指数与指数函数
知识点一：指数幂的运算（熟练掌握指数式与根式的互化）
1、各种有理数指数的定义
n 0
①正整数指数幂：a ②零指数幂：a 。（其中a ≠0）
-n
③负整数指数幂：a
（a ≠0, n ∈N ）
④正分数指数幂：a (m , n∈N , n>1, a ≥0) ⑤负整数指数幂：a 2、幂的运算法则
①a ∙a =。(a >0, r 、s ∈Q ) ②a ÷a =。(a ≠0, r 、s ∈Q ) ③(a r ) S =(a >0, r 、s ∈Q ) ④(ab ) r = 。(a >0, b >0. r ∈Q ) ⑤() =(a >0, b >0. r ∈Q )
r
s
r
s
m
n
-
m n
。(a>0 , m , n∈N , n>1)
a b
r
3. 根式运算性质：①a ）=a ，②a n =⎨题型1 根式的运算 例1．求下列各式的值：
n
⎧a , n 为奇数；⎩|a |,n 为偶数
324 （4）a -b ) 2（a>b） （18）（210）（33－π）
例2.
题型2 分数指数幂的概念与运算（抓住分母在外，由内到外的原则） 例题：用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a >0）
3
① a ∙a ② a 2∙a 2 ③a ∙a
练习：1. 用分数指数幂的形式表示下列各式： ①
x 2 ② (a +b ) 3(a +b >0) ③(m -n ) 2(m >n )
4
④(m -n ) (m >n ) ⑤ p q (p >0) ⑥
65
m 3m
2、化简(
36
a 9) 4∙(a 9) 4的结果是（ ）
8
4
2
A 、a B 、a C 、a D 、a
1-336
3、求值：①() =. ② 273=. ③() 2=
249
4、下列各式正确的是（ ）
A 、a ∙a =a B 、(-a 2) 3=(-a 3) 2 C 、(a -1) 0=0 D 、(-a 2) 3=-a 6
-127-20-225、计算①() +(-2. 8) -(1) +0. 1 ②(a -a 2) 2
49
3
1
2
3
6
23
11
题型3：有理数指数幂的混合运算 例题：计算下列各式：
①(2a b )(-6a b ) ÷(-3a b ) ②(25-) ÷25
练习：计算下列各式的值：
-1
①(m y ) ② ③ 23⨯. 5⨯ ④2x (x 3-2x 3)
2a ∙a 2
2
[1**********]
14
-
388
a 2
-
13
12
题型4：整体思想
-1
1. 已知x +x =3, 求下列各式的值:
(1) x
12
+x
-
12
; (2) x +x .
32
-
32
（ 3 ）x -x
12
-
12
（ 4 ）x -x
32
-
32
;
知识点二：指数函数
一．定义： 一般地，形如函数y=ax ( a＞0且a ≠1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，其定
义域为R 。
1．下列命题中，正确命题的个数为 （ ）
1
（1）函数y =x ,(a >0且a ≠1) 不是指数函数。
a
（2）指数函数不具有奇偶性。
（3）指数函数在其定义域上是单调函数。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数，则有( )
A ．a ＝1或a ＝4 B ．a ＝1 C ．a ＝4 D ．a >0，且a ≠1 3：判断下列函数是否是指数函数？
1）y = 2-x 2) y =－ 0 . 5 x 3）y = 3 · 2x 4） y = x 0.6
A ．0
B ．１
Ｃ．２
Ｄ．３
x
4. 指数函数f (x ) =a 图像过点(2,
1
) ，求f (0)，f (1)，f (-2) 16
2x -1
5．函数y=x 是（ ）
2+1
（A ）奇函数 （B ）偶函数 (C)既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数
题型一：利用指数函数的单调性比较大小 例1 、比较下列各题中两个值的大小：
比较大小问题的处理方法：1：看类型 2：同底用单调性 3:其它类型找中间量 （1）1.52.5 ， 1.53.2 （2）0.5-1.2 ， 0.5-1.5 （3）1.50.3 ， 0.81.2
2、若a =0. 8
0. 7
，b =0. 8
0. 9
，c =1. 2
0. 8
，则a , b , c 的大小关系为
3. 下列关系式中正确的是 （ ）
2
11
2A ⎛ 1⎫⎪3
⎝2⎭⎝2⎭
B . ⎛ 1⎫⎪3
⎪3
2⎭
33
⎝2⎭
⎪
D . 2-1. 5
⎝2⎭
⎝2⎪⎭
4. 若a , b 满足0
B . b a
C. a a
D b b
题型二：指数型函数过定点的问题（令指数部分为0解出x 即可） 例1. 函数f (x ) =a x +1+1(a >0且a ≠1)的图象一定通过点
2．若a > 0，则函数
y =a x -1+1的图像经过定点 （ ）
A. （1，2） B.（2，1） C.（0，1+1
a
） D.（2，1＋a ） 3. 函数y =a
x -3
+2恒过点
题型三：利用单调性解不等式和相关问题（看清底数大于1还是在0到1之间） 方法：两边换为同底的指数式，利用单调性脱去底数求解
m
例1．若⎛ 1⎫
⎝4⎪⎭
A. m =
n
2
B.m = n C.m > n D.m (1
3
) 4x -1中x 的取值范围
3. .求不等式a 2x 2
-7
>a 4x -1(a >0且a ≠1) 中x 的取值范围。
4.
函数
⎛1⎫
5. 函数y =- ⎪的定义域是多少？
⎝2⎭
x
6. 如果指数函数f (x ) =(a -1) x 在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是___________.
7．函数y =a x （a >0, a ≠1）在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为多少？
题型四：指数复合函数的单调区间（对任何复合函数：分两层函数考虑通增异减原则）
1．求函数y =3-x
2
+2x +3
的定义域，值域，单调区间
12
2. 求函数 y =() -x -3x +2 的单调区间。
3
1ax 2-4x +3（）3．已知函数f (x ) ＝ 3
(1)若a ＝－1，求f (x ) 的单调区间； (2)若f (x ) 有最大值3，求a 的值．
指数与指数函数练习
2-11-110-28a -3-3
32
) 1. 计算：（１）() ⋅(2) -(2) （2） (
342727b 6
--a -1+b -1
242
（3） （4）(2x +3y )(2x -3y 4) -1
(ab )
1
1
1
1
1
312
-
32
2. 若x 2+x -12
＝３ ．求
x +x -3
x 2+x -2
-2
的值．
3. 函数y =a x -1+1（a >0, a ≠1）必经过点4. 下列各式错误的是( ) A. 3
0. 8
>30. 7 B. 0. 50. 4>0. 50. 6 C .0. 75-0. 1() 1. 4
5. 已知c
A. 2C
>1 B. c >(1) c C. 2c (12
2
2
) c
6. 函数y =(2a -1) x 是减函数，则求a 的取值范围
7. 设0
>a x
2
+2x -2
。
8．求函数y =3x -的定义域。
9．函数y =a x
在[0, 1]上的最大值与最小值之差为3，则a 的值为多少？
10. 求函数y =(1) x
2
-3x +2
2
的单调区间和值域
指数与指数函数
知识点一：指数幂的运算（熟练掌握指数式与根式的互化）
1、各种有理数指数的定义
n 0
①正整数指数幂：a ②零指数幂：a 。（其中a ≠0）
-n
③负整数指数幂：a
（a ≠0, n ∈N ）
④正分数指数幂：a (m , n∈N , n>1, a ≥0) ⑤负整数指数幂：a 2、幂的运算法则
①a ∙a =。(a >0, r 、s ∈Q ) ②a ÷a =。(a ≠0, r 、s ∈Q ) ③(a r ) S =(a >0, r 、s ∈Q ) ④(ab ) r = 。(a >0, b >0. r ∈Q ) ⑤() =(a >0, b >0. r ∈Q )
r
s
r
s
m
n
-
m n
。(a>0 , m , n∈N , n>1)
a b
r
3. 根式运算性质：①a ）=a ，②a n =⎨题型1 根式的运算 例1．求下列各式的值：
n
⎧a , n 为奇数；⎩|a |,n 为偶数
324 （4）a -b ) 2（a>b） （18）（210）（33－π）
例2.
题型2 分数指数幂的概念与运算（抓住分母在外，由内到外的原则） 例题：用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a >0）
3
① a ∙a ② a 2∙a 2 ③a ∙a
练习：1. 用分数指数幂的形式表示下列各式： ①
x 2 ② (a +b ) 3(a +b >0) ③(m -n ) 2(m >n )
4
④(m -n ) (m >n ) ⑤ p q (p >0) ⑥
65
m 3m
2、化简(
36
a 9) 4∙(a 9) 4的结果是（ ）
8
4
2
A 、a B 、a C 、a D 、a
1-336
3、求值：①() =. ② 273=. ③() 2=
249
4、下列各式正确的是（ ）
A 、a ∙a =a B 、(-a 2) 3=(-a 3) 2 C 、(a -1) 0=0 D 、(-a 2) 3=-a 6
-127-20-225、计算①() +(-2. 8) -(1) +0. 1 ②(a -a 2) 2
49
3
1
2
3
6
23
11
题型3：有理数指数幂的混合运算 例题：计算下列各式：
①(2a b )(-6a b ) ÷(-3a b ) ②(25-) ÷25
练习：计算下列各式的值：
-1
①(m y ) ② ③ 23⨯. 5⨯ ④2x (x 3-2x 3)
2a ∙a 2
2
[1**********]
14
-
388
a 2
-
13
12
题型4：整体思想
-1
1. 已知x +x =3, 求下列各式的值:
(1) x
12
+x
-
12
; (2) x +x .
32
-
32
（ 3 ）x -x
12
-
12
（ 4 ）x -x
32
-
32
;
知识点二：指数函数
一．定义： 一般地，形如函数y=ax ( a＞0且a ≠1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，其定
义域为R 。
1．下列命题中，正确命题的个数为 （ ）
1
（1）函数y =x ,(a >0且a ≠1) 不是指数函数。
a
（2）指数函数不具有奇偶性。
（3）指数函数在其定义域上是单调函数。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数，则有( )
A ．a ＝1或a ＝4 B ．a ＝1 C ．a ＝4 D ．a >0，且a ≠1 3：判断下列函数是否是指数函数？
1）y = 2-x 2) y =－ 0 . 5 x 3）y = 3 · 2x 4） y = x 0.6
A ．0
B ．１
Ｃ．２
Ｄ．３
x
4. 指数函数f (x ) =a 图像过点(2,
1
) ，求f (0)，f (1)，f (-2) 16
2x -1
5．函数y=x 是（ ）
2+1
（A ）奇函数 （B ）偶函数 (C)既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数
题型一：利用指数函数的单调性比较大小 例1 、比较下列各题中两个值的大小：
比较大小问题的处理方法：1：看类型 2：同底用单调性 3:其它类型找中间量 （1）1.52.5 ， 1.53.2 （2）0.5-1.2 ， 0.5-1.5 （3）1.50.3 ， 0.81.2
2、若a =0. 8
0. 7
，b =0. 8
0. 9
，c =1. 2
0. 8
，则a , b , c 的大小关系为
3. 下列关系式中正确的是 （ ）
2
11
2A ⎛ 1⎫⎪3
⎝2⎭⎝2⎭
B . ⎛ 1⎫⎪3
⎪3
2⎭
33
⎝2⎭
⎪
D . 2-1. 5
⎝2⎭
⎝2⎪⎭
4. 若a , b 满足0
B . b a
C. a a
D b b
题型二：指数型函数过定点的问题（令指数部分为0解出x 即可） 例1. 函数f (x ) =a x +1+1(a >0且a ≠1)的图象一定通过点
2．若a > 0，则函数
y =a x -1+1的图像经过定点 （ ）
A. （1，2） B.（2，1） C.（0，1+1
a
） D.（2，1＋a ） 3. 函数y =a
x -3
+2恒过点
题型三：利用单调性解不等式和相关问题（看清底数大于1还是在0到1之间） 方法：两边换为同底的指数式，利用单调性脱去底数求解
m
例1．若⎛ 1⎫
⎝4⎪⎭
A. m =
n
2
B.m = n C.m > n D.m (1
3
) 4x -1中x 的取值范围
3. .求不等式a 2x 2
-7
>a 4x -1(a >0且a ≠1) 中x 的取值范围。
4.
函数
⎛1⎫
5. 函数y =- ⎪的定义域是多少？
⎝2⎭
x
6. 如果指数函数f (x ) =(a -1) x 在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是___________.
7．函数y =a x （a >0, a ≠1）在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为多少？
题型四：指数复合函数的单调区间（对任何复合函数：分两层函数考虑通增异减原则）
1．求函数y =3-x
2
+2x +3
的定义域，值域，单调区间
12
2. 求函数 y =() -x -3x +2 的单调区间。
3
1ax 2-4x +3（）3．已知函数f (x ) ＝ 3
(1)若a ＝－1，求f (x ) 的单调区间； (2)若f (x ) 有最大值3，求a 的值．
指数与指数函数练习
2-11-110-28a -3-3
32
) 1. 计算：（１）() ⋅(2) -(2) （2） (
342727b 6
--a -1+b -1
242
（3） （4）(2x +3y )(2x -3y 4) -1
(ab )
1
1
1
1
1
312
-
32
2. 若x 2+x -12
＝３ ．求
x +x -3
x 2+x -2
-2
的值．
3. 函数y =a x -1+1（a >0, a ≠1）必经过点4. 下列各式错误的是( ) A. 3
0. 8
>30. 7 B. 0. 50. 4>0. 50. 6 C .0. 75-0. 1() 1. 4
5. 已知c
A. 2C
>1 B. c >(1) c C. 2c (12
2
2
) c
6. 函数y =(2a -1) x 是减函数，则求a 的取值范围
7. 设0
>a x
2
+2x -2
。
8．求函数y =3x -的定义域。
9．函数y =a x
在[0, 1]上的最大值与最小值之差为3，则a 的值为多少？
10. 求函数y =(1) x
2
-3x +2
2
的单调区间和值域