2.4 无穷小量和无穷大量
一、无穷小量
1、 无穷小量的概念
定义：
如果在的某种趋向下，函数以零为极
限，则称在的这种趋向下，函数是无穷小量．简称无穷小．
简言之，极限为零的变量是无穷小．
例如，因为 因为 因为 因为
注意：
，所以，所以，所以
，所以是
当当
是
时的无穷小；
时的无穷小；
时为无穷小； 时不是无穷小．
，
，
(1)无穷小量是指极限为零的量，不是指“很小的数”，所以均不是无穷小量，而0是无穷小量．
(2)无穷小量与自变量的变化趋势相关联，例如，当时不是无穷小量．
2 、 无穷小量与函数极限的关系
定理：若在
当时是无穷小量，但
的某种趋向下，函数，则在
的这种趋向下， 显然，记
是无穷小量．其逆亦真． ，则
，由此，若
．
这个定理阐述了无穷小与函数极限的关系：设在自变量的某种趋向下，函数极限存在，则该函数等于它的极限值与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限．
3 、无穷小量的性质
(1)有限个无穷小的代数和是无穷小． (2)有限个无穷小的乘积是无穷小．
(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小． (4)常数与无穷小之积是无穷小． 典型例题
例 2.4.1 求下列极限：
； (2)
，其中
．
；
(1) (3) 解 (1) ∵ ∵ 故 (2) ∵在，但
时
，其中 ，∴，∴
是无穷小； 有界，
．
时，，所以
，∴有界，故
． 是无穷小，而
的极限虽然不存
(3) 因为当时，每一项都是无穷小量，即求极限为个无穷小量之和．由性质(1)可得
．
思考：若将
中的
改为
，，故所
，是否仍有
正确的做法是：
．
可见，无穷多个无穷小未必是无穷小．
二、无穷大量
1 、无穷大量的概念
定义：在增大，则称函数无穷大．
的某种趋向下，若函数
是在
的绝对值无限
的这种趋向下的无穷大量，简称
这里的极限也可以只考虑单侧． 例如：
是
，时的无穷大，， ∴， ∴， ∴
是是是
是
，
时的无穷大；
时的无穷大． 时的无穷大． 时的无穷大．
注意：
，∴是时的无穷大．
(1)无穷大是指绝对值无限变大的量，不是指“很大的数”，所以
均不无穷大量．
(2)无穷大与自变量的变化趋势相关联，例如，当时是无穷小．
2 、无穷小与无穷大的关系
定理：在自变量的同一变化过程中，若
，，
当时是无穷大，但
为无穷大，
，则
则为无穷小；若为无穷大．
为无穷小，且
例2.3.9中求极限
，就应用了这一定理．
∵
，∴．
典型例题
例 2.4.2 判断下列函数在指定的过程中是无穷大量还是无穷小量． (1) (3) 解 (1)因为 (2)因为 (3)因为 (4)因为
，，
； (2)； (4)
，，
； ．
，所以当，所以当，所以当，所以当
时，时，时，时，
是无穷小量． 是无穷小量．
是无穷大量． 是无穷大量．
三、无穷小量的比较
无穷小是极限为零的变量，但在无限接近零的过程中，还有个接近的快慢程度问题．
显然，与当均为无穷小量，但趋向于零要比无穷小量的比较就是指这种趋向于0的“快”与“慢”的比较．
定义：设
趋向于零快，所谓
与在自变量的同一变化过程中为无穷小，
， (1) 若
，则称是比高阶的无穷小，记为
；
，则称
是比
与
低阶的无穷小； 为同阶无穷小；特
(2) 若 (3) 若
，则称
别地，若
，则称与为等价无穷小，记为
．
对于(1)的情形，可以这样理解．
趋向于0要比
趋向于0快得多．(2)的情形可以
化为(1)．对于(3)的情形，可以理解为与趋向于0的快慢程度大体上保持了倍数关系．
注意 只有同一个变化过程中的 无穷小，才可以进行比较． 例如，当
与
时，
与
均为无穷小，而
时，时，
与
，于是当均为无穷小，而与，
，而
是比
为同阶无穷小．又如
，低阶的时，
是等价无穷小量．又如当
，于是当
时，与均为无穷小，而
于是当时，是的高阶无穷小量，记为无穷小量．
在例2.3.11中曾求出极限
，
，
，
，
．
，
所以，时，
典型例题 例 2.4.3 证明 当穷小． 证 (1)因为
所以 (2)求
，于是
(
时，与是等价无穷小，与是等价无
，
) ．
，则当
时，
，且
，作变量代换，令
所以
(
) ．
，
四、等价无穷小在求极限中的应用
可以证明，求极限时，分子或分母中 的无穷小乘积因子可用其等价无穷小代换．这种代换常使极限计算简化． 最常用的等价无穷小有：当
，
因子，例如
（ （
（
典型例题
例2.4.4 求下列极限： (1) (3) 解 (1) (2)
； (2)
； (4)
；
．
） ）
）
，
时，
(
，为常数) ．其中
，
，
也可换为极限为零的
．（时，
．（
，时，
） ）
(3) 原式= 或者利用
（
），得
．
原式=．
(4) ．（时，
）
注意 求极限时，分子或分母中的无穷小乘积因式可用其等价无穷小代换，但加减运算中的各项不能作等价无穷小代换．例如，以下做法是错误的：
．
例 2.4.5 当
时，无穷小量
，
，
按
从高阶到低阶的排列是( )． (A)
(B)
(C)
(D)
解答>> 小结
1 、概念
(1)无穷小量（简称无穷小）：以0为极限的变量，与自变量的变化过程相联系．
(2)无穷大量（简称无穷大）：绝对值趋于无穷大的变量，与自变量的变化过程相联系．
(3)无穷小的比较方法；高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小的概念．
2 、运算性质
(1)有限个无穷小的代数和是无穷小． (2)有限个无穷小的乘积是无穷小． (3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小． (4)常数与无穷小之积是无穷小．
(5)非0无穷小的倒数为无穷大；反之，无穷大的倒数为无穷小． (6)求极限时，分子或分母中的无穷小乘积因子可用其等价无穷小代换．要求能记住常用的等价无穷小，并能熟练应用于极限的运算．
2.4 无穷小量和无穷大量
一、无穷小量
1、 无穷小量的概念
定义：
如果在的某种趋向下，函数以零为极
限，则称在的这种趋向下，函数是无穷小量．简称无穷小．
简言之，极限为零的变量是无穷小．
例如，因为 因为 因为 因为
注意：
，所以，所以，所以
，所以是
当当
是
时的无穷小；
时的无穷小；
时为无穷小； 时不是无穷小．
，
，
(1)无穷小量是指极限为零的量，不是指“很小的数”，所以均不是无穷小量，而0是无穷小量．
(2)无穷小量与自变量的变化趋势相关联，例如，当时不是无穷小量．
2 、 无穷小量与函数极限的关系
定理：若在
当时是无穷小量，但
的某种趋向下，函数，则在
的这种趋向下， 显然，记
是无穷小量．其逆亦真． ，则
，由此，若
．
这个定理阐述了无穷小与函数极限的关系：设在自变量的某种趋向下，函数极限存在，则该函数等于它的极限值与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限．
3 、无穷小量的性质
(1)有限个无穷小的代数和是无穷小． (2)有限个无穷小的乘积是无穷小．
(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小． (4)常数与无穷小之积是无穷小． 典型例题
例 2.4.1 求下列极限：
； (2)
，其中
．
；
(1) (3) 解 (1) ∵ ∵ 故 (2) ∵在，但
时
，其中 ，∴，∴
是无穷小； 有界，
．
时，，所以
，∴有界，故
． 是无穷小，而
的极限虽然不存
(3) 因为当时，每一项都是无穷小量，即求极限为个无穷小量之和．由性质(1)可得
．
思考：若将
中的
改为
，，故所
，是否仍有
正确的做法是：
．
可见，无穷多个无穷小未必是无穷小．
二、无穷大量
1 、无穷大量的概念
定义：在增大，则称函数无穷大．
的某种趋向下，若函数
是在
的绝对值无限
的这种趋向下的无穷大量，简称
这里的极限也可以只考虑单侧． 例如：
是
，时的无穷大，， ∴， ∴， ∴
是是是
是
，
时的无穷大；
时的无穷大． 时的无穷大． 时的无穷大．
注意：
，∴是时的无穷大．
(1)无穷大是指绝对值无限变大的量，不是指“很大的数”，所以
均不无穷大量．
(2)无穷大与自变量的变化趋势相关联，例如，当时是无穷小．
2 、无穷小与无穷大的关系
定理：在自变量的同一变化过程中，若
，，
当时是无穷大，但
为无穷大，
，则
则为无穷小；若为无穷大．
为无穷小，且
例2.3.9中求极限
，就应用了这一定理．
∵
，∴．
典型例题
例 2.4.2 判断下列函数在指定的过程中是无穷大量还是无穷小量． (1) (3) 解 (1)因为 (2)因为 (3)因为 (4)因为
，，
； (2)； (4)
，，
； ．
，所以当，所以当，所以当，所以当
时，时，时，时，
是无穷小量． 是无穷小量．
是无穷大量． 是无穷大量．
三、无穷小量的比较
无穷小是极限为零的变量，但在无限接近零的过程中，还有个接近的快慢程度问题．
显然，与当均为无穷小量，但趋向于零要比无穷小量的比较就是指这种趋向于0的“快”与“慢”的比较．
定义：设
趋向于零快，所谓
与在自变量的同一变化过程中为无穷小，
， (1) 若
，则称是比高阶的无穷小，记为
；
，则称
是比
与
低阶的无穷小； 为同阶无穷小；特
(2) 若 (3) 若
，则称
别地，若
，则称与为等价无穷小，记为
．
对于(1)的情形，可以这样理解．
趋向于0要比
趋向于0快得多．(2)的情形可以
化为(1)．对于(3)的情形，可以理解为与趋向于0的快慢程度大体上保持了倍数关系．
注意 只有同一个变化过程中的 无穷小，才可以进行比较． 例如，当
与
时，
与
均为无穷小，而
时，时，
与
，于是当均为无穷小，而与，
，而
是比
为同阶无穷小．又如
，低阶的时，
是等价无穷小量．又如当
，于是当
时，与均为无穷小，而
于是当时，是的高阶无穷小量，记为无穷小量．
在例2.3.11中曾求出极限
，
，
，
，
．
，
所以，时，
典型例题 例 2.4.3 证明 当穷小． 证 (1)因为
所以 (2)求
，于是
(
时，与是等价无穷小，与是等价无
，
) ．
，则当
时，
，且
，作变量代换，令
所以
(
) ．
，
四、等价无穷小在求极限中的应用
可以证明，求极限时，分子或分母中 的无穷小乘积因子可用其等价无穷小代换．这种代换常使极限计算简化． 最常用的等价无穷小有：当
，
因子，例如
（ （
（
典型例题
例2.4.4 求下列极限： (1) (3) 解 (1) (2)
； (2)
； (4)
；
．
） ）
）
，
时，
(
，为常数) ．其中
，
，
也可换为极限为零的
．（时，
．（
，时，
） ）
(3) 原式= 或者利用
（
），得
．
原式=．
(4) ．（时，
）
注意 求极限时，分子或分母中的无穷小乘积因式可用其等价无穷小代换，但加减运算中的各项不能作等价无穷小代换．例如，以下做法是错误的：
．
例 2.4.5 当
时，无穷小量
，
，
按
从高阶到低阶的排列是( )． (A)
(B)
(C)
(D)
解答>> 小结
1 、概念
(1)无穷小量（简称无穷小）：以0为极限的变量，与自变量的变化过程相联系．
(2)无穷大量（简称无穷大）：绝对值趋于无穷大的变量，与自变量的变化过程相联系．
(3)无穷小的比较方法；高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小的概念．
2 、运算性质
(1)有限个无穷小的代数和是无穷小． (2)有限个无穷小的乘积是无穷小． (3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小． (4)常数与无穷小之积是无穷小．
(5)非0无穷小的倒数为无穷大；反之，无穷大的倒数为无穷小． (6)求极限时，分子或分母中的无穷小乘积因子可用其等价无穷小代换．要求能记住常用的等价无穷小，并能熟练应用于极限的运算．