2015年浙江丽水中考数学真题卷
参考公式：抛物线y =ax 2
+bx +c 的顶点坐标为⎛ -b , b 2-4ac ⎫
⎝2a 4a ⎪.
⎭
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数-3，-2，0，3中，大小在-1和2之间的数是( )
A. -3 B. -2 C.0 D.3 【考查内容】有理数大小比较 【答案】C
【解析】在-1和2之间的数必然大于-1小于2，四个答案中只有0符合条件.
故选C.
2. 计算(a 2) 3
结果正确的是( )
A. 3a 2
B. a 6
C. a 5
D. 6a 【考查内容】幂的乘方 【答案】B
【解析】根据幂的乘方运算法则计算作出判断：
(a 2) 3=a 2⨯3=a 6.
故选B.
3. 由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是(
)
.
第3题图 A B C 【考查内容】简单组合体的三视图 【答案】A
【解析】从正面看有两层，下层有2个正方形，上层左边有一个正方形．
D
故选A ．
4. 分式-
1
可变形为( ) 1-x 1111A. - B. C. - D.
x -11+x 1+x x -1
【考查内容】分式的基本性质 【答案】D
【解析】根据分式的性质，分子分母都乘以-1，分式的值不变，可得答案：
分式-
11
的分子分母都乘以-1，得. 1-x x -1
故选D ．
5. 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【考查内容】多边形的外角性质． 【答案】C.
【解析】∵多边形的每个内角均为120°，∴外角的度数是：180°﹣120°=60°．
∵多边形的外角和是360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6． 故选C ．
6. 如图，数轴上所表示关于x 的不等式组的解集是(
)
A. x ≥2 B. x >2 C. x >-1 D. -1
【解析】不等式组的解集在数轴中的表示.
故选A.
7. 某小组7位同学的中考体育测试成绩（满分30分）依次为27，30，29，27，30，28，30，则这组数据的众数与中位数分别是( )
A.30，27 B.30，29 C.29，30 D.30，28 【考查内容】众数，中位数
【答案】B
【解析】众数为这组数中出现最多的数，中位数为这组数从小到大排列最中间的数，故选B.
8. 如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误．．
的是(
)
第8题图
A.
BD BC B. BC AD CD
AB C. AC D. AC
【考查内容】解直角三角形 【答案】C
【解析】根据余弦函数定义：cos α=
邻边
斜边
对各选项逐一作出判断： A. 在Rt △BCD 中，cos α=
BD
BC ，正确； B. 在Rt △ABC 中， cos α=BC
AB
，正确；
C 、D. 在Rt △ACD 中，∵∠ACD =α，∴ cos α=CD
AC
. 故C 错误；D 正确.
故选C ．
9. 平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线l 经过一、二、三象限，若点（0，a ），（-1）都在直线l 上，则下列判断正确的是( )
A. a
【解析】如图，可知，a >b , a >3, b >3, c
-1，b ），（c ，
第9题图
10. 如图，在方格纸中，线段a ，b ，c ，d 的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段
首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有(
)
第10题图
A.3种 B.6种 C.8种 D.12种 【考查内容】三角形构成条件 【答案】B
【解析】由图示，根据勾股定理可得：a b c =d 如答图所示，通过平移a , b , d 其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成
三角形的不同平移方法有6种.
故选B ．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：9-x =. 【考查内容】应用公式法因式分解 【答案】(3+x )(3-x )
【解析】因为9-x 2=32-x 2，所以直接应用平方差公式即可：9-x 2=32-x 2=(3+x )(3-x ) .
12. 有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 . 【考查内容】概率 【答案】
【解析】共有6张牌，是3的倍数的有3，6共2张，∴抽到序号是3的倍数的概率是
2
13
21=. 63
»，则CD »的度数是 13. 如图，圆心角∠AOB =20°，将»AB 旋转n ︒得到CD
度
【考查内容】圆周角定理 【答案】20 【解析】如图，
»，∴根据旋转的性质，得CD »=»∵将»AB 旋转n ︒得到CD AB .
∵∠AOB =20°，∴∠COD =20°.
»的度数是20°. ∴CD
14. 解一元二次方程x +2x -3=0时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 .
【考查内容】解一元二次方程 【答案】x +3=0（答案不唯一）
【解析】∵由x 2+2x -3=0得(x +3)(x -1)=0，
∴x +3=0或x -1=0.
15. 如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，
已知∠BAD =120°，∠EAF =30°，则
2
AB
AE
【考查内容】菱形的性质
第15题图
【解析】如图，
答图
过点E 作EH ⊥AB 于点H ，
∵四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，∠BAD =120°，∠EAF =30°， ∴∠ABE =30°，∠BAE =45°.
不妨设AE =
∴在等腰Rt V AEH 中，AH =EH =1；在Rt V
BEH 中，BH =
∴AB 1.
∴
AB =AE 16. 如图，反比例函数y =
k
的图象经过点（-1，-22），点A 是该图象第一象限分支上的动点，连x
结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP
.
第16题图
（1）k 的值为 .
（2）在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 .
【考查内容】反比例函数
【答案】（1
）k =；（2）（2
，
【解析】（1）∵反比例函数y =
∴-=
k
的图象经过点（-1
，-，
x
k
⇒k =-1
（2）如答图1，
图1
过点P 作PM ⊥AB 于点M ，过B 点作BN ⊥x 轴于点N ，
设A x ,
⎛ ⎝⎛，则.
B -x , ⎭⎝⎭
∴AB =∵△ABC
是等腰直角三角形，∴BC =AC BAC =45°.
∵BP 平分∠ABC ，∴∆BPM ≌∆BPC (AAS ).
∴BM =BC =
∴AM =AB -BM =2-(
.
∴PM =AM =2(
又∵OB =
∴OM =BM -OB =
1
. 易证∆OBN ∽∆OPM ，∴
ON BN OB
. ==
OM PM OP
由
ON BN
=
OM PM
-
-x
)
=
⎛-
，
解得x
∴A
2，B 2.
)
(
如答图2，过点C 作EF ⊥x 轴，过点
A 作AF ⊥EF 于点F ，过B 点作BE ⊥EF 于点E ，
答图2
易知，∆BCE
≌∆CAF (HL )，∴设
CE =AF =y . 又∵BC =
BE =y ，
∴根据勾股定理，得BC
2=BE 2+CE 2，即((
2
=y
)
2
+y 2.
∴y 2+-2=
0，解得y =2
y =2.
∴由A
2，B -2可得C 2, .
)
()(三、解答题（本题有8小题，共66分，每个小题都必须写出解答过程） 17. 计算：-4+(-2) -() 【考查内容】实数的运算 【解】原式=4+1-2=3.
18. 先化简，再求值：a (a -3) +(1-a )(1+a ) ，其中a =【考查内容】整式的混合运算—化简求值
【解】a (a -3) +(1-a )(1+a ) =a 2-3a +1-a 2=1-3a .
12
-1
. 3
当a =
=1
=1-3
19. 如图，已知△ABC ，∠C =90，AC
.
（1）用直尺和圆规，作出点D 的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD ，若∠B =37°，求∠CAD 的度数.
【考查内容】尺规作图；线段垂直平分线的性质 【解】（1）作图如下：
第19题图
答图
（2）∵△ABC 中，∠C =90，∠B =37°，∴∠BAC =53°. ∵AD =BD ，∴，∠B =∠BAD =37° ∴∠CAD =∠BAC -∠BAD =16°.
20. （8分）某运动品牌对第一季度A 、B 两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：
（1）一月份B 款运动鞋的销售量是A 款的
4
，则一月份B 款运动鞋销售了多少双？ 5
（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）； （3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议.
【考查内容】开放型；代数和统计的综合题；条形统计图和折线统计图； 二元一次方程组的应用. 【解】（1）∵50⨯
4
=40， 5
∴一月份B 款运动鞋销售了40双.
（2）设A 、B 两款运动鞋的销售单价分别为x , y 元，
⎧50x +40y =40000⎧x =400
则根据题意，得⎨，解得⎨.
⎩60x +52y =50000⎩y =500
∴三月份的总销售额为400⨯65+500⨯20=36000（元）. （3）答案不唯一，如：
从销售量来看，A 款运动鞋销售量逐月上升，比B 款运动鞋销售量大，建议多进A 款运
动鞋，少进或不进B 款运动鞋.
从总销售额来看，由于B 款运动鞋销售量逐月减少，导致总销售额减少，建议采取一些
促销手段，增加B 款运动鞋的销售量.
21. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F
.
第21题图 （1）求证：DF ⊥AC ；
（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF =22.5°，求阴影部分的面积.
【考查内容】等腰三角形的性质；平行的判定；切线的性质；三角形内角和定理；扇形和三角形面积的计算；转换思想的应用
【解】（1）证明：如答图，连接OD ，
∵OB =OD ，∴∠ABC =∠ODB . ∴AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB . ∴∠ODB =∠ACB . ∴OD ∥AC . ∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ∴DF ⊥AC . （2）如答图，连接OE ，
∵DF ⊥AC ，∠CDF =22.5°，∴∠ABC =∠ACB =67.5°. ∴∠BAC =45°. ∵OA =OB ，∴∠AOE =90°
∵⊙O 的半径为4，∴S 阴影=S 扇形OAE -S V AOC =
90⨯4π1
-⨯4⨯4=π-8. 3602
22. 甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距s （米），甲行走的时间为t （分），s 关于t 的函数函数图像的一部分如图所示
.
第22题图
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐标系中，补画s 关于t 函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？
【考查内容】一次函数的应用；待定系数法、分类思想和方程思想的应用 【解】（1）甲行走的速度为：150÷5=30（米/分）.
（2）补画s 关于t 函数图象如图所示（横轴上对应的时间为50）：
（3）由函数图象可知，当t =12.5和t =50时，s =0；当t =35时，s =450，
当12.5剟t
35时，由待定系数法可求：s =20t -250，
令s =360，即20t -250=360，解得t =30.5.
当35
∴甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米.
23. （10分）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N
.
（1）当F 为BE 中点时，求证：AM =CE ；
第23题图
AB EF AN
==2，求的值； BC BF ND AB EF
==n ，当n 为何值时，MN ∥BE ？ （3）若
BC BF
（2）若
【考查内容】探究型问题；矩形的性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质. 【解】（1）证明：∵F 为BE 中点，∴BF =EF .
∵AB ∥CD ，∴∠MBF =∠CEF ，∠BMF =∠ECF . ∴△BMF ≌△ECF （AAS ）. ∴MB =CE . ∵AB =CD ，CE =DE ，∴MB =AM . ∴AM =CE . （2）设MB =a ，
∵AB ∥CD ，∴△BMF ∽△ECF . ∴∵
EF CE
. =
BF MB
EF CE
=2，∴=2. ∴CE =2a . BF MB AB
=2，∴BC =AD =2a . BC
331AN AM AN 3a
，即. ∴AN =a , ND =2a -a =a . ==
222MB BC a 2a
∴AB =CD =2CE =4a , AM =AB -MB =3a . ∵
∵MN ⊥MC ，∠A =∠ABC =90°，∴△AMN ∽△BCM ∴
3
a
AN ==3. ∴
ND a
2
（3）设MB=a ，
∵
AB EF
==n ，∴由（2）可得BC =2a , CE =na . BC BF
当MN ∥BE 时，CM ⊥BE .
可证△MBC ∽△BCE . ∴∴n =4.
a 2a MB BC
，即. ==
2a na BC CE
∴当n =4时，MN ∥BE .
24. 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x （米），与桌面的高度为y （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
（1）当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y =a (x -3) 2+k ①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值.
第24题图
【考查内容】二次函数的应用（实际应用）；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式的应用
【解】如图，以点 为原点，桌面中线为x 轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立平面直角坐
标系.
（1）由表格中数据可知，当t =0.4秒时，乒乓球达到最大高度.
（2）由表格中数据可判断，y 是x 的二次函数，且顶点为（1，0.45），所以可设y =a (x -1)+0.45.
将（0，0.25）代入，得0.25=a (0-1)+0.45⇒a =-0.2， ∴y =-0.2(x -1)+0.45.
当y =0时，-0.2(x -1)+0.45=0，解得x =2.5或x =-0.5（舍去）. ∴乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是2.5米. （3）①由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）.
∴将（2.5，0）代入y =a (x -3) 2+k ，得0=a (2.5-3) 2+k ， 化简整理，得k =-a .
②由题意可知，扣杀路线在直线y =由①得y =a (x -3) 2-a ， 令a (x -3) 2-a =
2
2
2
2
2
1
4
1
x 上， 10
14
141
x ，整理，得20ax 2-(120a +2)x +175a =0. 10
当∆=(120a +2)-4⋅20a ⋅175a =0时，符合题意，
a 2=
当a =
x =，不合题意，舍去；
当a =
x =，符合题意.
答：当a =时，可以将球沿直线扣杀到点A .
解方程，得a 1=
2015年浙江丽水中考数学真题卷
参考公式：抛物线y =ax 2
+bx +c 的顶点坐标为⎛ -b , b 2-4ac ⎫
⎝2a 4a ⎪.
⎭
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数-3，-2，0，3中，大小在-1和2之间的数是( )
A. -3 B. -2 C.0 D.3 【考查内容】有理数大小比较 【答案】C
【解析】在-1和2之间的数必然大于-1小于2，四个答案中只有0符合条件.
故选C.
2. 计算(a 2) 3
结果正确的是( )
A. 3a 2
B. a 6
C. a 5
D. 6a 【考查内容】幂的乘方 【答案】B
【解析】根据幂的乘方运算法则计算作出判断：
(a 2) 3=a 2⨯3=a 6.
故选B.
3. 由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是(
)
.
第3题图 A B C 【考查内容】简单组合体的三视图 【答案】A
【解析】从正面看有两层，下层有2个正方形，上层左边有一个正方形．
D
故选A ．
4. 分式-
1
可变形为( ) 1-x 1111A. - B. C. - D.
x -11+x 1+x x -1
【考查内容】分式的基本性质 【答案】D
【解析】根据分式的性质，分子分母都乘以-1，分式的值不变，可得答案：
分式-
11
的分子分母都乘以-1，得. 1-x x -1
故选D ．
5. 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【考查内容】多边形的外角性质． 【答案】C.
【解析】∵多边形的每个内角均为120°，∴外角的度数是：180°﹣120°=60°．
∵多边形的外角和是360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6． 故选C ．
6. 如图，数轴上所表示关于x 的不等式组的解集是(
)
A. x ≥2 B. x >2 C. x >-1 D. -1
【解析】不等式组的解集在数轴中的表示.
故选A.
7. 某小组7位同学的中考体育测试成绩（满分30分）依次为27，30，29，27，30，28，30，则这组数据的众数与中位数分别是( )
A.30，27 B.30，29 C.29，30 D.30，28 【考查内容】众数，中位数
【答案】B
【解析】众数为这组数中出现最多的数，中位数为这组数从小到大排列最中间的数，故选B.
8. 如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误．．
的是(
)
第8题图
A.
BD BC B. BC AD CD
AB C. AC D. AC
【考查内容】解直角三角形 【答案】C
【解析】根据余弦函数定义：cos α=
邻边
斜边
对各选项逐一作出判断： A. 在Rt △BCD 中，cos α=
BD
BC ，正确； B. 在Rt △ABC 中， cos α=BC
AB
，正确；
C 、D. 在Rt △ACD 中，∵∠ACD =α，∴ cos α=CD
AC
. 故C 错误；D 正确.
故选C ．
9. 平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线l 经过一、二、三象限，若点（0，a ），（-1）都在直线l 上，则下列判断正确的是( )
A. a
【解析】如图，可知，a >b , a >3, b >3, c
-1，b ），（c ，
第9题图
10. 如图，在方格纸中，线段a ，b ，c ，d 的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段
首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有(
)
第10题图
A.3种 B.6种 C.8种 D.12种 【考查内容】三角形构成条件 【答案】B
【解析】由图示，根据勾股定理可得：a b c =d 如答图所示，通过平移a , b , d 其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成
三角形的不同平移方法有6种.
故选B ．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：9-x =. 【考查内容】应用公式法因式分解 【答案】(3+x )(3-x )
【解析】因为9-x 2=32-x 2，所以直接应用平方差公式即可：9-x 2=32-x 2=(3+x )(3-x ) .
12. 有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 . 【考查内容】概率 【答案】
【解析】共有6张牌，是3的倍数的有3，6共2张，∴抽到序号是3的倍数的概率是
2
13
21=. 63
»，则CD »的度数是 13. 如图，圆心角∠AOB =20°，将»AB 旋转n ︒得到CD
度
【考查内容】圆周角定理 【答案】20 【解析】如图，
»，∴根据旋转的性质，得CD »=»∵将»AB 旋转n ︒得到CD AB .
∵∠AOB =20°，∴∠COD =20°.
»的度数是20°. ∴CD
14. 解一元二次方程x +2x -3=0时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 .
【考查内容】解一元二次方程 【答案】x +3=0（答案不唯一）
【解析】∵由x 2+2x -3=0得(x +3)(x -1)=0，
∴x +3=0或x -1=0.
15. 如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，
已知∠BAD =120°，∠EAF =30°，则
2
AB
AE
【考查内容】菱形的性质
第15题图
【解析】如图，
答图
过点E 作EH ⊥AB 于点H ，
∵四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，∠BAD =120°，∠EAF =30°， ∴∠ABE =30°，∠BAE =45°.
不妨设AE =
∴在等腰Rt V AEH 中，AH =EH =1；在Rt V
BEH 中，BH =
∴AB 1.
∴
AB =AE 16. 如图，反比例函数y =
k
的图象经过点（-1，-22），点A 是该图象第一象限分支上的动点，连x
结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP
.
第16题图
（1）k 的值为 .
（2）在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 .
【考查内容】反比例函数
【答案】（1
）k =；（2）（2
，
【解析】（1）∵反比例函数y =
∴-=
k
的图象经过点（-1
，-，
x
k
⇒k =-1
（2）如答图1，
图1
过点P 作PM ⊥AB 于点M ，过B 点作BN ⊥x 轴于点N ，
设A x ,
⎛ ⎝⎛，则.
B -x , ⎭⎝⎭
∴AB =∵△ABC
是等腰直角三角形，∴BC =AC BAC =45°.
∵BP 平分∠ABC ，∴∆BPM ≌∆BPC (AAS ).
∴BM =BC =
∴AM =AB -BM =2-(
.
∴PM =AM =2(
又∵OB =
∴OM =BM -OB =
1
. 易证∆OBN ∽∆OPM ，∴
ON BN OB
. ==
OM PM OP
由
ON BN
=
OM PM
-
-x
)
=
⎛-
，
解得x
∴A
2，B 2.
)
(
如答图2，过点C 作EF ⊥x 轴，过点
A 作AF ⊥EF 于点F ，过B 点作BE ⊥EF 于点E ，
答图2
易知，∆BCE
≌∆CAF (HL )，∴设
CE =AF =y . 又∵BC =
BE =y ，
∴根据勾股定理，得BC
2=BE 2+CE 2，即((
2
=y
)
2
+y 2.
∴y 2+-2=
0，解得y =2
y =2.
∴由A
2，B -2可得C 2, .
)
()(三、解答题（本题有8小题，共66分，每个小题都必须写出解答过程） 17. 计算：-4+(-2) -() 【考查内容】实数的运算 【解】原式=4+1-2=3.
18. 先化简，再求值：a (a -3) +(1-a )(1+a ) ，其中a =【考查内容】整式的混合运算—化简求值
【解】a (a -3) +(1-a )(1+a ) =a 2-3a +1-a 2=1-3a .
12
-1
. 3
当a =
=1
=1-3
19. 如图，已知△ABC ，∠C =90，AC
.
（1）用直尺和圆规，作出点D 的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD ，若∠B =37°，求∠CAD 的度数.
【考查内容】尺规作图；线段垂直平分线的性质 【解】（1）作图如下：
第19题图
答图
（2）∵△ABC 中，∠C =90，∠B =37°，∴∠BAC =53°. ∵AD =BD ，∴，∠B =∠BAD =37° ∴∠CAD =∠BAC -∠BAD =16°.
20. （8分）某运动品牌对第一季度A 、B 两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：
（1）一月份B 款运动鞋的销售量是A 款的
4
，则一月份B 款运动鞋销售了多少双？ 5
（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）； （3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议.
【考查内容】开放型；代数和统计的综合题；条形统计图和折线统计图； 二元一次方程组的应用. 【解】（1）∵50⨯
4
=40， 5
∴一月份B 款运动鞋销售了40双.
（2）设A 、B 两款运动鞋的销售单价分别为x , y 元，
⎧50x +40y =40000⎧x =400
则根据题意，得⎨，解得⎨.
⎩60x +52y =50000⎩y =500
∴三月份的总销售额为400⨯65+500⨯20=36000（元）. （3）答案不唯一，如：
从销售量来看，A 款运动鞋销售量逐月上升，比B 款运动鞋销售量大，建议多进A 款运
动鞋，少进或不进B 款运动鞋.
从总销售额来看，由于B 款运动鞋销售量逐月减少，导致总销售额减少，建议采取一些
促销手段，增加B 款运动鞋的销售量.
21. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F
.
第21题图 （1）求证：DF ⊥AC ；
（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF =22.5°，求阴影部分的面积.
【考查内容】等腰三角形的性质；平行的判定；切线的性质；三角形内角和定理；扇形和三角形面积的计算；转换思想的应用
【解】（1）证明：如答图，连接OD ，
∵OB =OD ，∴∠ABC =∠ODB . ∴AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB . ∴∠ODB =∠ACB . ∴OD ∥AC . ∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ∴DF ⊥AC . （2）如答图，连接OE ，
∵DF ⊥AC ，∠CDF =22.5°，∴∠ABC =∠ACB =67.5°. ∴∠BAC =45°. ∵OA =OB ，∴∠AOE =90°
∵⊙O 的半径为4，∴S 阴影=S 扇形OAE -S V AOC =
90⨯4π1
-⨯4⨯4=π-8. 3602
22. 甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距s （米），甲行走的时间为t （分），s 关于t 的函数函数图像的一部分如图所示
.
第22题图
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐标系中，补画s 关于t 函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？
【考查内容】一次函数的应用；待定系数法、分类思想和方程思想的应用 【解】（1）甲行走的速度为：150÷5=30（米/分）.
（2）补画s 关于t 函数图象如图所示（横轴上对应的时间为50）：
（3）由函数图象可知，当t =12.5和t =50时，s =0；当t =35时，s =450，
当12.5剟t
35时，由待定系数法可求：s =20t -250，
令s =360，即20t -250=360，解得t =30.5.
当35
∴甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米.
23. （10分）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N
.
（1）当F 为BE 中点时，求证：AM =CE ；
第23题图
AB EF AN
==2，求的值； BC BF ND AB EF
==n ，当n 为何值时，MN ∥BE ？ （3）若
BC BF
（2）若
【考查内容】探究型问题；矩形的性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质. 【解】（1）证明：∵F 为BE 中点，∴BF =EF .
∵AB ∥CD ，∴∠MBF =∠CEF ，∠BMF =∠ECF . ∴△BMF ≌△ECF （AAS ）. ∴MB =CE . ∵AB =CD ，CE =DE ，∴MB =AM . ∴AM =CE . （2）设MB =a ，
∵AB ∥CD ，∴△BMF ∽△ECF . ∴∵
EF CE
. =
BF MB
EF CE
=2，∴=2. ∴CE =2a . BF MB AB
=2，∴BC =AD =2a . BC
331AN AM AN 3a
，即. ∴AN =a , ND =2a -a =a . ==
222MB BC a 2a
∴AB =CD =2CE =4a , AM =AB -MB =3a . ∵
∵MN ⊥MC ，∠A =∠ABC =90°，∴△AMN ∽△BCM ∴
3
a
AN ==3. ∴
ND a
2
（3）设MB=a ，
∵
AB EF
==n ，∴由（2）可得BC =2a , CE =na . BC BF
当MN ∥BE 时，CM ⊥BE .
可证△MBC ∽△BCE . ∴∴n =4.
a 2a MB BC
，即. ==
2a na BC CE
∴当n =4时，MN ∥BE .
24. 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x （米），与桌面的高度为y （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
（1）当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y =a (x -3) 2+k ①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值.
第24题图
【考查内容】二次函数的应用（实际应用）；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式的应用
【解】如图，以点 为原点，桌面中线为x 轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立平面直角坐
标系.
（1）由表格中数据可知，当t =0.4秒时，乒乓球达到最大高度.
（2）由表格中数据可判断，y 是x 的二次函数，且顶点为（1，0.45），所以可设y =a (x -1)+0.45.
将（0，0.25）代入，得0.25=a (0-1)+0.45⇒a =-0.2， ∴y =-0.2(x -1)+0.45.
当y =0时，-0.2(x -1)+0.45=0，解得x =2.5或x =-0.5（舍去）. ∴乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是2.5米. （3）①由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）.
∴将（2.5，0）代入y =a (x -3) 2+k ，得0=a (2.5-3) 2+k ， 化简整理，得k =-a .
②由题意可知，扣杀路线在直线y =由①得y =a (x -3) 2-a ， 令a (x -3) 2-a =
2
2
2
2
2
1
4
1
x 上， 10
14
141
x ，整理，得20ax 2-(120a +2)x +175a =0. 10
当∆=(120a +2)-4⋅20a ⋅175a =0时，符合题意，
a 2=
当a =
x =，不合题意，舍去；
当a =
x =，符合题意.
答：当a =时，可以将球沿直线扣杀到点A .
解方程，得a 1=