n a a 与n 一、
例题:(10西城二模)一组按规律排列的整数5,7,11,19,„,第6个整数为_____,根据上述规律,第n 个整数为____(n 为正整数)。
∴第6个整数是26+3=67,第n 个整数是2n +3(n 为正整数). 练习:
149161、(10怀柔二模)按一定规律排列的一列数依次为:, , , , ……,按此规
3579
律排列下去,这列数中的第5个数是,第n 个数是.
25n 2
答案:,
112n +1
111111
2、(09东城一模)„,
2310152635
按此规律排列下去,这列数中的第9个数是________. 答案:
1
n 2+(-1) n +1
例题:(10通州一模)某些植物发芽有这样一种规律:当年所发新芽第二年不发芽,老芽在以后每年都发芽. 发芽规律见下表(设第一年前的新芽数为a )
照这样下去,第8年老芽数与总芽数的比值为.
解:第8年的老芽数是21a ,新芽数是13a ,总芽数是34a ,则比值为练习:
1、(08石景山一模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数,将这串令人费解的数从小到大的顺序排列为:1,1,2,3,5,8„„,则这列数的第8个数是. 答案:21
21
. 34
2、(09房山二模) 填在下面三个田字格内的数有相同的规律,根据此规律,请填出图4中的数字.
15
320
37
556
59
7108
答案:7,9,11,176
((-1) n 与(-1) n +1)
例题:(09通州二模)12. 观察并分析下列数据,寻找规律: 0
,,-6,3,-23,,-32,„„那么第10个数据是 ;第n 个数据是 . ∴第10个数据是33 ,第n 个数据是(-1) n +1n -3. 练习:
1、(10房山一模)一组按规律排列的式子:
14916
, -, , -,...(a ≠0) ,其中第25811a a a a
8个式子是,第n 个式子是(n 为正整数).
2
64n +1n 答案:-23,(-1) 3n -1a a
a 5a 8a 11
2、(10门头沟二模)一组按一定规律排列的式子:-a ,,-,,„,
234
2
(a ≠0), 则第n 个式子是(n 为正整数)
a 3n -1
答案:(-1)
n
n
3、(09崇文一模)一组按规律排列的数:2,0,4,0,6,0,„,其中第7个数是 ,第n 个数是(n 为正整数).
1+(-1) n +1
(n +1) 答案:8,
2
例题:(08通州二模)世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示:则排在第10行
从左边数第3个位置上的数是. ∴第10行倒数第三个数是练习:
1、(08大兴一模)自然数按一定规律排成下表,那么第200行的第5个数是.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 „„„„„. „. „.. „„„. 答案:19905
2、如图的数字方阵中,方框所缺的数,按照适宜的规律填上( ) A、100 B、128 C、129 D、130 答案:C
例题:(11平谷二模)如图,将连续的正整数1,2,3,4„„依次标在下列三角形中,那么2011这个数在第个三角形的顶点处(第二空填:上,左下,右下).
111
-=. 7290360
∴2011这个数在第671个三角形的上顶点处. 故答案为:671,上. 练习:
1、(08崇文一模)观察下列等式:31-1=2,32-1=8,33-1=26,34-1=80,
35-1=242,„„. 通过观察,用你所发现的规律确定32008-1的个位数字是.
答案:3
2、右图为手的示意图,在各个手指间标记字母A ,B ,C ,D . 请你按图中箭头所指方向(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →„的方式)从A 开始数连续的正整数1,2,3,4,„,当数到12时,对应的字母是_____________;当字母C 第201次出现时,恰好数到的数是____________;当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数),恰好数到的数是_______________(用含n 的代数式表示). 答案:B ,603,6n+3
例题:(09平谷一模)已知:2⨯2=2+2, 3⨯3=3+3, 4⨯4=4+4, „„若×
b
11223310=b +10(a 、b 都是正整数),则a+b的最小值是 ∴a+b的最小值是19 练习:
1. (10密云一模)下面是按一定规律排列的一列数:
.
1⎛-1⎫
第1个数:- 1+⎪;
2⎝2⎭
1⎛-1⎫⎛(-1) 2⎫⎛(-1) 3⎫
第2个数:- 1+⎪ 1+⎪1+⎪;
3⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭
1⎛-1⎫⎛(-1) 2⎫⎛(-1) 3⎫⎛(-1) 4⎫⎛(-1) 5⎫
第3个数:- 1+⎪ 1+⎪1+⎪1+⎪1+⎪;
4⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝5⎭⎝6⎭„„
232n -11⎛-1⎫⎛(-1) ⎫⎛(-1) ⎫⎛(-1) ⎫
第n 个数:- 1+⎪ 1+⎪1+⎪ 1+⎪.
n +1⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝2n ⎭
那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是( ) A .第10个数 答案:A
例题1:(10昌平一模)观察下列图案:
B.第11个数
C .第12个数
D .第13个数
第1个图案第2个图案第3个图案
个三角
照这样它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第5个图案中共有
形,第n (n ≥1,且n 为整数)个图案中三角形的个数为 (用含有n 的式子表示).
解答:解:第5个图案中,有6+4×4=22(个)三角形;
第n 个图案中,有6+4(n-1)=4n+2(个)三角形.
例题2. (10西城一模)在平面直角坐标系中,我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形.如图,在菱形ABCD 中,四个顶点坐标分别是(-8,0),(0,4),(8,0),(0,-4),则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是个;若菱形A n B n C n Dn 的四个顶点坐标分别为(-2n ,0),(0, n ),(2n ,0),(0,-n )(n 为正整数),则菱形A n B n C n D n
能覆盖的单位格点正方形的个数为
(用含有n 的式子表示). 答案为:4n 2-4n .
练习:
.1、(10大兴一模)如图4所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按的规律摆下去,则第n 个图形需要黑色棋子的个数是
x
第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
(图4)
答案:n (n +2)
2、(08顺义二模)如图,图①,图②,图③,图④„„是用围棋棋子摆成的一
列具有一定规律的“山”字.则第n 个“山”字中的棋子个数是.
答案:5n+2
3、(08丰台二模)用黑白两种颜色的正方形纸片,按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案:
„
第1个
第2个
第3个
图①
图②
图③
图④
„
请问第n 个图案中有白色纸片的张数为
A .4n +3 B.3n +1 C .n D .2n +2 答案:B
4、(10丰台一模)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1,A 2B 2C 2D 2,A 3B 3C 3D 3„„每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个.
答案:80个.
例题:(10海淀一模)如图,n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B 2D 1C 1的面积为S 1,△B D 3C 22
的面积为S 2,„,△B n +1D n C n 的面积为S n ,
则S 2=;S n =____(用含n 的式子表示).
S 2=S△B3C2A -S △AC2D2=
112×4×3 - ×4× 223
即第n 个图形的面积S n = 练习:
3n
. n +1
1、(11丰台二模)已知:如图,在Rt △ABC 中,点D 1是斜边AB 的中点,过点D 1作D 1E 1⊥AC 于点E 1,联结BE 1交CD 1于点D 2;过点D 2作D 2E 2⊥AC 于点E 2,联结BE 2 交CD 1于点D 3;过点D 3作D 3E 3⊥AC 于点E 3,如此继续,可以依次得到点D 4、D 5、„、D n ,分别记△BD 1E 1、„、△BD n E n 的面△BD 2E 2、△BD 3E 3、积为S 1、S 2、S 3、„S n .设△ABC 的面积是1, 则S 1=,S n =(用含n 的代数式表示). 答案:S 1=
11
,S n = S . 2△ABC 4(n +1)
3,5,7,9,,11 2、(10平谷一模)如图,∠AOB =45 ,过OA 上到点O 的距离分别为1,的点作OA 的垂线与OB
相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为
S 1,S 2,S 3,S 4, .则第一个黑色梯形的面积S 1=; 观察图中的规律,第n(n为正整数) 个黑色梯形的面积
S n =.
答案:4, 8n-4
3、(10延庆二模)如图,P 1是一块半径为1的半圆形纸板,在P 1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P 2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图形P 3, P 4, , P n , ,记纸板P n 的面积为S n ,试计算求出
1
2
S 3-S 2=;并猜想得到S n -S n -1=(n ≥2) 答案:-
1
π
32, -
π1
2
3
() n -1
24
4、(10门头沟一模)如图,以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1,再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1,„„,如此作下去,若OA =OB =1,则第n
个等腰直角三角形的面积S n =________(n 为正整数). 答案:2
5. (11延庆二模)在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的位置如图所示,
点A 的坐标为(1, 0) ,点D 的坐标为(0, 2) . 延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形A 1B 1C 1C ; 延长C 1B 1交x 轴于点A 2,作正方形A 2B 2C 2C 1„
n-2
B 2
A 1A O
B
B 1
按这样的规律进行下去,第3个正方形的面积为________; 第n 个正方形的面积为_____________(用含n 的代数式表示).
C 2
答案:5×(
例题:(10丰台二模)如图,边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB =60°.联结对角线
343
),5×()2n-2. 22
AC ,以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1,使∠D 1AC =60°;联结AC 1,再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2,使∠D 2AC 1=60°,„„.按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________.
第1个菱形 第2个菱形 第3个菱形 „„ 第n 个菱形
边长 1 3练习:
1、09西城二模)如图,在平面直角坐标系中,B 1(0,1) ,
D C 1 2
3)
n -1
D A
B 2(0,3) ,B 3(0,6) ,B 4(0,10) ,„,以B 1B 2为对角线作第一个正方形A 1B 1C 1B 2,以B 2B 3为对角线作第一个正方(形A 2B 2C 2B 3,以B 3B 4为对角线作第一个正方形
A 3B 3C 3B 4,„,如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上,且B n B n +1的长度依次增加1个单位,顶点A n 都在第一象限内(n ≥1,且n 为整数),那么A 1的纵坐标为
,用n 表示A n 的纵坐标
2(n +1)答案:2,.
2
2、(09延庆二模)如图,菱形AB 1C 1D 1的边长为1,∠B 1=60 ;作AD 2⊥BC 11于
点D 2,以AD 2为一边,做第二个菱形AB 2C 2D 2,使∠B 2=60 ;作AD 3⊥B 2C 2于点D 3,以AD 3为一边做第三个菱形AB 3C 3D 3,使∠B 3=60 ; 依此类推,这样做的第n 个菱形AB n C n D n 的边AD n 的长是
⎛⎫
⎪答案: 2⎪⎝⎭
n -1
C 3B 2 D 3
A
B 1
D 2
B 3
D 1
1
C 2
,AC =2,把边 3、(08昌平一模)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90 ,BC =1
长分别为x 1,x 2,x 3, ,x n 的n 个正方形依次放入△ABC 中:第
一个正方形CM 1P 1N 1的顶点分别放在Rt △ABC 的各边上;第二个正方形M 1M 2P 2N 2的顶点分别放在Rt △APM 11的各边上, „„, 其他正方形依次放入。则第三个正方形的边长x 3为,第n 个正方形的边长x n =(n 为正整数).
B
8⎛2⎫
答案:, ⎪
27⎝3⎭
n
N 1
x 1N
2
P 1
x 2
P 1
C
x 3
M 2
M 1
A
4. (10朝阳一模)如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜边的中点,向斜边做垂线,画出一个新的等腰直角三角形,如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止,此时这个三角形的斜边长为_____.
1
答案:
8
5. (08宣武一模)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有一组数:1,1,2,3,5,8,13,„.其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图所示的正方形:
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下图所示的矩形,并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示:
若按此规律继续⑩的矩形周长是. 答案:466.
6. (09门头沟一模)如图,每个多边形的边长都大于2,分别以多边形的各顶点为圆心,1为半径画弧(弧的端点分别在多边形的相邻两边上),则第6个图形中所有弧的弧长的和是,第n 个图形中所有弧的弧长的和是(n 为正整数)
作矩形,则序号为
...
第1个
第2个第3个
答案:10π,(n +4)π.
7、(10崇文二模)如图,在∆ABC 中,
∠A =α,∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分
线交于点A 1,得∠A 1,则∠A 1=.∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2,得
∠A 2,„„,∠A 2009BC 的平分线与∠A 2009CD 的平分线交于点A 2010,得∠A 2010,
则∠A 2010=.
答案:∠A 1=
11
α,∠A 2010= 2010α 22
例1、(09延庆一模) 一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动,在第一秒钟,它
1) ,然后接着按图中箭头所示方向运动, 即从原点运动到(0,
(0,0) →(01),→(11),→(1,0) →…,且每秒移动一个单位,那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______
第35秒时质点所在位置的坐标是(5,0). 练习:
(
08宣武二模)如图,已知A 1(1,0) ,A 2(11),,A 3(-11) ,,则点A 2008的坐标为______________. A 4(-1,-1) ,A 5(2,-1) ,答案:(-502,-502).
1
3
y
3 2 1
„ 五、设计类
例题: 观察下面的图形(每一个正方形的边长均为1)和相应的等式,探究其中的规律:
(1)写出第五个等式,并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示;
(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解析:(1),对应的图形是(2)
。
练习:(2005年大连市中考题) 在数学活动中,小明为了求
的值(结果用n 表示),设计如图a 所示的图形。 (1)
请你利用这个几何图形求的值为。 (2)请你利用图b ,
再设计一个能求的值的几何图形。
(1)(2)可设计如图1,图2, 图3,
图4所示的方案:
n a a 与n 一、
例题:(10西城二模)一组按规律排列的整数5,7,11,19,„,第6个整数为_____,根据上述规律,第n 个整数为____(n 为正整数)。
∴第6个整数是26+3=67,第n 个整数是2n +3(n 为正整数). 练习:
149161、(10怀柔二模)按一定规律排列的一列数依次为:, , , , ……,按此规
3579
律排列下去,这列数中的第5个数是,第n 个数是.
25n 2
答案:,
112n +1
111111
2、(09东城一模)„,
2310152635
按此规律排列下去,这列数中的第9个数是________. 答案:
1
n 2+(-1) n +1
例题:(10通州一模)某些植物发芽有这样一种规律:当年所发新芽第二年不发芽,老芽在以后每年都发芽. 发芽规律见下表(设第一年前的新芽数为a )
照这样下去,第8年老芽数与总芽数的比值为.
解:第8年的老芽数是21a ,新芽数是13a ,总芽数是34a ,则比值为练习:
1、(08石景山一模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数,将这串令人费解的数从小到大的顺序排列为:1,1,2,3,5,8„„,则这列数的第8个数是. 答案:21
21
. 34
2、(09房山二模) 填在下面三个田字格内的数有相同的规律,根据此规律,请填出图4中的数字.
15
320
37
556
59
7108
答案:7,9,11,176
((-1) n 与(-1) n +1)
例题:(09通州二模)12. 观察并分析下列数据,寻找规律: 0
,,-6,3,-23,,-32,„„那么第10个数据是 ;第n 个数据是 . ∴第10个数据是33 ,第n 个数据是(-1) n +1n -3. 练习:
1、(10房山一模)一组按规律排列的式子:
14916
, -, , -,...(a ≠0) ,其中第25811a a a a
8个式子是,第n 个式子是(n 为正整数).
2
64n +1n 答案:-23,(-1) 3n -1a a
a 5a 8a 11
2、(10门头沟二模)一组按一定规律排列的式子:-a ,,-,,„,
234
2
(a ≠0), 则第n 个式子是(n 为正整数)
a 3n -1
答案:(-1)
n
n
3、(09崇文一模)一组按规律排列的数:2,0,4,0,6,0,„,其中第7个数是 ,第n 个数是(n 为正整数).
1+(-1) n +1
(n +1) 答案:8,
2
例题:(08通州二模)世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示:则排在第10行
从左边数第3个位置上的数是. ∴第10行倒数第三个数是练习:
1、(08大兴一模)自然数按一定规律排成下表,那么第200行的第5个数是.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 „„„„„. „. „.. „„„. 答案:19905
2、如图的数字方阵中,方框所缺的数,按照适宜的规律填上( ) A、100 B、128 C、129 D、130 答案:C
例题:(11平谷二模)如图,将连续的正整数1,2,3,4„„依次标在下列三角形中,那么2011这个数在第个三角形的顶点处(第二空填:上,左下,右下).
111
-=. 7290360
∴2011这个数在第671个三角形的上顶点处. 故答案为:671,上. 练习:
1、(08崇文一模)观察下列等式:31-1=2,32-1=8,33-1=26,34-1=80,
35-1=242,„„. 通过观察,用你所发现的规律确定32008-1的个位数字是.
答案:3
2、右图为手的示意图,在各个手指间标记字母A ,B ,C ,D . 请你按图中箭头所指方向(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →„的方式)从A 开始数连续的正整数1,2,3,4,„,当数到12时,对应的字母是_____________;当字母C 第201次出现时,恰好数到的数是____________;当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数),恰好数到的数是_______________(用含n 的代数式表示). 答案:B ,603,6n+3
例题:(09平谷一模)已知:2⨯2=2+2, 3⨯3=3+3, 4⨯4=4+4, „„若×
b
11223310=b +10(a 、b 都是正整数),则a+b的最小值是 ∴a+b的最小值是19 练习:
1. (10密云一模)下面是按一定规律排列的一列数:
.
1⎛-1⎫
第1个数:- 1+⎪;
2⎝2⎭
1⎛-1⎫⎛(-1) 2⎫⎛(-1) 3⎫
第2个数:- 1+⎪ 1+⎪1+⎪;
3⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭
1⎛-1⎫⎛(-1) 2⎫⎛(-1) 3⎫⎛(-1) 4⎫⎛(-1) 5⎫
第3个数:- 1+⎪ 1+⎪1+⎪1+⎪1+⎪;
4⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝5⎭⎝6⎭„„
232n -11⎛-1⎫⎛(-1) ⎫⎛(-1) ⎫⎛(-1) ⎫
第n 个数:- 1+⎪ 1+⎪1+⎪ 1+⎪.
n +1⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝2n ⎭
那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是( ) A .第10个数 答案:A
例题1:(10昌平一模)观察下列图案:
B.第11个数
C .第12个数
D .第13个数
第1个图案第2个图案第3个图案
个三角
照这样它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第5个图案中共有
形,第n (n ≥1,且n 为整数)个图案中三角形的个数为 (用含有n 的式子表示).
解答:解:第5个图案中,有6+4×4=22(个)三角形;
第n 个图案中,有6+4(n-1)=4n+2(个)三角形.
例题2. (10西城一模)在平面直角坐标系中,我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形.如图,在菱形ABCD 中,四个顶点坐标分别是(-8,0),(0,4),(8,0),(0,-4),则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是个;若菱形A n B n C n Dn 的四个顶点坐标分别为(-2n ,0),(0, n ),(2n ,0),(0,-n )(n 为正整数),则菱形A n B n C n D n
能覆盖的单位格点正方形的个数为
(用含有n 的式子表示). 答案为:4n 2-4n .
练习:
.1、(10大兴一模)如图4所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按的规律摆下去,则第n 个图形需要黑色棋子的个数是
x
第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
(图4)
答案:n (n +2)
2、(08顺义二模)如图,图①,图②,图③,图④„„是用围棋棋子摆成的一
列具有一定规律的“山”字.则第n 个“山”字中的棋子个数是.
答案:5n+2
3、(08丰台二模)用黑白两种颜色的正方形纸片,按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案:
„
第1个
第2个
第3个
图①
图②
图③
图④
„
请问第n 个图案中有白色纸片的张数为
A .4n +3 B.3n +1 C .n D .2n +2 答案:B
4、(10丰台一模)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1,A 2B 2C 2D 2,A 3B 3C 3D 3„„每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个.
答案:80个.
例题:(10海淀一模)如图,n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B 2D 1C 1的面积为S 1,△B D 3C 22
的面积为S 2,„,△B n +1D n C n 的面积为S n ,
则S 2=;S n =____(用含n 的式子表示).
S 2=S△B3C2A -S △AC2D2=
112×4×3 - ×4× 223
即第n 个图形的面积S n = 练习:
3n
. n +1
1、(11丰台二模)已知:如图,在Rt △ABC 中,点D 1是斜边AB 的中点,过点D 1作D 1E 1⊥AC 于点E 1,联结BE 1交CD 1于点D 2;过点D 2作D 2E 2⊥AC 于点E 2,联结BE 2 交CD 1于点D 3;过点D 3作D 3E 3⊥AC 于点E 3,如此继续,可以依次得到点D 4、D 5、„、D n ,分别记△BD 1E 1、„、△BD n E n 的面△BD 2E 2、△BD 3E 3、积为S 1、S 2、S 3、„S n .设△ABC 的面积是1, 则S 1=,S n =(用含n 的代数式表示). 答案:S 1=
11
,S n = S . 2△ABC 4(n +1)
3,5,7,9,,11 2、(10平谷一模)如图,∠AOB =45 ,过OA 上到点O 的距离分别为1,的点作OA 的垂线与OB
相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为
S 1,S 2,S 3,S 4, .则第一个黑色梯形的面积S 1=; 观察图中的规律,第n(n为正整数) 个黑色梯形的面积
S n =.
答案:4, 8n-4
3、(10延庆二模)如图,P 1是一块半径为1的半圆形纸板,在P 1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P 2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图形P 3, P 4, , P n , ,记纸板P n 的面积为S n ,试计算求出
1
2
S 3-S 2=;并猜想得到S n -S n -1=(n ≥2) 答案:-
1
π
32, -
π1
2
3
() n -1
24
4、(10门头沟一模)如图,以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1,再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1,„„,如此作下去,若OA =OB =1,则第n
个等腰直角三角形的面积S n =________(n 为正整数). 答案:2
5. (11延庆二模)在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的位置如图所示,
点A 的坐标为(1, 0) ,点D 的坐标为(0, 2) . 延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形A 1B 1C 1C ; 延长C 1B 1交x 轴于点A 2,作正方形A 2B 2C 2C 1„
n-2
B 2
A 1A O
B
B 1
按这样的规律进行下去,第3个正方形的面积为________; 第n 个正方形的面积为_____________(用含n 的代数式表示).
C 2
答案:5×(
例题:(10丰台二模)如图,边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB =60°.联结对角线
343
),5×()2n-2. 22
AC ,以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1,使∠D 1AC =60°;联结AC 1,再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2,使∠D 2AC 1=60°,„„.按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________.
第1个菱形 第2个菱形 第3个菱形 „„ 第n 个菱形
边长 1 3练习:
1、09西城二模)如图,在平面直角坐标系中,B 1(0,1) ,
D C 1 2
3)
n -1
D A
B 2(0,3) ,B 3(0,6) ,B 4(0,10) ,„,以B 1B 2为对角线作第一个正方形A 1B 1C 1B 2,以B 2B 3为对角线作第一个正方(形A 2B 2C 2B 3,以B 3B 4为对角线作第一个正方形
A 3B 3C 3B 4,„,如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上,且B n B n +1的长度依次增加1个单位,顶点A n 都在第一象限内(n ≥1,且n 为整数),那么A 1的纵坐标为
,用n 表示A n 的纵坐标
2(n +1)答案:2,.
2
2、(09延庆二模)如图,菱形AB 1C 1D 1的边长为1,∠B 1=60 ;作AD 2⊥BC 11于
点D 2,以AD 2为一边,做第二个菱形AB 2C 2D 2,使∠B 2=60 ;作AD 3⊥B 2C 2于点D 3,以AD 3为一边做第三个菱形AB 3C 3D 3,使∠B 3=60 ; 依此类推,这样做的第n 个菱形AB n C n D n 的边AD n 的长是
⎛⎫
⎪答案: 2⎪⎝⎭
n -1
C 3B 2 D 3
A
B 1
D 2
B 3
D 1
1
C 2
,AC =2,把边 3、(08昌平一模)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90 ,BC =1
长分别为x 1,x 2,x 3, ,x n 的n 个正方形依次放入△ABC 中:第
一个正方形CM 1P 1N 1的顶点分别放在Rt △ABC 的各边上;第二个正方形M 1M 2P 2N 2的顶点分别放在Rt △APM 11的各边上, „„, 其他正方形依次放入。则第三个正方形的边长x 3为,第n 个正方形的边长x n =(n 为正整数).
B
8⎛2⎫
答案:, ⎪
27⎝3⎭
n
N 1
x 1N
2
P 1
x 2
P 1
C
x 3
M 2
M 1
A
4. (10朝阳一模)如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜边的中点,向斜边做垂线,画出一个新的等腰直角三角形,如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止,此时这个三角形的斜边长为_____.
1
答案:
8
5. (08宣武一模)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有一组数:1,1,2,3,5,8,13,„.其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图所示的正方形:
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下图所示的矩形,并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示:
若按此规律继续⑩的矩形周长是. 答案:466.
6. (09门头沟一模)如图,每个多边形的边长都大于2,分别以多边形的各顶点为圆心,1为半径画弧(弧的端点分别在多边形的相邻两边上),则第6个图形中所有弧的弧长的和是,第n 个图形中所有弧的弧长的和是(n 为正整数)
作矩形,则序号为
...
第1个
第2个第3个
答案:10π,(n +4)π.
7、(10崇文二模)如图,在∆ABC 中,
∠A =α,∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分
线交于点A 1,得∠A 1,则∠A 1=.∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2,得
∠A 2,„„,∠A 2009BC 的平分线与∠A 2009CD 的平分线交于点A 2010,得∠A 2010,
则∠A 2010=.
答案:∠A 1=
11
α,∠A 2010= 2010α 22
例1、(09延庆一模) 一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动,在第一秒钟,它
1) ,然后接着按图中箭头所示方向运动, 即从原点运动到(0,
(0,0) →(01),→(11),→(1,0) →…,且每秒移动一个单位,那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______
第35秒时质点所在位置的坐标是(5,0). 练习:
(
08宣武二模)如图,已知A 1(1,0) ,A 2(11),,A 3(-11) ,,则点A 2008的坐标为______________. A 4(-1,-1) ,A 5(2,-1) ,答案:(-502,-502).
1
3
y
3 2 1
„ 五、设计类
例题: 观察下面的图形(每一个正方形的边长均为1)和相应的等式,探究其中的规律:
(1)写出第五个等式,并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示;
(2)猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解析:(1),对应的图形是(2)
。
练习:(2005年大连市中考题) 在数学活动中,小明为了求
的值(结果用n 表示),设计如图a 所示的图形。 (1)
请你利用这个几何图形求的值为。 (2)请你利用图b ,
再设计一个能求的值的几何图形。
(1)(2)可设计如图1,图2, 图3,
图4所示的方案: