含参量函数恒成立问题解法例析

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含参量函数恒成立问题解法例析

作者：焦冬梅

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第10期

纵观近几年的新课标全国卷，几乎都是以函数问题作为最后的压轴题，而函数问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的理解和应用. 函数中的恒成立问题往往是融合了函数、导数、不等式等，考查学生解决综合问题的能力. 我们在这里对两种常见的含参量的恒成立问题的解决方法进行简单总结.

一、分离参量法

【例1】已知函数f （x ）=xlnx，对于任意正实数x ，不等式f （x ）>kx-12恒成立，求实数k 的取值范围.

解析：由于x>0，

所以f （x ）=xlnx>kx-12，

∴k

令k （x ）=lnx+12x，

则令k′（x ）=1x-12x2=2x-12x2=0，

得x=12.

当x ∈（0，12）时，k′（x ）

当x ∈（12，+∞）时，k′（x ）>0.

则x=12时取得最小值，

k（x ）min=k（12）=ln12+1=1-ln2.

∴k 的取值范围是（-∞，1-ln2）.

点评：对于恒成立的不等式中，如果求的参量很容易分离出来，不等号的另一侧构造x 的函数，对于x 取值范围内任意一个数都有a≥f（x ）恒成立，则a≥f（x ）max ，若a≤f（x ）恒成立，则a≤f（x ）min. 这种方法是学生最常用的方法，但其缺点是往往需要进行多次求导，构造函数，当遇到不等式中含有对数等符号时会比较困难.

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含参量函数恒成立问题解法例析

作者：焦冬梅

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第10期

纵观近几年的新课标全国卷，几乎都是以函数问题作为最后的压轴题，而函数问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的理解和应用. 函数中的恒成立问题往往是融合了函数、导数、不等式等，考查学生解决综合问题的能力. 我们在这里对两种常见的含参量的恒成立问题的解决方法进行简单总结.

一、分离参量法

【例1】已知函数f （x ）=xlnx，对于任意正实数x ，不等式f （x ）>kx-12恒成立，求实数k 的取值范围.

解析：由于x>0，

所以f （x ）=xlnx>kx-12，

∴k

令k （x ）=lnx+12x，

则令k′（x ）=1x-12x2=2x-12x2=0，

得x=12.

当x ∈（0，12）时，k′（x ）

当x ∈（12，+∞）时，k′（x ）>0.

则x=12时取得最小值，

k（x ）min=k（12）=ln12+1=1-ln2.

∴k 的取值范围是（-∞，1-ln2）.

点评：对于恒成立的不等式中，如果求的参量很容易分离出来，不等号的另一侧构造x 的函数，对于x 取值范围内任意一个数都有a≥f（x ）恒成立，则a≥f（x ）max ，若a≤f（x ）恒成立，则a≤f（x ）min. 这种方法是学生最常用的方法，但其缺点是往往需要进行多次求导，构造函数，当遇到不等式中含有对数等符号时会比较困难.


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