希尔伯特变换

§5.6 希尔伯特(Hilbert)变换

• •

希尔伯特变换的引入

可实现系统的网络函数与希尔伯特变换

一．由傅里叶变换到希尔伯特变换 2

Fsgnt已知正负号函数的傅里叶变换

j 12

根据对称性得到 sgn    

2jt

则

1

jsgn

t

若系统函数为

j900 0

H(j)jsgn 0

j 900

则冲激响应

1 1

htFHj t

系统框图: ˆtftf 

 ˆFF jsgn

系统的零状态响应 1ˆ ftfthtft t利用卷积定理

jF 0 ˆtFˆFjsgnFf

jF 0

 具有系统函数为 － jsgn的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络

2

同理可得到: 1

ht若系统冲激响应为

t



1

t

jsgn

sgn为奇函数



















其网络的系统函数为 0

j 90 0 H()Fhtjsgn

9000j

该系统框图为 ˆ

ftft

 Fˆ jsgn

输出信号 ftfˆthtfˆt

1

t

利用卷积定理



jF FFˆ

jsgn

jF

具有系统函数为 j sgn 

  的网络是一个使相位滞后希尔伯波特变换

Hftfˆt

1

f

d

t

ˆtft



1

f

t 1f H1fˆt

ft

td

二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 可实现系统是因果系统，其冲激响应 ftfˆt1





t

00 

2 弧度的宽带相移全通网络

t h t  u t 即: h t  0 t  0 h

其傅里叶变换 11 HjHj

2j 

j又 H(j)HjeRjjX(j)

则

1 R(j)jXj1RjjXj2j 

11j1

RjXjXjRj 22



11Xj RjjXjXj1RjRjdjd 2222

根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得

1Xj1Rj

R(j)dXjd 

因果系统系统函数 H ( j  ) 的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系

三．常用希尔伯特变换对 





















作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用

例5-6-1

ˆt. 0t的希尔伯特变换f

用三种方法求解此题： 方法1 :

ˆt比ft滞后弧度，即希尔伯特变换f

2

 ˆtHftcosftsin0t0 4

方法2：

因FFcos0t00

则希尔伯特变换的频谱函数为 ˆFjsgnjjF00

即：

ˆtsintˆjfF 000

方法3：

直接用希尔伯特变换定义式

1cos0

Hcos0td

sin0t t











例5-6-2

  t ( 

h t e u( t )，证明F t ) ( ) 已知 h的实部与虚部满足希尔

伯特变换的约束关系。

1因为 FhtFetu(t)

j

即系统函数



HjjRjjXj 2222

式中实部 Rj2

2

虚部 Xj





22

现在求 X  j  的希尔伯特变换 

1 1Xjd HXjd22

ABC

令2

jj2

可求出各分式系数 11 

,B,C A

jj22 则

11 1 HXjd22 jjjj



11 1 HXjd22 jjjj

 2

1

 2d222

12

22d2222 



122 arctglnln22 

1

00 2222 



2 2



















R

例5-6-3

试分析下面系统可以产生单边带信号

yt

mm

2

已知信号  g t 是带限信号，其频谱函数为 G

图中系统函数 H j    j  载频   m sgn0 

由调制定理可知 y 1  t   g  t  cos  0 t 为带通信号 11

其频谱函数 Fy1tY1G0G0

22

是 g t 的希尔伯特变换信号

其频谱

ˆjGjsgn ˆtGFg

则 ˆtsin0ty2tg

其频谱函数

1ˆ

Fy2tY2Gj00 2 j

jG0sgn0jG0sgn0 2 即

11

Y2G0sgn0G0sgn0

22

输出信号 yty1ty2t

其频谱为







ˆtg





















YY1Y2

频谱图如下所示

0m000m

0m00m0

Y  是带通信号（上边带调幅信号）的频谱



§5.6 希尔伯特(Hilbert)变换

• •

希尔伯特变换的引入

可实现系统的网络函数与希尔伯特变换

一．由傅里叶变换到希尔伯特变换 2

Fsgnt已知正负号函数的傅里叶变换

j 12

根据对称性得到 sgn    

2jt

则

1

jsgn

t

若系统函数为

j900 0

H(j)jsgn 0

j 900

则冲激响应

1 1

htFHj t

系统框图: ˆtftf 

 ˆFF jsgn

系统的零状态响应 1ˆ ftfthtft t利用卷积定理

jF 0 ˆtFˆFjsgnFf

jF 0

 具有系统函数为 － jsgn的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络

2

同理可得到: 1

ht若系统冲激响应为

t



1

t

jsgn

sgn为奇函数



















其网络的系统函数为 0

j 90 0 H()Fhtjsgn

9000j

该系统框图为 ˆ

ftft

 Fˆ jsgn

输出信号 ftfˆthtfˆt

1

t

利用卷积定理



jF FFˆ

jsgn

jF

具有系统函数为 j sgn 

  的网络是一个使相位滞后希尔伯波特变换

Hftfˆt

1

f

d

t

ˆtft



1

f

t 1f H1fˆt

ft

td

二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 可实现系统是因果系统，其冲激响应 ftfˆt1





t

00 

2 弧度的宽带相移全通网络

t h t  u t 即: h t  0 t  0 h

其傅里叶变换 11 HjHj

2j 

j又 H(j)HjeRjjX(j)

则

1 R(j)jXj1RjjXj2j 

11j1

RjXjXjRj 22



11Xj RjjXjXj1RjRjdjd 2222

根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得

1Xj1Rj

R(j)dXjd 

因果系统系统函数 H ( j  ) 的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系

三．常用希尔伯特变换对 





















作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用

例5-6-1

ˆt. 0t的希尔伯特变换f

用三种方法求解此题： 方法1 :

ˆt比ft滞后弧度，即希尔伯特变换f

2

 ˆtHftcosftsin0t0 4

方法2：

因FFcos0t00

则希尔伯特变换的频谱函数为 ˆFjsgnjjF00

即：

ˆtsintˆjfF 000

方法3：

直接用希尔伯特变换定义式

1cos0

Hcos0td

sin0t t











例5-6-2

  t ( 

h t e u( t )，证明F t ) ( ) 已知 h的实部与虚部满足希尔

伯特变换的约束关系。

1因为 FhtFetu(t)

j

即系统函数



HjjRjjXj 2222

式中实部 Rj2

2

虚部 Xj





22

现在求 X  j  的希尔伯特变换 

1 1Xjd HXjd22

ABC

令2

jj2

可求出各分式系数 11 

,B,C A

jj22 则

11 1 HXjd22 jjjj



11 1 HXjd22 jjjj

 2

1

 2d222

12

22d2222 



122 arctglnln22 

1

00 2222 



2 2



















R

例5-6-3

试分析下面系统可以产生单边带信号

yt

mm

2

已知信号  g t 是带限信号，其频谱函数为 G

图中系统函数 H j    j  载频   m sgn0 

由调制定理可知 y 1  t   g  t  cos  0 t 为带通信号 11

其频谱函数 Fy1tY1G0G0

22

是 g t 的希尔伯特变换信号

其频谱

ˆjGjsgn ˆtGFg

则 ˆtsin0ty2tg

其频谱函数

1ˆ

Fy2tY2Gj00 2 j

jG0sgn0jG0sgn0 2 即

11

Y2G0sgn0G0sgn0

22

输出信号 yty1ty2t

其频谱为







ˆtg





















YY1Y2

频谱图如下所示

0m000m

0m00m0

Y  是带通信号（上边带调幅信号）的频谱

