・教学研究・
高中数学中的二次函数与不等式的应用分析
陆红艳 贵州省兴义一中
【摘 要】一元二次不等式和二次函数是高中数学中比较重要的两个内容，它们贯穿于整个高中数学体系，也是实际生活中数学建模的重要工具之一。尤其是二次函数在高中函数的教学中占有更为重要的地位，它不仅与二次函数密切联系，更为高中学习圆锥曲线和导数等内容奠定基础。在历届高考试题中，二次函数与不等式的思想都是压轴题中不可缺少的内容。不等式与二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通，为学好高中数学奠定坚实的基础。
【关键词】一元二次不等式 二次函数 方程 数形结合 图象
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2010）07－0140－02 一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点之一。从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。我们现用的教材在处理上是下了一番功夫的，它将二次不等式的解法分成了两部分——首先介绍了一元二次不等式的概念和用因式分解法解一元二次不等式，即利用“同号两数相乘得正，异号两数相乘得负”的原理，将一元二次不等式转化为一元一次不等式组加以解决。毫无疑问，这种解法具有极大的局限性和不完整性，这就为后面介绍二次不等式的图象法（也就是结合了与二次函数之间的关系）作了必要的铺垫和准备。一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的主要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。笔者将从以下两个方面去探讨教学中一元二次不等式的解法及与二次函数的关系。
一、明确教学目标及教学重难点
教学分为三大目标。①知识目标：使学生掌握一元二次不等式的图象法，理解掌握这种解法的理论依据，并在教学中渗透高考对本内容的考察程度；②能力目标：通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质；③德育目标：通过图象法，
有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般观点和方法，培养学生良好的心理素质和竞争意识。没有目标就像无帆的船，所以在教学中始终要坚持以贯穿这样的目标为中心，让学生做到心中有数，清楚学习一元二次不等式的重要性，从而进一步提高学生学习的积极性与主动性，从而教学才会卓有成效。
教学重点与难点：教学重点是三种类型的一元二次不等式图象解法。教学难点是二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系，数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。学生在学习中必须明确清楚这两者之间的关系，不然会把握不住学习的方向性，针对重要环节以及薄弱环节可以相应的采取不同的学习方式，达到有的放矢，需要掌握的知识点（即重点，有时难点也是重点）要非常熟悉，需要理解的知识点了解它所要体现的内容即可。
二、掌握一元二次不等式与二次函数的密切联系
首先，要掌握二次函数和一元二次方程之间的联系，二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，可得此重要结论：二次函数与x 轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一元二次方程的根——有两个不相等的实数根则有两个不同的交点，有两个相等的实数根则有一个交点，没有实数根则没有交点。从而可观察到二次函数和不等式的关系就是不等式的解集和方程的根之间的关系：“小于取中间，大于取两边”，从而归纳出图表（一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的关系）：
从上表中我们就可求解一元二次不等式，如高一教材中第22页的例题：求解不等式（x ＋4）（x －1）＜0。书中的解法是利用积的符号法则“同号得正，异号得负”把它化成一次不等式组 ⎧x +4>0⎧x +4
与⎨，从而求出不等式的解集。 ⎨
⎩x −10
我认为还可以采取更为简洁的方法求解此类不等式，如上例中的4比－1大，从而可判断出x ＋4比x －1大，因此可得到x ＋4＞0，x －1＜0，这样就避免了讨论的麻烦，从而可得到形如
x +a x +a
0或（x ＋a ）（x ＋a ）（x ＋b ）＞0，（x ＋b ）＜0，
x +b x +b
－140－
2010.7下┃青年与社会 Chinese and Foreign Educational Research
的解法，只需去判断a 与b 的大小，就可知x ＋a 与x ＋b 的大小，也就进一步求出不等式的解集。这种方法显然比上述方法显得更为简单，并且避免了讨论。
其次，要渗透一元二次不等式与二次函数间的密切联系，这建立在对一元二次不等式和二次函数的知识点掌握牢固的基础上。如二次函数的定义域、值域、单调性、最值和图象等性质，学生都需要理解透彻，不等式与二次函数结合的知识，在一定程度上可以很准确的反映学生的数学思维。
例如，设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0），方程f （x ）
1
－x ＝0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜。
2
（1）当x ∈（0，x 1）时，证明x ＜f （x ）＜x 1；
x
（2）设函数f （x ）的图象关于直线x ＝x 0对称，证明x 0＜。
2x
解题思路：本题要证明的是x ＜f （x ），f （x ）＜x 1和x 0＜，
2
由题中所提供的信息可以联想到：①f （x ）＝x ，说明抛物线与直 线y ＝x 在第一象限内有两个不同的交点；②方程f （x ）－x ＝0可变为ax 2＋（b －1）x ＋1＝0，它的两根为x 1、x 2，可得到x 1、
（2）若|x 1|＜2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围。 对于这个例题，我们采取的常规思路如下： （1）证明：∵f （x ）＝x ，∴ax 2＋（b －1）x ＋1＝0。 设g （x ）＝ax 2＋（b －1）x ＋1，由题意可得：
⎧g (2)
⇒⎨⇒−4a +2b
2a ⎩g (4) >0⎩16a +4b −3>0
∴x 0＝－b ＞－1
2a
（2）对于方程ax 2＋（b －1）x ＋1＝0，令b －1＝c ，则有ax 2＋cx ＋1＝0。
由|x 2－x 1|＝2，得
c 24
−=2，即c 2－4a ＝4a 2，∴c 2＝4a 2 a a
＋4a （1）
又∵|x 1|＜2，|x 2－x 1|＝2，∴－6＜x 1＋x 2＜6。 即－6＜－＜6⇒c 2＜36a 2
而△＝c 2－4a ＞0，∴4a ＜c 2＜36a 2 （2） 由（1）（2）得a ＞
933⇒ c＞或c ＜－ 1644
37
又b ＝c ＋1，∴b ＞或b ＜－。
44
1
8
c s
x 2与a 、b 、c 之间的关系式，因此解题思路明显有三个：①图象法；②利用一元二次方程根与系数的关系；③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例，解决这道题：
（1）先证明x ＜f （x ），令F （x ）＝f （x ）－x ，因为x 1、x 2是方程f （x ）－x ＝0的两根，f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，所以可得F （x ）＝a （x －x 1）（x －x 2）。
由0＜x 1＜x 2知当x ∈（0，x 1）时，有x －x 1＜0，x －x 2＜0得（x －x 1）（x －x 2）＞0，又a ＞0，因此F （x ）＞0，即f （x ）－x ＞0，从而证得x ＜f （x ）。
c 1
根据韦达定理，有x 1x 2＝，∵0＜x 1＜x 2＜，c ＝a x1x 2＜x
a 2
＝f （x 1），又c ＝f （0），∴f （0）＜f （x 1）。
根据二次函数的性质，曲线y ＝f （x ）是开口向上的抛物线，因此，函数y ＝f （x ）在闭区间［0，x 1］上的最大值在边界点x ＝0或x ＝x 1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于f （x 1）＜f （0），所以当x ∈（0，x 1）时，f （x ）＜f （x 1）＝x 1，综上可得：x ＜f （x ）＜x 1。
b 4ac −b 2
（2）Q f (x ) =ax +ax +c =a (x +2+(a >0)
2a 4a
函数f （x ）图象的对称轴为直线x ＝－b ，且是唯一的一
2a b
条对称轴，因此，依题意，得x 0＝－，因为x 1、x 2是二次方
2a
2
程ax ＋（b －1）x ＋c ＝0的两根，根据韦达定理得x 1＋x 2＝－b −1，
a
∵x 2－1＜0，∴x 0＝－b ＝1（x 1＋x 2－1）＜x ，即x 0＝x 。
22a 2222
2
∴c 2＝4a 2＋4a ＞
上述例题中的第（2）小题我们还可采取例外的思路进行求解，而且这种思路显得更为快捷和简便，解法如下：
由|x 2－x 1|＝2，得|x 2|－|x 1|≤|x 2－x 1|＝2，又|x 1|＜2，⇒|x 2|≤|x 1|＋2＜4。 对于方程ax 2＋（b －1）x ＋1＝0，由韦达定理我们有＝x 1
1
a
1b −1) 2−4a
x 2≤|x 1||x 2|＜8，⇒a ＞而|x 2－x 1|＝＝2，⇒（b －1）2
8a
＝4a 2＋4a ，又a ＞，∴b ＞
18
71或b ＜44
。
上述思路就是有效的结合了不等式与函数、方程的思想，这样就可大大简化运算的过程，而且思路清晰，学生较容易接受，因此我们在教学过程中对于这一类问题就要扩展学生的思维，不让其只陷入一个思路当中，这样就无形中使学生得到了思维的锻炼，又增强了学生学习数学的兴趣。
综上所述，二次不等式与二次函数之间有着丰富的内涵和外延，以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，更好的区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
参考文献
1人民教育出版社中学数学室编. 全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）. 北京：人民教育出版社，2007：
我们还可以对上述例题进行相应的变形可得：已知二次函数
21～23
2 任志鸿. 高中新教材优秀教案高一数学（上）. 海口：南方出版社，2006：78～83
f （x ）＝ax 2＋bx ＋1（a ，b ∈R ，a ＞0），设方程f （x ）＝x 的两个实根分别为x 1、x 2。
（1）若x 1＜2＜x 2＜4，设函数f （x ）的对称轴为x ＝x 0，求证：
3 王后雄. 教材完全解读高一数学（上）. 北京：中国青年出版社，2006：74～79
x 0＞－1；
Chinese and Foreign Educational Research 青年与社会┃2010.7下
－141－
高中数学中的二次函数与不等式的应用分析
作者：陆红艳
作者单位：贵州省兴义一中
刊名：青年与社会·中外教育研究
英文刊名：CHINESE AND FOREIGN EDUCATION RESEARCH年，卷(期)：2010，""(7)被引用次数：
0次
参考文献(3条)
1. 人民教育出版社中学数学室 全日制普通高级中学教科书(必修)数学 20072. 任志鸿 高中新教材优秀教案高一数学(上) 20063. 王后雄 教材完全解读高一数学(上) 2006
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_qnysh201007092.aspx
授权使用：华南师范大学(hnsfdx)，授权号：60c59b3d-b758-4878-94bc-9e3f0176de28
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・教学研究・
高中数学中的二次函数与不等式的应用分析
陆红艳 贵州省兴义一中
【摘 要】一元二次不等式和二次函数是高中数学中比较重要的两个内容，它们贯穿于整个高中数学体系，也是实际生活中数学建模的重要工具之一。尤其是二次函数在高中函数的教学中占有更为重要的地位，它不仅与二次函数密切联系，更为高中学习圆锥曲线和导数等内容奠定基础。在历届高考试题中，二次函数与不等式的思想都是压轴题中不可缺少的内容。不等式与二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通，为学好高中数学奠定坚实的基础。
【关键词】一元二次不等式 二次函数 方程 数形结合 图象
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2010）07－0140－02 一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点之一。从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。我们现用的教材在处理上是下了一番功夫的，它将二次不等式的解法分成了两部分——首先介绍了一元二次不等式的概念和用因式分解法解一元二次不等式，即利用“同号两数相乘得正，异号两数相乘得负”的原理，将一元二次不等式转化为一元一次不等式组加以解决。毫无疑问，这种解法具有极大的局限性和不完整性，这就为后面介绍二次不等式的图象法（也就是结合了与二次函数之间的关系）作了必要的铺垫和准备。一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的主要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。笔者将从以下两个方面去探讨教学中一元二次不等式的解法及与二次函数的关系。
一、明确教学目标及教学重难点
教学分为三大目标。①知识目标：使学生掌握一元二次不等式的图象法，理解掌握这种解法的理论依据，并在教学中渗透高考对本内容的考察程度；②能力目标：通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质；③德育目标：通过图象法，
有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般观点和方法，培养学生良好的心理素质和竞争意识。没有目标就像无帆的船，所以在教学中始终要坚持以贯穿这样的目标为中心，让学生做到心中有数，清楚学习一元二次不等式的重要性，从而进一步提高学生学习的积极性与主动性，从而教学才会卓有成效。
教学重点与难点：教学重点是三种类型的一元二次不等式图象解法。教学难点是二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系，数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。学生在学习中必须明确清楚这两者之间的关系，不然会把握不住学习的方向性，针对重要环节以及薄弱环节可以相应的采取不同的学习方式，达到有的放矢，需要掌握的知识点（即重点，有时难点也是重点）要非常熟悉，需要理解的知识点了解它所要体现的内容即可。
二、掌握一元二次不等式与二次函数的密切联系
首先，要掌握二次函数和一元二次方程之间的联系，二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，可得此重要结论：二次函数与x 轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一元二次方程的根——有两个不相等的实数根则有两个不同的交点，有两个相等的实数根则有一个交点，没有实数根则没有交点。从而可观察到二次函数和不等式的关系就是不等式的解集和方程的根之间的关系：“小于取中间，大于取两边”，从而归纳出图表（一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的关系）：
从上表中我们就可求解一元二次不等式，如高一教材中第22页的例题：求解不等式（x ＋4）（x －1）＜0。书中的解法是利用积的符号法则“同号得正，异号得负”把它化成一次不等式组 ⎧x +4>0⎧x +4
与⎨，从而求出不等式的解集。 ⎨
⎩x −10
我认为还可以采取更为简洁的方法求解此类不等式，如上例中的4比－1大，从而可判断出x ＋4比x －1大，因此可得到x ＋4＞0，x －1＜0，这样就避免了讨论的麻烦，从而可得到形如
x +a x +a
0或（x ＋a ）（x ＋a ）（x ＋b ）＞0，（x ＋b ）＜0，
x +b x +b
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的解法，只需去判断a 与b 的大小，就可知x ＋a 与x ＋b 的大小，也就进一步求出不等式的解集。这种方法显然比上述方法显得更为简单，并且避免了讨论。
其次，要渗透一元二次不等式与二次函数间的密切联系，这建立在对一元二次不等式和二次函数的知识点掌握牢固的基础上。如二次函数的定义域、值域、单调性、最值和图象等性质，学生都需要理解透彻，不等式与二次函数结合的知识，在一定程度上可以很准确的反映学生的数学思维。
例如，设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0），方程f （x ）
1
－x ＝0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜。
2
（1）当x ∈（0，x 1）时，证明x ＜f （x ）＜x 1；
x
（2）设函数f （x ）的图象关于直线x ＝x 0对称，证明x 0＜。
2x
解题思路：本题要证明的是x ＜f （x ），f （x ）＜x 1和x 0＜，
2
由题中所提供的信息可以联想到：①f （x ）＝x ，说明抛物线与直 线y ＝x 在第一象限内有两个不同的交点；②方程f （x ）－x ＝0可变为ax 2＋（b －1）x ＋1＝0，它的两根为x 1、x 2，可得到x 1、
（2）若|x 1|＜2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围。 对于这个例题，我们采取的常规思路如下： （1）证明：∵f （x ）＝x ，∴ax 2＋（b －1）x ＋1＝0。 设g （x ）＝ax 2＋（b －1）x ＋1，由题意可得：
⎧g (2)
⇒⎨⇒−4a +2b
2a ⎩g (4) >0⎩16a +4b −3>0
∴x 0＝－b ＞－1
2a
（2）对于方程ax 2＋（b －1）x ＋1＝0，令b －1＝c ，则有ax 2＋cx ＋1＝0。
由|x 2－x 1|＝2，得
c 24
−=2，即c 2－4a ＝4a 2，∴c 2＝4a 2 a a
＋4a （1）
又∵|x 1|＜2，|x 2－x 1|＝2，∴－6＜x 1＋x 2＜6。 即－6＜－＜6⇒c 2＜36a 2
而△＝c 2－4a ＞0，∴4a ＜c 2＜36a 2 （2） 由（1）（2）得a ＞
933⇒ c＞或c ＜－ 1644
37
又b ＝c ＋1，∴b ＞或b ＜－。
44
1
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c s
x 2与a 、b 、c 之间的关系式，因此解题思路明显有三个：①图象法；②利用一元二次方程根与系数的关系；③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例，解决这道题：
（1）先证明x ＜f （x ），令F （x ）＝f （x ）－x ，因为x 1、x 2是方程f （x ）－x ＝0的两根，f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，所以可得F （x ）＝a （x －x 1）（x －x 2）。
由0＜x 1＜x 2知当x ∈（0，x 1）时，有x －x 1＜0，x －x 2＜0得（x －x 1）（x －x 2）＞0，又a ＞0，因此F （x ）＞0，即f （x ）－x ＞0，从而证得x ＜f （x ）。
c 1
根据韦达定理，有x 1x 2＝，∵0＜x 1＜x 2＜，c ＝a x1x 2＜x
a 2
＝f （x 1），又c ＝f （0），∴f （0）＜f （x 1）。
根据二次函数的性质，曲线y ＝f （x ）是开口向上的抛物线，因此，函数y ＝f （x ）在闭区间［0，x 1］上的最大值在边界点x ＝0或x ＝x 1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于f （x 1）＜f （0），所以当x ∈（0，x 1）时，f （x ）＜f （x 1）＝x 1，综上可得：x ＜f （x ）＜x 1。
b 4ac −b 2
（2）Q f (x ) =ax +ax +c =a (x +2+(a >0)
2a 4a
函数f （x ）图象的对称轴为直线x ＝－b ，且是唯一的一
2a b
条对称轴，因此，依题意，得x 0＝－，因为x 1、x 2是二次方
2a
2
程ax ＋（b －1）x ＋c ＝0的两根，根据韦达定理得x 1＋x 2＝－b −1，
a
∵x 2－1＜0，∴x 0＝－b ＝1（x 1＋x 2－1）＜x ，即x 0＝x 。
22a 2222
2
∴c 2＝4a 2＋4a ＞
上述例题中的第（2）小题我们还可采取例外的思路进行求解，而且这种思路显得更为快捷和简便，解法如下：
由|x 2－x 1|＝2，得|x 2|－|x 1|≤|x 2－x 1|＝2，又|x 1|＜2，⇒|x 2|≤|x 1|＋2＜4。 对于方程ax 2＋（b －1）x ＋1＝0，由韦达定理我们有＝x 1
1
a
1b −1) 2−4a
x 2≤|x 1||x 2|＜8，⇒a ＞而|x 2－x 1|＝＝2，⇒（b －1）2
8a
＝4a 2＋4a ，又a ＞，∴b ＞
18
71或b ＜44
。
上述思路就是有效的结合了不等式与函数、方程的思想，这样就可大大简化运算的过程，而且思路清晰，学生较容易接受，因此我们在教学过程中对于这一类问题就要扩展学生的思维，不让其只陷入一个思路当中，这样就无形中使学生得到了思维的锻炼，又增强了学生学习数学的兴趣。
综上所述，二次不等式与二次函数之间有着丰富的内涵和外延，以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，更好的区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
参考文献
1人民教育出版社中学数学室编. 全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）. 北京：人民教育出版社，2007：
我们还可以对上述例题进行相应的变形可得：已知二次函数
21～23
2 任志鸿. 高中新教材优秀教案高一数学（上）. 海口：南方出版社，2006：78～83
f （x ）＝ax 2＋bx ＋1（a ，b ∈R ，a ＞0），设方程f （x ）＝x 的两个实根分别为x 1、x 2。
（1）若x 1＜2＜x 2＜4，设函数f （x ）的对称轴为x ＝x 0，求证：
3 王后雄. 教材完全解读高一数学（上）. 北京：中国青年出版社，2006：74～79
x 0＞－1；
Chinese and Foreign Educational Research 青年与社会┃2010.7下
－141－
高中数学中的二次函数与不等式的应用分析
作者：陆红艳
作者单位：贵州省兴义一中
刊名：青年与社会·中外教育研究
英文刊名：CHINESE AND FOREIGN EDUCATION RESEARCH年，卷(期)：2010，""(7)被引用次数：
0次
参考文献(3条)
1. 人民教育出版社中学数学室 全日制普通高级中学教科书(必修)数学 20072. 任志鸿 高中新教材优秀教案高一数学(上) 20063. 王后雄 教材完全解读高一数学(上) 2006
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授权使用：华南师范大学(hnsfdx)，授权号：60c59b3d-b758-4878-94bc-9e3f0176de28
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