三次函数的图像性质和实根的分布问题初探

三次函数的图像性质和实根的分布问题

一、三次函数的图像和基本性质

设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) ，f(x)的导数f '(x)=3ax2+2bx+c，导函数判别式Δ=4

2由上表可以推导出其他主要性质：

b b , f (-)) 3a 3a

2、在R 上依次有三个单调区间的充要条件是b 2- 3ac>0. 3、若b 2- 3ac≤0, 则ax 3+bx2+cx+d=0 方程有且仅有一个实根 4、三次方程ax 3+bx2+cx+d=0 有三个互不相同实根的充要条件是:

1、对称中心为点(-

|b3- 9abc+27a2d|

二、三次函数根的分布例说

例1、若三次函数f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0) ，在区间（m ，n) 有三个不等实数根求各

项系数满足的充要条件。

设y=f(x)的导数f '(x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4（b 2-3ac) ，当Δ>0时记

f '(x)=0的两根为x 1和x 2，且x 1

⎧a >0⎧a

32b -3ac >0例2、若三次函数f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0) ，在区间（m ，⎪⎪b -3ac >0

⎪b b n) 有且仅有一个实数根(重根不计），求各项系数满⎪

足的充要条件。 3a 3a ⎪⎪2

设y=f(x)的导数f '(x)=3ax+2bx+c的判别式Δ⎪f '(m ) >0⎪f '(m )

⎪⎪=4（b 2-3ac) ，当Δ>0时记 ⎨f '(n ) >0或⎨f '(n )

f '(x)=0的两根为x 1和x 2，且x 10⎪f (x )

⎪⎪2

⎧b -3ac >02⎪f (x 2) 0⎧b -3ac ≤0⎪⎪⎪或⎨f (x 1) f (x 2) >0 ⎨f (m ) 0⎩f (m ) f (n )

⎪f (n ) >0⎪f (n )

⎪⎪

练习 ⎩⎩1. （2000年春季高考题）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（）

A .b∈（-∞，0） B.b∈（0，1） C .b∈（1，2） D. b∈（2，+∞）

2⎛2⎫⎛2⎫

2、已知函数f (x ) 满足f (x ) =x 3+f ' ⎪x 2-x +C （其中f ' ⎪为f (x ) 在点x =处

3⎝3⎭⎝3⎭

的导数，C 为常数）．

（1）求函数f (x ) 的单调区间；

（2）若方程f (x ) =0有且只有两个不等的实数根，求常数C ；

（3）在（2）的条件下，若f -⎪>0，求函数f (x ) 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．

⎛1⎫⎝3⎭