齿轮连杆机构的优化设计

齿轮连杆机构的优化设计

Optimum Design of Gear -linkage M echanism 北京市机械局职工大学(100036) 　孙建东

【摘要】机械优化设计是现代设计方法中的一种。这里介绍了一种用于被动康复训练器中的齿轮连杆机构的优化设计方法和过程。关键词　优化设计　齿轮　连杆　机构

Keywords 　optimum design , gear , linkag e , mechanism

　　在机械设计中, 采用连杆机构实现预定的运动规律, 通常是用图解法、图谱法或试验法进行设计。

这虽然在一定程度上可以满足要求, 但若对实现运动规律的精度要求稍高时, 通常的机构设计方法将难以做到。为此, 我们在设计下肢运动训练器时, 对其主要机构——齿轮连杆机构采用了机械最优化设计方法, 设计的目的就是确定机构中各构件的连接尺寸, 以实现所给定的运动规律。

训练器的运动规律

　　如图2所示, 设摆杆4与X 轴正向的夹角为 4, 连杆7有与X 轴正向夹角为 7。在初始位置: 41=15°, 71=-10°; 中间有一关键位置是: 42=45°, 72=40°; 在终了位置: 43=135°, 73=0°。回程时仍

按原规律返回。

在这3个位置之间是两段抛物线光滑连接, 中间关键位置是这两段抛物线的连接点, 同时也是这2段抛物

图2　摆杆4与连杆7间位置关系的示意

运动训练器的功用和原理

　　下肢运动训练器用于对下肢瘫痪或下肢骨科手术后的患者下肢进行被动运动训练。齿轮连杆机构

是该训练器的主要执行机构。

图1所示是一种单自由度齿轮连杆机构原理图。图中系杆H 是主动件, 中心轮固定不动, 行星轮与杆2固联在一起成为一个构件, 件3和件7同为一个连杆, 4为摆杆。

主动件系杆H 带动

图1　齿轮连杆机构

线的顶点。如图3所示。图中a 点的坐标代表初始位置, b 点的坐标为中间关键位置, c 点为终了位置。b -b ′直线是两段抛物线 7=f 1( 4) 和 7=f 2( 4) 的对称轴。a ′点是a 点关于其对称轴b -b ′的对称点, c ′点是c 点关于b -b ′轴的对称点。

1. 7-4的函数表达式

设 7=f ( 4) , 因为f ( 4) 是个分段函数, 所以其表达式应为: 7=f ( 4) =

f 1( 4) …0. 2618≤ 4≤0. 7854

4) …0. 7854≤ 4≤2. 3562f 2(

行星轮绕中心轮圆点E 公转, 行星轮又绕自身圆点

A 自转, 而杆2与行星轮固联在一起, 因此杆2上点B 的轨迹为旋转线。与B 点铰接的是个二级杆组3和4, 摆杆4的一端与机架在D 点铰接, 所以该二级杆组能在行星轮的带动下做复杂的平面运动。在使用训练器时, 需使图1中固定铰链D 与人体髋关节重合, 铰链C 与膝关节重合, K 点与踝关节重合, 因此小腿的运动规律就是杆7的规律, 大腿的运动规律就是摆杆4的规律, 根据训练要求, 该机构需能同时带动下肢进行髋关节的前曲运动和膝关节的屈曲与伸展运动训练。(1)

4) 曲线上的3　　如图3所示, a , b 和a ′点是f 1(

点, b 点是该抛物线的顶点, 抛物线开口向下。

2

f 1( 4) =0. 6981-3. 1831( 4-0. 7854)

(1-a) 　　图3中c ′, b , c 是曲线上的3点, b 点是其顶点, 抛物线开口向下, 所以可用同样的方法建立。

2

f 2( 4) =0. 6981-0. 2829( 4-0. 7854)

　　2. H - 4函数表达式

本机构中系杆H 是主动件, 系杆H 的转角 H 与摆杆4的转角 4的理想关系为线性关系, 如图4所示。设q ( H ) = 4。

H ) = 4=(2. 3562-q (

点, 各几何参数之间的关系如下:

x E =l 1cos y E =l 1sin

H = H1+ H3- H1) ……0≤ ≤1 (

(3) (4) (5) (6) (7)

2

x A =x E +(r 1+r 2) cos H

(

2)

y A =y E +(r 1+r 2) sin H 2=(1+

1

) H + 21r 2

H H1

0. 2618) +0. 2618

H3H1

x B =x A +l 2cos 2y B =y A +l 2sin 2

! BE =

图3　 7与 4关系曲线　图4　 4与 H 间的线性关系

(x B -x E ) +(y B -y E ) B E

) …y B -y E ≥0BE !

2

(8) (9)

arccos(%=

齿轮连杆机构的优化设计

　　1. 设计变量的确定

将机架1的长度l 1定为单位1(见图1) , 其他各杆长度均为相对量, 角度的单位均为“rad ”, 其他设计变量:

r 1——中心轮的半径; r 2——行星轮的半径; l 2——杆2的长度; l 3——连杆3的长度; l 4——摆杆4的长度;

——机架1与X 轴正向的夹角;

——杆3与杆7的夹角; H1——系杆H 的初始位置;

H3— —系杆H 的终了位置; 21——杆2的初始位置。

B E

2&-arccos() …y B -y E

BE ! BD =

! BE +1+2l 1! BE cos( - ) 4BD 3

=arccos()

2l 4! BD 1BD BE

∃=arccos() 2l 1! BD

22

243BE

∀=arccos() + 2l 3l 4

2

2

2

2

2

2

2

(10) (11) (12) (13)

4s =

+∃+ … ≤%≤&+

-∃+ …0≤%≤ , &+

(14)

4s x C =l 4cos

y C =l 4sin 4s

3=arcsin(

y B -y C

) l 3

(15) (16) (17)

2. 中间变量BE ——铰链B 到E 点的距离; !

! BD ——铰链B 到D 点的距离;

2— —杆2与X 轴正向的夹角;

7= 3+

　　5. 目标函数的建立:

本机构优化设计的目标是:确定机构中各构件

4s =q s ( H ) , 的尺寸参数, 使该机构的实际运动规律 7s =f s ( 4) 尽量接近理想运动规律 4=q ( h ) 和 7=

4) 。因此这是一个有2个分目标函数的优化设计f (

问题。这2个分目标函数均按给定的运动规律与实

∀——摆杆4与杆7所夹的内角; 3——连杆3与X 轴正向的夹角; #——摆杆4与直线BD 的夹角; ∃——机架1与直线BD 的夹角; %——B E 与X 轴正向的夹角。3. 输入量与输出量

H —H1≤ H ≤ H3; 输入量 —

7(杆7的角位移) —7= 3+ ; 输出量 — 4(杆4的角位移) —4= 输出量 — +∃+ 。4. 齿轮连杆机构的几何关系

际的运动规律之间的偏差平方和最小值来建立。

第1个分目标函数为:

M

F 1(X ) =

∑(

i =0M

4i

2

- s4i )

(18)

　　第2个分目标函数为:

F 2(X ) =

∑(

i =0

7i

s7i ) -

2

(19)

　　所以总的目标函数为:

在图1中, D 点为X OY 平面直角坐标系的原F (X ) =M 1F 1(X ) +M 2F 2(X ) (20)

式中: 4i ——给定的运动在第i 个计算点 4的值;

s4i ——实际运动在第i 个计算点 4的值;

7i —7的值; —给定的运动在第i 个计算点

　　7. 惩罚函数的建立

本题为约束问题的优化, 故可采用外点惩罚函数的方法, 将约束问题转化为无约束优化问题求解。惩罚函数为:

P (X , M

9

(k )

s7i ——实际运动在第i 个计算点 7的值; M ——计算点的数目;

M 1——分目标函数F 1(Ⅹ) 的权; M 2——分目标函数F 2(Ⅹ) 的权。

考虑到2个分目标函数的单位相同, 量级相同, 其重要性也相同, 所以两个分目标函数的权分别取为1, 即:M 1=1, M 2=1。所以总的目标函数为:

M

M

4i

) =F (X ) +

i

2

M (k )

∑[max g (X ) , 0]

i =1

(31)

式中:M (k) ——惩罚因子, 0

(k )

g i (X ) ——约束函数(i=1, 2, …, 9) 。

F (X ) =

∑(

i =0

- s4i ) +

2

∑(

i =0

7i

2

- s7i )

计算结果分析

(21)

　　1. 初始值

r 1=0. 6, r 2=0. 4, l 2=1, l 3=0. 8, l 4=2; =0. 01, =0. 5, H1=0. 8, H2=2. 2, 21=-2. 5。

2. 计算结果计算时取30个计算点, 其计算结果为(取小数点后4位) :

r 1=0. 6336, r 2=0. 4204, l 2=0. 9738, l 3=0. 7795, l 4=2. 0161; =0. 0223, =0. 5494, H1=0. 8838, H2=2. 2760, 21=-2. 7125。

P (Ⅹ, M (k) ) min =0. 1359。3. 计算结果分析以上的计算结果是从几组不同的初值计算后的几种不同结果中选出的最好的一组数值。用这组数值

绘制的曲线如图6所图6　给定运动与实际运动比较示。图6中f ( 4) 是

4) 是实际的曲线, 可以看出其吻合给定的曲线, f s (

程度比较理想。另外两条线q ( H ) 是给定曲线,

　　6. 约束函数的建立

在该机构中因为不要求系杆H 一定为曲柄, 所

以在约束函数中不考虑曲柄的存在条件。

1) 机构的运动条件　此条件可以叙述为:“在主动件系杆H 的角位移活动范围 H1到 H3内, 要求机构能够运动”。如图5所示, 二级杆组3和4的端点铰链B 的活动范围是以铰链D

图5　运动条件示意图

为中心, 以l 4-l 3和l 4+l 3为半径的两圆之间的区域(图5中的空白区域) , 所以若使机构能够运动, 必须使行星轮上的端点铰链B 在这个区域内, 这就是机构的运动条件, 或者说是机构的运动约束条件。这个条件用公式表示为(式中0. 02为余量) :

BD +0. 02g 1(X ) =l 4-l 3-! BD -l 4-l 3+0. 02g 2(X ) =!

(22) (23)

　　2) 膝关节运动条件　由于人的膝关节只能做屈曲和伸展运动, 所以大腿与小腿之间的夹角要小于&, 且考虑到屈曲运动时其夹角是有限度的, 即这个夹角要大于&/4, 加上余量0. 015, 因而表示为:

g 3(X ) =∀+0. 015-&≤0g 4(X ) =&/4-∀+0. 015≤0

g 5(X ) =-r 1≤0g 6(X ) =-r 2≤0g 7(X ) =-l 2≤0g 8(X ) =-l 3≤0g 9(X ) =-l 4≤0

(24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

q s ( H ) 是实际曲线, 其吻合程度也比较好, 且q s ( H ) 的线性度也很好。用这组结果模拟的机构的工作过程也令人满意, 符合下肢被动综合运动训练要求。机械最优化设计方法显示出了比传统设计更具

优越性, 特别是在计算机已被广泛应用的今天, 在机械领域采用最优化设计方法, 更是提高机械工业设计水平和效率, 提高市场竞争力的必然途径。

　　3) 几何尺寸条件　因各杆长度为正值, 故有:

参考文献

1. 刘惟信等. 机械最优化设计. 清华大学出版社, 1986, 92. 杨静宜. 体疗康复. 北京体育学院出版社, 1988, 83. 薛嘉庆等. 最优化原理与方法. 冶金工业出版社, 1983

责任编辑　周守清　　

齿轮连杆机构的优化设计

Optimum Design of Gear -linkage M echanism 北京市机械局职工大学(100036) 　孙建东

【摘要】机械优化设计是现代设计方法中的一种。这里介绍了一种用于被动康复训练器中的齿轮连杆机构的优化设计方法和过程。关键词　优化设计　齿轮　连杆　机构

Keywords 　optimum design , gear , linkag e , mechanism

　　在机械设计中, 采用连杆机构实现预定的运动规律, 通常是用图解法、图谱法或试验法进行设计。

这虽然在一定程度上可以满足要求, 但若对实现运动规律的精度要求稍高时, 通常的机构设计方法将难以做到。为此, 我们在设计下肢运动训练器时, 对其主要机构——齿轮连杆机构采用了机械最优化设计方法, 设计的目的就是确定机构中各构件的连接尺寸, 以实现所给定的运动规律。

训练器的运动规律

　　如图2所示, 设摆杆4与X 轴正向的夹角为 4, 连杆7有与X 轴正向夹角为 7。在初始位置: 41=15°, 71=-10°; 中间有一关键位置是: 42=45°, 72=40°; 在终了位置: 43=135°, 73=0°。回程时仍

按原规律返回。

在这3个位置之间是两段抛物线光滑连接, 中间关键位置是这两段抛物线的连接点, 同时也是这2段抛物

图2　摆杆4与连杆7间位置关系的示意

运动训练器的功用和原理

　　下肢运动训练器用于对下肢瘫痪或下肢骨科手术后的患者下肢进行被动运动训练。齿轮连杆机构

是该训练器的主要执行机构。

图1所示是一种单自由度齿轮连杆机构原理图。图中系杆H 是主动件, 中心轮固定不动, 行星轮与杆2固联在一起成为一个构件, 件3和件7同为一个连杆, 4为摆杆。

主动件系杆H 带动

图1　齿轮连杆机构

线的顶点。如图3所示。图中a 点的坐标代表初始位置, b 点的坐标为中间关键位置, c 点为终了位置。b -b ′直线是两段抛物线 7=f 1( 4) 和 7=f 2( 4) 的对称轴。a ′点是a 点关于其对称轴b -b ′的对称点, c ′点是c 点关于b -b ′轴的对称点。

1. 7-4的函数表达式

设 7=f ( 4) , 因为f ( 4) 是个分段函数, 所以其表达式应为: 7=f ( 4) =

f 1( 4) …0. 2618≤ 4≤0. 7854

4) …0. 7854≤ 4≤2. 3562f 2(

行星轮绕中心轮圆点E 公转, 行星轮又绕自身圆点

A 自转, 而杆2与行星轮固联在一起, 因此杆2上点B 的轨迹为旋转线。与B 点铰接的是个二级杆组3和4, 摆杆4的一端与机架在D 点铰接, 所以该二级杆组能在行星轮的带动下做复杂的平面运动。在使用训练器时, 需使图1中固定铰链D 与人体髋关节重合, 铰链C 与膝关节重合, K 点与踝关节重合, 因此小腿的运动规律就是杆7的规律, 大腿的运动规律就是摆杆4的规律, 根据训练要求, 该机构需能同时带动下肢进行髋关节的前曲运动和膝关节的屈曲与伸展运动训练。(1)

4) 曲线上的3　　如图3所示, a , b 和a ′点是f 1(

点, b 点是该抛物线的顶点, 抛物线开口向下。

2

f 1( 4) =0. 6981-3. 1831( 4-0. 7854)

(1-a) 　　图3中c ′, b , c 是曲线上的3点, b 点是其顶点, 抛物线开口向下, 所以可用同样的方法建立。

2

f 2( 4) =0. 6981-0. 2829( 4-0. 7854)

　　2. H - 4函数表达式

本机构中系杆H 是主动件, 系杆H 的转角 H 与摆杆4的转角 4的理想关系为线性关系, 如图4所示。设q ( H ) = 4。

H ) = 4=(2. 3562-q (

点, 各几何参数之间的关系如下:

x E =l 1cos y E =l 1sin

H = H1+ H3- H1) ……0≤ ≤1 (

(3) (4) (5) (6) (7)

2

x A =x E +(r 1+r 2) cos H

(

2)

y A =y E +(r 1+r 2) sin H 2=(1+

1

) H + 21r 2

H H1

0. 2618) +0. 2618

H3H1

x B =x A +l 2cos 2y B =y A +l 2sin 2

! BE =

图3　 7与 4关系曲线　图4　 4与 H 间的线性关系

(x B -x E ) +(y B -y E ) B E

) …y B -y E ≥0BE !

2

(8) (9)

arccos(%=

齿轮连杆机构的优化设计

　　1. 设计变量的确定

将机架1的长度l 1定为单位1(见图1) , 其他各杆长度均为相对量, 角度的单位均为“rad ”, 其他设计变量:

r 1——中心轮的半径; r 2——行星轮的半径; l 2——杆2的长度; l 3——连杆3的长度; l 4——摆杆4的长度;

——机架1与X 轴正向的夹角;

——杆3与杆7的夹角; H1——系杆H 的初始位置;

H3— —系杆H 的终了位置; 21——杆2的初始位置。

B E

2&-arccos() …y B -y E

BE ! BD =

! BE +1+2l 1! BE cos( - ) 4BD 3

=arccos()

2l 4! BD 1BD BE

∃=arccos() 2l 1! BD

22

243BE

∀=arccos() + 2l 3l 4

2

2

2

2

2

2

2

(10) (11) (12) (13)

4s =

+∃+ … ≤%≤&+

-∃+ …0≤%≤ , &+

(14)

4s x C =l 4cos

y C =l 4sin 4s

3=arcsin(

y B -y C

) l 3

(15) (16) (17)

2. 中间变量BE ——铰链B 到E 点的距离; !

! BD ——铰链B 到D 点的距离;

2— —杆2与X 轴正向的夹角;

7= 3+

　　5. 目标函数的建立:

本机构优化设计的目标是:确定机构中各构件

4s =q s ( H ) , 的尺寸参数, 使该机构的实际运动规律 7s =f s ( 4) 尽量接近理想运动规律 4=q ( h ) 和 7=

4) 。因此这是一个有2个分目标函数的优化设计f (

问题。这2个分目标函数均按给定的运动规律与实

∀——摆杆4与杆7所夹的内角; 3——连杆3与X 轴正向的夹角; #——摆杆4与直线BD 的夹角; ∃——机架1与直线BD 的夹角; %——B E 与X 轴正向的夹角。3. 输入量与输出量

H —H1≤ H ≤ H3; 输入量 —

7(杆7的角位移) —7= 3+ ; 输出量 — 4(杆4的角位移) —4= 输出量 — +∃+ 。4. 齿轮连杆机构的几何关系

际的运动规律之间的偏差平方和最小值来建立。

第1个分目标函数为:

M

F 1(X ) =

∑(

i =0M

4i

2

- s4i )

(18)

　　第2个分目标函数为:

F 2(X ) =

∑(

i =0

7i

s7i ) -

2

(19)

　　所以总的目标函数为:

在图1中, D 点为X OY 平面直角坐标系的原F (X ) =M 1F 1(X ) +M 2F 2(X ) (20)

式中: 4i ——给定的运动在第i 个计算点 4的值;

s4i ——实际运动在第i 个计算点 4的值;

7i —7的值; —给定的运动在第i 个计算点

　　7. 惩罚函数的建立

本题为约束问题的优化, 故可采用外点惩罚函数的方法, 将约束问题转化为无约束优化问题求解。惩罚函数为:

P (X , M

9

(k )

s7i ——实际运动在第i 个计算点 7的值; M ——计算点的数目;

M 1——分目标函数F 1(Ⅹ) 的权; M 2——分目标函数F 2(Ⅹ) 的权。

考虑到2个分目标函数的单位相同, 量级相同, 其重要性也相同, 所以两个分目标函数的权分别取为1, 即:M 1=1, M 2=1。所以总的目标函数为:

M

M

4i

) =F (X ) +

i

2

M (k )

∑[max g (X ) , 0]

i =1

(31)

式中:M (k) ——惩罚因子, 0

(k )

g i (X ) ——约束函数(i=1, 2, …, 9) 。

F (X ) =

∑(

i =0

- s4i ) +

2

∑(

i =0

7i

2

- s7i )

计算结果分析

(21)

　　1. 初始值

r 1=0. 6, r 2=0. 4, l 2=1, l 3=0. 8, l 4=2; =0. 01, =0. 5, H1=0. 8, H2=2. 2, 21=-2. 5。

2. 计算结果计算时取30个计算点, 其计算结果为(取小数点后4位) :

r 1=0. 6336, r 2=0. 4204, l 2=0. 9738, l 3=0. 7795, l 4=2. 0161; =0. 0223, =0. 5494, H1=0. 8838, H2=2. 2760, 21=-2. 7125。

P (Ⅹ, M (k) ) min =0. 1359。3. 计算结果分析以上的计算结果是从几组不同的初值计算后的几种不同结果中选出的最好的一组数值。用这组数值

绘制的曲线如图6所图6　给定运动与实际运动比较示。图6中f ( 4) 是

4) 是实际的曲线, 可以看出其吻合给定的曲线, f s (

程度比较理想。另外两条线q ( H ) 是给定曲线,

　　6. 约束函数的建立

在该机构中因为不要求系杆H 一定为曲柄, 所

以在约束函数中不考虑曲柄的存在条件。

1) 机构的运动条件　此条件可以叙述为:“在主动件系杆H 的角位移活动范围 H1到 H3内, 要求机构能够运动”。如图5所示, 二级杆组3和4的端点铰链B 的活动范围是以铰链D

图5　运动条件示意图

为中心, 以l 4-l 3和l 4+l 3为半径的两圆之间的区域(图5中的空白区域) , 所以若使机构能够运动, 必须使行星轮上的端点铰链B 在这个区域内, 这就是机构的运动条件, 或者说是机构的运动约束条件。这个条件用公式表示为(式中0. 02为余量) :

BD +0. 02g 1(X ) =l 4-l 3-! BD -l 4-l 3+0. 02g 2(X ) =!

(22) (23)

　　2) 膝关节运动条件　由于人的膝关节只能做屈曲和伸展运动, 所以大腿与小腿之间的夹角要小于&, 且考虑到屈曲运动时其夹角是有限度的, 即这个夹角要大于&/4, 加上余量0. 015, 因而表示为:

g 3(X ) =∀+0. 015-&≤0g 4(X ) =&/4-∀+0. 015≤0

g 5(X ) =-r 1≤0g 6(X ) =-r 2≤0g 7(X ) =-l 2≤0g 8(X ) =-l 3≤0g 9(X ) =-l 4≤0

(24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

q s ( H ) 是实际曲线, 其吻合程度也比较好, 且q s ( H ) 的线性度也很好。用这组结果模拟的机构的工作过程也令人满意, 符合下肢被动综合运动训练要求。机械最优化设计方法显示出了比传统设计更具

优越性, 特别是在计算机已被广泛应用的今天, 在机械领域采用最优化设计方法, 更是提高机械工业设计水平和效率, 提高市场竞争力的必然途径。

　　3) 几何尺寸条件　因各杆长度为正值, 故有:

参考文献

1. 刘惟信等. 机械最优化设计. 清华大学出版社, 1986, 92. 杨静宜. 体疗康复. 北京体育学院出版社, 1988, 83. 薛嘉庆等. 最优化原理与方法. 冶金工业出版社, 1983

责任编辑　周守清