激光原理课程设计
——平行平面腔自再现模Fox-Li
数值迭代解法及MATLA实现
作者:光电1010印杰 U202013588
【摘要】：激光器谐振腔内的模式计算是提高激光器输出光束质量和应用自适应光学系统校正腔内像差的前提和基础。此次课程设计，在matlab中用Fox-Li平行平面腔（条形平面腔、矩形平面腔、圆形平面腔）的迭代解法求得激光器腔镜面上的光场分布、并模拟任意次渡越，由此可以分析谐振腔内的模式在渡越过程中的变化。
关键词:数值迭代法；光场振幅、相位分布；MATLAB数值模拟
1 引言
本文基于平行平面腔，研究初始光场自再现模的光场振幅。由于平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程：
v(x,y)=γ K(x,y,x,y)v(x,y)ds
s'''''
至今尚得不到精确的解析解，因此本文致力于研究平面腔模的迭代解法（Fox-Li 方法）。Fox-Li 方法是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法,只要取样点足够多,它原则上可以用来计算任何形状开腔的自再现模,并且,还可以计算诸如腔镜的倾斜、镜面的不平整性等因素对腔内模式造成的扰动.
2 设计目的与要求
2.1 目的：（1）用计算方法和工具解决实际的科学问题；
（2）掌握一门实用的编程语言；
2.2 要求
（1）基本要求：条形腔的模拟；矩形腔的模拟；
（2）高级要求：圆形平面镜或曲率镜的模拟；倾斜模拟；多种模式的模拟 3理论分析
经典的研究激光谐振腔内激光模式分布及传播规律的方法是，运用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。其关系式如式：
u x,y =4π u x,yS
ik′′ e−ikρρ 1+cosθ ds′ (1) 将公式（1）作用于开腔的两个镜面上的场分布，可以镜面S1上场u1(x′,y′)与
镜面S2上场u2(x,y)联系起来，经过q次传播后，根据上述的假设有公式（2）：
′−ikρuq+1 x,y =λL u(x,y′)eds′ (2) qS1i 对于对称开腔，当光波在腔内传播足够多次后（即在稳定情况下），分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布，即实现了模的“自再现”。简化后有公式（3）和（4）:
umn x,y =γmn K x,y,x′,y′ umn(x′,y′)ds′ (3) S1
K x,y,x′,y′ =2πLe−ikρ(x,y,x′,y′)=λLe−ikρ(x,y,x′,y′) (4)
Fox-Li数值迭代法就是运用标量近似来分析模场特性，将初始场分布视为由无数多个本征函数以一定比例叠加。不同的本征函数对应不同的模式，在腔内往返渡越过程中，不同模的衍射损耗不同，经过足够多次往返渡越后，衍射损耗大的模受到的衰减程度比衍射损耗小的模大得多，当损耗大的模的贡献与损耗小的模的贡献相比可以忽略时，剩下的便是小损耗模的稳定场分布。 iki4 实现方案
4.1 计算流程
跟据原理进行迭代计算的设计，流程图如图（1）所示。运用Matlab设计实现Fox-Li数值迭代法程序的编写。
4.2 条形腔
条形腔是一种理想的模型，即一个方向有限长，
而另一个方向上无限延伸的腔形，与矩形腔类似。
由于只在长度有限的那个方向上发生衍射现象，迭
代公式为一维的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分：
u x =γ λLie−ikL+a −ae−ik(x−x′)2
u(x′)dx′（5）
将条形腔的左镜面S1上沿着(-a,a)之间划分
N-1等分，则有N个点，每个区间为2a/(N-1)。右
边镜面S2上每一点的求解都需将左边镜面上的点进
行逐点相加，如此循环迭代下去，最终会达到稳态
分布。
4.3 矩形腔
以矩形腔为例，说明Fox-Li数值迭代法计算时
的具体形式。设矩形平面腔边长为2a*2b，腔长为L，
它们之间满足L≫a,b≫λ.
在上述条件下，有如式（6）的近似：
否图1 计算流程图
ρ x,y,x,y′′ x−x′2y−y′2
=L 1+ + 1x−x′1y−y′≈L 1+ + (6) 22
于是在菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式中的e−ikρ可以近似写作：
e−ikρ=e
所以式（3）可以作为：
u x,y =
i22x−x′y−y′+ −ikL 1+ （7） −ik[ x−x′ 2 y−y′ 2++a+bγλLe−ikL −a −bu(x′,y′)edx′dy′(8)
对于上式（8）进行变量分离，设u(x,y)=u(x)u(y),有
+a+bu x =γx −aKx x,x′ u x′ dx′u y =γy −bKy y,y′ u(y′)dy′Kx x,x′ =
iλLe−ikLe−ik(x−x′)2
Ky y,y′ = λLie−ikLe−ik(y−y′)2
（9）
根据上述的公式在初始场分布设定的情况下就可以应用迭代的方法计算出分布情况。
4.4 圆形腔
圆形腔的迭代思想与矩形腔相同，只是划分与矩形腔不同。圆形腔是按照径向和角向划分，在极坐标(r,θ)下完成数值迭代，但在最后显示的时候，需要将极坐标还原成笛卡尔坐标系。
5.实验结果与分析
5.1 迭代N=1次后的运算结果(非稳定)：
波长632.8nm, 腔长L=63280nm，半镜长a=15000nm=r, (半镜长b=15000nm); Nf=5.61888
分析：从图上可以看出，均匀平面波经过第一次渡越后起了很大的变化，场 u2的相对振幅随腔面的变化而急剧地起伏。对随后的几次渡越，情况也是一样，每一次渡越都将对场的分布发生明显的影响。
5.2迭代N=300次后的运算结果(稳定分布)：
分析：与上（2）（3）（4）图相比，可以明显看出，随着渡越次数的增加，每经过一次渡越后场分布的变化越来越不明显，振幅与相位分布曲线上的起伏越来越小，场的相对分布逐渐趋向某一稳定状态。在经过一定次数的渡越以后，归一化振幅曲线已经不再发生变化了，这样我们就得到了一个自再现模。
这种稳态场分布的特点是：总的说来，在镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅逐渐降落，整个镜面上的场分布具有偶对称性。
5.3其他参数对模式分布的影响
将半镜长a依次更改为10000nm，20000nm,使得菲涅耳数Nf改变，通过观察N=300时，条形腔、矩形腔、圆形腔的稳定分布的变化，讨论出菲涅耳数Nf对于稳定模式分布的影响。
（1） a=10000nm,Nf=2.49728,N=300(稳定)：
（2） a=20000nm,Nf=9.78912,N=300（稳定）
分析：对比这几幅图，可以看出：（1）对于条形腔、矩形腔，镜面中心的振幅在菲涅耳数较大时可能不是最大的；较小时，中心振幅最大。并且振幅从中心向外是振荡下降的，菲涅耳数越大振动的越厉害；菲涅耳数越小幅度曲线越平滑，更近似高斯分布，相位接近球面波分布。由于平行平面腔的基模振幅分布是高斯分布，相位分布近似于球面波分布。所以可以认为，
在菲涅尔数较小的情况
下，高阶模的损耗远大于基模的。（2）对于圆形腔：模场是以圆心为中心的中心对称。圆心的振幅较大，向外延伸时，振幅下降，菲涅耳数越小，下降的越平滑。
6.设计体会与感想
本次课程设计我采用的是在matlab中用Fox-Li平行平面腔的迭代解法的方法求得激光器腔镜面上的光场分布、并模拟任意次渡越，从而分析谐振腔内的模式在渡越过程中的变化。我觉得这是对激光原理部分谐振腔的原理、计算公式以及Matlab编程方法的双重考察。
以前虽然在物理光学课程中已经应用过Matlab进行编程作业，但在这次课设中让我进一步的体会到Matlab对于仿真模拟的重要性。在编写过程中核心算法-菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的近似积分以前已经做过类似的程序，所以并没有让我觉得有困难，而整个GUI界面与代码的联合是以前从来没有接触过的，只有自己查找书籍，慢慢摸索，花费了很多时间。
在设计过程中遇到了很多的问题，发现的错误很多。特别在GUI界面与代码关联部分，出现过无法输入数据，无法计算菲涅耳数，无法绘制图像等问题。在完成程序后的检查测试过程中，我又发现自己的GUI界面的振幅图像出现的无法更新的Bug,对照程序检查了很久才检查出问题仅仅出现在一个“hold on”语句中。这次的经历让我认识到，编程过程中一定要冷静、仔细，否则一个小小的问题可能会导致程序很大的漏洞。
通过这次的激光课设，我对于不同谐振腔自再现模的形成过程以及典型近似都有了更为深刻地认识。利用程序对不同谐振腔自再现模生成仿真图像，将理论与实际结合起来，让我对于几种腔型的模场分布有了更加直观的认识。
【参考文献】
激光原理课程设计
——平行平面腔自再现模Fox-Li
数值迭代解法及MATLA实现
作者:光电1010印杰 U202013588
【摘要】：激光器谐振腔内的模式计算是提高激光器输出光束质量和应用自适应光学系统校正腔内像差的前提和基础。此次课程设计，在matlab中用Fox-Li平行平面腔（条形平面腔、矩形平面腔、圆形平面腔）的迭代解法求得激光器腔镜面上的光场分布、并模拟任意次渡越，由此可以分析谐振腔内的模式在渡越过程中的变化。
关键词:数值迭代法；光场振幅、相位分布；MATLAB数值模拟
1 引言
本文基于平行平面腔，研究初始光场自再现模的光场振幅。由于平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程：
v(x,y)=γ K(x,y,x,y)v(x,y)ds
s'''''
至今尚得不到精确的解析解，因此本文致力于研究平面腔模的迭代解法（Fox-Li 方法）。Fox-Li 方法是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法,只要取样点足够多,它原则上可以用来计算任何形状开腔的自再现模,并且,还可以计算诸如腔镜的倾斜、镜面的不平整性等因素对腔内模式造成的扰动.
2 设计目的与要求
2.1 目的：（1）用计算方法和工具解决实际的科学问题；
（2）掌握一门实用的编程语言；
2.2 要求
（1）基本要求：条形腔的模拟；矩形腔的模拟；
（2）高级要求：圆形平面镜或曲率镜的模拟；倾斜模拟；多种模式的模拟 3理论分析
经典的研究激光谐振腔内激光模式分布及传播规律的方法是，运用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。其关系式如式：
u x,y =4π u x,yS
ik′′ e−ikρρ 1+cosθ ds′ (1) 将公式（1）作用于开腔的两个镜面上的场分布，可以镜面S1上场u1(x′,y′)与
镜面S2上场u2(x,y)联系起来，经过q次传播后，根据上述的假设有公式（2）：
′−ikρuq+1 x,y =λL u(x,y′)eds′ (2) qS1i 对于对称开腔，当光波在腔内传播足够多次后（即在稳定情况下），分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布，即实现了模的“自再现”。简化后有公式（3）和（4）:
umn x,y =γmn K x,y,x′,y′ umn(x′,y′)ds′ (3) S1
K x,y,x′,y′ =2πLe−ikρ(x,y,x′,y′)=λLe−ikρ(x,y,x′,y′) (4)
Fox-Li数值迭代法就是运用标量近似来分析模场特性，将初始场分布视为由无数多个本征函数以一定比例叠加。不同的本征函数对应不同的模式，在腔内往返渡越过程中，不同模的衍射损耗不同，经过足够多次往返渡越后，衍射损耗大的模受到的衰减程度比衍射损耗小的模大得多，当损耗大的模的贡献与损耗小的模的贡献相比可以忽略时，剩下的便是小损耗模的稳定场分布。 iki4 实现方案
4.1 计算流程
跟据原理进行迭代计算的设计，流程图如图（1）所示。运用Matlab设计实现Fox-Li数值迭代法程序的编写。
4.2 条形腔
条形腔是一种理想的模型，即一个方向有限长，
而另一个方向上无限延伸的腔形，与矩形腔类似。
由于只在长度有限的那个方向上发生衍射现象，迭
代公式为一维的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分：
u x =γ λLie−ikL+a −ae−ik(x−x′)2
u(x′)dx′（5）
将条形腔的左镜面S1上沿着(-a,a)之间划分
N-1等分，则有N个点，每个区间为2a/(N-1)。右
边镜面S2上每一点的求解都需将左边镜面上的点进
行逐点相加，如此循环迭代下去，最终会达到稳态
分布。
4.3 矩形腔
以矩形腔为例，说明Fox-Li数值迭代法计算时
的具体形式。设矩形平面腔边长为2a*2b，腔长为L，
它们之间满足L≫a,b≫λ.
在上述条件下，有如式（6）的近似：
否图1 计算流程图
ρ x,y,x,y′′ x−x′2y−y′2
=L 1+ + 1x−x′1y−y′≈L 1+ + (6) 22
于是在菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式中的e−ikρ可以近似写作：
e−ikρ=e
所以式（3）可以作为：
u x,y =
i22x−x′y−y′+ −ikL 1+ （7） −ik[ x−x′ 2 y−y′ 2++a+bγλLe−ikL −a −bu(x′,y′)edx′dy′(8)
对于上式（8）进行变量分离，设u(x,y)=u(x)u(y),有
+a+bu x =γx −aKx x,x′ u x′ dx′u y =γy −bKy y,y′ u(y′)dy′Kx x,x′ =
iλLe−ikLe−ik(x−x′)2
Ky y,y′ = λLie−ikLe−ik(y−y′)2
（9）
根据上述的公式在初始场分布设定的情况下就可以应用迭代的方法计算出分布情况。
4.4 圆形腔
圆形腔的迭代思想与矩形腔相同，只是划分与矩形腔不同。圆形腔是按照径向和角向划分，在极坐标(r,θ)下完成数值迭代，但在最后显示的时候，需要将极坐标还原成笛卡尔坐标系。
5.实验结果与分析
5.1 迭代N=1次后的运算结果(非稳定)：
波长632.8nm, 腔长L=63280nm，半镜长a=15000nm=r, (半镜长b=15000nm); Nf=5.61888
分析：从图上可以看出，均匀平面波经过第一次渡越后起了很大的变化，场 u2的相对振幅随腔面的变化而急剧地起伏。对随后的几次渡越，情况也是一样，每一次渡越都将对场的分布发生明显的影响。
5.2迭代N=300次后的运算结果(稳定分布)：
分析：与上（2）（3）（4）图相比，可以明显看出，随着渡越次数的增加，每经过一次渡越后场分布的变化越来越不明显，振幅与相位分布曲线上的起伏越来越小，场的相对分布逐渐趋向某一稳定状态。在经过一定次数的渡越以后，归一化振幅曲线已经不再发生变化了，这样我们就得到了一个自再现模。
这种稳态场分布的特点是：总的说来，在镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅逐渐降落，整个镜面上的场分布具有偶对称性。
5.3其他参数对模式分布的影响
将半镜长a依次更改为10000nm，20000nm,使得菲涅耳数Nf改变，通过观察N=300时，条形腔、矩形腔、圆形腔的稳定分布的变化，讨论出菲涅耳数Nf对于稳定模式分布的影响。
（1） a=10000nm,Nf=2.49728,N=300(稳定)：
（2） a=20000nm,Nf=9.78912,N=300（稳定）
分析：对比这几幅图，可以看出：（1）对于条形腔、矩形腔，镜面中心的振幅在菲涅耳数较大时可能不是最大的；较小时，中心振幅最大。并且振幅从中心向外是振荡下降的，菲涅耳数越大振动的越厉害；菲涅耳数越小幅度曲线越平滑，更近似高斯分布，相位接近球面波分布。由于平行平面腔的基模振幅分布是高斯分布，相位分布近似于球面波分布。所以可以认为，
在菲涅尔数较小的情况
下，高阶模的损耗远大于基模的。（2）对于圆形腔：模场是以圆心为中心的中心对称。圆心的振幅较大，向外延伸时，振幅下降，菲涅耳数越小，下降的越平滑。
6.设计体会与感想
本次课程设计我采用的是在matlab中用Fox-Li平行平面腔的迭代解法的方法求得激光器腔镜面上的光场分布、并模拟任意次渡越，从而分析谐振腔内的模式在渡越过程中的变化。我觉得这是对激光原理部分谐振腔的原理、计算公式以及Matlab编程方法的双重考察。
以前虽然在物理光学课程中已经应用过Matlab进行编程作业，但在这次课设中让我进一步的体会到Matlab对于仿真模拟的重要性。在编写过程中核心算法-菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的近似积分以前已经做过类似的程序，所以并没有让我觉得有困难，而整个GUI界面与代码的联合是以前从来没有接触过的，只有自己查找书籍，慢慢摸索，花费了很多时间。
在设计过程中遇到了很多的问题，发现的错误很多。特别在GUI界面与代码关联部分，出现过无法输入数据，无法计算菲涅耳数，无法绘制图像等问题。在完成程序后的检查测试过程中，我又发现自己的GUI界面的振幅图像出现的无法更新的Bug,对照程序检查了很久才检查出问题仅仅出现在一个“hold on”语句中。这次的经历让我认识到，编程过程中一定要冷静、仔细，否则一个小小的问题可能会导致程序很大的漏洞。
通过这次的激光课设，我对于不同谐振腔自再现模的形成过程以及典型近似都有了更为深刻地认识。利用程序对不同谐振腔自再现模生成仿真图像，将理论与实际结合起来，让我对于几种腔型的模场分布有了更加直观的认识。
【参考文献】