10.2.2排列组合的应用(教案)
周 波
一、教学目标：
1．理解并能熟练掌握求排列组合的一般方法，对不同题型寻求到一种恰当的解答方式。
2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，体验数学思想方法的发现和运用带来的解题便利，体会数学的实用价值和魅力。 二、教学重点与难点：
教学重点：常见排列组合题型的归纳求解，几类思想方法的传授。
教学难点：解题过程中分类为加、分步为乘，有序排列、无序组合的区分联系。 三、学情分析：
高中数学中的排列组合问题和生活的联系比较大,也是高中学生学习的重难点,同样还是
高考的必考内容。现在很多学生都对这部分内容感到难,遇到这些问题不会做,这也就成了学习中棘手的事,基于此,本课就高中数学教学中排列组合应用问题进行探究。 三、教学方法与教学手段：
本节课以教师为引导，学生为主体，讨论为主线的教学原则，采用情境教学、操作发现、直观演示的教学方法。以“不会才教，以教导学”作为教学路径，利用多媒体辅助教学等手段，通过合作交流、动手操作、自主探究的学习方法，使学生在一系列活动中感知排列组合，让学生快乐学习、高效学习。
大屏幕
四、教学过程 【创设情境】
高三、七班举行元旦联欢会
问题1. 甲、乙、丙三人作为联欢会的候选人，需要选2名主持节目，其中1名作正主持人，1名作候补主持人，有多少种不同的方法？
问题2. 甲、乙、丙三人作为联欢会的候选人，需要选2名主持节目，有多少种不同的选法？
比较这两个问题有什么区别？
【设计意图】情境教学，引出课题。 【大纲下载】
1.理解排列、组合的概念。
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。 3.能解决简单的实际问题。
【设计意图】明确本节课的学习目的和要求。 【回归教材】
1.排列、组合的定义。 2.排列数组合数的公式。
3.常见的排列组合的解题技巧：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问
题单排法；④定位问题优先法；⑤定序问题倍缩法；
这些技巧是我们解决排列组合问题的策略针对原则。
【设计意图】复习上节课内容，为本节课作铺垫，温故而知新，承上启下。 【授人以渔】
例一： 联欢会要从7个不同的文艺节目中选4个编成一个节目单，如果某女生的独 唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
13
解法一：（从特殊位置考虑）A6A6720
34 解法二：（从特殊元素考虑）若选：A13A6 若不选：A6
34
则共有 A13A6＋A6＝720
4
解法三：（排除法）A7A36720
评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑。
【设计意图】培养学生多方面考虑问题的能力，学会一题多解。
例二：甲、乙两人从6门课程中各选3门，求甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有 种。
解法一：从反面考虑，甲、乙两人从6门课程中各选3门不同的选法种数减去3门课程都相同的选法种数:
甲、乙两人从6门课程中各选3门不同的选法种数为C63C63，又甲乙两人所选的3门课程都相同的选法种数为C63 C33种，因此满足条件的不同选法种数为C63C63－C63C33＝380种。
解法二：从正面考虑，则必须分恰有1，2，3门不同这三类：
①.1门不同C63C32C31=180种 ②.2门不同C63C31C32=180种 ③.3门不同C63 C33=20种 所以一共180+180+20=380种
评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径。本题如果从正面考虑没有应用间接法来得简单。如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则。
【设计意图】培养学生解决问题的能力，锻炼学生的思维意识，体现数学的转化思想。
例三：将4名学生分配到3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 答案 C 解析: 先将4名学生分成三组，人数分别为2，1，1，共有C42＝6种，再将这三组分配到3个实验室，有A33＝6种，由分步乘法计数原理，不同分配方案共有6×6＝36种。
评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题，该原则避免了不必要的重复与遗漏．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3
3所学校有A43种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有A4·372种分配
方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）。因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则。
【设计意图】培养学生分析问题的能力，学会分步提炼概括，分散教学难点。 【畅谈感受】
通过这节课的学习，你有什么收获？ 通过学生的回答，总结：
1．解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘。 2．解决排列、组合问题的四个原则:①策略针对原则； ②特殊优先原则；
③先取后排原则 ； ④正难则反原则。
3．能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性。
【设计意图】梳理知识关系，提炼思想方法。
【自助餐】
从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数， (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个没有重复数字且能被5整除的五位数(结果用数字表示)。
(5)联欢会要从4名男生，2名女生中选4人演小品，如果要求至少有1名女生参加，有多少种选法？
(6)有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内，恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
答案 (1) 100800 (2) 14400 (3) 5760 (4) 216 (5) 14 （6）144 解析：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C43种情况；
第二步，在5个奇数中取4个，有C54种情况； 第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有A77种情况。
所以符合题意的七位数有C43C54A77＝100800个。
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C43C54A55A33＝14400个。
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22＝5760个。
(4)若末尾为0，则可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数为A54个；若末尾为5，则可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数为C41A43个，所以一共有A54＋C41A43＝216(个)。
（5）共有C64-C44=14种。
(6)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有C42种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法:C41C42C31A22＝144种．
【设计意图】拓展学生思维发展空间，培养学生举一反三的能力。 【分层作业】
1.必做题：题组快练59 No.8、11、12、13； 2.思 考：排列组合专题研究例2
3.学习后记：小论文《排列、组合问题的异同》
【设计意图】作业的设计，便于教师有效把握和调节教学进程，同样也使学生巩固新知，熟练解题方法，拓展学生学习空间，并为下节课打好基础。 附： 板书设计
【设计意图】课件并不能代表一切，美观大方的板书重点突出，浓缩了教学内容。 【课后反思】
10．2.2《排列组合应用》教学设计说明
本节课的定位是排列组合问题的简单应用原则，我以教师为引导，学生为主体，讨论为主线的教学原则，采用了“问题解决”的教学模式，分层实现教学目标。通过合作交流、动手操作、自主探究的学习方法，提高课堂的学习效率。
首先通过对两个问题的比较，让学生参与活动，在对比分析过程中，激发学生的学习兴趣，使其初步感受到排列组合的区别，同时也在学生的思维中呈现了排列组合的模型，引出课题——排列组合的应用。在复习环节中，我将旧知识的检查有机地融合在学生对新知识的探求过程中，力求新知导入的自然、快捷、高效。
例题能让学生在感受数学源自生活的同时，体会已有知识不足以解决新问题的“窘迫”，从而产生内源性的驱动力，极力参与到问题的提出、讨论、总结和应用等环节中，提高主体参与的深度与广度。为了让学生更好地把握排列组合的应用，教学时着重强调排列组合的区别、解决问题的规律与原则，让学生动手实践、自主探索、合作交流总结经验，让学生在以后的学习过程中遇到相关的排列组合实际问题时有“抓头”，能够自觉地把实际问题演变成排列组合的问题，很熟练的找到解决问题的方法和手段。这主要体现在例题和练习的反馈教学中。
由于学生的基础参差不齐，为此，在教学中要顾及全局，注意提高差生的学习兴趣和学习能力，耐心讲解，耐心辅导。在讨论和点评过程中会出现各种情况，教师要灵活处理，让学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。
10.2.2排列组合的应用(教案)
周 波
一、教学目标：
1．理解并能熟练掌握求排列组合的一般方法，对不同题型寻求到一种恰当的解答方式。
2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，体验数学思想方法的发现和运用带来的解题便利，体会数学的实用价值和魅力。 二、教学重点与难点：
教学重点：常见排列组合题型的归纳求解，几类思想方法的传授。
教学难点：解题过程中分类为加、分步为乘，有序排列、无序组合的区分联系。 三、学情分析：
高中数学中的排列组合问题和生活的联系比较大,也是高中学生学习的重难点,同样还是
高考的必考内容。现在很多学生都对这部分内容感到难,遇到这些问题不会做,这也就成了学习中棘手的事,基于此,本课就高中数学教学中排列组合应用问题进行探究。 三、教学方法与教学手段：
本节课以教师为引导，学生为主体，讨论为主线的教学原则，采用情境教学、操作发现、直观演示的教学方法。以“不会才教，以教导学”作为教学路径，利用多媒体辅助教学等手段，通过合作交流、动手操作、自主探究的学习方法，使学生在一系列活动中感知排列组合，让学生快乐学习、高效学习。
大屏幕
四、教学过程 【创设情境】
高三、七班举行元旦联欢会
问题1. 甲、乙、丙三人作为联欢会的候选人，需要选2名主持节目，其中1名作正主持人，1名作候补主持人，有多少种不同的方法？
问题2. 甲、乙、丙三人作为联欢会的候选人，需要选2名主持节目，有多少种不同的选法？
比较这两个问题有什么区别？
【设计意图】情境教学，引出课题。 【大纲下载】
1.理解排列、组合的概念。
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。 3.能解决简单的实际问题。
【设计意图】明确本节课的学习目的和要求。 【回归教材】
1.排列、组合的定义。 2.排列数组合数的公式。
3.常见的排列组合的解题技巧：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问
题单排法；④定位问题优先法；⑤定序问题倍缩法；
这些技巧是我们解决排列组合问题的策略针对原则。
【设计意图】复习上节课内容，为本节课作铺垫，温故而知新，承上启下。 【授人以渔】
例一： 联欢会要从7个不同的文艺节目中选4个编成一个节目单，如果某女生的独 唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
13
解法一：（从特殊位置考虑）A6A6720
34 解法二：（从特殊元素考虑）若选：A13A6 若不选：A6
34
则共有 A13A6＋A6＝720
4
解法三：（排除法）A7A36720
评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑。
【设计意图】培养学生多方面考虑问题的能力，学会一题多解。
例二：甲、乙两人从6门课程中各选3门，求甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有 种。
解法一：从反面考虑，甲、乙两人从6门课程中各选3门不同的选法种数减去3门课程都相同的选法种数:
甲、乙两人从6门课程中各选3门不同的选法种数为C63C63，又甲乙两人所选的3门课程都相同的选法种数为C63 C33种，因此满足条件的不同选法种数为C63C63－C63C33＝380种。
解法二：从正面考虑，则必须分恰有1，2，3门不同这三类：
①.1门不同C63C32C31=180种 ②.2门不同C63C31C32=180种 ③.3门不同C63 C33=20种 所以一共180+180+20=380种
评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径。本题如果从正面考虑没有应用间接法来得简单。如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则。
【设计意图】培养学生解决问题的能力，锻炼学生的思维意识，体现数学的转化思想。
例三：将4名学生分配到3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 答案 C 解析: 先将4名学生分成三组，人数分别为2，1，1，共有C42＝6种，再将这三组分配到3个实验室，有A33＝6种，由分步乘法计数原理，不同分配方案共有6×6＝36种。
评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题，该原则避免了不必要的重复与遗漏．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3
3所学校有A43种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有A4·372种分配
方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）。因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则。
【设计意图】培养学生分析问题的能力，学会分步提炼概括，分散教学难点。 【畅谈感受】
通过这节课的学习，你有什么收获？ 通过学生的回答，总结：
1．解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘。 2．解决排列、组合问题的四个原则:①策略针对原则； ②特殊优先原则；
③先取后排原则 ； ④正难则反原则。
3．能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性。
【设计意图】梳理知识关系，提炼思想方法。
【自助餐】
从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数， (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个没有重复数字且能被5整除的五位数(结果用数字表示)。
(5)联欢会要从4名男生，2名女生中选4人演小品，如果要求至少有1名女生参加，有多少种选法？
(6)有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内，恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
答案 (1) 100800 (2) 14400 (3) 5760 (4) 216 (5) 14 （6）144 解析：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C43种情况；
第二步，在5个奇数中取4个，有C54种情况； 第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有A77种情况。
所以符合题意的七位数有C43C54A77＝100800个。
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C43C54A55A33＝14400个。
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22＝5760个。
(4)若末尾为0，则可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数为A54个；若末尾为5，则可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数为C41A43个，所以一共有A54＋C41A43＝216(个)。
（5）共有C64-C44=14种。
(6)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有C42种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法:C41C42C31A22＝144种．
【设计意图】拓展学生思维发展空间，培养学生举一反三的能力。 【分层作业】
1.必做题：题组快练59 No.8、11、12、13； 2.思 考：排列组合专题研究例2
3.学习后记：小论文《排列、组合问题的异同》
【设计意图】作业的设计，便于教师有效把握和调节教学进程，同样也使学生巩固新知，熟练解题方法，拓展学生学习空间，并为下节课打好基础。 附： 板书设计
【设计意图】课件并不能代表一切，美观大方的板书重点突出，浓缩了教学内容。 【课后反思】
10．2.2《排列组合应用》教学设计说明
本节课的定位是排列组合问题的简单应用原则，我以教师为引导，学生为主体，讨论为主线的教学原则，采用了“问题解决”的教学模式，分层实现教学目标。通过合作交流、动手操作、自主探究的学习方法，提高课堂的学习效率。
首先通过对两个问题的比较，让学生参与活动，在对比分析过程中，激发学生的学习兴趣，使其初步感受到排列组合的区别，同时也在学生的思维中呈现了排列组合的模型，引出课题——排列组合的应用。在复习环节中，我将旧知识的检查有机地融合在学生对新知识的探求过程中，力求新知导入的自然、快捷、高效。
例题能让学生在感受数学源自生活的同时，体会已有知识不足以解决新问题的“窘迫”，从而产生内源性的驱动力，极力参与到问题的提出、讨论、总结和应用等环节中，提高主体参与的深度与广度。为了让学生更好地把握排列组合的应用，教学时着重强调排列组合的区别、解决问题的规律与原则，让学生动手实践、自主探索、合作交流总结经验，让学生在以后的学习过程中遇到相关的排列组合实际问题时有“抓头”，能够自觉地把实际问题演变成排列组合的问题，很熟练的找到解决问题的方法和手段。这主要体现在例题和练习的反馈教学中。
由于学生的基础参差不齐，为此，在教学中要顾及全局，注意提高差生的学习兴趣和学习能力，耐心讲解，耐心辅导。在讨论和点评过程中会出现各种情况，教师要灵活处理，让学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。