高等数学实践课
如何判断非正常积分的敛散性
如何判断非正常积分的敛散性
引言
在积分学中研究定积分，常常有两个比较重要的约束条件：一是积分区间[a,b]必须是 有限的；二是被积函数f(x)在[a,b] 上市有界函数，即积分区间的有界性和被积函数 的有界性。这两个约束条件限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及 到的积分区间是无穷区间或被积函数出现无界情形，也就是在许多理论和实际中往往不能 满足这两个条件。因此，就要研究区间上或者无界函数的积分问题。而将这两个约束条件 取消便得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间 无界的无穷积分和将被积函数扩展到了瑕积分。这两种积分就是通常所说的反常积分。反 常积分是伴随着数学的发展而发展起来的近代函数。作为函数中的一类基本命题，它是高 等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其它科学的 发展起来促进作用，并且在其他许多科学及科学领域中也有十分广泛的应用。但是，反常 积分涉及到了一个所谓的收敛性问题。由于反常积分应用的重要性，所以，对反常积分敛 散性进行讨论，也就显得十分重要了。
一： 1：无穷区间上的反常积分
定义（1）：设f(x)是[a,+∞）上的连续函数，称
⎰a
+∞
f (x ) dx =lim
⎰b →+∞a
lim
b
f (x ) dx
b
为f(x)在[a,+∞）上的反常积分。当极限否则称此反常积分发散。
⎰b →+∞a
f (x ) dx 存在时，称此反常积分收敛，
（2）设f(x)是(—∞，b ]上的连续函数，称
⎰
b
-∞
f (x ) dx =lim ⎰f (x ) dx
a →-∞a
b
为
否则称此反常积分发散。
f(x)在(—∞，b ]上的反常积分。当极限a →-∞
lim
⎰
b
a
f (x ) dx
存在时，称此反常积分收敛，
(3)设f(x) 是（—∞，+∞）上的连续函数，c 是任一实数，称 ⎰
+∞
-∞
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰
-∞
c +∞
c
f (x ) dx
为f(x)在（—∞，+∞）上的反常积分。当积分
⎰
c
-∞
f (x ) dx
和
⎰
+∞
c
f (x ) dx
都收敛时，称反常
⎰
+∞
-∞
f (x ) dx
收敛，否则成反常积分
+∞dx
x p
⎰
+∞
-∞
f (x ) dx
发散。
例1：证明：广义积分 1证：当p=1时，
，当p>1时收敛，当x
⎰
+∞
dx
1
x
p
=⎰
+∞
1
dx
=+∞x
， 广义积分发散；
而当p>1时，
⎰
+∞
dx
1
x
p
=
1111-p
=(0-1) =
1-p x 1-p p -1， 广义积分收敛；
当p
⎰
+∞
dx
1
x
p
=
1
1-p
x
1-p
=+∞
广义积分发散。
1
因此，当p>1时广义积分收敛，其值为1-p ；当p
2：无界函数的反常积分:
（1）设函数f(x)在(a，b] 上连续且x=a是其奇点，称
⎰
b
a
f (x ) dx =lim +⎰f (x ) dx
ε→0a +ε
b
lim +ε→
为f(x)在(a，b]上的反常积分。当极限0
收敛，否则称此反常积分发散。
⎰
b
a +ε
f (x ) dx
存在时，称此反常积分
（2）设函数f(x) 在[ a,b)上连续且x=b是其奇点，称
⎰
b
a
f (x ) dx =lim +⎰
ε→0a
b -ε
f (x ) dx
lim +ε→0为f(x) 在(a，b]上的反常积分。当极限
否则称此反常积分发散。
⎰
b -ε
a
f (x ) dx
存在时，称此反常积分收敛，
（3）设函数f(x) 在[a，c ）和(c,b] 上连续且x=c是其奇点，称
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx
a
c
c b
为f(x)在[ a,b] 上的反常积分。当反常积分
⎰
c
a
f (x ) dx
和
⎰
b
c
f (x ) dx
都收敛时，称
此反常积分 收敛，否则称此反常积分 发散。
⎰
例：讨论反常积分
b
dx
a
(x -a )
q
的敛散性（q>0,b>a）。
解： 由于
是唯一的奇点。在 当q=1时，有
1
lim +=+∞q x →a (x -a )
f (x ) =
，知x=a是
1
(x -a )
q
积分区间[a,b]中的奇点且
⎰
b
dx
a
(x -a )
q
=⎰
b
a
dx
=+∞x -a .
当q ≠1时，有
⎰
(a) 当q
b
dx
a
(x -a )
dx
q
q
=
1-q 1
(b -a ) 1-q
⎰
(b) 当q>1时
b
a
(x -a )
=
1-q 1
=+∞(x -a ) 1-q .
1-q 1
(x -a ) 1-q 所以该反常积分 当0
二：定理1：设f （x ）在[ a，+∞）连续，若 x=U（t ）满足 （1）x=U（t ）在[b，c ）上严格单调， （2）U ′ t 在[b,c]上连续，
(3)u (b ) =a , u (c -0) =lim -u (t ) =+∞
t →c 则
⎰
+∞
a
f (x ) dx =⎰f [u (t )]u (t )
b
c
'
，
式中左、右两边当有一积分收敛时，另一积分也一定收敛且等式成立。
例：计算
⎰e
+∞
。
解 首先去除根号
令 t= ，则x=t 2 ，dx=2tdt，且当x=0时，t=0;当x=+∞ 时，t=+∞ 。利用换元公式的
⎰e
+∞
=⎰
-t
+∞
e
-t
2tdt =-2⎰td (e )
0+∞0
+∞
-t
=-2(t e -⎰
+∞
e
-t
dt ) =2⎰e
-t
dt =2
定理2设x=b是 在[a,b]上的唯一奇点， 在[a，b ）上连续，若x=u（t ）满足
（1） x=u（t ）在[m,n）上严格单调； （2） u ′ t 在[m，n ）上连续；
(3)u (m ) =a , u (n -0) =lim -u (t ) =b
t →n
则
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (u (x )) u (t ) dt
m
n
'
式中左右两边当有一积分收敛时，另一积分也一定
收敛且等式成立
例
计算
⎰
b
a
a
解看出，x=a和x=b是被积函数在积分区间中的奇点。为了去掉根号，做变量代换x-a=
(b -a ) (sint ) , dx =2(b -a )sin t cos tdt
,当x=b，t= ；当x=a时，t=0，有
2π
2
，
b -x =(b -a ) -(x -a ) =(b -a ) (cost )
2
⎰
b
a
π
sin t cos t (b -a ) dt
=2⎰2=π
0(b -a )(sint cos t ) .
三：与级数类比判别法： （1） 若积分
⎰
∞
a
f (x ) dx 收敛，则积分⎰f (x ) dx （A>a）同样收敛，反之亦然，同时
A
A
∞
a
A
∞
（2）
⎰
∞
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x )
∞a
在积分⎰
∞
A →∞A
f (x ) dx
收敛的情形，有 由积分
lim ⎰f (x ) dx =0
收敛性，并且
∞
∞
⎰
∞
a
f (x ) dx
收敛可得出积分
⎰cf (x ) dx
a
∞
（c=常数）的
⎰cf (x ) dx =c ⎰f (x ) dx
a
a
与⎰
∞
(4)若两个积分⎰
∞
a
f (x ) dx
∞
a
g (x ) dx
∞
收敛，则积分⎰
∞
a
[g (x ) ±f (x )]dx
收敛，且
⎰
∞
a
[g (x ) ±f (x )]dx =⎰f (x ) dx ±⎰g (x ) dx
a
a
四：利用函数的大小来判别：
１ 若至少当x>=Ａ（Ａ＞＝ａ）时成立不等式ｆ（ｘ）＜＝ｇ（ｘ），则从积分
⎰
∞
a
g (x ) dx 的收敛性得出
⎰
∞
a
f (x ) dx 的收敛性，或者同样，由积分⎰f (x ) dx 发
a
∞
散得出
⎰
∞
a
g (x ) dx 发散。证明：略。
２ 若极限
lim
x →∞
f (x )
=K (0≤K
存在，则当Ｋ＜＋∞时，由积分
⎰
∞
a
g (x ) dx 的收敛性推出积分⎰f (x ) dx 的收敛性，
a
∞
而当Ｋ＞０，由第一个积分推出第二个积分发散。(这样一来，当０＜Ｋ＜＋∞时两个 积分同时收敛或同时发散. 五：特殊判别法 1 柯西收敛准则： (1)|
⎰
+∞
a
f (x ) dx 收敛⇔∀ε>0, ∃A0>a, ∀A1>A0,A2>A0由
⎰
A 2
A 1
f (x ) dx |
(2)设x=a为奇点，则
⎰
b
a
f (x ) dx 收敛⇔∀ε>0，∃η>0, ∀x1，x2∈（a ，a+η），有|
⎰
x 2
x 1
f (x ) dx |
2 比较判别法：
设从某一值a0>=a时起，|f (x ) |=g (x ) >=0,且 例
⎰
+∞
a
g (x ) dx 收敛，则⎰
+∞
a
f (x ) dx 绝对收敛。
⎰
+∞
a
g (x ) dx 发散，则⎰|f (x ) |dx 发散。
a
+∞
⎰
+∞
1
sin x
p dx (p >0) x
sin x
|≤1
，而
解 当p>1时，|
x ⎰
+∞1
p
x
p
⎰
+∞
1
1
x
p
当p>1时收敛。
+∞
由比较判别法知
|
sin x
x
p
|dx 收敛，即⎰
sin x
1
x
p
绝对收敛。
当0
⎰
A
1
sin xdx |=|cos A-1|
1
x
p
， 在[1，+ ）上单调减少趋于0，由
狄利克莱判别法知
+∞
2x 2x x
1cos 2x sin x
dx dx 发散，由比较判别法， 发散。即当 发散， 收敛则⎰2⎰2⎰
x x x
sin x
|dx 条件收敛。 o
1
+∞
+∞
1
p
1
p
1
p
+∞1
p
⎰
+∞
sin x
x
p
收敛。又|
sin x
p
|>=
(sinx ) x
p
2
=
1
-p
cos 2x
p
，由于
（1）比较审敛法1：
设函数f (x ) 在区间[a,+ ∞ ) a>0 上连续，且f (x ) ≥0 。如果存在常数M>0 及p>1 ，使得f (x ) ≤
M
+∞N
得f (x ) ≥(a ≤x
a x
x
p
(a ≤x
⎰
+∞
a
f (x ) dx 收敛；如果存在常数N>0 ，使
例
判定反常积分
⎰
+∞
1
的收敛性。
解 由于
1
x
4
3
根据比较审敛法1，这个反常积分收敛。 （2）比较审敛法2：
设函数f (x ) 在区间(a，b]上连续，且f (x ) ≥0，x=a为f (x ) 的瑕点。如果存在常数M>0 及q
M
(x -a )
q
(a
则反常积分
⎰
b
a
f (x ) dx 收敛；如果存在常数N>0，使得
f (x ) ≥
N
(a
则反常积分
⎰
b
a
f (x ) dx 发散
3 极限审敛法1：
设函数f (x ) 在区间[a , +∞) 上连续，且f (x ) ≥0 。如果存在常数p>1，使得
x →+∞
lim
x
p
f (x ) 存在，则反常积分⎰
+∞
a
f (x ) dx 收敛；如果lim xf (x ) =d >0（或lim
x →+∞
x →+∞
xf (x ) =+∞ ），则反常积分
例
判定反常积分
⎰
+∞
a
f (x ) dx 发散
⎰
+∞
1
的收敛性。
解 由于
x →+∞
lim
x
2
=lim
x =1
根据极限审敛法1，知所给反常积分收敛。 极限审敛法2：
设函数f (x ) 在区间(a , b ] 上连续，且f (x ) ≥0 ，x=a为f (x ) 的瑕点。如果存在常数0
lim +x →a
(x -a )
q
f (x )
存在，在反常积分
⎰
b
a
f (x ) dx 收敛；如果
lim +(x -a ) f (x ) =d >0（或lim +(x -a ) f (x ) =+∞） x →a x →a
则反常积分
⎰
b
a
f (x ) dx 发散
例 判定反常积分
⎰
3
1
dx
的收敛性。 ln x
解 这里x=1是被积函数的瑕点。由罗比达法则知
1
lim(x -1) =lim +x =1>0 +x →1ln x x →1
根据极限审敛法2，所给反常积分发散 4阿贝尔判别法：
1）设x=a为f (x ) 的奇点，
⎰
b
a
f (x ) dx 收敛，g (x ) 单调有界，则⎰f (x ) g (x ) dx 收敛
a
b
2）如果f (x ) 在 [a，+∞）上可积分，g (x ) 单调有界则5 狄利克雷判别法：设
⎰
+∞
a
f (x ) g (x ) dx 收敛。
1） 函数f (x ) 在任何有限区间[a,A](A>0)可积，且积分有界： |
⎰
A
a
f (x ) dx |≤K （K=常数，a
2) 函数 单调地趋于0（x->∞ ）:
lim g (x ) =0
x →∞
那么积分
⎰
∞
a
f (x ) g (x ) dx 收敛。
6 柯西判别法：
1）若lim 若lim
x →+∞
x
p
|f (x ) | =l（01）, 则⎰|f (x ) |dx 收敛。
a +∞a
+∞
x →+∞
x
p
|f (x ) |=l（0
2）设x=a为奇点。 若lim +
x →
a a
(x -a ) (x -a )
p
|f (x ) |=l (0≤l
a
b
若lim +
x →
p
|f (x ) |=l (0
a
b
假定对于充分大的x ，函数f (x ) 具有如下形式：
f (x ) =
g (x )
x
λ
(λ>0)
+∞
那么，1）若λ>1而g (x ) ≤c 0 则
⎰
a
f (x ) dx 收敛，
⎰
+∞
a
f (x ) dx 积分发散。
比较函数为
c
x
若当x —>∞ 时函数f (x ) （与收敛或发散随λ>1或
+∞1
比较）成为λ 阶无穷小 ，λ >0，则积分⎰f (x ) dx
a x
例⎰
1+x
∞0
32
2
⎰
∞
1
被积函数当x —>+ 时各为1/2阶与2阶无穷小。所以第一个积分发散第二个积分收敛。
通过文献查找和个人总结，我小组总结出多种判别方法，同时也了解到反常积分在各 领域的应用，及其重要性，特别是在自然学科如物理等上的应用非常广泛。总结出的方法， 对我们以后做相关的题目具有帮助，也使我们更好的掌握反常积分收敛的判别方法，有助 于我们学习高等数学，也有利于以后我们专业课的学习。
高等数学实践课
如何判断非正常积分的敛散性
如何判断非正常积分的敛散性
引言
在积分学中研究定积分，常常有两个比较重要的约束条件：一是积分区间[a,b]必须是 有限的；二是被积函数f(x)在[a,b] 上市有界函数，即积分区间的有界性和被积函数 的有界性。这两个约束条件限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及 到的积分区间是无穷区间或被积函数出现无界情形，也就是在许多理论和实际中往往不能 满足这两个条件。因此，就要研究区间上或者无界函数的积分问题。而将这两个约束条件 取消便得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间 无界的无穷积分和将被积函数扩展到了瑕积分。这两种积分就是通常所说的反常积分。反 常积分是伴随着数学的发展而发展起来的近代函数。作为函数中的一类基本命题，它是高 等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其它科学的 发展起来促进作用，并且在其他许多科学及科学领域中也有十分广泛的应用。但是，反常 积分涉及到了一个所谓的收敛性问题。由于反常积分应用的重要性，所以，对反常积分敛 散性进行讨论，也就显得十分重要了。
一： 1：无穷区间上的反常积分
定义（1）：设f(x)是[a,+∞）上的连续函数，称
⎰a
+∞
f (x ) dx =lim
⎰b →+∞a
lim
b
f (x ) dx
b
为f(x)在[a,+∞）上的反常积分。当极限否则称此反常积分发散。
⎰b →+∞a
f (x ) dx 存在时，称此反常积分收敛，
（2）设f(x)是(—∞，b ]上的连续函数，称
⎰
b
-∞
f (x ) dx =lim ⎰f (x ) dx
a →-∞a
b
为
否则称此反常积分发散。
f(x)在(—∞，b ]上的反常积分。当极限a →-∞
lim
⎰
b
a
f (x ) dx
存在时，称此反常积分收敛，
(3)设f(x) 是（—∞，+∞）上的连续函数，c 是任一实数，称 ⎰
+∞
-∞
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰
-∞
c +∞
c
f (x ) dx
为f(x)在（—∞，+∞）上的反常积分。当积分
⎰
c
-∞
f (x ) dx
和
⎰
+∞
c
f (x ) dx
都收敛时，称反常
⎰
+∞
-∞
f (x ) dx
收敛，否则成反常积分
+∞dx
x p
⎰
+∞
-∞
f (x ) dx
发散。
例1：证明：广义积分 1证：当p=1时，
，当p>1时收敛，当x
⎰
+∞
dx
1
x
p
=⎰
+∞
1
dx
=+∞x
， 广义积分发散；
而当p>1时，
⎰
+∞
dx
1
x
p
=
1111-p
=(0-1) =
1-p x 1-p p -1， 广义积分收敛；
当p
⎰
+∞
dx
1
x
p
=
1
1-p
x
1-p
=+∞
广义积分发散。
1
因此，当p>1时广义积分收敛，其值为1-p ；当p
2：无界函数的反常积分:
（1）设函数f(x)在(a，b] 上连续且x=a是其奇点，称
⎰
b
a
f (x ) dx =lim +⎰f (x ) dx
ε→0a +ε
b
lim +ε→
为f(x)在(a，b]上的反常积分。当极限0
收敛，否则称此反常积分发散。
⎰
b
a +ε
f (x ) dx
存在时，称此反常积分
（2）设函数f(x) 在[ a,b)上连续且x=b是其奇点，称
⎰
b
a
f (x ) dx =lim +⎰
ε→0a
b -ε
f (x ) dx
lim +ε→0为f(x) 在(a，b]上的反常积分。当极限
否则称此反常积分发散。
⎰
b -ε
a
f (x ) dx
存在时，称此反常积分收敛，
（3）设函数f(x) 在[a，c ）和(c,b] 上连续且x=c是其奇点，称
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx
a
c
c b
为f(x)在[ a,b] 上的反常积分。当反常积分
⎰
c
a
f (x ) dx
和
⎰
b
c
f (x ) dx
都收敛时，称
此反常积分 收敛，否则称此反常积分 发散。
⎰
例：讨论反常积分
b
dx
a
(x -a )
q
的敛散性（q>0,b>a）。
解： 由于
是唯一的奇点。在 当q=1时，有
1
lim +=+∞q x →a (x -a )
f (x ) =
，知x=a是
1
(x -a )
q
积分区间[a,b]中的奇点且
⎰
b
dx
a
(x -a )
q
=⎰
b
a
dx
=+∞x -a .
当q ≠1时，有
⎰
(a) 当q
b
dx
a
(x -a )
dx
q
q
=
1-q 1
(b -a ) 1-q
⎰
(b) 当q>1时
b
a
(x -a )
=
1-q 1
=+∞(x -a ) 1-q .
1-q 1
(x -a ) 1-q 所以该反常积分 当0
二：定理1：设f （x ）在[ a，+∞）连续，若 x=U（t ）满足 （1）x=U（t ）在[b，c ）上严格单调， （2）U ′ t 在[b,c]上连续，
(3)u (b ) =a , u (c -0) =lim -u (t ) =+∞
t →c 则
⎰
+∞
a
f (x ) dx =⎰f [u (t )]u (t )
b
c
'
，
式中左、右两边当有一积分收敛时，另一积分也一定收敛且等式成立。
例：计算
⎰e
+∞
。
解 首先去除根号
令 t= ，则x=t 2 ，dx=2tdt，且当x=0时，t=0;当x=+∞ 时，t=+∞ 。利用换元公式的
⎰e
+∞
=⎰
-t
+∞
e
-t
2tdt =-2⎰td (e )
0+∞0
+∞
-t
=-2(t e -⎰
+∞
e
-t
dt ) =2⎰e
-t
dt =2
定理2设x=b是 在[a,b]上的唯一奇点， 在[a，b ）上连续，若x=u（t ）满足
（1） x=u（t ）在[m,n）上严格单调； （2） u ′ t 在[m，n ）上连续；
(3)u (m ) =a , u (n -0) =lim -u (t ) =b
t →n
则
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (u (x )) u (t ) dt
m
n
'
式中左右两边当有一积分收敛时，另一积分也一定
收敛且等式成立
例
计算
⎰
b
a
a
解看出，x=a和x=b是被积函数在积分区间中的奇点。为了去掉根号，做变量代换x-a=
(b -a ) (sint ) , dx =2(b -a )sin t cos tdt
,当x=b，t= ；当x=a时，t=0，有
2π
2
，
b -x =(b -a ) -(x -a ) =(b -a ) (cost )
2
⎰
b
a
π
sin t cos t (b -a ) dt
=2⎰2=π
0(b -a )(sint cos t ) .
三：与级数类比判别法： （1） 若积分
⎰
∞
a
f (x ) dx 收敛，则积分⎰f (x ) dx （A>a）同样收敛，反之亦然，同时
A
A
∞
a
A
∞
（2）
⎰
∞
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x )
∞a
在积分⎰
∞
A →∞A
f (x ) dx
收敛的情形，有 由积分
lim ⎰f (x ) dx =0
收敛性，并且
∞
∞
⎰
∞
a
f (x ) dx
收敛可得出积分
⎰cf (x ) dx
a
∞
（c=常数）的
⎰cf (x ) dx =c ⎰f (x ) dx
a
a
与⎰
∞
(4)若两个积分⎰
∞
a
f (x ) dx
∞
a
g (x ) dx
∞
收敛，则积分⎰
∞
a
[g (x ) ±f (x )]dx
收敛，且
⎰
∞
a
[g (x ) ±f (x )]dx =⎰f (x ) dx ±⎰g (x ) dx
a
a
四：利用函数的大小来判别：
１ 若至少当x>=Ａ（Ａ＞＝ａ）时成立不等式ｆ（ｘ）＜＝ｇ（ｘ），则从积分
⎰
∞
a
g (x ) dx 的收敛性得出
⎰
∞
a
f (x ) dx 的收敛性，或者同样，由积分⎰f (x ) dx 发
a
∞
散得出
⎰
∞
a
g (x ) dx 发散。证明：略。
２ 若极限
lim
x →∞
f (x )
=K (0≤K
存在，则当Ｋ＜＋∞时，由积分
⎰
∞
a
g (x ) dx 的收敛性推出积分⎰f (x ) dx 的收敛性，
a
∞
而当Ｋ＞０，由第一个积分推出第二个积分发散。(这样一来，当０＜Ｋ＜＋∞时两个 积分同时收敛或同时发散. 五：特殊判别法 1 柯西收敛准则： (1)|
⎰
+∞
a
f (x ) dx 收敛⇔∀ε>0, ∃A0>a, ∀A1>A0,A2>A0由
⎰
A 2
A 1
f (x ) dx |
(2)设x=a为奇点，则
⎰
b
a
f (x ) dx 收敛⇔∀ε>0，∃η>0, ∀x1，x2∈（a ，a+η），有|
⎰
x 2
x 1
f (x ) dx |
2 比较判别法：
设从某一值a0>=a时起，|f (x ) |=g (x ) >=0,且 例
⎰
+∞
a
g (x ) dx 收敛，则⎰
+∞
a
f (x ) dx 绝对收敛。
⎰
+∞
a
g (x ) dx 发散，则⎰|f (x ) |dx 发散。
a
+∞
⎰
+∞
1
sin x
p dx (p >0) x
sin x
|≤1
，而
解 当p>1时，|
x ⎰
+∞1
p
x
p
⎰
+∞
1
1
x
p
当p>1时收敛。
+∞
由比较判别法知
|
sin x
x
p
|dx 收敛，即⎰
sin x
1
x
p
绝对收敛。
当0
⎰
A
1
sin xdx |=|cos A-1|
1
x
p
， 在[1，+ ）上单调减少趋于0，由
狄利克莱判别法知
+∞
2x 2x x
1cos 2x sin x
dx dx 发散，由比较判别法， 发散。即当 发散， 收敛则⎰2⎰2⎰
x x x
sin x
|dx 条件收敛。 o
1
+∞
+∞
1
p
1
p
1
p
+∞1
p
⎰
+∞
sin x
x
p
收敛。又|
sin x
p
|>=
(sinx ) x
p
2
=
1
-p
cos 2x
p
，由于
（1）比较审敛法1：
设函数f (x ) 在区间[a,+ ∞ ) a>0 上连续，且f (x ) ≥0 。如果存在常数M>0 及p>1 ，使得f (x ) ≤
M
+∞N
得f (x ) ≥(a ≤x
a x
x
p
(a ≤x
⎰
+∞
a
f (x ) dx 收敛；如果存在常数N>0 ，使
例
判定反常积分
⎰
+∞
1
的收敛性。
解 由于
1
x
4
3
根据比较审敛法1，这个反常积分收敛。 （2）比较审敛法2：
设函数f (x ) 在区间(a，b]上连续，且f (x ) ≥0，x=a为f (x ) 的瑕点。如果存在常数M>0 及q
M
(x -a )
q
(a
则反常积分
⎰
b
a
f (x ) dx 收敛；如果存在常数N>0，使得
f (x ) ≥
N
(a
则反常积分
⎰
b
a
f (x ) dx 发散
3 极限审敛法1：
设函数f (x ) 在区间[a , +∞) 上连续，且f (x ) ≥0 。如果存在常数p>1，使得
x →+∞
lim
x
p
f (x ) 存在，则反常积分⎰
+∞
a
f (x ) dx 收敛；如果lim xf (x ) =d >0（或lim
x →+∞
x →+∞
xf (x ) =+∞ ），则反常积分
例
判定反常积分
⎰
+∞
a
f (x ) dx 发散
⎰
+∞
1
的收敛性。
解 由于
x →+∞
lim
x
2
=lim
x =1
根据极限审敛法1，知所给反常积分收敛。 极限审敛法2：
设函数f (x ) 在区间(a , b ] 上连续，且f (x ) ≥0 ，x=a为f (x ) 的瑕点。如果存在常数0
lim +x →a
(x -a )
q
f (x )
存在，在反常积分
⎰
b
a
f (x ) dx 收敛；如果
lim +(x -a ) f (x ) =d >0（或lim +(x -a ) f (x ) =+∞） x →a x →a
则反常积分
⎰
b
a
f (x ) dx 发散
例 判定反常积分
⎰
3
1
dx
的收敛性。 ln x
解 这里x=1是被积函数的瑕点。由罗比达法则知
1
lim(x -1) =lim +x =1>0 +x →1ln x x →1
根据极限审敛法2，所给反常积分发散 4阿贝尔判别法：
1）设x=a为f (x ) 的奇点，
⎰
b
a
f (x ) dx 收敛，g (x ) 单调有界，则⎰f (x ) g (x ) dx 收敛
a
b
2）如果f (x ) 在 [a，+∞）上可积分，g (x ) 单调有界则5 狄利克雷判别法：设
⎰
+∞
a
f (x ) g (x ) dx 收敛。
1） 函数f (x ) 在任何有限区间[a,A](A>0)可积，且积分有界： |
⎰
A
a
f (x ) dx |≤K （K=常数，a
2) 函数 单调地趋于0（x->∞ ）:
lim g (x ) =0
x →∞
那么积分
⎰
∞
a
f (x ) g (x ) dx 收敛。
6 柯西判别法：
1）若lim 若lim
x →+∞
x
p
|f (x ) | =l（01）, 则⎰|f (x ) |dx 收敛。
a +∞a
+∞
x →+∞
x
p
|f (x ) |=l（0
2）设x=a为奇点。 若lim +
x →
a a
(x -a ) (x -a )
p
|f (x ) |=l (0≤l
a
b
若lim +
x →
p
|f (x ) |=l (0
a
b
假定对于充分大的x ，函数f (x ) 具有如下形式：
f (x ) =
g (x )
x
λ
(λ>0)
+∞
那么，1）若λ>1而g (x ) ≤c 0 则
⎰
a
f (x ) dx 收敛，
⎰
+∞
a
f (x ) dx 积分发散。
比较函数为
c
x
若当x —>∞ 时函数f (x ) （与收敛或发散随λ>1或
+∞1
比较）成为λ 阶无穷小 ，λ >0，则积分⎰f (x ) dx
a x
例⎰
1+x
∞0
32
2
⎰
∞
1
被积函数当x —>+ 时各为1/2阶与2阶无穷小。所以第一个积分发散第二个积分收敛。
通过文献查找和个人总结，我小组总结出多种判别方法，同时也了解到反常积分在各 领域的应用，及其重要性，特别是在自然学科如物理等上的应用非常广泛。总结出的方法， 对我们以后做相关的题目具有帮助，也使我们更好的掌握反常积分收敛的判别方法，有助 于我们学习高等数学，也有利于以后我们专业课的学习。