3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义
1. 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
.
预习导引-------温故才能知新 为课前预习奠基
1. 复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.
复数与复平面内的点一一对应. 显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2、复数的几何意义:
一一对应
复数z =a +bi ←−−−→复平面内的点Z (a , b ) ；
一一对应复数z =a +bi ←−−−→平面向量O Z ；
一一对应
复平面内的点Z (a , b ) ←−−−→平面向量O Z .
注意：人们常将复数z =a +bi 说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数.
3、复数的模
向量O Z 的模叫做复数z =a +bi 的模, 记作|z |或|a +bi |. 如果b =0, 那么z =a +bi 是一个实数a , 它的模等于|a |(就是a 的绝对值), 由模的定义知
:
|z |=|a +bi |=r =
r ≥0, r ∈R )
预习自测---------评价预习效果 为突破难点奠基 1、一个实数与一个虚数的差（ ）
A. 不可能是纯虚数 B. 可能是实数
C. 不可能是实数 D. 无法确定是实数还是虚数 答案:C
2. 已知复数z 1=2+i , z 2=1+2i , 则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案;B
3、在复平面内，若复数z 满足|z +1|=|z -i ，|则z 所对应的点的集合构成的图形是 。
解：方程|z +1|=|z -i |表示的是复平面上的点z 到点-1和i 的距离相等的点的轨迹，是一条线段的中垂线。所以表示的图形是直线。 答案：直线 4、计算：
(1)(1＋2i) ＋(3－4i) －(5＋6i) ； (2)5i－[(3＋4i) －(－1＋3i)]。
[解](1)(1＋2i) ＋(3－4i) －(5＋6i) ＝(4－2i) －(5＋6i) ＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i) －(－1＋3i)]＝5i －(4＋i) ＝－4＋4i.
预习小结---------梳理知识 体悟脉络 为落实要点奠基
要点一：复数的加减法
例1：在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A ，B 对应的复数分别为1+2i 、3-5i ．求
另外两个顶点C ，D 对应的复数． 解：设D 的坐标是(x ，y ) 。
AD =x +y i -(1+2i) =x -1+(y -2) i -7) ， =(x -1，y -2) ，A B =(2，
AD ⊥AB ，
∴有2(
x -1) -7(y -2) =0。
∴
=
① ②
。
⎧x =-6，⎧x =8，
由①②，解得⎨或⎨
y =4. y =0，⎩⎩
∴z D =-6或z D =8+4i 。
由BC =AD ，即z C -z B =z D -z A ，
则z C =z D -z A +z B ，
⎧z D =-6，⎧z D =8+4i ，
或⎨ ∴⎨
z =-4-7i ，z =10-3i. ⎩C ⎩C
【导评】本题综合考查了复数的加减运算、模的计算及复数的几何意义。同学们可以联系解析几何、向量知识考虑是否有更好的方法？ 变式跟踪练习1
如图的向量O Z 对应的复数是z ，试作出下列运算的结果对应的向量： （1）z +1；（2）z -i ；（3）z +(2-i )
解答：
要点二：复数加减法的几何意义的应用 例2：满足条件
z -2i +z +1=
5
的点的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 解析：：如果把
z -2i
看作动点Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）
与（-1，0）的距离之和为常数5 ∴动点的轨迹符合椭圆的定义
点（0，2）与（-1，0）间的距离为5， ∴动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C
【导评】理解复数、复数加减法及复数模的几何意义
（ ）
变式跟踪练习2若z ∈C 且|z |=1，则|z -2-2i |的最小值是
A ．22
B ．22+1
C ．22-1
D ．2
解：如图所示，而|z -2-2i ||z |=1表示z 点的轨迹是单位圆，表示的是复平面上表示复数z 的点M 与表示复数2+2i 的点A 之间距离。当M 位于线段AO AM 最小，为22-1。 答案：C
（2009上海九校联考）复数z =x +yi (x , y ∈R ) 满足z -1=x ，
则复数z 对应的点z (x , y ) 的轨迹方程
.
答案 y 2=2x -1
1、(广东省五校2011年高三上期末联考) 满足条件|z-i|=|3+4i|复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )
A ．一条直线 B ．两条直线 C ． 圆 D ． 椭圆 答案： |3+4i|=5满足条件|z-i|=|3+4i|复数z 在复平面上对应点的轨迹是 圆心为（0，1），半径为5的圆。故选C
2、复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i , 则由A 、B 、C 所构成的三角形是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 答案A
3．已知3＋i －(4＋3i) ＝z －(6＋7i) ，则z ＝________.
解析：由题知z ＝3＋i －(4＋3i) ＋(6＋7i) ＝(3－4＋6) ＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i
4．计算：(a＋bi) － (2a－3bi) －3i(a，b ∈R ) ．
[解] (a＋bi) －(2a－3bi) －3i ＝(a－2a) ＋[b－(－3b) －3]i＝－a ＋(4b－3)i.
基础篇-------落实课标要求 1. 两个共扼复数的和是（ ）
A . 实数 B . 纯虚数 C . 零 D . 零或纯虚数
答案：A
2. 设复数z 满足关系z +|z |=2+i ，那么z 等于（ ）．
A ．
B．
C．
D．
答案：B 3. 若z
1
=2+i ，z 2=3+ai (a ∈R ) ，z 1+z 2的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．—1
答案；D
4. 满足方程|z-3-3i|-|z-3+3i|=4的复数z 所对应的点的集合构成的图形只可能是 （
）
答案C
提升篇-------深化课标要求 5.. 如图，设向量OP 答案：0
6、若z =2且z +i =z -1，则复数z ⎧a 2+b 2=2⎪
解：设z =a +bi (a , b ∈Z ) ，则⎨
22
⎪a +(b +1) =⎩⎧⎪a =-2
。 ⎨
⎪⎩b =2
⎧⎪a =2
，解得⎨或
⎪⎩b =-2
、PQ 、OQ 所对应的复数依次为z 1、z 2、z 3，那么
z 1+z2-z 3= ．
(a -1) +b
22
答案：z =2(1-i ) 或z =-2(1-i )
7. 计算(1－2i) －(2－3i) ＋(3－4i) －(4－5i) ＋…－(2008－2009i) ．
解法一：原式＝(1－2＋3－4＋…＋2007－2008) ＋(－2＋3－4＋5－…－2008＋2009)i ＝－1004＋1004i.
解法二：∵(1－2i) －(2－3i) ＝－1＋i ， (3－4i) －(4－5i) ＝－1＋i ， ……
(2007－2008i) －(2008－2009i) ＝－1＋i ，
将以上1004个等式累加得原式＝－1004＋1004i.
能力篇-------迁移灵活运用
8. 复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－
2－3i ，则点D 对应的复数是________．
→→→
解析：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ，由题意知AB ＝DC ，又AB 对应的复数为1－i ，→
DC 对应的复数为(－2－x ) ＋(－3－y )i ，所以－2－x ＝1，－3－y ＝－1.
所以x ＝－3，y ＝－2. 所以点D 对应的复数为－3－2i. 答案：－3－2i
9．已知z 1，z 2为复数，且|z 1|＝1，若z 1＋z 2＝2i ，则|z 1－z 2|的最大值是________．
解析：
由z 1＋z 2＝2i 得z 1＝2i －z 2，代入|z 1|＝1得|2i－z 2|＝1，
∴|z 2－2i|＝1，即z 2轨迹是以(0,2)为圆心、1为半径的圆(如图) ．又z 1轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，则|z 1－z 2|为两圆上点的距离，最大值为4.
答案：4
10. 设Z 1，Z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝
2，求|z 1-z 2|.
解; 以z 1，z 2对应的向量为邻边作平行四边形oz 1zz 2，使oz 1+oz 2=oz 。
因为z 1=z 1=1 （oz 1, oz 2不共线，若共线，则|z 1+z 2|=2或0） 所以平行四边形oz 1zz 2为菱形，又|z 1＋z 2|＝2 ∴∠z 1oz 2=90 ∴菱形oz 1zz 2为正方形 故|z 1-z 2|=|z 1＋z 2|＝2。
高考篇-------了解高考走向 11. （2009江苏卷）若复数z 1=4+29i , z 2
=6+9i , 其中i 是虚数单位，则复数(z 1-z 2) i 的
实部为 【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 答案 -20
12、（2009金陵中学三模）已知复数z 1=-1+2i , z 2=1-i , z 3=3-2i ，它们所对应的点分
别为A ，B ，C ．若O C =xO A +yO B ，则x +y 的值是 ．
答案 5
3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义
1. 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
.
预习导引-------温故才能知新 为课前预习奠基
1. 复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.
复数与复平面内的点一一对应. 显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2、复数的几何意义:
一一对应
复数z =a +bi ←−−−→复平面内的点Z (a , b ) ；
一一对应复数z =a +bi ←−−−→平面向量O Z ；
一一对应
复平面内的点Z (a , b ) ←−−−→平面向量O Z .
注意：人们常将复数z =a +bi 说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数.
3、复数的模
向量O Z 的模叫做复数z =a +bi 的模, 记作|z |或|a +bi |. 如果b =0, 那么z =a +bi 是一个实数a , 它的模等于|a |(就是a 的绝对值), 由模的定义知
:
|z |=|a +bi |=r =
r ≥0, r ∈R )
预习自测---------评价预习效果 为突破难点奠基 1、一个实数与一个虚数的差（ ）
A. 不可能是纯虚数 B. 可能是实数
C. 不可能是实数 D. 无法确定是实数还是虚数 答案:C
2. 已知复数z 1=2+i , z 2=1+2i , 则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案;B
3、在复平面内，若复数z 满足|z +1|=|z -i ，|则z 所对应的点的集合构成的图形是 。
解：方程|z +1|=|z -i |表示的是复平面上的点z 到点-1和i 的距离相等的点的轨迹，是一条线段的中垂线。所以表示的图形是直线。 答案：直线 4、计算：
(1)(1＋2i) ＋(3－4i) －(5＋6i) ； (2)5i－[(3＋4i) －(－1＋3i)]。
[解](1)(1＋2i) ＋(3－4i) －(5＋6i) ＝(4－2i) －(5＋6i) ＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i) －(－1＋3i)]＝5i －(4＋i) ＝－4＋4i.
预习小结---------梳理知识 体悟脉络 为落实要点奠基
要点一：复数的加减法
例1：在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A ，B 对应的复数分别为1+2i 、3-5i ．求
另外两个顶点C ，D 对应的复数． 解：设D 的坐标是(x ，y ) 。
AD =x +y i -(1+2i) =x -1+(y -2) i -7) ， =(x -1，y -2) ，A B =(2，
AD ⊥AB ，
∴有2(
x -1) -7(y -2) =0。
∴
=
① ②
。
⎧x =-6，⎧x =8，
由①②，解得⎨或⎨
y =4. y =0，⎩⎩
∴z D =-6或z D =8+4i 。
由BC =AD ，即z C -z B =z D -z A ，
则z C =z D -z A +z B ，
⎧z D =-6，⎧z D =8+4i ，
或⎨ ∴⎨
z =-4-7i ，z =10-3i. ⎩C ⎩C
【导评】本题综合考查了复数的加减运算、模的计算及复数的几何意义。同学们可以联系解析几何、向量知识考虑是否有更好的方法？ 变式跟踪练习1
如图的向量O Z 对应的复数是z ，试作出下列运算的结果对应的向量： （1）z +1；（2）z -i ；（3）z +(2-i )
解答：
要点二：复数加减法的几何意义的应用 例2：满足条件
z -2i +z +1=
5
的点的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 解析：：如果把
z -2i
看作动点Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）
与（-1，0）的距离之和为常数5 ∴动点的轨迹符合椭圆的定义
点（0，2）与（-1，0）间的距离为5， ∴动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C
【导评】理解复数、复数加减法及复数模的几何意义
（ ）
变式跟踪练习2若z ∈C 且|z |=1，则|z -2-2i |的最小值是
A ．22
B ．22+1
C ．22-1
D ．2
解：如图所示，而|z -2-2i ||z |=1表示z 点的轨迹是单位圆，表示的是复平面上表示复数z 的点M 与表示复数2+2i 的点A 之间距离。当M 位于线段AO AM 最小，为22-1。 答案：C
（2009上海九校联考）复数z =x +yi (x , y ∈R ) 满足z -1=x ，
则复数z 对应的点z (x , y ) 的轨迹方程
.
答案 y 2=2x -1
1、(广东省五校2011年高三上期末联考) 满足条件|z-i|=|3+4i|复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )
A ．一条直线 B ．两条直线 C ． 圆 D ． 椭圆 答案： |3+4i|=5满足条件|z-i|=|3+4i|复数z 在复平面上对应点的轨迹是 圆心为（0，1），半径为5的圆。故选C
2、复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i , 则由A 、B 、C 所构成的三角形是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 答案A
3．已知3＋i －(4＋3i) ＝z －(6＋7i) ，则z ＝________.
解析：由题知z ＝3＋i －(4＋3i) ＋(6＋7i) ＝(3－4＋6) ＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i
4．计算：(a＋bi) － (2a－3bi) －3i(a，b ∈R ) ．
[解] (a＋bi) －(2a－3bi) －3i ＝(a－2a) ＋[b－(－3b) －3]i＝－a ＋(4b－3)i.
基础篇-------落实课标要求 1. 两个共扼复数的和是（ ）
A . 实数 B . 纯虚数 C . 零 D . 零或纯虚数
答案：A
2. 设复数z 满足关系z +|z |=2+i ，那么z 等于（ ）．
A ．
B．
C．
D．
答案：B 3. 若z
1
=2+i ，z 2=3+ai (a ∈R ) ，z 1+z 2的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．—1
答案；D
4. 满足方程|z-3-3i|-|z-3+3i|=4的复数z 所对应的点的集合构成的图形只可能是 （
）
答案C
提升篇-------深化课标要求 5.. 如图，设向量OP 答案：0
6、若z =2且z +i =z -1，则复数z ⎧a 2+b 2=2⎪
解：设z =a +bi (a , b ∈Z ) ，则⎨
22
⎪a +(b +1) =⎩⎧⎪a =-2
。 ⎨
⎪⎩b =2
⎧⎪a =2
，解得⎨或
⎪⎩b =-2
、PQ 、OQ 所对应的复数依次为z 1、z 2、z 3，那么
z 1+z2-z 3= ．
(a -1) +b
22
答案：z =2(1-i ) 或z =-2(1-i )
7. 计算(1－2i) －(2－3i) ＋(3－4i) －(4－5i) ＋…－(2008－2009i) ．
解法一：原式＝(1－2＋3－4＋…＋2007－2008) ＋(－2＋3－4＋5－…－2008＋2009)i ＝－1004＋1004i.
解法二：∵(1－2i) －(2－3i) ＝－1＋i ， (3－4i) －(4－5i) ＝－1＋i ， ……
(2007－2008i) －(2008－2009i) ＝－1＋i ，
将以上1004个等式累加得原式＝－1004＋1004i.
能力篇-------迁移灵活运用
8. 复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－
2－3i ，则点D 对应的复数是________．
→→→
解析：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ，由题意知AB ＝DC ，又AB 对应的复数为1－i ，→
DC 对应的复数为(－2－x ) ＋(－3－y )i ，所以－2－x ＝1，－3－y ＝－1.
所以x ＝－3，y ＝－2. 所以点D 对应的复数为－3－2i. 答案：－3－2i
9．已知z 1，z 2为复数，且|z 1|＝1，若z 1＋z 2＝2i ，则|z 1－z 2|的最大值是________．
解析：
由z 1＋z 2＝2i 得z 1＝2i －z 2，代入|z 1|＝1得|2i－z 2|＝1，
∴|z 2－2i|＝1，即z 2轨迹是以(0,2)为圆心、1为半径的圆(如图) ．又z 1轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，则|z 1－z 2|为两圆上点的距离，最大值为4.
答案：4
10. 设Z 1，Z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝
2，求|z 1-z 2|.
解; 以z 1，z 2对应的向量为邻边作平行四边形oz 1zz 2，使oz 1+oz 2=oz 。
因为z 1=z 1=1 （oz 1, oz 2不共线，若共线，则|z 1+z 2|=2或0） 所以平行四边形oz 1zz 2为菱形，又|z 1＋z 2|＝2 ∴∠z 1oz 2=90 ∴菱形oz 1zz 2为正方形 故|z 1-z 2|=|z 1＋z 2|＝2。
高考篇-------了解高考走向 11. （2009江苏卷）若复数z 1=4+29i , z 2
=6+9i , 其中i 是虚数单位，则复数(z 1-z 2) i 的
实部为 【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 答案 -20
12、（2009金陵中学三模）已知复数z 1=-1+2i , z 2=1-i , z 3=3-2i ，它们所对应的点分
别为A ，B ，C ．若O C =xO A +yO B ，则x +y 的值是 ．
答案 5