2014年山东临沂市中考数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共42分）
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．－3的相反数是 （A ）3．
（B ）－3．
（C ）．
（D ）-．
2．根据世界贸易组织(W T O )秘书处初步统计数据，2013年中国货物进出口总额为 4 160 000 000 000美元，超过美国成为世界第一货物贸易大国．将这个数据用科学记数法可以记为
（A ）4.16⨯1012美元． （C ）0.416⨯1012美元．
（B ）4.16⨯1013美元． （D ）416⨯1010美元．
A
l 1
1
2 l 2
（第3题图）
（a 2b ) 3=a 6b 3． （B ）
3．如图，已知l 1∥l 2，∠A =40°，∠1=60°，则∠2的度数为 （A ）40°． （B ）60°． （C ）80°． （D ）100°．
4．下列计算正确的是 （A ）a +2a =3a 2． （C ）(a m ) 2=a m +2．
（D ）a 3⋅a 2=a 6．
5．不等式组-2≤x +1
－3 －2 －1
－3 －2 －1
（A ）
（B ）
－3 －2 －1
－3 －2 －1
（D ）
0 1
（C ）
2
a +1÷(-1) 的结果是 6．当a =2时，a -22
a
（A ）．
2（C ）．
（B ）-．
2（D ）-．
7．将一个n 边形变成n +1边形，内角和将 （A ）减少180°． （C ）增加180°．
（B ）增加90°． （D ）增加360°．
8．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所列方程正确的是
（A ）=．
x -20x （C ）=． （B ）=．
x x -20（D ）=．
9．如图，在⊙O 中，AC ∥OB ，∠BAO =25°， 则∠BOC 的度数为
（A ）25°． （B ）50°． （C ）60°． （D ）80°．
10．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大 于4的概率是
（A ）．
（B ）．
3（C ）．
2（D ）．
3
11．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧 面积为
（A ）2πcm 2． （B ）4πcm 2． （C ）8πcm 2． （D ）16πcm 2． 12．请你计算： (1-x )(1+x ) ， (1-x )(1+x +x 2) ，
（第9题图）
主视图 左视图
俯视图
（第11题图）
„，
猜想(1-x )(1+x +x 2+„+x n ) 的结果是 （A ）1-x n +1． （C ）1-x n ．
（B ）1+x n +1． （D ）1+x n ．
13．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为
（A ）
20海里． （B ）
（C ） （D ）30海里．
北
（第13题图）
14．在平面直角坐标系中，函数y =x 2-2x (x ≥0) 的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y =a （a 为常数）与C 1，C 2的交点共有
（A ）1个． （B ）1个，或2个．
（C ）1个，或2个，或3个． （D ）1个，或2个，或3个，或4个．
第Ⅱ卷（非选择题 共78分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 15．在实数范围内分解因式：x -6x =16．某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结果如下表所示：
3
则这50
17．如图，在 AC =BC 18三角形OAB 过点D 19．是互不相同．．．．现的．如一组数1记为A ={1，2，3定义：集合合称为集合A 则A+B = .
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（本小题满分7分）
21．（本小题满分7分）
随着人民生活水平的提高，购买老年代步车的人越来越多．这些老年代步车却成为交通安全的一大隐患．针对这种现象，某校数学兴趣小组在《老年代步车现象的调查报告》中就“你认为对老年代步车最有效的的管理措施”随机对某社区部分居民进行了问卷调查，其中调查问卷设置以下选项（只选一项）：
A ：加强交通法规学习；B ：实行牌照管理；C ：加大交通违法处罚力度；D ：纳入机动车管理；E ：分时间分路段限行.
调查数据的部分统计结果如下表： A B C D E
（第21题图）
（1）根据上述统计表中的数据可得m =_______，n =______，a =________； （2）在答题卡中，补全条形统计图；
（3）该社区有居民2600人，根据上述调查结果，请你估计选择“D ：纳入机动车管理”的居民约有多少人？
管理措施
-sin 60︒+
22．（本小题满分7分）
如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30°， 以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过D 作 DE ⊥AC ，垂足为E .
B
（1）证明：DE 为⊙O 的切线；
（2）连接OE ，若BC =4，求△OEC 的面积.
23．（本小题满分9分）
对一张矩形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，展开；
第二步：再一次折叠，使点A 落在MN 上的点
M
A
（第22题图）
N C
图1 A ＇
B ＇
A '处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ，同时，
得到线段BA '，EA '，展开，如图1；
第三步：再沿EA '所在的直线折叠，点B 落在AD 上的点B '处，得到折痕EF ，同时得到线段B 'F ，M 展开，如图2.
（1）证明：∠ABE =30°；
（2）证明：四边形BFB 'E 为菱形.
24．（本小题满分9分）
D N F
图2
（第23题图）
某景区的三个景点A ，B ，C 在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A 出发，甲步行到景点C ，乙乘景区观光车先到景点B ，在B 处停留一段时间后，再步行到景点C . 甲、乙两人离开景点A 后的路程S （米）关于时间t （分钟）的函数图象如图所示.
根据以上信息回答下列问题： （1）乙出发后多长时间与甲相遇？ （2）要使甲到达景点C 时，乙与 C 的路程不超过400米，则乙从景点B 步行到景点C 的速度至少为多少？ （结果精确到0.1米/分钟）
甲 乙
0 20 30 60 90 t （分钟）
（第24题图）
25．（本小题满分11分）
问题情境：如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是 BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM .
探究展示：
（1）证明：AM =AD +MC ； （2）AM =D E +BM 是否成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
拓展延伸：
（3）若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形， 其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结 论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.
26．（本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴 交于点A (-1，0) 和点B (1，0) ，直线y =2x -1 与y 轴交于点C ，与抛物线交于点C ，D .
（1）求抛物线的解析式； （2）求点A 到直线CD 的距离；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P 在直线 CD 上，抛物线与直线CD 的另一个交点为Q ，点 G 在y 轴正半轴上，当以G ，P ，Q 三点为顶点的 三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的 G 点的坐标.
B A
D
E
图1
C
D
E
M
图2 （第25题图）
C
（第26题图）
2014年山东临沂市中考
数学参考答案及评分标准
二、填空题（每小题3分，共15分）
15．x (x x ； 16．5.3； 17． 18．y =
1
； 19．｛－3，－2，0，1，3，5，7｝．（注：各元素的排列顺序可以不同） x
20．解：原式 -+2 ··············································································· （6分） =2-
13
=． ····················································································· （7分） 22
（注：本题有3项化简，每项化简正确得2分）
21．（1）20%，175， 500． ··········
······································································· （3分） （2）
„„„„„（2分） 管理措施
（注：画对一个得1分，共2分）
（3）∵2600×35%=910（人），
∴选择D 选项的居民约有910人. ································································· （2分） 22．（1）（本小问3分） 证明：连接OD . ∵OB =OD , ∴∠OBD =∠ODB . 又∵∠A =∠B =30°, ∴∠A =∠ODB ,
∴DO ∥AC ．········································ （2分） ∵DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ．
∴DE 为⊙O 的切线． ······························································································ （3分） （2）（本小问4分） 连接DC ．
∵∠OBD =∠ODB =30°， ∴∠DOC=60°．
∴△ODC 为等边三角形． ∴∠ODC=60°， ∴∠CDE=30°． 又∵BC =4， ∴DC =2,
∴CE =1． ················································································································· （2分） 方法一：
过点E 作EF ⊥BC ，交BC 的延长线于点F ． ∵∠ECF=∠A +∠B=60°, ∴EF =C E ·sin60°=1． ········································································· （3分） 11= ·∴S △OEC =OC ⋅EF =⨯2································································· （4分）
22方法二：
过点O 作OG ⊥AC ，交AC 的延长线于点G ． ∵∠OCG=∠A +∠B=60°，
∴OG =OC ·sin60°=2 ········································································ （3分） 11 ∴S △OEC =CE ⋅OG =⨯1··································································· （4分）
22
方法三： ∵OD ∥CE ，
∴S △OEC = S△DEC ． 又∵DE=DC·cos 30°=2
······································································ （3分）
11 ∴S △OEC
=CE ⋅DE =⨯1=··································································· （4分）
2223．证明：（1）（本小问5分）
E 由题意知，M 是AB 的中点，
△ABE 与△A'BE 关于BE 所在的直线对称.
∴AB=A'B，∠ABE=∠A'BE. ················· （2分） M N
在Rt △A'MB 中，
1
C A'B ， 图1 2
∴∠BA'M=30°, ········································································································· （4分） ∴∠A'BM=60°， ∴∠ABE=30°. ··········································································································· （5分） （2）（本小问4分）
D ∵∠ABE=30°，
∴∠EBF=60°，
M N ∠BEF=∠AEB=60°， MB =
∴△BEF 为等边三角形. ··················· （2分）
由题意知，
△BEF 与△B'EF 关于EF 所在的直线对称. ∴BE =B'E =B'F =BF ,
F 图2
∴四边形BF B ' E 为菱形. ··································· ····················································· （4分） 24．解：（1）（本小问5分）
当0≤t ≤90时，设甲步行路程与时间的函数解析式为S =at . ∵点(90，5400) 在S =at 的图象上，∴a =60. ∴函数解析式为S =60t . ···························································································· （1分） 当20≤t ≤30时，设乙乘观光车由景点A 到B 时的路程与时间的函数解析式为S =mt+n. ∵点(20，0) ，(30，3000) 在S =mt+n的图象上，
⎧20m +n =0, ⎧m =300, ∴⎨ 解得⎨ ····························································· （2分）
30m +n =3000. n =-6000. ⎩⎩
∴函数解析式为S =300t -6000(20≤t ≤30). ····························································· （3分） ⎧S =60t , 根据题意，得⎨
S =300t -6000, ⎩
⎧t =25, 解得⎨ ········································································································· （4分）
s =1500. ⎩
∴乙出发5分钟后与甲相遇. ··················································································· （5分） （2）（本小问4分）
设当60≤t ≤90时，乙步行由景点B 到C 的速度为v 米／分钟， 根据题意，得5400-3000-(90-60) v ≤400， ·························································· （2分）
200
··············································································· （3分） ≈66.7 .
3
∴乙步行由B 到C 的速度至少为66.7米／分钟. ·················································· （4分） 25. 证明：
N （1）（本小问4分） 解不等式，得v ≥
方法一：过点E 作EF ⊥AM ，垂足为F .
∵AE 平分∠DAM ，ED ⊥AD ，
E ∴ED=EF. ··········································· （1分）
由勾股定理可得,
AD=AF. ··············································· （2分）
又∵E 是CD 边的中点， G B M C ∴EC=ED=EF. 又∵EM=EM， ∴Rt △EFM ≌Rt △ECM . ∴MC=MF. ························································· ····················································· （3分） ∵AM=AF+FM， ∴AM=AD+MC. ······································································································· （4分） 方法二：
连接FC . 由方法一知，∠EFM=90°, AD=AF，EC=EF. ······································· （2分） 则∠EFC=∠ECF ， ∴∠MFC=∠MCF . ∴MF=MC. ··············································································································· （3分） ∵AM=AF+FM， ∴AM=AD+MC. ······································································································· （4分） 方法三：
延长AE ，BC 交于点G . ∵∠AED=∠GEC ，∠ADE=∠GCE=90°，DE=EC， ∴△ADE ≌△GCE . ∴AD=GC, ∠DAE=∠G . ··························································································· （2分） 又∵AE 平分∠DAM ， ∴∠DAE=∠MAE ， ∴∠G=∠MAE ， ∴AM=GM， ············································································································ （3分）
∵GM=GC+MC=AD+MC， ∴AM=AD+MC. ······································································································· （4分） 方法四：
连接ME 并延长交AD 的延长线于点N ， ∵∠MEC ＝∠NED ， EC ＝ED ， ∠MCE ＝∠NDE=90°， ∴△MCE ≌△NDE . ∴MC=ND，∠CME=∠DNE . ··················································································· （2分） 由方法一知△EFM ≌△ECM ， ∴∠FME=∠CME ， ∴∠AMN=∠ANM . ···································································································· （3分） ∴AM=AN=AD+DN=AD+MC. ················································································ （4分） （2）（本小问5分）
D 成立. ···················································· （1分） 方法一：延长CB 使BF=DE，
连接AF ，
E ∵AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，
∴△ABF ≌△ADE ， ∴∠F AB=∠EAD ，∠F=∠AED. ··········· （2分）
C F B M ∵AE 平分∠DAM ， ∴∠DAE=∠MAE .
∴∠F AB=∠MAE ， ∴∠F AM=∠F AB+∠BAM=∠BAM+∠MAE=∠BAE. ·················································· （3分） ∵AB ∥DC ， ∴∠BAE=∠DEA ， ∴∠F=∠F AM ， ∴AM=FM. ··············································································································· （4分） 又∵FM=BM+BF=BM+DE， ∴AM=BM+DE. ······································································································· （5分） 方法二：
设MC=x，AD=a.
由（1）知 AM=AD+MC=a+x. 在Rt △ABM 中，
∵AM 2=AB 2+BM 2，
∴(a +x ) 2=a 2+(a -x ) 2， ······················································································ （3分）
1∴x =a . ················································································································· （4分）
4
35
∴BM =a ，AM =a ，
44
315
∵BM+DE=a +a =a ，
424
∴AM =BM +D E . ·································································································· （5分） （3）（本小问2分） AM=AD+MC成立， ································································································ （1分） AM=DE+BM不成立. ······························································································ （2分） 26. （1）（本小问3分）
解：在y =2x -1中，令x =0，得 y =-1.
∴C (0，-1) ·········································· （1分） ∵抛物线与x 轴交于A (-1，0), B (1，0), ∴C 为抛物线的顶点.
设抛物线的解析式为y =ax 2-1， 将A (-1，0) 代入，得 0=a -1. ∴a =1.
∴抛物线的解析式为y =x 2-1. ········· （3分） （2）（本小问5分） 方法一：
设直线y =2x -1与x 轴交于E ，
图1
1
则E (，0) . ·············································································································· （1分）
2∴CE ==,
13········································································································· （2分） +1=.
22
连接AC ，过A 作A F ⊥CD ，垂足为F ， AE =S △CAE =
11
··········································································· （4分）
AE ⋅OC =CE ⋅AF ， ·
22
131AF ，
即⨯⨯1=222∴AF =
. ··········································································································· （5分） 方法二：由方法一知，
3
，CE =. ·········································································· （2分）
2
在△COE 与△AFE 中，
∠AFE=90°，AE =
∠COE=∠AFE=90°， ∠CEO=∠AEF ， ∴△CO E ∽△AF E . AF AE ∴， ········································································································· （4分）
=CO CE
3AF 即.
1. ··········································································································· （5分） （3）（本小问5分）
∴AF =
由2x -1=x 2-1，得x 1=0，x 2=2.
∴D (2，3) . ················································································································ （1分） 如图1，过D 作y 轴的垂线，垂足为M ， 由勾股定理，得
CD ······························································································ （2分）
在抛物线的平移过程中，PQ=CD.
（i ）当PQ 为斜边时，设PQ 中点为N ，G (0，b )
则GN
∵∠GNC=∠EOC=90°，∠GCN=∠ECO ， ∴△GN C ∽△EO C ． ∴GN CG
， =
OE CE
， 2∴b =4.
∴G (0，4) . ········································ （3分） （ii ）当P 为直角顶点时， 设G (0，b ) ， 则PG =
同（i ）可得b =9， 则G (0，9) . ·············································································································· （4分） （iii ）当Q 为直角顶点时， 同（ii ）可得G (0，9) .
综上所述，符合条件的点G 有两个，分别是G 1(0，4) ，G 2(0，9) . ······················ （5分）
2014年山东临沂市中考数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共42分）
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．－3的相反数是 （A ）3．
（B ）－3．
（C ）．
（D ）-．
2．根据世界贸易组织(W T O )秘书处初步统计数据，2013年中国货物进出口总额为 4 160 000 000 000美元，超过美国成为世界第一货物贸易大国．将这个数据用科学记数法可以记为
（A ）4.16⨯1012美元． （C ）0.416⨯1012美元．
（B ）4.16⨯1013美元． （D ）416⨯1010美元．
A
l 1
1
2 l 2
（第3题图）
（a 2b ) 3=a 6b 3． （B ）
3．如图，已知l 1∥l 2，∠A =40°，∠1=60°，则∠2的度数为 （A ）40°． （B ）60°． （C ）80°． （D ）100°．
4．下列计算正确的是 （A ）a +2a =3a 2． （C ）(a m ) 2=a m +2．
（D ）a 3⋅a 2=a 6．
5．不等式组-2≤x +1
－3 －2 －1
－3 －2 －1
（A ）
（B ）
－3 －2 －1
－3 －2 －1
（D ）
0 1
（C ）
2
a +1÷(-1) 的结果是 6．当a =2时，a -22
a
（A ）．
2（C ）．
（B ）-．
2（D ）-．
7．将一个n 边形变成n +1边形，内角和将 （A ）减少180°． （C ）增加180°．
（B ）增加90°． （D ）增加360°．
8．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所列方程正确的是
（A ）=．
x -20x （C ）=． （B ）=．
x x -20（D ）=．
9．如图，在⊙O 中，AC ∥OB ，∠BAO =25°， 则∠BOC 的度数为
（A ）25°． （B ）50°． （C ）60°． （D ）80°．
10．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大 于4的概率是
（A ）．
（B ）．
3（C ）．
2（D ）．
3
11．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧 面积为
（A ）2πcm 2． （B ）4πcm 2． （C ）8πcm 2． （D ）16πcm 2． 12．请你计算： (1-x )(1+x ) ， (1-x )(1+x +x 2) ，
（第9题图）
主视图 左视图
俯视图
（第11题图）
„，
猜想(1-x )(1+x +x 2+„+x n ) 的结果是 （A ）1-x n +1． （C ）1-x n ．
（B ）1+x n +1． （D ）1+x n ．
13．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为
（A ）
20海里． （B ）
（C ） （D ）30海里．
北
（第13题图）
14．在平面直角坐标系中，函数y =x 2-2x (x ≥0) 的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y =a （a 为常数）与C 1，C 2的交点共有
（A ）1个． （B ）1个，或2个．
（C ）1个，或2个，或3个． （D ）1个，或2个，或3个，或4个．
第Ⅱ卷（非选择题 共78分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 15．在实数范围内分解因式：x -6x =16．某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结果如下表所示：
3
则这50
17．如图，在 AC =BC 18三角形OAB 过点D 19．是互不相同．．．．现的．如一组数1记为A ={1，2，3定义：集合合称为集合A 则A+B = .
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（本小题满分7分）
21．（本小题满分7分）
随着人民生活水平的提高，购买老年代步车的人越来越多．这些老年代步车却成为交通安全的一大隐患．针对这种现象，某校数学兴趣小组在《老年代步车现象的调查报告》中就“你认为对老年代步车最有效的的管理措施”随机对某社区部分居民进行了问卷调查，其中调查问卷设置以下选项（只选一项）：
A ：加强交通法规学习；B ：实行牌照管理；C ：加大交通违法处罚力度；D ：纳入机动车管理；E ：分时间分路段限行.
调查数据的部分统计结果如下表： A B C D E
（第21题图）
（1）根据上述统计表中的数据可得m =_______，n =______，a =________； （2）在答题卡中，补全条形统计图；
（3）该社区有居民2600人，根据上述调查结果，请你估计选择“D ：纳入机动车管理”的居民约有多少人？
管理措施
-sin 60︒+
22．（本小题满分7分）
如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30°， 以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过D 作 DE ⊥AC ，垂足为E .
B
（1）证明：DE 为⊙O 的切线；
（2）连接OE ，若BC =4，求△OEC 的面积.
23．（本小题满分9分）
对一张矩形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，展开；
第二步：再一次折叠，使点A 落在MN 上的点
M
A
（第22题图）
N C
图1 A ＇
B ＇
A '处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ，同时，
得到线段BA '，EA '，展开，如图1；
第三步：再沿EA '所在的直线折叠，点B 落在AD 上的点B '处，得到折痕EF ，同时得到线段B 'F ，M 展开，如图2.
（1）证明：∠ABE =30°；
（2）证明：四边形BFB 'E 为菱形.
24．（本小题满分9分）
D N F
图2
（第23题图）
某景区的三个景点A ，B ，C 在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A 出发，甲步行到景点C ，乙乘景区观光车先到景点B ，在B 处停留一段时间后，再步行到景点C . 甲、乙两人离开景点A 后的路程S （米）关于时间t （分钟）的函数图象如图所示.
根据以上信息回答下列问题： （1）乙出发后多长时间与甲相遇？ （2）要使甲到达景点C 时，乙与 C 的路程不超过400米，则乙从景点B 步行到景点C 的速度至少为多少？ （结果精确到0.1米/分钟）
甲 乙
0 20 30 60 90 t （分钟）
（第24题图）
25．（本小题满分11分）
问题情境：如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是 BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM .
探究展示：
（1）证明：AM =AD +MC ； （2）AM =D E +BM 是否成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
拓展延伸：
（3）若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形， 其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结 论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.
26．（本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴 交于点A (-1，0) 和点B (1，0) ，直线y =2x -1 与y 轴交于点C ，与抛物线交于点C ，D .
（1）求抛物线的解析式； （2）求点A 到直线CD 的距离；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P 在直线 CD 上，抛物线与直线CD 的另一个交点为Q ，点 G 在y 轴正半轴上，当以G ，P ，Q 三点为顶点的 三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的 G 点的坐标.
B A
D
E
图1
C
D
E
M
图2 （第25题图）
C
（第26题图）
2014年山东临沂市中考
数学参考答案及评分标准
二、填空题（每小题3分，共15分）
15．x (x x ； 16．5.3； 17． 18．y =
1
； 19．｛－3，－2，0，1，3，5，7｝．（注：各元素的排列顺序可以不同） x
20．解：原式 -+2 ··············································································· （6分） =2-
13
=． ····················································································· （7分） 22
（注：本题有3项化简，每项化简正确得2分）
21．（1）20%，175， 500． ··········
······································································· （3分） （2）
„„„„„（2分） 管理措施
（注：画对一个得1分，共2分）
（3）∵2600×35%=910（人），
∴选择D 选项的居民约有910人. ································································· （2分） 22．（1）（本小问3分） 证明：连接OD . ∵OB =OD , ∴∠OBD =∠ODB . 又∵∠A =∠B =30°, ∴∠A =∠ODB ,
∴DO ∥AC ．········································ （2分） ∵DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ．
∴DE 为⊙O 的切线． ······························································································ （3分） （2）（本小问4分） 连接DC ．
∵∠OBD =∠ODB =30°， ∴∠DOC=60°．
∴△ODC 为等边三角形． ∴∠ODC=60°， ∴∠CDE=30°． 又∵BC =4， ∴DC =2,
∴CE =1． ················································································································· （2分） 方法一：
过点E 作EF ⊥BC ，交BC 的延长线于点F ． ∵∠ECF=∠A +∠B=60°, ∴EF =C E ·sin60°=1． ········································································· （3分） 11= ·∴S △OEC =OC ⋅EF =⨯2································································· （4分）
22方法二：
过点O 作OG ⊥AC ，交AC 的延长线于点G ． ∵∠OCG=∠A +∠B=60°，
∴OG =OC ·sin60°=2 ········································································ （3分） 11 ∴S △OEC =CE ⋅OG =⨯1··································································· （4分）
22
方法三： ∵OD ∥CE ，
∴S △OEC = S△DEC ． 又∵DE=DC·cos 30°=2
······································································ （3分）
11 ∴S △OEC
=CE ⋅DE =⨯1=··································································· （4分）
2223．证明：（1）（本小问5分）
E 由题意知，M 是AB 的中点，
△ABE 与△A'BE 关于BE 所在的直线对称.
∴AB=A'B，∠ABE=∠A'BE. ················· （2分） M N
在Rt △A'MB 中，
1
C A'B ， 图1 2
∴∠BA'M=30°, ········································································································· （4分） ∴∠A'BM=60°， ∴∠ABE=30°. ··········································································································· （5分） （2）（本小问4分）
D ∵∠ABE=30°，
∴∠EBF=60°，
M N ∠BEF=∠AEB=60°， MB =
∴△BEF 为等边三角形. ··················· （2分）
由题意知，
△BEF 与△B'EF 关于EF 所在的直线对称. ∴BE =B'E =B'F =BF ,
F 图2
∴四边形BF B ' E 为菱形. ··································· ····················································· （4分） 24．解：（1）（本小问5分）
当0≤t ≤90时，设甲步行路程与时间的函数解析式为S =at . ∵点(90，5400) 在S =at 的图象上，∴a =60. ∴函数解析式为S =60t . ···························································································· （1分） 当20≤t ≤30时，设乙乘观光车由景点A 到B 时的路程与时间的函数解析式为S =mt+n. ∵点(20，0) ，(30，3000) 在S =mt+n的图象上，
⎧20m +n =0, ⎧m =300, ∴⎨ 解得⎨ ····························································· （2分）
30m +n =3000. n =-6000. ⎩⎩
∴函数解析式为S =300t -6000(20≤t ≤30). ····························································· （3分） ⎧S =60t , 根据题意，得⎨
S =300t -6000, ⎩
⎧t =25, 解得⎨ ········································································································· （4分）
s =1500. ⎩
∴乙出发5分钟后与甲相遇. ··················································································· （5分） （2）（本小问4分）
设当60≤t ≤90时，乙步行由景点B 到C 的速度为v 米／分钟， 根据题意，得5400-3000-(90-60) v ≤400， ·························································· （2分）
200
··············································································· （3分） ≈66.7 .
3
∴乙步行由B 到C 的速度至少为66.7米／分钟. ·················································· （4分） 25. 证明：
N （1）（本小问4分） 解不等式，得v ≥
方法一：过点E 作EF ⊥AM ，垂足为F .
∵AE 平分∠DAM ，ED ⊥AD ，
E ∴ED=EF. ··········································· （1分）
由勾股定理可得,
AD=AF. ··············································· （2分）
又∵E 是CD 边的中点， G B M C ∴EC=ED=EF. 又∵EM=EM， ∴Rt △EFM ≌Rt △ECM . ∴MC=MF. ························································· ····················································· （3分） ∵AM=AF+FM， ∴AM=AD+MC. ······································································································· （4分） 方法二：
连接FC . 由方法一知，∠EFM=90°, AD=AF，EC=EF. ······································· （2分） 则∠EFC=∠ECF ， ∴∠MFC=∠MCF . ∴MF=MC. ··············································································································· （3分） ∵AM=AF+FM， ∴AM=AD+MC. ······································································································· （4分） 方法三：
延长AE ，BC 交于点G . ∵∠AED=∠GEC ，∠ADE=∠GCE=90°，DE=EC， ∴△ADE ≌△GCE . ∴AD=GC, ∠DAE=∠G . ··························································································· （2分） 又∵AE 平分∠DAM ， ∴∠DAE=∠MAE ， ∴∠G=∠MAE ， ∴AM=GM， ············································································································ （3分）
∵GM=GC+MC=AD+MC， ∴AM=AD+MC. ······································································································· （4分） 方法四：
连接ME 并延长交AD 的延长线于点N ， ∵∠MEC ＝∠NED ， EC ＝ED ， ∠MCE ＝∠NDE=90°， ∴△MCE ≌△NDE . ∴MC=ND，∠CME=∠DNE . ··················································································· （2分） 由方法一知△EFM ≌△ECM ， ∴∠FME=∠CME ， ∴∠AMN=∠ANM . ···································································································· （3分） ∴AM=AN=AD+DN=AD+MC. ················································································ （4分） （2）（本小问5分）
D 成立. ···················································· （1分） 方法一：延长CB 使BF=DE，
连接AF ，
E ∵AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，
∴△ABF ≌△ADE ， ∴∠F AB=∠EAD ，∠F=∠AED. ··········· （2分）
C F B M ∵AE 平分∠DAM ， ∴∠DAE=∠MAE .
∴∠F AB=∠MAE ， ∴∠F AM=∠F AB+∠BAM=∠BAM+∠MAE=∠BAE. ·················································· （3分） ∵AB ∥DC ， ∴∠BAE=∠DEA ， ∴∠F=∠F AM ， ∴AM=FM. ··············································································································· （4分） 又∵FM=BM+BF=BM+DE， ∴AM=BM+DE. ······································································································· （5分） 方法二：
设MC=x，AD=a.
由（1）知 AM=AD+MC=a+x. 在Rt △ABM 中，
∵AM 2=AB 2+BM 2，
∴(a +x ) 2=a 2+(a -x ) 2， ······················································································ （3分）
1∴x =a . ················································································································· （4分）
4
35
∴BM =a ，AM =a ，
44
315
∵BM+DE=a +a =a ，
424
∴AM =BM +D E . ·································································································· （5分） （3）（本小问2分） AM=AD+MC成立， ································································································ （1分） AM=DE+BM不成立. ······························································································ （2分） 26. （1）（本小问3分）
解：在y =2x -1中，令x =0，得 y =-1.
∴C (0，-1) ·········································· （1分） ∵抛物线与x 轴交于A (-1，0), B (1，0), ∴C 为抛物线的顶点.
设抛物线的解析式为y =ax 2-1， 将A (-1，0) 代入，得 0=a -1. ∴a =1.
∴抛物线的解析式为y =x 2-1. ········· （3分） （2）（本小问5分） 方法一：
设直线y =2x -1与x 轴交于E ，
图1
1
则E (，0) . ·············································································································· （1分）
2∴CE ==,
13········································································································· （2分） +1=.
22
连接AC ，过A 作A F ⊥CD ，垂足为F ， AE =S △CAE =
11
··········································································· （4分）
AE ⋅OC =CE ⋅AF ， ·
22
131AF ，
即⨯⨯1=222∴AF =
. ··········································································································· （5分） 方法二：由方法一知，
3
，CE =. ·········································································· （2分）
2
在△COE 与△AFE 中，
∠AFE=90°，AE =
∠COE=∠AFE=90°， ∠CEO=∠AEF ， ∴△CO E ∽△AF E . AF AE ∴， ········································································································· （4分）
=CO CE
3AF 即.
1. ··········································································································· （5分） （3）（本小问5分）
∴AF =
由2x -1=x 2-1，得x 1=0，x 2=2.
∴D (2，3) . ················································································································ （1分） 如图1，过D 作y 轴的垂线，垂足为M ， 由勾股定理，得
CD ······························································································ （2分）
在抛物线的平移过程中，PQ=CD.
（i ）当PQ 为斜边时，设PQ 中点为N ，G (0，b )
则GN
∵∠GNC=∠EOC=90°，∠GCN=∠ECO ， ∴△GN C ∽△EO C ． ∴GN CG
， =
OE CE
， 2∴b =4.
∴G (0，4) . ········································ （3分） （ii ）当P 为直角顶点时， 设G (0，b ) ， 则PG =
同（i ）可得b =9， 则G (0，9) . ·············································································································· （4分） （iii ）当Q 为直角顶点时， 同（ii ）可得G (0，9) .
综上所述，符合条件的点G 有两个，分别是G 1(0，4) ，G 2(0，9) . ······················ （5分）