基于平行机构的简便机器人运动学逆解算法

　第18卷第2期

2005年6月纺织高校基础科学学报.18,No.2　VolJun.,2005　BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIES

　　文章编号:100628341(2005)0220178204

汪成龙1,赵春翔2,金　京1,Ξ(1.西安工程科技学院机电工程学院,陕西西安710048;西安710036)

摘要:在机器人结构中,,可简化合并2平,能综合表示为一个.回转关节机器人,且所推导的关节控制角公式简单,便:其逆解时间可缩减50%,运算精度提高80%.

关键词;基准坐标;关节;运动学逆解问题;变换矩阵

:TP242　　文献标识码:A　

一般类型的6回转关节机器人,能导出6个含关节控制量的高非线性代数方程,其位姿求解问题极具挑战性,直到20世纪80年代才获得32次多项式的封闭解[1].用多项式连续技术对方程进行数值求解,确定可能解不大于16个[2].虽然Raghavan和Roth已基本解决了运动学逆解问题[3],但寻求更为安全、快速的求解方法一直不曾间断.问题的核心是由一组关节和连杆组成的机器人,其关节属复杂的广义自由度,尽管通过齐次变换矩阵可建立各关节与末端位姿间的关系,但空间变换的矩阵点积运算令关节控制量相互耦合,至今仍缺乏简单、有效的解决方案[2,3].

经研究发现,若在机器人结构中引入平行机构,就能实现将多个变换矩阵并为一个,有效降低运动学

1逆解的阶数.当3个相邻回转关节能组合并等效为一个当量关节时,变换矩阵T=0T1T2…n-1Tn的n值仅为

传统算式的1 3.6关节机器人能基本满足多数工业用途.推导简单的由末端位姿直接求取关节控制量的公式,无论从理论还是实践都具有深远的意义.

1　引入平行机构的回转关节特性分析

当把机器人连杆换为平行四边形机构时,其运动特性会发生一定变化,具体分析如图1和表1所示.虽然替换会增加结构的复杂性,但由于末端仅存在平移运动,使牵

连坐标系uOv内的运动能直接在回转关节坐标xOy内描述,可减

少一次绕z轴的旋转变换.基于此特征,在任何机器人结构中进

行连杆的平行机构代换,都将导致齐次变换矩阵的简化.

表1　平行机构对牵连坐标系的影响

特征分析

连杆

平行四边形机构末端坐标系随回转关节转动仅存在相对平移控制角ΩΩ相对自由度11运动轨迹圆圆图1　由平行机构取代机器人

连杆的原理简图

Ξ收稿日期:2005203204

通讯作者:汪成龙(19662),男,四川省巴中县人,西安工程科技学院讲师,主要从事机构的自动分析与控制等方面的

研究.E2mail:wangchenglong@126.com.

第2期　　　　　　　　　　基于平行机构的简便机器人运动学逆解算法

当相邻两关节的回转轴平行时,引入平行四边形

机构如图2所示.用极坐标描述各位置矢量P(长度为

方位角取Ω),可抽象出连杆与末端间的位置几何关R、

系.若已知末端矢量P(R,Ω),虽然任取杆长Ri会增加

设计的灵活性,但活动空间内部将产生空洞或重叠,并

使逻辑分析与运算关系更为复杂.为简化运算,选结构

参数R1=R2=L.经推导,有回转关节控制角为(2L2)-1),Κ=90°-0.5cos-1(R2

Ω,关节1=Ω±Κ

Ω.关节2=Ω Κ(1)179图2　回转轴平行2因末端相对于基准坐标仅存在平移,能实现在半径为2L,只要给定位置矢量),就可求解两关节控制角P(R,Ω.

2　

,,原理简图如图3所示.若设此,则末端至参考坐标系的变换矩阵可表示为

cosΑ0RcosΩcosT=-sinΑcosΑ0

00010RcosΩsinRsinΩ.1

等效于将3个回转关节的位姿变换简化为

1个,其运动学逆解难度被有效降低.当末

端位姿给定时,绕z轴的转角Α即为方位

变换关节参数,而R和Ω则可用于定位关

节控制角的计算.一般在半径为2L的球形

图3　基本运动单元的结构几何描述域内具有两确定解以供选择,能用于规划

路径或躲避障碍.由于单元内各关节功能明确,与末端位姿关系简单,若能将其模块化、标准化,则机器人结构设计时仅需进行简单的选择串联.

3　构造6回转关节机器人并推导逆解公式

一般末端姿态控制至少需要2个方位角,但一个运动单元却仅能提供

一个方位控制,因此单元串联成为必然.取正交方位以简化求解过程,构造

图4所示的机器人运动链.其中A运动单元的方位关节能绕坐标轴z旋

转,而串联B运动单元的方位关节则可绕坐标轴v旋转,允许末端具有任

意姿态,即所设计的机器人运动链,其末端姿态仅由方位关节控制.若在基

准坐标系内用角Α和Β表示,无须求解复杂的齐次矩阵,就能直接确定方

位关节控制量.其关系为

(2)Η,Η.方位关节A=Α方位关节B=Β

设末端的基准坐标为P(x,y,z),要更准确表达各要素间的几何关串联结构

系,可择Ox’y’z’作分析研究的参照系,并对末端坐标进行变换,关系式

为

(3)x’=xcosΑ+ysinΑ,y’=-x’sinΑ+ycosΑ,z’=Α.

若用图5描述其相应的空间位置关系,则在Ox’y’z’坐标系内,A运动单元的位置矢量PA处于x’Oz’平面,可由与z’轴间的夹角ΩA和长度RA表示;而B运动单元在相对坐标系Ouvw内,具有方位角Β及位置矢量PB,可表示为与v轴间的夹角ΩB和长度RB.依据相互几何关系可推导,则有图4　两运动单元的正交

180　　　　　　纺　织　高　校　基　础　科　学　学　报　　　　　　　　　第18卷

RAsinΩ,A+RBsinΩBsinΒ=x’

RBcosΩ,B=y’

AcosΩ.A+RBsinΩBcosΒ=z’(4)在运动单元B的有效空间内选择合适的RB时,(4)式可变形为

-1(y’Ω RB),B=cos

RA=(x’)2+(z’)2,-RBsinΩ-RBsinΩBsinΒBcosΒ(5)

-1((x’) (z’)),Ω-RBsinΩ-RBsinΩA=cosBsinΒBcosΒ

显然,依据(RA,ΩA)与(RB,ΩB),由(1)式能求解相串联2个运动单元图5内的4个定位关节控制角.由此可见,组合一定量的回转关节,特的位姿控制功能封装为基本运动单元()会使

设计构造机器人从简单的关节组合,、灵活的系统奠定基础.具体应用时,该6(1)　Α和Β;

(2)　,选择合适的位置矢量长度RB;

(3)　x,yz),并考虑结构尺寸的影响,由(3),(5)式计算串联单元内,定位关,A,B,ΩA,ΩB;

(4)　(Ri,Ωi)代入(1)式,经并行计算能立即获得4定位关节控制角.

4　应用特征分析

由于变换矩阵T=0T1T2…n-1Tn为4×4阶,其中可用于关节量求解的表达式仅有12项,且其项数及阶数一般会随机器人关节数n的增加而增加.因矩阵点积关系会急剧膨胀,并最终导致关节控制量难以求解.尽管人们尝试用各类方法(选择特殊的坐标系与几何参数,使用高效的逆解算法)进行化简,但至今仍缺乏更为简便的手段[4,5].引入平行四边形机构能充分发挥其连杆的平移特性,使关节变换矩阵的合并化简成为可能.

目前,商业广泛应用的六关节串联机器人已有通用的运动学逆解公式,但仅当3相邻关节轴交于一点或平行时才有显式解[5].给定末端在基准坐标系内的位姿,就能求解各关节控制量并进行相应驱动,但所能达到的控制精度和响应速度却与逆解算法密切相关.以典型的斯坦福机器人为例,引入平行四边形机构时(变异型),一次位姿变换所需运算量与原型间存在明显差异,如表2所示.

一般关节量逆解速度受算法选择与工作主频影响,且单次变换位姿所需的运算时间难以度量,故检测时可设置20s定时器,循环执行一次变换并统计重复次数N,则20 .若再由所得控制N即为单次变换速度

角计算末端位置,可分析其运算定位精度.经C++编程运行有表3所示结论,即变异型能提高位置变换速度1倍而运算所导致的定位偏差仅为原型的1 5.

　　　表2　机器人Stanford与其变异型间的运算量差异　　　　　　表3　平行机构对算法性能的影响分析斯坦福机器人乘除、开方(次)加减法(次)正、反三角函数(次)斯坦福机器人单次位姿变换时间 ms最大定位偏差变异型

原　型[1**********]变异型原　型17.539.20.0230.1当运用基本运动单元构造机器人时,其逆解过程可并发处理,关键问题是如何在各单元的有效空间内合理分配控制量.因单元内回转关节轴相互平行或垂直,且承载与安装端经过严格的相对坐标调整,以消除结构尺寸影响,减少运算参数,一旦给定单元末端位姿就能立即化为关节量,将一次性耦合求解转化为分层并行处理.无论是运动变换矩阵,还是逻辑功能组合都获得相当简化.

5　结束语

在机器人结构设计中,引入平行四边形机构,极大地简化了运动变换矩阵,使关节控制量的求解难度

第2期　　　　　　　　　　基于平行机构的简便机器人运动学逆解算法181大幅降低,甚至直接获取.提出了将关节组合为基本运动单元,通过单元叠加构造应用部件,充分运用封装模块改变传统的机器人设计方法,使非专业人士也能从事此项工作.

参考文献:

[1]　DIETMAIR.TheGoughplatformcanhave40realpostures[A].ProcSixthInternWorkshoponAdvancesinRobot

Kinematics[C].KluwerAcademicPublishers,2001.7216.

[2]　HUSTY.AnalgorithmforsolvingthedirectkinematicsofGoughplatforms[J].MechanismandMachineTheory,

2002,(4):65270.

[3]　KANE.TheuseofKane’sdynamicalequationinrobotics[J].TheIntJticsRes,:219.

[4]　张启贤.位置逆解算法研究[J].计算机工程与应用,2005,47(2)16219.

[5]　理查德・摩雷.机器人操作的数学导论[M].北京:,.2143.

Asimplearinversekinematic

parallelmechanism

A2long,ZHAOChun2xiang,JINJing,LIGuo

(1.Coll.ofMach.andElct.,XAUEST,Xi’an710048,China;

2.Dept.ofMath.,TechnologyInstituteofPoliceForce,Xi’an710036,China)1211

Abstract:Inarobotstructure,themotiontransformingmatrixcanbesimplifiedorcombinediftheaxesoftworevolvingjointsareinthesamedirectionbyintroducingparallelmechanism.Afterconnectedtoanotherperpendicularjoint,anessentialmotionunitisformedandanequivalenttransformingmatrixisachieved.Fortwounitsinaseriesconnectionwillconstructarobotwithsixrevolvingjoints,andsimpleformulasproducedordirectanglecomputationofcontroljointsiseasytobeparallelapplied.Simulatingtestsshowthattimeofitsinversekinematicscanbeshortenedby50percentanditscomputingprecisioncanbeimprovedby80percent.

Keywords:robot;worldcoordinate;joint;inversekinematicsproblems;transformingmatrix

编辑、校对:董军浪

　第18卷第2期

2005年6月纺织高校基础科学学报.18,No.2　VolJun.,2005　BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIES

　　文章编号:100628341(2005)0220178204

汪成龙1,赵春翔2,金　京1,Ξ(1.西安工程科技学院机电工程学院,陕西西安710048;西安710036)

摘要:在机器人结构中,,可简化合并2平,能综合表示为一个.回转关节机器人,且所推导的关节控制角公式简单,便:其逆解时间可缩减50%,运算精度提高80%.

关键词;基准坐标;关节;运动学逆解问题;变换矩阵

:TP242　　文献标识码:A　

一般类型的6回转关节机器人,能导出6个含关节控制量的高非线性代数方程,其位姿求解问题极具挑战性,直到20世纪80年代才获得32次多项式的封闭解[1].用多项式连续技术对方程进行数值求解,确定可能解不大于16个[2].虽然Raghavan和Roth已基本解决了运动学逆解问题[3],但寻求更为安全、快速的求解方法一直不曾间断.问题的核心是由一组关节和连杆组成的机器人,其关节属复杂的广义自由度,尽管通过齐次变换矩阵可建立各关节与末端位姿间的关系,但空间变换的矩阵点积运算令关节控制量相互耦合,至今仍缺乏简单、有效的解决方案[2,3].

经研究发现,若在机器人结构中引入平行机构,就能实现将多个变换矩阵并为一个,有效降低运动学

1逆解的阶数.当3个相邻回转关节能组合并等效为一个当量关节时,变换矩阵T=0T1T2…n-1Tn的n值仅为

传统算式的1 3.6关节机器人能基本满足多数工业用途.推导简单的由末端位姿直接求取关节控制量的公式,无论从理论还是实践都具有深远的意义.

1　引入平行机构的回转关节特性分析

当把机器人连杆换为平行四边形机构时,其运动特性会发生一定变化,具体分析如图1和表1所示.虽然替换会增加结构的复杂性,但由于末端仅存在平移运动,使牵

连坐标系uOv内的运动能直接在回转关节坐标xOy内描述,可减

少一次绕z轴的旋转变换.基于此特征,在任何机器人结构中进

行连杆的平行机构代换,都将导致齐次变换矩阵的简化.

表1　平行机构对牵连坐标系的影响

特征分析

连杆

平行四边形机构末端坐标系随回转关节转动仅存在相对平移控制角ΩΩ相对自由度11运动轨迹圆圆图1　由平行机构取代机器人

连杆的原理简图

Ξ收稿日期:2005203204

通讯作者:汪成龙(19662),男,四川省巴中县人,西安工程科技学院讲师,主要从事机构的自动分析与控制等方面的

研究.E2mail:wangchenglong@126.com.

第2期　　　　　　　　　　基于平行机构的简便机器人运动学逆解算法

当相邻两关节的回转轴平行时,引入平行四边形

机构如图2所示.用极坐标描述各位置矢量P(长度为

方位角取Ω),可抽象出连杆与末端间的位置几何关R、

系.若已知末端矢量P(R,Ω),虽然任取杆长Ri会增加

设计的灵活性,但活动空间内部将产生空洞或重叠,并

使逻辑分析与运算关系更为复杂.为简化运算,选结构

参数R1=R2=L.经推导,有回转关节控制角为(2L2)-1),Κ=90°-0.5cos-1(R2

Ω,关节1=Ω±Κ

Ω.关节2=Ω Κ(1)179图2　回转轴平行2因末端相对于基准坐标仅存在平移,能实现在半径为2L,只要给定位置矢量),就可求解两关节控制角P(R,Ω.

2　

,,原理简图如图3所示.若设此,则末端至参考坐标系的变换矩阵可表示为

cosΑ0RcosΩcosT=-sinΑcosΑ0

00010RcosΩsinRsinΩ.1

等效于将3个回转关节的位姿变换简化为

1个,其运动学逆解难度被有效降低.当末

端位姿给定时,绕z轴的转角Α即为方位

变换关节参数,而R和Ω则可用于定位关

节控制角的计算.一般在半径为2L的球形

图3　基本运动单元的结构几何描述域内具有两确定解以供选择,能用于规划

路径或躲避障碍.由于单元内各关节功能明确,与末端位姿关系简单,若能将其模块化、标准化,则机器人结构设计时仅需进行简单的选择串联.

3　构造6回转关节机器人并推导逆解公式

一般末端姿态控制至少需要2个方位角,但一个运动单元却仅能提供

一个方位控制,因此单元串联成为必然.取正交方位以简化求解过程,构造

图4所示的机器人运动链.其中A运动单元的方位关节能绕坐标轴z旋

转,而串联B运动单元的方位关节则可绕坐标轴v旋转,允许末端具有任

意姿态,即所设计的机器人运动链,其末端姿态仅由方位关节控制.若在基

准坐标系内用角Α和Β表示,无须求解复杂的齐次矩阵,就能直接确定方

位关节控制量.其关系为

(2)Η,Η.方位关节A=Α方位关节B=Β

设末端的基准坐标为P(x,y,z),要更准确表达各要素间的几何关串联结构

系,可择Ox’y’z’作分析研究的参照系,并对末端坐标进行变换,关系式

为

(3)x’=xcosΑ+ysinΑ,y’=-x’sinΑ+ycosΑ,z’=Α.

若用图5描述其相应的空间位置关系,则在Ox’y’z’坐标系内,A运动单元的位置矢量PA处于x’Oz’平面,可由与z’轴间的夹角ΩA和长度RA表示;而B运动单元在相对坐标系Ouvw内,具有方位角Β及位置矢量PB,可表示为与v轴间的夹角ΩB和长度RB.依据相互几何关系可推导,则有图4　两运动单元的正交

180　　　　　　纺　织　高　校　基　础　科　学　学　报　　　　　　　　　第18卷

RAsinΩ,A+RBsinΩBsinΒ=x’

RBcosΩ,B=y’

AcosΩ.A+RBsinΩBcosΒ=z’(4)在运动单元B的有效空间内选择合适的RB时,(4)式可变形为

-1(y’Ω RB),B=cos

RA=(x’)2+(z’)2,-RBsinΩ-RBsinΩBsinΒBcosΒ(5)

-1((x’) (z’)),Ω-RBsinΩ-RBsinΩA=cosBsinΒBcosΒ

显然,依据(RA,ΩA)与(RB,ΩB),由(1)式能求解相串联2个运动单元图5内的4个定位关节控制角.由此可见,组合一定量的回转关节,特的位姿控制功能封装为基本运动单元()会使

设计构造机器人从简单的关节组合,、灵活的系统奠定基础.具体应用时,该6(1)　Α和Β;

(2)　,选择合适的位置矢量长度RB;

(3)　x,yz),并考虑结构尺寸的影响,由(3),(5)式计算串联单元内,定位关,A,B,ΩA,ΩB;

(4)　(Ri,Ωi)代入(1)式,经并行计算能立即获得4定位关节控制角.

4　应用特征分析

由于变换矩阵T=0T1T2…n-1Tn为4×4阶,其中可用于关节量求解的表达式仅有12项,且其项数及阶数一般会随机器人关节数n的增加而增加.因矩阵点积关系会急剧膨胀,并最终导致关节控制量难以求解.尽管人们尝试用各类方法(选择特殊的坐标系与几何参数,使用高效的逆解算法)进行化简,但至今仍缺乏更为简便的手段[4,5].引入平行四边形机构能充分发挥其连杆的平移特性,使关节变换矩阵的合并化简成为可能.

目前,商业广泛应用的六关节串联机器人已有通用的运动学逆解公式,但仅当3相邻关节轴交于一点或平行时才有显式解[5].给定末端在基准坐标系内的位姿,就能求解各关节控制量并进行相应驱动,但所能达到的控制精度和响应速度却与逆解算法密切相关.以典型的斯坦福机器人为例,引入平行四边形机构时(变异型),一次位姿变换所需运算量与原型间存在明显差异,如表2所示.

一般关节量逆解速度受算法选择与工作主频影响,且单次变换位姿所需的运算时间难以度量,故检测时可设置20s定时器,循环执行一次变换并统计重复次数N,则20 .若再由所得控制N即为单次变换速度

角计算末端位置,可分析其运算定位精度.经C++编程运行有表3所示结论,即变异型能提高位置变换速度1倍而运算所导致的定位偏差仅为原型的1 5.

　　　表2　机器人Stanford与其变异型间的运算量差异　　　　　　表3　平行机构对算法性能的影响分析斯坦福机器人乘除、开方(次)加减法(次)正、反三角函数(次)斯坦福机器人单次位姿变换时间 ms最大定位偏差变异型

原　型[1**********]变异型原　型17.539.20.0230.1当运用基本运动单元构造机器人时,其逆解过程可并发处理,关键问题是如何在各单元的有效空间内合理分配控制量.因单元内回转关节轴相互平行或垂直,且承载与安装端经过严格的相对坐标调整,以消除结构尺寸影响,减少运算参数,一旦给定单元末端位姿就能立即化为关节量,将一次性耦合求解转化为分层并行处理.无论是运动变换矩阵,还是逻辑功能组合都获得相当简化.

5　结束语

在机器人结构设计中,引入平行四边形机构,极大地简化了运动变换矩阵,使关节控制量的求解难度

第2期　　　　　　　　　　基于平行机构的简便机器人运动学逆解算法181大幅降低,甚至直接获取.提出了将关节组合为基本运动单元,通过单元叠加构造应用部件,充分运用封装模块改变传统的机器人设计方法,使非专业人士也能从事此项工作.

参考文献:

[1]　DIETMAIR.TheGoughplatformcanhave40realpostures[A].ProcSixthInternWorkshoponAdvancesinRobot

Kinematics[C].KluwerAcademicPublishers,2001.7216.

[2]　HUSTY.AnalgorithmforsolvingthedirectkinematicsofGoughplatforms[J].MechanismandMachineTheory,

2002,(4):65270.

[3]　KANE.TheuseofKane’sdynamicalequationinrobotics[J].TheIntJticsRes,:219.

[4]　张启贤.位置逆解算法研究[J].计算机工程与应用,2005,47(2)16219.

[5]　理查德・摩雷.机器人操作的数学导论[M].北京:,.2143.

Asimplearinversekinematic

parallelmechanism

A2long,ZHAOChun2xiang,JINJing,LIGuo

(1.Coll.ofMach.andElct.,XAUEST,Xi’an710048,China;

2.Dept.ofMath.,TechnologyInstituteofPoliceForce,Xi’an710036,China)1211

Abstract:Inarobotstructure,themotiontransformingmatrixcanbesimplifiedorcombinediftheaxesoftworevolvingjointsareinthesamedirectionbyintroducingparallelmechanism.Afterconnectedtoanotherperpendicularjoint,anessentialmotionunitisformedandanequivalenttransformingmatrixisachieved.Fortwounitsinaseriesconnectionwillconstructarobotwithsixrevolvingjoints,andsimpleformulasproducedordirectanglecomputationofcontroljointsiseasytobeparallelapplied.Simulatingtestsshowthattimeofitsinversekinematicscanbeshortenedby50percentanditscomputingprecisioncanbeimprovedby80percent.

Keywords:robot;worldcoordinate;joint;inversekinematicsproblems;transformingmatrix

编辑、校对:董军浪