4.1 高阶线性方程一般理论(General Theory of Higher order Linear ODE)
[教学内容] 1. 介绍高阶线性微分方程一般形式; 2.介绍高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理; 3. 介绍线性微分方程解的叠加原理（Superposition Theory);4. 介绍高阶线性方程解线性相关和线性无关性概念和判定；5. 介绍高阶线性方程通解结构定理；6. 介绍刘维尔公式及其应用.
[教学重难点] 重点是知道并会运用线性方程的叠加原理、高阶线性方程的通解结构； 难点是如何判定线性方程解线性无关性 [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标]
认识高阶线性微分方程一般形式; 2. 知道线性方程解线性无关的概念; 3. 会判定函数和线性方程解的线性无关性;4. 知道齐次线性方程通解结构和非齐次线性方程通解结构. 5. 知道刘维尔公式及其应用.
1. 认识n 阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程.
d n x d n -1x dx 称n +a 1(t)n -1+ +a n -1(t)+a n (t)x=0为n 阶齐次线性微分方程; dt dt dt
d n x d n -1x dx 称n +a 1(t)n -1+ +a n -1(t)+a n (t)x=f(t)为n 阶非齐次线性微分方程，其中f(t)dt dt dt
为非零函数.
线性方程柯西问题解的存在唯一性定理：考察上述n 阶非齐次线性微分方程，若
a i (t), f(t), i =1,2, , n 都是[a, b]上连续函数，则对∀t 0∈[a,b]和任意n 个实数
d i x
x 0, x 1, , x n -1，方程(**)存在满足初始条件x(t0) =x 0, x(t0) =i
dt
(i)
t =t 0
=x i 的唯一解
x =ϕ(t), t∈[a,b].
声明：以下总假设方程（*）和（**）满足柯西问题解的存在唯一性定理条件.
2. 齐次线性方程(*)解的叠加原理、函数的线性无关性、Wronsky 行列式、方程（*）的通解结构 (证明细节参见教材)
（1）叠加原理：设x 1(t),x 2(t)为齐次线性微分方程（*）的解函数，则
αx1(t), βx2(t), x1(t)+x 2(t), αx1(t)+βx2(t)都是齐次线性微分方程(*)的解.
（2）设x 1(t),x 2(t), , x k (t)都是定义在[a, b]上函数，若存在不全为零的常数c 1, c 2, , c k 使得c 1x 1(t)+c 2x 2(t)+ c k x k (t)=0, t∈[a,b]，则称x 1(t),x 2(t), , x k (t)在区间[a, b]上线性相关，否则则称x 1(t),x 2(t), , x k (t)在区间[a, b]上线性无关.
（3）设x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，则称如下行
x 1(t )
列式W (t ) =W [x , 2(t ) , , x n (t ) ]=1(t ) x
x 2(t ) x 2' (t )
(n-1)
x n (t ) x n ' (t )
(n-1)
x 1' (t ) x 1
(n-1)
为这些函数
(t ) x 2(t ) x n
(t Wronsky 行列式.
（4）函数组线性相关的必要条件：设x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，若它们线性相关，则它们的Wronsky 行列式恒为零.
（5）方程（*）解函数线性无关充要条件：设x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是定义在[a, b]上方程（*）的解函数，则它们线性无关⇔它们的Wronsky 行列式在[a, b]上处处不为零. （6）若n 个函数x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是方程（*）的解函数且线性无关，则称其构成了方程（*）的一个基本解组.
（7）齐次线性方程（*）的通解结构定理：设x 1(t),x 2(t), , x n (t)构成了方程（*）的一个基本解组，则方程（*）的任一解ϕ(t)可表为ϕ(t)=定，i =1,2, , n .
（8）由齐次线性方程的叠加原理和通解结构定理知，方程（*）的所有解函数构成了一个n 维的线性空间.
3. 非齐次线性方程的通解结构定理
考察非齐次线性方程（**），设(t ) 为方程（*）的一个特解，x 1(t), x2(t), , xn (t)为方程（*）的一个基本解组，则方程（**）的任一解x (t)可表为x(t)=由初始条件确定.
4. 例题讲解
∑c x (t)，其中常数c
i i
i =1
n
i
由初始条件确
∑c x(t)+(t)，其中c
i
i
i =1
n
i
⎧t 2, t≥0⎧0, t≥0
, x2(t)=⎨2例40. 证明函数组x 1(t)=⎨在实直线R 上线性无关，但它们的
t , t
Wronsky 行列式恒等于0，这是否和教材P124定理4矛盾？如果不矛盾，它该例说明了什
么？
解：当t ≥0时，W[x1(t),x 2(t)]=
x 1(t)x 2(t)
x 1' (t)x 2' (t)
==
t 22t
00
=0.
当t
x 1(t)x 2(t)
x 1' (t)x 2' (t)
=
0t 202t
=0.
这说明Wronsky 行列式恒等于0. 考察方程c 1x 1(t)+c 2x 2(t)=0, t∈R . 当t ≥0时，上述方程为c 1 t=0，得到c 1=0； 当t
这是否和教材P124定理4并不矛盾！原因是定理4中函数组为齐次线性方程的解函数.
例41. 验证x 1=e , x2=e
t
-t 22
为方程x ' ' -x =0的基本解组，并求出满足初始条件
d 2x
x (0)=1, x' (0)=1的特解，其中x' ' =2.
dt
解：直接代入验证知，e -e =0, e -e
t
t
-t
-t
=0，因此，x 1=e t , x2=e -t 为方程的两个解
e t e
t
函数. 下面验证它们是线性无关的. W[x1, x 2]=
t
-t
e -t -e
-t
=-2≠0，因此，由解函数线性
t
-t
无关判定定理知，x 1=e , x2=e 是线性无关的. 因此，证x 1=e , x2=e 为方程
x ' ' -x =0的基本解组. 方程的通解为x =c 1e t +c 2e -t ，c 1, c 2为任意常数.
由初始条件知，x (0)=c 1e +c 2e =c 1+c 2=1，x ' (0)=c 1e -c 2e =c 1-c 2=1，解得
c 1=1, c 2=0，因此所求特解为x =e t .
例42. （1）考察微分方程x ' ' +q(t)x=0. 若ϕ(t),ψ(t)为方程的任意两个解，则它们Wronsky 行列式W[ϕ(t),ψ(t)]≡C （常数）.
d 2x （2）Liouville 公式：考察二阶齐次线性方程x ' ' +a 1(t)x' +a 2(t) x=0，其中x' ' =2,
dt a i (t)∈C[a,b], i =1,2. 假设x 1(t)为方程的一个非零解，则(a)函数x 2(t)为方程的解充要条
件是W ' +a 1(t) W=0, 其中W =W [. (b) 方程的通解为1(x t x ) 2(, t )
x =c 1x 1(t)+c 2x 1(t ) ⎰
1⎰t 0-a 1(s)ds
e dt ，其中c 1, c 2为任意常数. 2
x 1(t)
t
（3）已知x =e t 是微分方程x ' ' +q(t)x=0一个特解，试求该方程的通解，并确定函数q(t)？ 证明：（1）记W(t)=W[ϕ(t),ψ(t)]，下证
dW
=0. dt
由行列式定义的函数的导数公式（参见《数学分析》下P124 习题8），我们得到
ϕdW ' ψ'ϕψ
=+=
dt ' ψ'ϕ' ' ψ'' -q(t)ϕ
（2）仿照（1）可证（a ）
ψ-q(t)ψ
=-q(t)
ϕψ
=0. 得证. ϕψ
x 1dW x 1' x 2' x 1x 2
=+=
x 1' x 2' x 1' ' x 2' ' -a 1(t)x1' -a 2(t)x1dt
结论成立.
x 2
-a 1(t)x2' -a 2(t)x2
t
=-a 1(t)
x 1x 2
x 1' x 2'
（b ）求解方程W ' +a 1(t) W=0得到，满足W(t0) =1的解W(t)=e
⎰t 0-a 1(s)ds
.
此时相应的x 2(t)和x 1(t)是线性无关的，它们构成了原齐次线性方程的基本解组，因为它们Wronsky 行列式不为零. 改写W(t)=e
⎰t 0-a 1(s)ds
t
t
为x 1x 2' -x 1' x 2=e
-
⎰t 0a 1(s)ds
t
，由x 1(t)≠0再次改写上述方程为
x 1' 1-⎰t 0a 1(s)ds
x 2' =x 2+e ，这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到，
x 1x 1x 2=e
⎰
x 1' (t)
dt x 1(t)
(⎰e
-
⎰
x 1' (t)
dt x 1(t)
1-⎰t 0a 1(s)ds1-⎰t 0a 1(s)ds
e dt +C) =x 1(⎰2e +C ) ，特别地，取C=0x 1x 1
t
t t
得到解函数x 2(t)=x 1
t
⎰
1-⎰t 0a 1(s)ds
e . 因此，由齐次线性方程通解结构定理知，结论成立. 2x 1
（3）记x 1(t)=e ，由上述公式得到，x 2(t)=e t
t
-t
t
-t
⎰e
-2t
dt =e -t . 因此，原方程一个基本解
组为e , e ，于是所求通解为x (t)=c 1e +c 2e ，c i , i =1,2为任意常数. 将x 1(t)=e 代入原方程得到，e +p(t)e=0，得到p(t)=-1.
作业41. 证明非齐次线性微分方程的叠加原理：设x 1(t),x 2(t)分别为非齐次线性微分方程
t
t
t
d n x d n -1x d n x d n -1x
+a 1(t)n -1+ +a n (t)x=f 1(t)和n +a 1(t)n -1+ +a n (t)x=f 2(t)的解. dt n dt dt dt
d n x d n -1x
证明：x 1(t)+x 2(t)为方程n +a 1(t)n -1+ +a n (t)x=f 1(t)+f 2(t)的解.
dt dt
作业42. (1) 验证x 1=cos(2t), x2=sin(2t)为方程x ' ' +4 x=0的基本解组. (2) 验证x 1=t cos(2ln t), x2=t sin(2ln t)为方程t x' ' -3 t x' -8 x=0的基本解组. 作业43. 已知x 1=t 为方程x ' ' +
2
2
2
t 1
x ' -x =0的一个非零解，运用Liouville 公式求出1-t 1-t
方程一个基本解组，并求出满足初值条件x (2)=1, x' (2)=2的特解.
d 2x
思考44. （1）考察二阶齐次线性方程x ' ' +a 1(t)x' +a 2(t) x=0，其中x' ' =2,
dt a i (t)∈C(a,b), i =1,2. 设x =ϕ(t)是方程在区间(a, b) 上一个非零解（即x =ϕ(t)在区间(a,
b) 上不恒等于0），试证解函数ϕ(t ) 在区间(a, b) 上只有简单零点（称满足t 0∈(a,b) 且
ϕ(t0) =0, ϕ' (t0) ≠0的零点为ϕ(t)简单零点）. 并由此进一步证明，ϕ(t ) 在任意有限闭区
间上至多有有限个零点，从而每一个零点都是孤立的.
d 2x （2）考察二阶齐次线性方程x ' ' +a 1(t)x' +a 2(t) x=0，其中x' ' =2,
dt a i (t)∈C(a,b), i =1,2. 若u(t), v(t)为方程的一个基本解组，则方程的系数函数a 1(t), a 2(t)由这个基本解组u(t), v(t)唯一确定且u(t), v(t)没有公共零点.
4.1 高阶线性方程一般理论(General Theory of Higher order Linear ODE)
[教学内容] 1. 介绍高阶线性微分方程一般形式; 2.介绍高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理; 3. 介绍线性微分方程解的叠加原理（Superposition Theory);4. 介绍高阶线性方程解线性相关和线性无关性概念和判定；5. 介绍高阶线性方程通解结构定理；6. 介绍刘维尔公式及其应用.
[教学重难点] 重点是知道并会运用线性方程的叠加原理、高阶线性方程的通解结构； 难点是如何判定线性方程解线性无关性 [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标]
认识高阶线性微分方程一般形式; 2. 知道线性方程解线性无关的概念; 3. 会判定函数和线性方程解的线性无关性;4. 知道齐次线性方程通解结构和非齐次线性方程通解结构. 5. 知道刘维尔公式及其应用.
1. 认识n 阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程.
d n x d n -1x dx 称n +a 1(t)n -1+ +a n -1(t)+a n (t)x=0为n 阶齐次线性微分方程; dt dt dt
d n x d n -1x dx 称n +a 1(t)n -1+ +a n -1(t)+a n (t)x=f(t)为n 阶非齐次线性微分方程，其中f(t)dt dt dt
为非零函数.
线性方程柯西问题解的存在唯一性定理：考察上述n 阶非齐次线性微分方程，若
a i (t), f(t), i =1,2, , n 都是[a, b]上连续函数，则对∀t 0∈[a,b]和任意n 个实数
d i x
x 0, x 1, , x n -1，方程(**)存在满足初始条件x(t0) =x 0, x(t0) =i
dt
(i)
t =t 0
=x i 的唯一解
x =ϕ(t), t∈[a,b].
声明：以下总假设方程（*）和（**）满足柯西问题解的存在唯一性定理条件.
2. 齐次线性方程(*)解的叠加原理、函数的线性无关性、Wronsky 行列式、方程（*）的通解结构 (证明细节参见教材)
（1）叠加原理：设x 1(t),x 2(t)为齐次线性微分方程（*）的解函数，则
αx1(t), βx2(t), x1(t)+x 2(t), αx1(t)+βx2(t)都是齐次线性微分方程(*)的解.
（2）设x 1(t),x 2(t), , x k (t)都是定义在[a, b]上函数，若存在不全为零的常数c 1, c 2, , c k 使得c 1x 1(t)+c 2x 2(t)+ c k x k (t)=0, t∈[a,b]，则称x 1(t),x 2(t), , x k (t)在区间[a, b]上线性相关，否则则称x 1(t),x 2(t), , x k (t)在区间[a, b]上线性无关.
（3）设x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，则称如下行
x 1(t )
列式W (t ) =W [x , 2(t ) , , x n (t ) ]=1(t ) x
x 2(t ) x 2' (t )
(n-1)
x n (t ) x n ' (t )
(n-1)
x 1' (t ) x 1
(n-1)
为这些函数
(t ) x 2(t ) x n
(t Wronsky 行列式.
（4）函数组线性相关的必要条件：设x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，若它们线性相关，则它们的Wronsky 行列式恒为零.
（5）方程（*）解函数线性无关充要条件：设x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是定义在[a, b]上方程（*）的解函数，则它们线性无关⇔它们的Wronsky 行列式在[a, b]上处处不为零. （6）若n 个函数x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是方程（*）的解函数且线性无关，则称其构成了方程（*）的一个基本解组.
（7）齐次线性方程（*）的通解结构定理：设x 1(t),x 2(t), , x n (t)构成了方程（*）的一个基本解组，则方程（*）的任一解ϕ(t)可表为ϕ(t)=定，i =1,2, , n .
（8）由齐次线性方程的叠加原理和通解结构定理知，方程（*）的所有解函数构成了一个n 维的线性空间.
3. 非齐次线性方程的通解结构定理
考察非齐次线性方程（**），设(t ) 为方程（*）的一个特解，x 1(t), x2(t), , xn (t)为方程（*）的一个基本解组，则方程（**）的任一解x (t)可表为x(t)=由初始条件确定.
4. 例题讲解
∑c x (t)，其中常数c
i i
i =1
n
i
由初始条件确
∑c x(t)+(t)，其中c
i
i
i =1
n
i
⎧t 2, t≥0⎧0, t≥0
, x2(t)=⎨2例40. 证明函数组x 1(t)=⎨在实直线R 上线性无关，但它们的
t , t
Wronsky 行列式恒等于0，这是否和教材P124定理4矛盾？如果不矛盾，它该例说明了什
么？
解：当t ≥0时，W[x1(t),x 2(t)]=
x 1(t)x 2(t)
x 1' (t)x 2' (t)
==
t 22t
00
=0.
当t
x 1(t)x 2(t)
x 1' (t)x 2' (t)
=
0t 202t
=0.
这说明Wronsky 行列式恒等于0. 考察方程c 1x 1(t)+c 2x 2(t)=0, t∈R . 当t ≥0时，上述方程为c 1 t=0，得到c 1=0； 当t
这是否和教材P124定理4并不矛盾！原因是定理4中函数组为齐次线性方程的解函数.
例41. 验证x 1=e , x2=e
t
-t 22
为方程x ' ' -x =0的基本解组，并求出满足初始条件
d 2x
x (0)=1, x' (0)=1的特解，其中x' ' =2.
dt
解：直接代入验证知，e -e =0, e -e
t
t
-t
-t
=0，因此，x 1=e t , x2=e -t 为方程的两个解
e t e
t
函数. 下面验证它们是线性无关的. W[x1, x 2]=
t
-t
e -t -e
-t
=-2≠0，因此，由解函数线性
t
-t
无关判定定理知，x 1=e , x2=e 是线性无关的. 因此，证x 1=e , x2=e 为方程
x ' ' -x =0的基本解组. 方程的通解为x =c 1e t +c 2e -t ，c 1, c 2为任意常数.
由初始条件知，x (0)=c 1e +c 2e =c 1+c 2=1，x ' (0)=c 1e -c 2e =c 1-c 2=1，解得
c 1=1, c 2=0，因此所求特解为x =e t .
例42. （1）考察微分方程x ' ' +q(t)x=0. 若ϕ(t),ψ(t)为方程的任意两个解，则它们Wronsky 行列式W[ϕ(t),ψ(t)]≡C （常数）.
d 2x （2）Liouville 公式：考察二阶齐次线性方程x ' ' +a 1(t)x' +a 2(t) x=0，其中x' ' =2,
dt a i (t)∈C[a,b], i =1,2. 假设x 1(t)为方程的一个非零解，则(a)函数x 2(t)为方程的解充要条
件是W ' +a 1(t) W=0, 其中W =W [. (b) 方程的通解为1(x t x ) 2(, t )
x =c 1x 1(t)+c 2x 1(t ) ⎰
1⎰t 0-a 1(s)ds
e dt ，其中c 1, c 2为任意常数. 2
x 1(t)
t
（3）已知x =e t 是微分方程x ' ' +q(t)x=0一个特解，试求该方程的通解，并确定函数q(t)？ 证明：（1）记W(t)=W[ϕ(t),ψ(t)]，下证
dW
=0. dt
由行列式定义的函数的导数公式（参见《数学分析》下P124 习题8），我们得到
ϕdW ' ψ'ϕψ
=+=
dt ' ψ'ϕ' ' ψ'' -q(t)ϕ
（2）仿照（1）可证（a ）
ψ-q(t)ψ
=-q(t)
ϕψ
=0. 得证. ϕψ
x 1dW x 1' x 2' x 1x 2
=+=
x 1' x 2' x 1' ' x 2' ' -a 1(t)x1' -a 2(t)x1dt
结论成立.
x 2
-a 1(t)x2' -a 2(t)x2
t
=-a 1(t)
x 1x 2
x 1' x 2'
（b ）求解方程W ' +a 1(t) W=0得到，满足W(t0) =1的解W(t)=e
⎰t 0-a 1(s)ds
.
此时相应的x 2(t)和x 1(t)是线性无关的，它们构成了原齐次线性方程的基本解组，因为它们Wronsky 行列式不为零. 改写W(t)=e
⎰t 0-a 1(s)ds
t
t
为x 1x 2' -x 1' x 2=e
-
⎰t 0a 1(s)ds
t
，由x 1(t)≠0再次改写上述方程为
x 1' 1-⎰t 0a 1(s)ds
x 2' =x 2+e ，这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到，
x 1x 1x 2=e
⎰
x 1' (t)
dt x 1(t)
(⎰e
-
⎰
x 1' (t)
dt x 1(t)
1-⎰t 0a 1(s)ds1-⎰t 0a 1(s)ds
e dt +C) =x 1(⎰2e +C ) ，特别地，取C=0x 1x 1
t
t t
得到解函数x 2(t)=x 1
t
⎰
1-⎰t 0a 1(s)ds
e . 因此，由齐次线性方程通解结构定理知，结论成立. 2x 1
（3）记x 1(t)=e ，由上述公式得到，x 2(t)=e t
t
-t
t
-t
⎰e
-2t
dt =e -t . 因此，原方程一个基本解
组为e , e ，于是所求通解为x (t)=c 1e +c 2e ，c i , i =1,2为任意常数. 将x 1(t)=e 代入原方程得到，e +p(t)e=0，得到p(t)=-1.
作业41. 证明非齐次线性微分方程的叠加原理：设x 1(t),x 2(t)分别为非齐次线性微分方程
t
t
t
d n x d n -1x d n x d n -1x
+a 1(t)n -1+ +a n (t)x=f 1(t)和n +a 1(t)n -1+ +a n (t)x=f 2(t)的解. dt n dt dt dt
d n x d n -1x
证明：x 1(t)+x 2(t)为方程n +a 1(t)n -1+ +a n (t)x=f 1(t)+f 2(t)的解.
dt dt
作业42. (1) 验证x 1=cos(2t), x2=sin(2t)为方程x ' ' +4 x=0的基本解组. (2) 验证x 1=t cos(2ln t), x2=t sin(2ln t)为方程t x' ' -3 t x' -8 x=0的基本解组. 作业43. 已知x 1=t 为方程x ' ' +
2
2
2
t 1
x ' -x =0的一个非零解，运用Liouville 公式求出1-t 1-t
方程一个基本解组，并求出满足初值条件x (2)=1, x' (2)=2的特解.
d 2x
思考44. （1）考察二阶齐次线性方程x ' ' +a 1(t)x' +a 2(t) x=0，其中x' ' =2,
dt a i (t)∈C(a,b), i =1,2. 设x =ϕ(t)是方程在区间(a, b) 上一个非零解（即x =ϕ(t)在区间(a,
b) 上不恒等于0），试证解函数ϕ(t ) 在区间(a, b) 上只有简单零点（称满足t 0∈(a,b) 且
ϕ(t0) =0, ϕ' (t0) ≠0的零点为ϕ(t)简单零点）. 并由此进一步证明，ϕ(t ) 在任意有限闭区
间上至多有有限个零点，从而每一个零点都是孤立的.
d 2x （2）考察二阶齐次线性方程x ' ' +a 1(t)x' +a 2(t) x=0，其中x' ' =2,
dt a i (t)∈C(a,b), i =1,2. 若u(t), v(t)为方程的一个基本解组，则方程的系数函数a 1(t), a 2(t)由这个基本解组u(t), v(t)唯一确定且u(t), v(t)没有公共零点.