第6卷第4期2006年8月
泰州职业技术学院学报
JournalofTaizhouPolytechnicalInstitute
Vol.6No.4Aug.2006
几类分块矩阵的行列式
周从会
(连云港职业技术学院
基础部,江苏
连云港
222006)
摘要:利用Laplace展开定理的特例—分块三角阵的行列式,研究了几类分块矩阵的行列式,
得到了三个结果,并利用得到的结果计算一些特殊的行列式,能达到简化计算的目的。
关键词:分块矩阵;应用;行列式中图分类号:O151.2
文献标识码:A
文章编号:1671-0142(2006)04-0067-03
用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵,每个小矩阵称为矩阵的子块。以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵,它的重要用处是可以通过子块进行运算。本文将探讨分块矩阵在行列式计算上的应用,约定字母O和E分别表示零矩阵和单位矩阵,A表示方阵A的行列式。
定理1、
定理1定理2定理3
若矩阵A,B,C都为n阶方阵,E为n阶单位方阵,则若矩阵A,B,C,D都为n阶方阵,且矩阵A可逆,则
AE
=CA-B
BC
A
AC
=D-BA-1C
BD
若矩阵A,B,C,D都为n阶方阵,且矩阵A可逆,且AB=BA,则
AC
=AD-BC
BD
定理的证明2、
引理1(分块三角阵的行列式)设分块矩阵G=
AO
!
,其中A,B,C,O分别是k阶、n阶、n×k型、k×n型矩阵,则G=AB
证明见参考文献[1]。定理1的证明:
根据分块矩阵的乘法易得:
AEO
!
-EEO
,=
ACCA-B
O-E
的第i列与第n+i
EA
因为矩阵A,B和C都为n阶方阵,E为n阶单位方阵,因此交换行列式列(i=1,2,…,n)得:
由引理1得:从而有:
O-E-EO
(-1)n,=
EAAEA
(-1)n-E=
O-EE
E=1,
EO
CCA-B
=CA-BE=CA-B
证毕.
AEAE=
BCBC
O
!
-E
=CA-B.A
定理2的证明:
作者简介:周从会(1968-),女,江苏连云港人,硕士,讲师.
68泰州职业技术学院学报第4期
AC
由矩阵A可逆,因此可有:
BD
交换行列式
!
A-1OECA
=
OABA-1DA
A,
的第i列与第n+i列(i=1,2,…,n),
BA-1DA
ECACAEn
并根据定理1得:()(-1)nBA-1CA-DA=D-BA-1C-1==-1-1
BADADABA因此
ECA
ACAC
=
BDBDA-1OECA
==D-BA-1C-1
OABADA
A.证毕
定理3的证明:由矩阵A可逆和AB=BA易得BA-1=A-1B,根据定理2的证明立得定理3结论。
定理的应用3、
3-5
例1
计算行列式.
10
-2301
.
4-9-3-72-6
-3
2
3
=72.27
解由定理1得
原式=
-3-713-54-9
=-!!
a
bcd110c
011101
例2证明
110abc
ab
证明:左式=(-1)2
cd
21计算
01
=a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac+2d.
101b0
111=
ba1a
a+b-ca1c0=-!!
2a+b-c
(a+b-c)2-2(2ab-d)=a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac+2d=右式.=
原式
!
56013-55125565-10=!-!=!-!=
a
…
例4
计算阶行列式
…
…
551
350
例3
156234253-5
解:易看出A=可逆,且A-1=,因此有:
13-12
7
=-213
b
abba
…
n行n+1行a
(ab≠0)
b
第4期周从会:几类分块矩阵的行列式69
a
解
记A=
…
,B=
b
…
.由ab≠0易得A可逆,且与B可交换,根据定理3得b
aa2-b2
原式=A2-B2=
…
(a2-b2)n=
a2-b2
从以上各例可以看出利用上面给出的三个定理计算一些特殊的行列式可简化计算过程。参考文献:
[1]同济大学数学教研室.工程数学线性代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1999.
DeterminantsofSomeBlockMatrices
ZHOUCong-hui
(BasicSciencesDept.,LianyungangPolytechnicalInstitute,LianyungangJiangsu222006,China)
Abstract:Inthispaper,theauthorinvestigatesdeterminantsofsomeblockmatricesbyusingspecialcaseofLaplacedevelop-menttheorem:Thedeterminantofblocktrianglematrices.Threetheoremshavebeengivenandappliedtocalculatesomespe-cialdeterminantssoastosimplifythecalculations.Keywords:blockmatrices;application;determinants
(责任编辑刘红)
(上接第61页)参考文献
[1]罗萍香,梁春燕.异丙酚静脉麻醉下人工流产临床观察[J].中国计划生育学杂志,2001,9(5):305.[2]李促廉.临床疼痛治疗学[M].天津:天津科学技术出版社,1994,385.[3]袁桂莲,许我先.妇产科综合征[M].北京:人民卫生出版社,1998,223-224.
(10):589.[4]王育华,王波.无痛人工流产术的临床应用[J].中国实用妇科与产科杂志,2003,19
[5]李俊岩.异丙酚复合芬太尼麻醉在早孕钳刮术中的应用[J].中国计划生育学杂志,2003,90(4):242.
[6]周荣向,陈洪贵,高清花,等.异丙酚配伍米索前列醇用于无痛人工流产术的临床观察[J].中国计划生育学杂志,2003,88(2):99.
TheAnalysison170PatientswithPainlessAbortion
LIULan-qin
(ThePeople’sHospitalofTaizhou,TaizhouJiangsu225300,China)
Abstracts:Purpose:Comparethedifferentnarcoticsresultbyobservingdifferentnarcoticsinunerineneckorinvein.Method:Theexperimenttakes340patientsasthesubjects.Theyaredividedintotwogroupsrandomly:theexperimentalgroupandthecomparativegroup.Theformerareoperatedwithpainlessabortionbynarcoticsinveinandthelatterwithnarcoticsinunerineneck.Result:Differenceisobviousbycomparingthetwogroups'resultsonrelievingpain.Theformerisbetterthanthelatter.Conclusion:thepatientsfeelnopainduringtheoperationwiththeaidofanaesthetic,whichgetridoftheirfearfortheopera-tion.
Keywords:narcoticsinunerineneck;narcoticsinvein
(责任编辑崔洁)
第6卷第4期2006年8月
泰州职业技术学院学报
JournalofTaizhouPolytechnicalInstitute
Vol.6No.4Aug.2006
几类分块矩阵的行列式
周从会
(连云港职业技术学院
基础部,江苏
连云港
222006)
摘要:利用Laplace展开定理的特例—分块三角阵的行列式,研究了几类分块矩阵的行列式,
得到了三个结果,并利用得到的结果计算一些特殊的行列式,能达到简化计算的目的。
关键词:分块矩阵;应用;行列式中图分类号:O151.2
文献标识码:A
文章编号:1671-0142(2006)04-0067-03
用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵,每个小矩阵称为矩阵的子块。以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵,它的重要用处是可以通过子块进行运算。本文将探讨分块矩阵在行列式计算上的应用,约定字母O和E分别表示零矩阵和单位矩阵,A表示方阵A的行列式。
定理1、
定理1定理2定理3
若矩阵A,B,C都为n阶方阵,E为n阶单位方阵,则若矩阵A,B,C,D都为n阶方阵,且矩阵A可逆,则
AE
=CA-B
BC
A
AC
=D-BA-1C
BD
若矩阵A,B,C,D都为n阶方阵,且矩阵A可逆,且AB=BA,则
AC
=AD-BC
BD
定理的证明2、
引理1(分块三角阵的行列式)设分块矩阵G=
AO
!
,其中A,B,C,O分别是k阶、n阶、n×k型、k×n型矩阵,则G=AB
证明见参考文献[1]。定理1的证明:
根据分块矩阵的乘法易得:
AEO
!
-EEO
,=
ACCA-B
O-E
的第i列与第n+i
EA
因为矩阵A,B和C都为n阶方阵,E为n阶单位方阵,因此交换行列式列(i=1,2,…,n)得:
由引理1得:从而有:
O-E-EO
(-1)n,=
EAAEA
(-1)n-E=
O-EE
E=1,
EO
CCA-B
=CA-BE=CA-B
证毕.
AEAE=
BCBC
O
!
-E
=CA-B.A
定理2的证明:
作者简介:周从会(1968-),女,江苏连云港人,硕士,讲师.
68泰州职业技术学院学报第4期
AC
由矩阵A可逆,因此可有:
BD
交换行列式
!
A-1OECA
=
OABA-1DA
A,
的第i列与第n+i列(i=1,2,…,n),
BA-1DA
ECACAEn
并根据定理1得:()(-1)nBA-1CA-DA=D-BA-1C-1==-1-1
BADADABA因此
ECA
ACAC
=
BDBDA-1OECA
==D-BA-1C-1
OABADA
A.证毕
定理3的证明:由矩阵A可逆和AB=BA易得BA-1=A-1B,根据定理2的证明立得定理3结论。
定理的应用3、
3-5
例1
计算行列式.
10
-2301
.
4-9-3-72-6
-3
2
3
=72.27
解由定理1得
原式=
-3-713-54-9
=-!!
a
bcd110c
011101
例2证明
110abc
ab
证明:左式=(-1)2
cd
21计算
01
=a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac+2d.
101b0
111=
ba1a
a+b-ca1c0=-!!
2a+b-c
(a+b-c)2-2(2ab-d)=a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac+2d=右式.=
原式
!
56013-55125565-10=!-!=!-!=
a
…
例4
计算阶行列式
…
…
551
350
例3
156234253-5
解:易看出A=可逆,且A-1=,因此有:
13-12
7
=-213
b
abba
…
n行n+1行a
(ab≠0)
b
第4期周从会:几类分块矩阵的行列式69
a
解
记A=
…
,B=
b
…
.由ab≠0易得A可逆,且与B可交换,根据定理3得b
aa2-b2
原式=A2-B2=
…
(a2-b2)n=
a2-b2
从以上各例可以看出利用上面给出的三个定理计算一些特殊的行列式可简化计算过程。参考文献:
[1]同济大学数学教研室.工程数学线性代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1999.
DeterminantsofSomeBlockMatrices
ZHOUCong-hui
(BasicSciencesDept.,LianyungangPolytechnicalInstitute,LianyungangJiangsu222006,China)
Abstract:Inthispaper,theauthorinvestigatesdeterminantsofsomeblockmatricesbyusingspecialcaseofLaplacedevelop-menttheorem:Thedeterminantofblocktrianglematrices.Threetheoremshavebeengivenandappliedtocalculatesomespe-cialdeterminantssoastosimplifythecalculations.Keywords:blockmatrices;application;determinants
(责任编辑刘红)
(上接第61页)参考文献
[1]罗萍香,梁春燕.异丙酚静脉麻醉下人工流产临床观察[J].中国计划生育学杂志,2001,9(5):305.[2]李促廉.临床疼痛治疗学[M].天津:天津科学技术出版社,1994,385.[3]袁桂莲,许我先.妇产科综合征[M].北京:人民卫生出版社,1998,223-224.
(10):589.[4]王育华,王波.无痛人工流产术的临床应用[J].中国实用妇科与产科杂志,2003,19
[5]李俊岩.异丙酚复合芬太尼麻醉在早孕钳刮术中的应用[J].中国计划生育学杂志,2003,90(4):242.
[6]周荣向,陈洪贵,高清花,等.异丙酚配伍米索前列醇用于无痛人工流产术的临床观察[J].中国计划生育学杂志,2003,88(2):99.
TheAnalysison170PatientswithPainlessAbortion
LIULan-qin
(ThePeople’sHospitalofTaizhou,TaizhouJiangsu225300,China)
Abstracts:Purpose:Comparethedifferentnarcoticsresultbyobservingdifferentnarcoticsinunerineneckorinvein.Method:Theexperimenttakes340patientsasthesubjects.Theyaredividedintotwogroupsrandomly:theexperimentalgroupandthecomparativegroup.Theformerareoperatedwithpainlessabortionbynarcoticsinveinandthelatterwithnarcoticsinunerineneck.Result:Differenceisobviousbycomparingthetwogroups'resultsonrelievingpain.Theformerisbetterthanthelatter.Conclusion:thepatientsfeelnopainduringtheoperationwiththeaidofanaesthetic,whichgetridoftheirfearfortheopera-tion.
Keywords:narcoticsinunerineneck;narcoticsinvein
(责任编辑崔洁)