1.4.2 微积分基本定理
【学习要求】
会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
【学法指导】
本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.
b1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝__ ʃaf(x)dx
______.
b2．当x∈[a，b]时，若f(x)
______.
3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线
x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围
b成的平面图形的面积S＝__ ʃa[f(x)－g(x)]dx
____________.
(如图)
探究点一 求不分割型图形的面积
问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.
2⎧⎪y＝x，解 由⎨得交点的横坐标为x＝0及x＝1. 2⎪y＝x⎩
因此，所求图形的面积为
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
＝ʃ0xdx－ʃ0xdx 112
231131＝ x |－x| 32030
211＝＝333
小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)将面积用定积分表示；
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线
y＝－x＋2所围成图形的面积．
⎧⎪y＝x－4解 由⎨ ⎪y＝－x＋2⎩
⎧x＝－3⎧x＝2⎪⎪⎨得或⎨，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图⎪⎪⎩y＝5⎩y＝0
22形可得S＝ʃ2－3(－x＋2)dx－ʃ－3(x－4)dx
12132＝(2x2)|－3－(－4x)|－3 23
2525125＝－(＝
236
探究点二 分割型图形面积的求解
问题
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？
答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下． 2
1 / 3
例2 计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.
解 方法一 作出直线y＝x－4，
曲线y＝的草图．
⎧y＝2x，解方程组⎨ ⎩y＝x－4
得直线y＝x－4与曲线y＝2x交点的坐标为(8,4)．
直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)．
因此，所求图形的面积为
S＝S1＋S2
＝ʃ40＋
[⎰84322xdx-⎰(x-4)dx] [1**********]＝ x|0 |－(x－4)|4
33x42
40＝. 3
方法二 把y看成积分变量，则
121213440S＝ʃ4. 0(y＋4－y)dy＝y＋4y－y)|0＝2263
小结 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．
1跟踪训练2 求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－所围成图形的面积． 3
解 画出图形，如图所示．
⎧y＝x，解方程组⎨⎩x＋y＝2，
x＋y＝2，⎧⎪及⎨ y＝－，⎪3⎩ ⎧⎪y＝x，⎨ 1y＝－x，⎪3⎩
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
113所以S＝ʃ10[x－(－x)]dx＋ʃ1[(2－x)－(－33
113＝ʃ1xx)dx＋ʃ(2－x＋x)dx 0133
[1**********]＝ (3 x ＋6x)|0＋(2x－2x＋6x)|
1
＝＋(2x－2)|3 3631
51113＝＋6－×9－2. 6336
探究点三 定积分的综合应用
例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为
切点A的坐标以及在切点A的切线方程．
2 / 3
1 12
解 如图，设切点A(x0，y0)，
由y′＝2x，过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，
2即y＝2x0x－x0，
xx令y＝0，得x＝，即C(0)， 22
设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，
则S＝S曲边△AOB－S△ABC，
3x
3 x020曲边△AOB00 0
11x213S△ABC＝|BC|·|AB|＝0－x＝x. 222040
33∴S＝3＝.所以x0＝1， 0x0＝3412012
从而切点为A(1,1)，切线方程为2x－y－1＝0.
小结 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．
跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx分
抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面
积相等的两部分，求k的值．
解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
23⎫1112⎛S＝ʃ0(x－x)dx＝⎝2－3x⎭|0＝. 6
2⎧⎪y＝x－x，又⎨ ⎪y＝kx，⎩
由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，
S－k2＝ʃ10(x－x－kx)dx 2
1－k213⎫1－k13＝⎛－x|0＝6(1－k). 3⎭⎝2
11又知S＝，所以(1－k)3＝ 62∵S11＝ʃ xdx＝3x| ＝3x，
314于是k＝1－ ＝1－22
194．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是______． 3
解析 由图形可得
242S＝ʃ10(x＋4－5x)dx＋ʃ1(5x－x－4)dx 155213＝(x3＋4x－2)|1＋－－4x)|401 3223
1552135119＝＋4－＋4－×4－4×4－＋4＝3223233
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.
3 / 3
1.4.2 微积分基本定理
【学习要求】
会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
【学法指导】
本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.
b1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝__ ʃaf(x)dx
______.
b2．当x∈[a，b]时，若f(x)
______.
3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线
x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围
b成的平面图形的面积S＝__ ʃa[f(x)－g(x)]dx
____________.
(如图)
探究点一 求不分割型图形的面积
问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.
2⎧⎪y＝x，解 由⎨得交点的横坐标为x＝0及x＝1. 2⎪y＝x⎩
因此，所求图形的面积为
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
＝ʃ0xdx－ʃ0xdx 112
231131＝ x |－x| 32030
211＝＝333
小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)将面积用定积分表示；
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线
y＝－x＋2所围成图形的面积．
⎧⎪y＝x－4解 由⎨ ⎪y＝－x＋2⎩
⎧x＝－3⎧x＝2⎪⎪⎨得或⎨，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图⎪⎪⎩y＝5⎩y＝0
22形可得S＝ʃ2－3(－x＋2)dx－ʃ－3(x－4)dx
12132＝(2x2)|－3－(－4x)|－3 23
2525125＝－(＝
236
探究点二 分割型图形面积的求解
问题
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？
答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下． 2
1 / 3
例2 计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.
解 方法一 作出直线y＝x－4，
曲线y＝的草图．
⎧y＝2x，解方程组⎨ ⎩y＝x－4
得直线y＝x－4与曲线y＝2x交点的坐标为(8,4)．
直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)．
因此，所求图形的面积为
S＝S1＋S2
＝ʃ40＋
[⎰84322xdx-⎰(x-4)dx] [1**********]＝ x|0 |－(x－4)|4
33x42
40＝. 3
方法二 把y看成积分变量，则
121213440S＝ʃ4. 0(y＋4－y)dy＝y＋4y－y)|0＝2263
小结 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．
1跟踪训练2 求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－所围成图形的面积． 3
解 画出图形，如图所示．
⎧y＝x，解方程组⎨⎩x＋y＝2，
x＋y＝2，⎧⎪及⎨ y＝－，⎪3⎩ ⎧⎪y＝x，⎨ 1y＝－x，⎪3⎩
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
113所以S＝ʃ10[x－(－x)]dx＋ʃ1[(2－x)－(－33
113＝ʃ1xx)dx＋ʃ(2－x＋x)dx 0133
[1**********]＝ (3 x ＋6x)|0＋(2x－2x＋6x)|
1
＝＋(2x－2)|3 3631
51113＝＋6－×9－2. 6336
探究点三 定积分的综合应用
例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为
切点A的坐标以及在切点A的切线方程．
2 / 3
1 12
解 如图，设切点A(x0，y0)，
由y′＝2x，过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，
2即y＝2x0x－x0，
xx令y＝0，得x＝，即C(0)， 22
设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，
则S＝S曲边△AOB－S△ABC，
3x
3 x020曲边△AOB00 0
11x213S△ABC＝|BC|·|AB|＝0－x＝x. 222040
33∴S＝3＝.所以x0＝1， 0x0＝3412012
从而切点为A(1,1)，切线方程为2x－y－1＝0.
小结 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．
跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx分
抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面
积相等的两部分，求k的值．
解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
23⎫1112⎛S＝ʃ0(x－x)dx＝⎝2－3x⎭|0＝. 6
2⎧⎪y＝x－x，又⎨ ⎪y＝kx，⎩
由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，
S－k2＝ʃ10(x－x－kx)dx 2
1－k213⎫1－k13＝⎛－x|0＝6(1－k). 3⎭⎝2
11又知S＝，所以(1－k)3＝ 62∵S11＝ʃ xdx＝3x| ＝3x，
314于是k＝1－ ＝1－22
194．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是______． 3
解析 由图形可得
242S＝ʃ10(x＋4－5x)dx＋ʃ1(5x－x－4)dx 155213＝(x3＋4x－2)|1＋－－4x)|401 3223
1552135119＝＋4－＋4－×4－4×4－＋4＝3223233
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.
3 / 3