2017-2018学年高二数学——直线与椭圆的位置关系（3） 椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后
x 2y 2作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 是椭圆＝a b b 2x 1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0) 是线段AB 的中点，【则k AB ＝－ a y 0
⎧则⎨x y ⎩a ＋b ＝1， ②2222x 2y 2＝1， ①a b 11222由①－②，得(x 2－x ) ＋y －y ) ＝0， a 12b 12
2y 1－y 2b x b 2x 1＋x 2b 2x 变形得＝－＝－k AB ＝－ a y 1＋y 2a y 0a y 0x 1－x 2
一、求中点弦所在直线方程问题
x 2y 2
+=1内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直1、 过椭圆164
线方程。
x 2y 2
+=1所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 2、已知P (4, 2) 是直线l 被椭圆369
3、已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y =x +m ．
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为
二、求弦中点的轨迹方程问题 2，求直线的方程． 5
x 2y 2
+=1上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 4 、过椭圆6436
三、弦中点的坐标问题
5、 求直线y =x -1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标。
x 2y 236、 设椭圆C ：＝1(a >b >0)过点(0，4) ，离心率为. a b 5
4 (1)求C 的方程； (2)求过点(3，0) 且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标． 5
.
三，对称问题
x 2y 2
=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y =4x +m ，椭例7、已知椭圆C +43
圆C 上有不同的两点关于该直线对称．
四，最值问题
例8、 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =2，已知点P (0，这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程.
32) 到
x 2y 2π+=1，过原点且倾斜角为θ和π-θ(0
交椭圆于A 、C 和B 、D 两点.
(1)用θ表示四边形
ABCD
(2)当θ∈(0，
π) 时，求S 的最大值. 4
练习题：
x 2
+y 2=1有两个1、在平面直角坐标系xOy 中，
经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2
不同的交点P 和Q ．
（I ）求k 的取值范围；
（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP +OQ 与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
222、椭圆x +y =1(a ＞b ＞0)与直线x +y =1交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，其中O 22a b
为坐标原点.
（1）求
范围.
11+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足≤e ≤2，求椭圆长轴的取值22a b 32
x 2
+y 2=1的左、右焦点. 3、设F 1、F 2分别是椭圆4
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 2的最大值和最小值; 1·PF
（Ⅱ）设过定点M (0, 2) 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
2017-2018学年高二数学——直线与椭圆的位置关系（3） 椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后
x 2y 2作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 是椭圆＝a b b 2x 1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0) 是线段AB 的中点，【则k AB ＝－ a y 0
⎧则⎨x y ⎩a ＋b ＝1， ②2222x 2y 2＝1， ①a b 11222由①－②，得(x 2－x ) ＋y －y ) ＝0， a 12b 12
2y 1－y 2b x b 2x 1＋x 2b 2x 变形得＝－＝－k AB ＝－ a y 1＋y 2a y 0a y 0x 1－x 2
一、求中点弦所在直线方程问题
x 2y 2
+=1内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直1、 过椭圆164
线方程。
x 2y 2
+=1所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 2、已知P (4, 2) 是直线l 被椭圆369
3、已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y =x +m ．
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为
二、求弦中点的轨迹方程问题 2，求直线的方程． 5
x 2y 2
+=1上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 4 、过椭圆6436
三、弦中点的坐标问题
5、 求直线y =x -1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标。
x 2y 236、 设椭圆C ：＝1(a >b >0)过点(0，4) ，离心率为. a b 5
4 (1)求C 的方程； (2)求过点(3，0) 且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标． 5
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三，对称问题
x 2y 2
=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y =4x +m ，椭例7、已知椭圆C +43
圆C 上有不同的两点关于该直线对称．
四，最值问题
例8、 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =2，已知点P (0，这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程.
32) 到
x 2y 2π+=1，过原点且倾斜角为θ和π-θ(0
交椭圆于A 、C 和B 、D 两点.
(1)用θ表示四边形
ABCD
(2)当θ∈(0，
π) 时，求S 的最大值. 4
练习题：
x 2
+y 2=1有两个1、在平面直角坐标系xOy 中，
经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2
不同的交点P 和Q ．
（I ）求k 的取值范围；
（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP +OQ 与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
222、椭圆x +y =1(a ＞b ＞0)与直线x +y =1交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，其中O 22a b
为坐标原点.
（1）求
范围.
11+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足≤e ≤2，求椭圆长轴的取值22a b 32
x 2
+y 2=1的左、右焦点. 3、设F 1、F 2分别是椭圆4
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 2的最大值和最小值; 1·PF
（Ⅱ）设过定点M (0, 2) 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.