一、集合与简易逻辑
1. 研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{x |y =lg x }与{y |y =lg x }及{(x , y ) |y =lg x }的区别
2. 数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，如：集合的交、并、补等运算
3. 判断命题的真假要以真值表为依据。在四种命题中，原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与否命题是等价命题 ；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题（即逆否命题）的真假
4. 判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件（B 是A 的必要条件）；若A=B，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系“A ⇒B ⇔B ⇒A ”判断
5. （1）含n 个元素的集合的子集个数为2，真子集（非空子集）个数为2－1；
（2）A ⊆B ⇔A B =A ⇔A B =B ;
（3）C I (A B ) =C I A C I B , C I (A B ) =C I A C I B ;
二、函数
1. 函数与映射概念的相同点和不同点：函数是针对非空数集，而映射是针对任何集合；相同点是都要求A 中的任一元素在B 中都有唯一元素与之对应；注意理解象、原象、一一映射等定义；判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素在B 中可以有相同的象
2. 函数的奇偶性
（1）函数奇偶性的概念，注意对定义域是否关于原点对称的优先判断，如：判断函n n
-x 2
数y =的奇偶性 |x +2|-2
(2)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，如上例
（3）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=f (x ) ，如：已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调递增，则满足f (2x -1) ＜f (3) 的x 取值范围是（3，3） 112
（4）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f (0) =0（可用于求参数），如：已知函数f (x ) =a -11a =为奇函数，求的值（） a 22x +1
（5）判断函数奇偶性可用定义的等价变形：f(x)±f(-x)=0或f (-x ) （f(x)≠0），=±1f (x )
如：函数f(x)=lg(x 2+1-x ) 是（奇、偶）函数
（6）奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性；
3. 函数图像
(1)函数图像的对称性，尤其要记住几种特殊的对称关系，如：关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称、关于y=x对称、关于y=-x对称等
（2）证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上的任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，反之亦然，如：已知函数f (x ) =2x 2+3x +1，函数g （x ）的图像与f(x)图像关于直线x=2对称，求函数g （x ）的解析式（g （x ）=2x -19x +45）
（3）曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a－x,2b －y)= 0 如：已知函数f (x ) =2x +3x +1，函数g （x ）的图像与f(x)图像关于点（1，2）对称，求函数g （x ）的解析式（g （x ）=-2x +11x -11）
（4）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a－x) 恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；一般地，有f(a+x)=f(b－x) 恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=222a +b 对称 2
4. 函数的周期性
(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立, 则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；有f(x +a)=-f(x)或f(x)=±1，则y=f(x)也是f (x +a )
周期为2|a|的周期函数；一般地，f(x +a)=f(x+b)，则y=f(x)是周期为|a-b|的周期函数；如：已知定义在R 上的函数f (x ) 的图象关于y 轴对称，且满足f (-x ) =-f (x +2) ，则f (1) +f (2) + +f (8) =（0）
（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；
（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；
（4）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b) 对称，则函数y=f(x)是周期为2a -b 的周期函数
5. 方程f(x)=k有解⇔k ∈D(D为f(x)的值域) ；如：若方程x 3-3x +m =0在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 [-2,2]
6.a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥［f(x)］max,; a≤f(x) 恒成立⇔a ≤［f(x)］min ，如：设f (x ) =x -312x -2x +5，当x ∈[-1, 2]时，f (x )
取值范围为 (7,+∞)
7.(1)指数、对数的基本运算公式（见书上）
（2）log a b =log a n b n (a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(3)log a N =log b N ( a>0,a≠1,b>0,b≠1)(换底公式) log b a
(4) log a N 的符号由口诀“同正异负”记忆(即a,N 同大于1或同小于1, 则对数值为正, 而a,N 一个大于1, 一个小于1, 则对数值为负)
(5) (对数恒等式) a log a N = N ( a>0,a≠1,N>0 );
8. 能熟练地用定义证明函数的单调性，尤其是抽象函数的单调性，如：定义在R 上的函数y=f（x ），对任意实数m 、n ，恒有f （m +n ）=f （m ）·f （n ）且当x ＞0时，0＜f （x ）＜1. （1）求证：f （0）=1，且当x ＜0时，f （x ）＞1；
（2）求证：f （x ）在R 上递减
9．求反函数时，不要忘记写出反函数的定义域（即原函数的值域）
10. 对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数; （4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
11. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系；如：已
知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x -2bx+2b ，求f(x)的最小值g(b) 4
y =
12. 掌握函数
ax +b b -ac a =a +(b -ac ≠0); y =x +(a >0) x +c x +c x 的图象和性质；
2f (x ) =ax +bx +c =0(a >0) 的两根x , x 的分布问题：13．实系数一元二次方程 12
注意：若在闭区间[m , n ]讨论方程f (x ) =0有实数解的情况，可先利用在开区间
(m , n ) 上实根分布的情况，得出结果，在令x =n 和x =m 检查端点的情况。
14. 复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a ，b ］, 其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。如：函数y =f (x -3) 的定义域为[4，7]，则y =f (x 2) 的定义域为－２，－１]∪［１，２］
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定，如：函数y =log 1(-x 2+6x -8) 的
单调递减区间为 （２，３］，函数f (x )=log a (2-ax )在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是 （1，2）
15. 函数y=|f (x ) |与函数y=f (|x |)的图像及其应用
三、数列
1. 由S n 求a n ，a n ={S 1(n =1)
S n -S n -1(n ≥2) 注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若
不符合要单独列出。一般已知条件中含a n 与S n 的关系式的数列问题均可考虑用上述公式。如：若数列{a n }的前n 项的和S n =
为 （a n =2⨯3n ）
2. 若数列{a n }是一个等差数列，公差为d ，则等差数列3a n -3，那么这个数列的通项公式2｛a n ｝⇔a n +1-a n =d (d 为常数）⇔2a n =a n +1+a n -1(n ≥2)
⇔a n =an +b ⇔s n =An 2+Bn
3. 若数列{a n }是一个等比数列，公比为q ，则等比数列｛a n ｝⇔a n +1=q (q 为常数）⇔a n 2=a n +1a n -1(n ≥2) ⇔a n =a 1q n -1⇔S =kq n -k a n n
4. 首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问
⎧a n ≥0⎛⎧a n ≤0⎫ 或⎨⎪⎨ ⎪a ≤0a ≥0n +1n +1⎩⎩⎝⎭解决，或者转化为找数列正负项问题，题，转化为解不等式
所有非负数项最大（所有非正数项最小）
5. 熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想，如对q ≠1的讨论
6. 在等差数列中，a n =a m +(n -m ) d ，d =a n -a m n -m ；在等比数列中
，a n =a m q n -m , q =n ;
a +a n =a p +a q 7. 当m +n =p +q 时，对等差数列有m ；对等比数列有
a m ⋅a n =a p ⋅a q ；
8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +pb n }(k、p 是非零常数) 是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛k a n ｝、{a n b n }等也是等比数列；
9. 若{a n }为等差（比）数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n , 也是等差（比）数列；
10. 在等差数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，
时，S 偶－S 奇=nd ；项数为奇数2n -1S 奇-S 偶=a 中（即a n ）；
11. 若递推数列a n =ka n -1+b（k ≠0,k ≠1）, 则总可以将其改写变形成如下形式:a n +b b =k (a n -1+) k -1k -1(n≥2) ，于是可依据等比数列的定义求出通项公式
12. 形如a n -a n -1=f (n ) (n≥2) 的数列求通项用迭加；形如a n =g (n ) (n≥2) 的a n -1
数列求通项用迭乘
四、三角函数
1. 各个三角函数的定义，以及三角函数线，各三角函数在各象限的符号的判断
2. 对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”口诀
3. 记住同角三角函数的基本关系，能够“知一求五”
4. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍角公式，并能熟练用这些公式对三角函数式化简，熟练掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、性质，并能熟练求出三角函数的周期、对称轴、对称中心、单调区间、最值等
5. 熟练掌握形如y =A sin(ωx +ϕ) +b 的图像变换关系
6. 熟练掌握正余弦定理，并能用其进行边角互化，在处理三角形内的三角函数问题时，勿忘三角形内角和等于180，以及大角对大边等条件，如：锐角∆ABC ，若
B =2A ，则
7. 正(余) 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点；正(余) 切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与x 轴的交点，但没有对称轴。 b 的值范围是 (2, 3) a
ωx +ϕ) |的周期是函数y =A sin(ωx +ϕ) 周期的一半；函数8. 函数y =|A sin(
y =|A t an(ωx +ϕ) |与函数y =A tan(ωx +ϕ) 的周期相等
五、平面向量
1. 向量的定义，包括单位向量、零向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量等
2、两个向量的加法、减法、数乘的运算法则
3. 两个向量平行的充要条件：设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2), λ为实数。（1）向量式：a ∥b (b ≠0) ⇔ a =λb ; （2）坐标式：a ∥b (b ≠0) ⇔ x 1y 2－x 2y 1=0;
2. 两个向量垂直的充要条件：设=(x 1, y 1), =(x 2, y 2), （1）向量式：⊥ (≠) ⇔ ∙=0（2）坐标式：⊥⇔x 1x 2+y 1y 2=0;
3. 设=(x 1, y 1), =(x 2, y 2), 则∙=||||cosθ=x 1x 2+y 1y 2，其几何意义是∙等于的长度与在的方向上的投影的乘积；
4. 平面向量数量积的坐标表示：设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)
（1）模长公式|a |=x 1+y 1 （2）夹角公式cos
1. 掌握不等式性质，注意使用条件；
2. 掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分段法
3. 掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b≥2ab (a>0,b>0)时要符合“一正
a 2+b 2a +b 2a +b 2≥() ; ab ≤() 222二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如；如：求函数y =sin x +4π，x ∈(0, ]的最小值5） sin x 2
七、直线、平面、简单几何体
1. 从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；
2. 线面角公式：AB 是平面α的一条斜线，斜足为A ，AB 在平面α内的射影为AB ，设 AB和平面α所成的角是θ1，AC 是平面α内任一条直线，AC 和AB 的射影AB 所' ' 成的角是θ2，设∠BAC=θ, 则cos θ1cos θ2=cosθ；
3. 异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
（3）向量法：即求两异面直线所对应的向量的夹角
4. 直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
5. 二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
（4）射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ, 其中θ为二面角的平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
6. 空间角的向量求法
7. 空间距离的求法
（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；
8. 距离求法的统一公式d =9. 正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；
43πR 2S =4πR 310. 球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A 、B 间的距
离求法：（1）计算线段AB 的长，（2）计算球心角∠AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB 的长；
八、排列组合二项式定理和概率
1. 两个计数原理的应用
m A n 2. 排列数公式:=n(n-1)(n-2)„(n-m＋1)=(n -m )! (m≤n,m 、n ∈N*),当m=n时为
n A n 全排列=n(n-1)„2!1;
m A n n ⋅(n -1) ⋅⋅⋅(n -m +1) C ==0n C =C =1； m ! m ⋅(m -1) ⋅(m -2) ⋅⋅⋅3⋅2⋅1n n 3. 组合数公式：（m ≤n ）, m n m n -m r r -1r C =C ; C +C =C n n n n +1ﾛ 4. 组合数性质：n
r n -r r T =C a b (r =0, 1, 2,..., n ); r +1n 5. 二项式定理：（1）掌握二项展开式的通项：
（2）注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1系数的区别；
6. 二项式系数具有下列性质：
（1）与首末两端等距离的二项式系数相罉；
n n （2）若n 为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大为C n 2；若n 为奇2
n -1n +1n -1n +1+1和数，中间两项（第＋1项）的二项式系数最大为C n 2和C n 2 22
012n n 0213n -1C +C +C +⋅⋅⋅+C =2; C +C +⋅⋅⋅=C +C +⋅⋅⋅=2; n n n n n n n （3）n
1[f (1) -f (-1)]n 27.f(x)=(ax +b ) 展开式的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为；1[f (1) +f (-1)]
偶数项的系数和为2
n
8. 等可能事件的概率公式：（1）P （A ）＝m ；（2）互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)；（3）相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；
k k n -k C ⋅p (1-p ) ; (5)如果事件A 、B 互斥，那么事n （4）独立重复试验概率公式P=
件A 与、与及事件与也都是互斥事件；（6）如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)；（7）如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （∙）＝1－P()P() ；
九、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
1. 掌握抽样的二种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；
2. （理科）掌握分布列的求法，掌握期望和方差，并能利用期望和方差的数据进行简单的数据分析。
3. （文科）掌握平均数、方差等的求法
十、（理科）极限与数学归纳法
1． 熟练掌握数学归纳法的原理及步骤
2． 熟练求解常见数列和函数的极限
3． 掌握函数连续性的含义，并能据此就含参函数的求解
十一、导数及应用
1. 导数的物理背景以及导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作
y 'x =x 0=f '(x 0) =lim ∆x →0f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x ；
2. 导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0) ）处的切线的斜率就是在P 点处的导数值f '(x 0). ，相应地，切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0);
m m -1''C =0(C为常数); (x) =mx (m∈Q); 3. 常见函数的导数公式：
4．（理科）熟练掌握几种常见函数的导数公式（见书上）
5. 导数的应用：
（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果f '(x ) >0, 那么f(x)为增函数；如果f '(x )
'间内恒有f (x ) =0, 那么f(x)为常数；
''（2）求可导函数极值的步骤：①求导数f (x ) ；②求方程f (x ) =0的根；③检验
f '(x ) 在方程f '(x ) =0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
如：函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c ，过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1) ) 的切线方程为y =3x +1
（1）若y =f (x ) 在x =-2时有极值，求f (x ) 的表达式；（f (x ) =x 3+2x 2-4x +5）
（2）在（1）的条件下，求y =f (x ) 在[-3, 1]上最大值；（13）
（3）若函数y =f (x ) 在区间[-2, 1]上单调递增，求b 的取值范围（b ≥0）
一、集合与简易逻辑
1. 研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{x |y =lg x }与{y |y =lg x }及{(x , y ) |y =lg x }的区别
2. 数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，如：集合的交、并、补等运算
3. 判断命题的真假要以真值表为依据。在四种命题中，原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与否命题是等价命题 ；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题（即逆否命题）的真假
4. 判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件（B 是A 的必要条件）；若A=B，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系“A ⇒B ⇔B ⇒A ”判断
5. （1）含n 个元素的集合的子集个数为2，真子集（非空子集）个数为2－1；
（2）A ⊆B ⇔A B =A ⇔A B =B ;
（3）C I (A B ) =C I A C I B , C I (A B ) =C I A C I B ;
二、函数
1. 函数与映射概念的相同点和不同点：函数是针对非空数集，而映射是针对任何集合；相同点是都要求A 中的任一元素在B 中都有唯一元素与之对应；注意理解象、原象、一一映射等定义；判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素在B 中可以有相同的象
2. 函数的奇偶性
（1）函数奇偶性的概念，注意对定义域是否关于原点对称的优先判断，如：判断函n n
-x 2
数y =的奇偶性 |x +2|-2
(2)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，如上例
（3）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=f (x ) ，如：已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调递增，则满足f (2x -1) ＜f (3) 的x 取值范围是（3，3） 112
（4）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f (0) =0（可用于求参数），如：已知函数f (x ) =a -11a =为奇函数，求的值（） a 22x +1
（5）判断函数奇偶性可用定义的等价变形：f(x)±f(-x)=0或f (-x ) （f(x)≠0），=±1f (x )
如：函数f(x)=lg(x 2+1-x ) 是（奇、偶）函数
（6）奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性；
3. 函数图像
(1)函数图像的对称性，尤其要记住几种特殊的对称关系，如：关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称、关于y=x对称、关于y=-x对称等
（2）证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上的任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，反之亦然，如：已知函数f (x ) =2x 2+3x +1，函数g （x ）的图像与f(x)图像关于直线x=2对称，求函数g （x ）的解析式（g （x ）=2x -19x +45）
（3）曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a－x,2b －y)= 0 如：已知函数f (x ) =2x +3x +1，函数g （x ）的图像与f(x)图像关于点（1，2）对称，求函数g （x ）的解析式（g （x ）=-2x +11x -11）
（4）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a－x) 恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；一般地，有f(a+x)=f(b－x) 恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=222a +b 对称 2
4. 函数的周期性
(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立, 则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；有f(x +a)=-f(x)或f(x)=±1，则y=f(x)也是f (x +a )
周期为2|a|的周期函数；一般地，f(x +a)=f(x+b)，则y=f(x)是周期为|a-b|的周期函数；如：已知定义在R 上的函数f (x ) 的图象关于y 轴对称，且满足f (-x ) =-f (x +2) ，则f (1) +f (2) + +f (8) =（0）
（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；
（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；
（4）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b) 对称，则函数y=f(x)是周期为2a -b 的周期函数
5. 方程f(x)=k有解⇔k ∈D(D为f(x)的值域) ；如：若方程x 3-3x +m =0在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 [-2,2]
6.a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥［f(x)］max,; a≤f(x) 恒成立⇔a ≤［f(x)］min ，如：设f (x ) =x -312x -2x +5，当x ∈[-1, 2]时，f (x )
取值范围为 (7,+∞)
7.(1)指数、对数的基本运算公式（见书上）
（2）log a b =log a n b n (a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(3)log a N =log b N ( a>0,a≠1,b>0,b≠1)(换底公式) log b a
(4) log a N 的符号由口诀“同正异负”记忆(即a,N 同大于1或同小于1, 则对数值为正, 而a,N 一个大于1, 一个小于1, 则对数值为负)
(5) (对数恒等式) a log a N = N ( a>0,a≠1,N>0 );
8. 能熟练地用定义证明函数的单调性，尤其是抽象函数的单调性，如：定义在R 上的函数y=f（x ），对任意实数m 、n ，恒有f （m +n ）=f （m ）·f （n ）且当x ＞0时，0＜f （x ）＜1. （1）求证：f （0）=1，且当x ＜0时，f （x ）＞1；
（2）求证：f （x ）在R 上递减
9．求反函数时，不要忘记写出反函数的定义域（即原函数的值域）
10. 对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数; （4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
11. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系；如：已
知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x -2bx+2b ，求f(x)的最小值g(b) 4
y =
12. 掌握函数
ax +b b -ac a =a +(b -ac ≠0); y =x +(a >0) x +c x +c x 的图象和性质；
2f (x ) =ax +bx +c =0(a >0) 的两根x , x 的分布问题：13．实系数一元二次方程 12
注意：若在闭区间[m , n ]讨论方程f (x ) =0有实数解的情况，可先利用在开区间
(m , n ) 上实根分布的情况，得出结果，在令x =n 和x =m 检查端点的情况。
14. 复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a ，b ］, 其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。如：函数y =f (x -3) 的定义域为[4，7]，则y =f (x 2) 的定义域为－２，－１]∪［１，２］
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定，如：函数y =log 1(-x 2+6x -8) 的
单调递减区间为 （２，３］，函数f (x )=log a (2-ax )在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是 （1，2）
15. 函数y=|f (x ) |与函数y=f (|x |)的图像及其应用
三、数列
1. 由S n 求a n ，a n ={S 1(n =1)
S n -S n -1(n ≥2) 注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若
不符合要单独列出。一般已知条件中含a n 与S n 的关系式的数列问题均可考虑用上述公式。如：若数列{a n }的前n 项的和S n =
为 （a n =2⨯3n ）
2. 若数列{a n }是一个等差数列，公差为d ，则等差数列3a n -3，那么这个数列的通项公式2｛a n ｝⇔a n +1-a n =d (d 为常数）⇔2a n =a n +1+a n -1(n ≥2)
⇔a n =an +b ⇔s n =An 2+Bn
3. 若数列{a n }是一个等比数列，公比为q ，则等比数列｛a n ｝⇔a n +1=q (q 为常数）⇔a n 2=a n +1a n -1(n ≥2) ⇔a n =a 1q n -1⇔S =kq n -k a n n
4. 首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问
⎧a n ≥0⎛⎧a n ≤0⎫ 或⎨⎪⎨ ⎪a ≤0a ≥0n +1n +1⎩⎩⎝⎭解决，或者转化为找数列正负项问题，题，转化为解不等式
所有非负数项最大（所有非正数项最小）
5. 熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想，如对q ≠1的讨论
6. 在等差数列中，a n =a m +(n -m ) d ，d =a n -a m n -m ；在等比数列中
，a n =a m q n -m , q =n ;
a +a n =a p +a q 7. 当m +n =p +q 时，对等差数列有m ；对等比数列有
a m ⋅a n =a p ⋅a q ；
8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +pb n }(k、p 是非零常数) 是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛k a n ｝、{a n b n }等也是等比数列；
9. 若{a n }为等差（比）数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n , 也是等差（比）数列；
10. 在等差数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，
时，S 偶－S 奇=nd ；项数为奇数2n -1S 奇-S 偶=a 中（即a n ）；
11. 若递推数列a n =ka n -1+b（k ≠0,k ≠1）, 则总可以将其改写变形成如下形式:a n +b b =k (a n -1+) k -1k -1(n≥2) ，于是可依据等比数列的定义求出通项公式
12. 形如a n -a n -1=f (n ) (n≥2) 的数列求通项用迭加；形如a n =g (n ) (n≥2) 的a n -1
数列求通项用迭乘
四、三角函数
1. 各个三角函数的定义，以及三角函数线，各三角函数在各象限的符号的判断
2. 对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”口诀
3. 记住同角三角函数的基本关系，能够“知一求五”
4. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍角公式，并能熟练用这些公式对三角函数式化简，熟练掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、性质，并能熟练求出三角函数的周期、对称轴、对称中心、单调区间、最值等
5. 熟练掌握形如y =A sin(ωx +ϕ) +b 的图像变换关系
6. 熟练掌握正余弦定理，并能用其进行边角互化，在处理三角形内的三角函数问题时，勿忘三角形内角和等于180，以及大角对大边等条件，如：锐角∆ABC ，若
B =2A ，则
7. 正(余) 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点；正(余) 切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与x 轴的交点，但没有对称轴。 b 的值范围是 (2, 3) a
ωx +ϕ) |的周期是函数y =A sin(ωx +ϕ) 周期的一半；函数8. 函数y =|A sin(
y =|A t an(ωx +ϕ) |与函数y =A tan(ωx +ϕ) 的周期相等
五、平面向量
1. 向量的定义，包括单位向量、零向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量等
2、两个向量的加法、减法、数乘的运算法则
3. 两个向量平行的充要条件：设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2), λ为实数。（1）向量式：a ∥b (b ≠0) ⇔ a =λb ; （2）坐标式：a ∥b (b ≠0) ⇔ x 1y 2－x 2y 1=0;
2. 两个向量垂直的充要条件：设=(x 1, y 1), =(x 2, y 2), （1）向量式：⊥ (≠) ⇔ ∙=0（2）坐标式：⊥⇔x 1x 2+y 1y 2=0;
3. 设=(x 1, y 1), =(x 2, y 2), 则∙=||||cosθ=x 1x 2+y 1y 2，其几何意义是∙等于的长度与在的方向上的投影的乘积；
4. 平面向量数量积的坐标表示：设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)
（1）模长公式|a |=x 1+y 1 （2）夹角公式cos
1. 掌握不等式性质，注意使用条件；
2. 掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分段法
3. 掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b≥2ab (a>0,b>0)时要符合“一正
a 2+b 2a +b 2a +b 2≥() ; ab ≤() 222二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如；如：求函数y =sin x +4π，x ∈(0, ]的最小值5） sin x 2
七、直线、平面、简单几何体
1. 从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；
2. 线面角公式：AB 是平面α的一条斜线，斜足为A ，AB 在平面α内的射影为AB ，设 AB和平面α所成的角是θ1，AC 是平面α内任一条直线，AC 和AB 的射影AB 所' ' 成的角是θ2，设∠BAC=θ, 则cos θ1cos θ2=cosθ；
3. 异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
（3）向量法：即求两异面直线所对应的向量的夹角
4. 直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
5. 二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
（4）射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ, 其中θ为二面角的平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
6. 空间角的向量求法
7. 空间距离的求法
（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；
8. 距离求法的统一公式d =9. 正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；
43πR 2S =4πR 310. 球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A 、B 间的距
离求法：（1）计算线段AB 的长，（2）计算球心角∠AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB 的长；
八、排列组合二项式定理和概率
1. 两个计数原理的应用
m A n 2. 排列数公式:=n(n-1)(n-2)„(n-m＋1)=(n -m )! (m≤n,m 、n ∈N*),当m=n时为
n A n 全排列=n(n-1)„2!1;
m A n n ⋅(n -1) ⋅⋅⋅(n -m +1) C ==0n C =C =1； m ! m ⋅(m -1) ⋅(m -2) ⋅⋅⋅3⋅2⋅1n n 3. 组合数公式：（m ≤n ）, m n m n -m r r -1r C =C ; C +C =C n n n n +1ﾛ 4. 组合数性质：n
r n -r r T =C a b (r =0, 1, 2,..., n ); r +1n 5. 二项式定理：（1）掌握二项展开式的通项：
（2）注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1系数的区别；
6. 二项式系数具有下列性质：
（1）与首末两端等距离的二项式系数相罉；
n n （2）若n 为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大为C n 2；若n 为奇2
n -1n +1n -1n +1+1和数，中间两项（第＋1项）的二项式系数最大为C n 2和C n 2 22
012n n 0213n -1C +C +C +⋅⋅⋅+C =2; C +C +⋅⋅⋅=C +C +⋅⋅⋅=2; n n n n n n n （3）n
1[f (1) -f (-1)]n 27.f(x)=(ax +b ) 展开式的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为；1[f (1) +f (-1)]
偶数项的系数和为2
n
8. 等可能事件的概率公式：（1）P （A ）＝m ；（2）互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)；（3）相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；
k k n -k C ⋅p (1-p ) ; (5)如果事件A 、B 互斥，那么事n （4）独立重复试验概率公式P=
件A 与、与及事件与也都是互斥事件；（6）如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)；（7）如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （∙）＝1－P()P() ；
九、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
1. 掌握抽样的二种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；
2. （理科）掌握分布列的求法，掌握期望和方差，并能利用期望和方差的数据进行简单的数据分析。
3. （文科）掌握平均数、方差等的求法
十、（理科）极限与数学归纳法
1． 熟练掌握数学归纳法的原理及步骤
2． 熟练求解常见数列和函数的极限
3． 掌握函数连续性的含义，并能据此就含参函数的求解
十一、导数及应用
1. 导数的物理背景以及导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作
y 'x =x 0=f '(x 0) =lim ∆x →0f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆x ；
2. 导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0) ）处的切线的斜率就是在P 点处的导数值f '(x 0). ，相应地，切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0);
m m -1''C =0(C为常数); (x) =mx (m∈Q); 3. 常见函数的导数公式：
4．（理科）熟练掌握几种常见函数的导数公式（见书上）
5. 导数的应用：
（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果f '(x ) >0, 那么f(x)为增函数；如果f '(x )
'间内恒有f (x ) =0, 那么f(x)为常数；
''（2）求可导函数极值的步骤：①求导数f (x ) ；②求方程f (x ) =0的根；③检验
f '(x ) 在方程f '(x ) =0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
如：函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c ，过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1) ) 的切线方程为y =3x +1
（1）若y =f (x ) 在x =-2时有极值，求f (x ) 的表达式；（f (x ) =x 3+2x 2-4x +5）
（2）在（1）的条件下，求y =f (x ) 在[-3, 1]上最大值；（13）
（3）若函数y =f (x ) 在区间[-2, 1]上单调递增，求b 的取值范围（b ≥0）