第04讲 数一数
前两节课我们认识了许多几何图形，这节课我们在前面的基础上学习几何图形的计数问题。 通过本节课的学习，培养我们的空间想象能力，并且掌握图形计数的一些数学方法：分类法，归纳法等。具体我们应该掌握以下问题： 一、基本图形的识别 二、点的计数问题 三、线段的计数问题 四、角的计数问题
五、三角形的计数问题 六、四边形的计数问题 七、探索题目
一、基本图形的识别
例1 请观察下列图形，数一数，图中有几种图形，分别为什么图形？各有几个？
解：上图中共有三种图形：三角形、矩形和圆，其中有6个三角形，4个长方形，4个圆。
例2 请观察下图中有几种角，并数一数它们分别有几个？
解：上图中有三种角：锐角，直角和钝角，其中有3个锐角，2个直角，4个钝角。 [分析]这种类型的题目主要考察我们对于前两节课所学基本几何图形的识别问题。而对于这几种图形的计数问题是比较简单的。所以，能够熟练的识别几何图形是解决这类问题的关键。
二、点的计数问题
例3 数一数，下图中共有多少点？
解：1+3+6+9+12=31
答：上题中共有31个点。
三、线段的计数问题
例4 数一数，下图中共有几条线段？
解：3+2+1=6
答：上图中共有6条线段。
解：5+4+3+2+1=15
答：上图中共有15条线段。
同学们，通过这两道题，我们能发现什么规律，考虑一下。
[分析]通过上面的两道例题，我们仔细分析，发现对于线段的计数问题是由规律可循的，即：如果图中有4个点，则线段的个数有：3+2+1；如果图中有6个点，则线段的个数有：5+4+3+2+1；。。。
那么，如果图中有10个点，那么线段的个数有多少个呢？
所以，对于这类问题，我们主要是先找到点的个数，然后按照规律计算出线段的个数。
四、 角的计数问题
例6 数一数，下图中有几个锐角？
解：3+2+1=6
答：上图中共有6个锐角。
想一想：同学们，你们仔细看一下，仔细想一想，这道题有没有规律，这个规律和第三类问题的线段的计数问题的规律有相似之处吗？
五、 三角形的计数问题
答：共有3+1个三角形。
例8 数一数，下图中共有几个三角形？
答：共有3+4+1=8个三角形。
[分析]通过这两道题，我们发现对于这类数三角形的个数的问题，我们可以按照下面的步骤去分类讨论，可以在数数的过程中不多不漏。（1）由一个三角形组成的三角形有几个？（2）由两个三角形组成的三角形有几个？（3）有三个三角形组成的三角形有几个？…等等。
例9 数一数，下图中有几个三角形？
5+4+3+2+1=15
答：共有15个三角形。 [分析]通过我们总结的规律，我们可以很容易找到三角形的个数。那么再仔细观察一下，这道题我们能不能找到更快捷的方法？
对了，我们只需要找到下面的这条线段上有几个点，然后求出下面的这条线段上共有几条线段，那么这就是三角形的个数。
六、 四边形的计数问题
例10 数一数，下图中共有几个正方形？
解：4+5+1=10
答：上图中共有10个正方形。
[分析]这道题我们找一下规律，通过前面几道例题，我们关于图形的计数问题，关键是要做到计数过程中不重不漏。那么，要做到这一点，关键是对于具体题目的分类问题。 对于本题，我们可以这样分类：最小的正方形，稍大点的正方形，最大的正方形，然后分别观察途中这几类图形各有几个，最后相加即可。
例11 数一数，下图中共有几个长方形？
解：3+1+1=5
答：上图中共有5个长方形。
[分析]本题分类方法：由一个长方形组成的长方形，由两个长方形组成的长方形，由三个长方形组成的长方形，通过观察图形，发现它们分别有3个、1个、1个，最后相加即得5。
七、 探索题目
例12 数一数，下图中共有几个三角形？
解：上图中
由一个三角形组成的三角形有：1+3+5+7=16（个） 由四个三角形组成的三角形有：1+2+3+1=7（个） 由9个三角形组成的三角形有：1+2=3（个） 最大的三角形有：1（个）
所以共有三角形 16+7+3+1=27（个） 答：上图中共有三角形27个。
例13 数一数，下图中共有几个三角形？
解：这一道题我们可以这样来做：
首先，我们知道下面的这个图形中的三角形的个数为15个
那么我们只需在图形中增加一条线段就得到所求题目的图形
我们观察得出这是三角形个数增加了一倍：15×2=30 所以三角形的个数为30个。
例14 数一数，下图中有几个正方形？
解：上图中
由1个正方形组成的正方形有： 6×6=36（个） 由4个正方形组成的正方形有： 5×5=25（个） 由9个正方形组成的正方形有： 4×4=16（个）
由16个正方形组成的正方形有：3×3=9（个） 由25个正方形组成的正方形有：2×2=4（个） 由36个正方形组成的正方形有：1×1=1（个） 所以上图中共有正方形的个数为 36+25+16+9+4+1=91（个）
答：上图中共有91个正方形。
结束语 这节课我们主要学习了图形的计数问题，它们包括
1．基本图形的识别 2．点的计数问题 3．线段的计数问题 4．角的计数问题 5．三角形的计数问题 6．四边形的计数问题
并且通过计数问题的学习，我们也学习了一些重要的数学思考方法：分类法，归纳法，并且锻炼了我们的空间想象能力。
好，下面我们再留几道课后练习题：
1．请观察下面图形中有几种三角形，并数一数，它们各有几个？
2．数一数，下图中共有几条线段？
3．数一数，下图中共有几个锐角？
4．数一数，下图中共有几个长方形？
5．数一数，下图中有几个圆？
第04讲 数一数
前两节课我们认识了许多几何图形，这节课我们在前面的基础上学习几何图形的计数问题。 通过本节课的学习，培养我们的空间想象能力，并且掌握图形计数的一些数学方法：分类法，归纳法等。具体我们应该掌握以下问题： 一、基本图形的识别 二、点的计数问题 三、线段的计数问题 四、角的计数问题
五、三角形的计数问题 六、四边形的计数问题 七、探索题目
一、基本图形的识别
例1 请观察下列图形，数一数，图中有几种图形，分别为什么图形？各有几个？
解：上图中共有三种图形：三角形、矩形和圆，其中有6个三角形，4个长方形，4个圆。
例2 请观察下图中有几种角，并数一数它们分别有几个？
解：上图中有三种角：锐角，直角和钝角，其中有3个锐角，2个直角，4个钝角。 [分析]这种类型的题目主要考察我们对于前两节课所学基本几何图形的识别问题。而对于这几种图形的计数问题是比较简单的。所以，能够熟练的识别几何图形是解决这类问题的关键。
二、点的计数问题
例3 数一数，下图中共有多少点？
解：1+3+6+9+12=31
答：上题中共有31个点。
三、线段的计数问题
例4 数一数，下图中共有几条线段？
解：3+2+1=6
答：上图中共有6条线段。
解：5+4+3+2+1=15
答：上图中共有15条线段。
同学们，通过这两道题，我们能发现什么规律，考虑一下。
[分析]通过上面的两道例题，我们仔细分析，发现对于线段的计数问题是由规律可循的，即：如果图中有4个点，则线段的个数有：3+2+1；如果图中有6个点，则线段的个数有：5+4+3+2+1；。。。
那么，如果图中有10个点，那么线段的个数有多少个呢？
所以，对于这类问题，我们主要是先找到点的个数，然后按照规律计算出线段的个数。
四、 角的计数问题
例6 数一数，下图中有几个锐角？
解：3+2+1=6
答：上图中共有6个锐角。
想一想：同学们，你们仔细看一下，仔细想一想，这道题有没有规律，这个规律和第三类问题的线段的计数问题的规律有相似之处吗？
五、 三角形的计数问题
答：共有3+1个三角形。
例8 数一数，下图中共有几个三角形？
答：共有3+4+1=8个三角形。
[分析]通过这两道题，我们发现对于这类数三角形的个数的问题，我们可以按照下面的步骤去分类讨论，可以在数数的过程中不多不漏。（1）由一个三角形组成的三角形有几个？（2）由两个三角形组成的三角形有几个？（3）有三个三角形组成的三角形有几个？…等等。
例9 数一数，下图中有几个三角形？
5+4+3+2+1=15
答：共有15个三角形。 [分析]通过我们总结的规律，我们可以很容易找到三角形的个数。那么再仔细观察一下，这道题我们能不能找到更快捷的方法？
对了，我们只需要找到下面的这条线段上有几个点，然后求出下面的这条线段上共有几条线段，那么这就是三角形的个数。
六、 四边形的计数问题
例10 数一数，下图中共有几个正方形？
解：4+5+1=10
答：上图中共有10个正方形。
[分析]这道题我们找一下规律，通过前面几道例题，我们关于图形的计数问题，关键是要做到计数过程中不重不漏。那么，要做到这一点，关键是对于具体题目的分类问题。 对于本题，我们可以这样分类：最小的正方形，稍大点的正方形，最大的正方形，然后分别观察途中这几类图形各有几个，最后相加即可。
例11 数一数，下图中共有几个长方形？
解：3+1+1=5
答：上图中共有5个长方形。
[分析]本题分类方法：由一个长方形组成的长方形，由两个长方形组成的长方形，由三个长方形组成的长方形，通过观察图形，发现它们分别有3个、1个、1个，最后相加即得5。
七、 探索题目
例12 数一数，下图中共有几个三角形？
解：上图中
由一个三角形组成的三角形有：1+3+5+7=16（个） 由四个三角形组成的三角形有：1+2+3+1=7（个） 由9个三角形组成的三角形有：1+2=3（个） 最大的三角形有：1（个）
所以共有三角形 16+7+3+1=27（个） 答：上图中共有三角形27个。
例13 数一数，下图中共有几个三角形？
解：这一道题我们可以这样来做：
首先，我们知道下面的这个图形中的三角形的个数为15个
那么我们只需在图形中增加一条线段就得到所求题目的图形
我们观察得出这是三角形个数增加了一倍：15×2=30 所以三角形的个数为30个。
例14 数一数，下图中有几个正方形？
解：上图中
由1个正方形组成的正方形有： 6×6=36（个） 由4个正方形组成的正方形有： 5×5=25（个） 由9个正方形组成的正方形有： 4×4=16（个）
由16个正方形组成的正方形有：3×3=9（个） 由25个正方形组成的正方形有：2×2=4（个） 由36个正方形组成的正方形有：1×1=1（个） 所以上图中共有正方形的个数为 36+25+16+9+4+1=91（个）
答：上图中共有91个正方形。
结束语 这节课我们主要学习了图形的计数问题，它们包括
1．基本图形的识别 2．点的计数问题 3．线段的计数问题 4．角的计数问题 5．三角形的计数问题 6．四边形的计数问题
并且通过计数问题的学习，我们也学习了一些重要的数学思考方法：分类法，归纳法，并且锻炼了我们的空间想象能力。
好，下面我们再留几道课后练习题：
1．请观察下面图形中有几种三角形，并数一数，它们各有几个？
2．数一数，下图中共有几条线段？
3．数一数，下图中共有几个锐角？
4．数一数，下图中共有几个长方形？
5．数一数，下图中有几个圆？