3分）

64、（2013•娄底压轴题）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC

上，AD交EF

于点H． （1）求证：；

（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动）t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与tt