2018届高三重点班十月份半月考
数学试题
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前, 考生务必将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卡的指定位置上；
2. 作答第卷时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效； 3. 考试结束后, 将答题卡交回。
第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．设全集U =R ，集合A =x 0
8. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -2)=f (x +2)，且当x ∈-2,0时，f (x )=3-1，则f (9)=
x
[]
A. -2 B. 2
C. -
2
3
D.
2 3
9．已知函数f (x ) =2cos(图象可将函数y =2cos A ．向左平移C ．向左平移
π
3
x +ϕ) 图象的一个对称中心为(2,0)，且f (1)>f (3)，要得到函数f (x )的
π
3
x 的图象（ ）
{}
{}
11
个单位长度 B．向右平移个单位长度 22
A ．(2, +∞) B．[2, +∞) C．(-∞,2] D．(-∞,1]
3. 若复数z 满足(1+2i ) z =(1-i ) ，则|z |=（ ）
ππ
个单位长度 D．向右平移个单位长度 66
10、对任意实数x ，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则“-1
2
11．如图是函数f (x )=x +ax +b 的部分图象，则函数g (x )=ln x +f '(x )的零点所在的区间是（ ）
A ．(, ) B．(,1) C．(1,2) D．(2,3)
11
4212
32A 5
5
4. 已知数列错误！未找到引用源。为等差数列，其前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。为（ ）
A. 55 B.50 C.110 D. 不能确定 5. 设a =log 12, b =log 13, c =()
3
2
⎧ln(1-x ), x
12. 已知函数f (x ) =⎨，若f (x ) ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） 3
⎩(x -1) +1, x ≥0
A ．[0,] B．[0,] C. [0,1] D．[0,]
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 命题“∀x ∈R , x -x ≥0”的否定是
14．若函数y =f (x )的图象在x =4处的切线方程是y =-2x +9，则f (4)-f '(4)= 15．等比数列a n }错误！未找到引用源。的各项均为正数，且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。＝________. ln a 1+ln a 2+ +ln a 20
2
4
2
33234
13
0. 3
，则（ ）
A. a 7. 已知函数f (x )=x 2-
{
ln x x
，则函数y =f (x )的大致图像为（ ）
- 1 -
16. 现定义一种运算“⊕”；对任意实数a , b ，a ⊕b =⎨
⎧b , a -b ≥12
，设f (x ) =(x -2x ) ⊕(x +3) ，若
⎩a , a -b
函数g (x ) =f (x ) +k 的图象与x 轴恰有二个公共点，则实数k 的取值范围是__________． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合A ={x |x 1},B ={x |-3≤x -1≤2}. （1）求A B ,(C U A ) (C U B ) ；
（2）若集合M ={x |2k -1≤x ≤2k +1}是集合A 的子集，求实数k 的取值范围.
18. （本小题满分12分）已知函数f (x )=4cos ωx sin ⎛
⎝
ωx -π⎫6⎪⎭(ω>0)的最小正周期是π.
（1）求函数f (x )在区间x ∈(0 ，
π)的单调递增区间； （2）求f (x )在⎡⎢π
⎣8
， 3π⎤8⎥⎦上的最大值和最小值.
19. （本小题满分12分） 已知正项数列{a 12*
n }满足a 1+a 2+a 3+... +a n =4
(a n +1) (n ∈N ) .
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n
n =2⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
20．（本小题满分12分）已知a , b , c 分别是 ABC 的角A , B , C 所对的边，且c =2, a 2+b 2-4=ab ． （1）求角C ；
（2）若sin 2B -sin 2A =sin C (2sin2A -sin C ) ，求 ABC 的面积．
21．（本小题满分12分）已知函数f (x )=4x -a
2x
是奇函数．
（1）求实数a 的值；
（2）用定义证明函数f (x )在R 上的单调性；
（3）若对任意的x ∈R ，不等式f (x 2-x ) +f (2x 2-k ) >0恒成立，求实数k 的取值范围
22. （本小题满分12分）已知函数f (x )=12
ax 2
-ln x -2，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数f (x )的单调性；
（Ⅱ）若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．
- 2 -
答案
一、选择题
CDBAC DADBA BD 二、填空题
13. ∀x 240∈R , x 0-x 0
15. 100 16. (-3, -2) (-8, -7] {1} 三、简答题 17. （10分）
(1)A B =(1,3],(CU A ) (CU B ) =(-∞,1] (3,+∞) (2)k ∈(-∞, -5
2
) [1,+∞)
18. （12分）
解：（1）f (
x )=4cos ωx ⋅sin ⎛
ωx -π⎫⎪=ωx cos ωx -2cos 2⎝
6⎭ωx +1-1，
2ωx -cos 2ωx -1=2sin ⎛
⎝
2ωx -π⎫6⎪⎭-1„„„„„„3分
最小正周期是2π2ω=π，所以ω=1，从而f (x )=2sin ⎛
π⎫⎝
2x -6⎪⎭-1，
令-
π
π
2
+2k π≤2x -
6
≤
π
2
+2k π，解得-
π
6
+k π≤x ≤
π
3
+k π(k ∈Z )，
所以函数f (x )的单调递增区间为⎛ ⎝0 ，
π⎤3⎥⎦和⎡⎢5π⎣6 ， π⎫
⎪⎭
.„„„„6分 （2）当x ∈⎡⎢π3π⎤π⎣8 ， 8⎥⎦时，⎛
⎝2x -⎫6⎪⎭∈⎡⎢π⎣12 ， 7π⎤12⎥⎦
，„„„„„8分
2sin ⎛
⎝2x -π⎫6⎪⎤⎭∈， 2⎣⎥，„„„„„„„„„„10分
⎦
所以f (x )在⎡⎢π
3π⎤⎣8
， 8⎥⎦上的最大值和最小值分别为1
-1.„„„„„„12分
- 3 -
19. （12分）
解：（1）设数列{a n }的前n 项和为S n . 当n =1时，a 1=
1
4
(a 1+1) 2, ∴a 1=1， 当n ≥2时，4S 2n =(a n +1) , ∴4S n -1=(a 2n -1+1) ， 两式相减得4a 2
2
n =a n +2a n -a n -1-2a n -1，
即(a n +a n -1)(a n -a n -1-2) =0，
又a n >0, ∴a n -a n -1=2，
∴数列{a n }的首项为1，公差为2的等差数列，即a n =2n -1.
（2） b n =(2n -1) ⋅2n ,
∴T n =1⨯21+3⨯22+5⨯23+... +(2n -1) ⨯2n ，①
2T 2n =1⨯2+3⨯23+5⨯24+... +(2n -3) ⨯2n +(2n -1) ⨯2n +1，②①-②得 ，
20．（12分）
解：（1）由余弦定理，得cos C =
a 2+b 2-c 22ab =a 2+b 2-222ab =ab 2ab =1
2
， 又C ∈(0, π)，所以C =
π
3
．
（2）由sin 2B -sin 2A =sin C (2sin2A -sin C ) ， 得sin 2
B +sin 2
C -sin 2
A =2sin 2A sin C ，
得sin 2
B +sin 2
C -sin 2
A =4sin A cos A sin C ，
再由正弦定理得b 2
+c 2
-a 2
=4ac cos A ，
=b 2+c 2-a 2
所以cos A 4ac
．①
b 2+c 2又由余弦定理，得cos A =-a 2
2bc
，②
由①②，得b 2+c 2-a 2b 2+c 2-a 2
4bc =2bc
，得4ac =2bc ，得2a =b ，
⎧a 2+b 2联立⎨-4=ab ，得a =
b =⎩
b =2a
33．
所以b 2
=a 2
+c 2
．所以B =
π
2
．
所以
ABC 的面积S =12ac =12⨯32=
3
- 4 -
21．（12分）
解：（1）∵函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数， ∴f (0)=0，解得a =1．
此时f (x )=2x -2-x ，满足f (-x )=-f (x )，即f (x )是奇函数． ∴a =1．
（2）任取x
1x 1x 1, x 2∈(-∞, +∞)，且x 12，则2(2
) 2，
于是f (x x x 11x 1x x
1x 1x 1) -f (2) =2-2x 1-2x 2+2x 2=21-22+(2) 2-(2
) 1
即f (x 1)
（3）由f (x 2
-x ) >-f (2x 2
-k ) 及f (x )是奇函数，知f (x 2
-x ) >f (k -2x 2
) ，
又由f (x )在(-∞, +∞)上是增函数，得x 2
-x >k -2x 2
，即k
-x 对任意的x ∈R 恒成立，∵当x =
16时，3x 2
-x 取最小值-1112，∴k
．
解：（Ⅰ）f '(x ) =ax -1ax 2-1
x =x
，x >0 „„„„„1分
当a ≤0时，f '(x )
① 当a >0时，令f '(x ) =0, 解得x =
a
a
. „„„„ 3分 当x ∈(0a ) 时，f '(x )
，+∞) 时，f '(x ) >0. „„„„4分
a a
∴函数f (x ) 在(0a ) 内单调递减；在(a
a
，+∞) 内单调递增„5分
综上：当a ≤0时，f (x ) 在
(0，+∞) 上单调递减；当a>0时，∴函数f (x ) 在(0a a
a ) 内单调递减；在(a
，+∞) 内单调递增 „„6分
（Ⅱ）当a ≤0时，由（Ⅰ）得f (x ) 在（0，+¥) 上单调递减，函数f (x ) 不可能有两个零点；„„„7分
当a>0
时，由（Ⅰ）得，函数f (x ) 在(0内单调递减，在+∞) 内单调递增，
且当x 趋近于0和正无穷大时，f (x ) 都趋近于正无穷大，„„„8分
故若要使函数f (x ) 有两个零点，则f
(x ) 的极小值f
12+1
2
ln a -2) „„„„„„„12分
- 5 -
2018届高三重点班十月份半月考
数学试题
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前, 考生务必将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卡的指定位置上；
2. 作答第卷时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效； 3. 考试结束后, 将答题卡交回。
第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．设全集U =R ，集合A =x 0
8. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -2)=f (x +2)，且当x ∈-2,0时，f (x )=3-1，则f (9)=
x
[]
A. -2 B. 2
C. -
2
3
D.
2 3
9．已知函数f (x ) =2cos(图象可将函数y =2cos A ．向左平移C ．向左平移
π
3
x +ϕ) 图象的一个对称中心为(2,0)，且f (1)>f (3)，要得到函数f (x )的
π
3
x 的图象（ ）
{}
{}
11
个单位长度 B．向右平移个单位长度 22
A ．(2, +∞) B．[2, +∞) C．(-∞,2] D．(-∞,1]
3. 若复数z 满足(1+2i ) z =(1-i ) ，则|z |=（ ）
ππ
个单位长度 D．向右平移个单位长度 66
10、对任意实数x ，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则“-1
2
11．如图是函数f (x )=x +ax +b 的部分图象，则函数g (x )=ln x +f '(x )的零点所在的区间是（ ）
A ．(, ) B．(,1) C．(1,2) D．(2,3)
11
4212
32A 5
5
4. 已知数列错误！未找到引用源。为等差数列，其前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。为（ ）
A. 55 B.50 C.110 D. 不能确定 5. 设a =log 12, b =log 13, c =()
3
2
⎧ln(1-x ), x
12. 已知函数f (x ) =⎨，若f (x ) ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） 3
⎩(x -1) +1, x ≥0
A ．[0,] B．[0,] C. [0,1] D．[0,]
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 命题“∀x ∈R , x -x ≥0”的否定是
14．若函数y =f (x )的图象在x =4处的切线方程是y =-2x +9，则f (4)-f '(4)= 15．等比数列a n }错误！未找到引用源。的各项均为正数，且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。＝________. ln a 1+ln a 2+ +ln a 20
2
4
2
33234
13
0. 3
，则（ ）
A. a 7. 已知函数f (x )=x 2-
{
ln x x
，则函数y =f (x )的大致图像为（ ）
- 1 -
16. 现定义一种运算“⊕”；对任意实数a , b ，a ⊕b =⎨
⎧b , a -b ≥12
，设f (x ) =(x -2x ) ⊕(x +3) ，若
⎩a , a -b
函数g (x ) =f (x ) +k 的图象与x 轴恰有二个公共点，则实数k 的取值范围是__________． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合A ={x |x 1},B ={x |-3≤x -1≤2}. （1）求A B ,(C U A ) (C U B ) ；
（2）若集合M ={x |2k -1≤x ≤2k +1}是集合A 的子集，求实数k 的取值范围.
18. （本小题满分12分）已知函数f (x )=4cos ωx sin ⎛
⎝
ωx -π⎫6⎪⎭(ω>0)的最小正周期是π.
（1）求函数f (x )在区间x ∈(0 ，
π)的单调递增区间； （2）求f (x )在⎡⎢π
⎣8
， 3π⎤8⎥⎦上的最大值和最小值.
19. （本小题满分12分） 已知正项数列{a 12*
n }满足a 1+a 2+a 3+... +a n =4
(a n +1) (n ∈N ) .
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n
n =2⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
20．（本小题满分12分）已知a , b , c 分别是 ABC 的角A , B , C 所对的边，且c =2, a 2+b 2-4=ab ． （1）求角C ；
（2）若sin 2B -sin 2A =sin C (2sin2A -sin C ) ，求 ABC 的面积．
21．（本小题满分12分）已知函数f (x )=4x -a
2x
是奇函数．
（1）求实数a 的值；
（2）用定义证明函数f (x )在R 上的单调性；
（3）若对任意的x ∈R ，不等式f (x 2-x ) +f (2x 2-k ) >0恒成立，求实数k 的取值范围
22. （本小题满分12分）已知函数f (x )=12
ax 2
-ln x -2，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数f (x )的单调性；
（Ⅱ）若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．
- 2 -
答案
一、选择题
CDBAC DADBA BD 二、填空题
13. ∀x 240∈R , x 0-x 0
15. 100 16. (-3, -2) (-8, -7] {1} 三、简答题 17. （10分）
(1)A B =(1,3],(CU A ) (CU B ) =(-∞,1] (3,+∞) (2)k ∈(-∞, -5
2
) [1,+∞)
18. （12分）
解：（1）f (
x )=4cos ωx ⋅sin ⎛
ωx -π⎫⎪=ωx cos ωx -2cos 2⎝
6⎭ωx +1-1，
2ωx -cos 2ωx -1=2sin ⎛
⎝
2ωx -π⎫6⎪⎭-1„„„„„„3分
最小正周期是2π2ω=π，所以ω=1，从而f (x )=2sin ⎛
π⎫⎝
2x -6⎪⎭-1，
令-
π
π
2
+2k π≤2x -
6
≤
π
2
+2k π，解得-
π
6
+k π≤x ≤
π
3
+k π(k ∈Z )，
所以函数f (x )的单调递增区间为⎛ ⎝0 ，
π⎤3⎥⎦和⎡⎢5π⎣6 ， π⎫
⎪⎭
.„„„„6分 （2）当x ∈⎡⎢π3π⎤π⎣8 ， 8⎥⎦时，⎛
⎝2x -⎫6⎪⎭∈⎡⎢π⎣12 ， 7π⎤12⎥⎦
，„„„„„8分
2sin ⎛
⎝2x -π⎫6⎪⎤⎭∈， 2⎣⎥，„„„„„„„„„„10分
⎦
所以f (x )在⎡⎢π
3π⎤⎣8
， 8⎥⎦上的最大值和最小值分别为1
-1.„„„„„„12分
- 3 -
19. （12分）
解：（1）设数列{a n }的前n 项和为S n . 当n =1时，a 1=
1
4
(a 1+1) 2, ∴a 1=1， 当n ≥2时，4S 2n =(a n +1) , ∴4S n -1=(a 2n -1+1) ， 两式相减得4a 2
2
n =a n +2a n -a n -1-2a n -1，
即(a n +a n -1)(a n -a n -1-2) =0，
又a n >0, ∴a n -a n -1=2，
∴数列{a n }的首项为1，公差为2的等差数列，即a n =2n -1.
（2） b n =(2n -1) ⋅2n ,
∴T n =1⨯21+3⨯22+5⨯23+... +(2n -1) ⨯2n ，①
2T 2n =1⨯2+3⨯23+5⨯24+... +(2n -3) ⨯2n +(2n -1) ⨯2n +1，②①-②得 ，
20．（12分）
解：（1）由余弦定理，得cos C =
a 2+b 2-c 22ab =a 2+b 2-222ab =ab 2ab =1
2
， 又C ∈(0, π)，所以C =
π
3
．
（2）由sin 2B -sin 2A =sin C (2sin2A -sin C ) ， 得sin 2
B +sin 2
C -sin 2
A =2sin 2A sin C ，
得sin 2
B +sin 2
C -sin 2
A =4sin A cos A sin C ，
再由正弦定理得b 2
+c 2
-a 2
=4ac cos A ，
=b 2+c 2-a 2
所以cos A 4ac
．①
b 2+c 2又由余弦定理，得cos A =-a 2
2bc
，②
由①②，得b 2+c 2-a 2b 2+c 2-a 2
4bc =2bc
，得4ac =2bc ，得2a =b ，
⎧a 2+b 2联立⎨-4=ab ，得a =
b =⎩
b =2a
33．
所以b 2
=a 2
+c 2
．所以B =
π
2
．
所以
ABC 的面积S =12ac =12⨯32=
3
- 4 -
21．（12分）
解：（1）∵函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数， ∴f (0)=0，解得a =1．
此时f (x )=2x -2-x ，满足f (-x )=-f (x )，即f (x )是奇函数． ∴a =1．
（2）任取x
1x 1x 1, x 2∈(-∞, +∞)，且x 12，则2(2
) 2，
于是f (x x x 11x 1x x
1x 1x 1) -f (2) =2-2x 1-2x 2+2x 2=21-22+(2) 2-(2
) 1
即f (x 1)
（3）由f (x 2
-x ) >-f (2x 2
-k ) 及f (x )是奇函数，知f (x 2
-x ) >f (k -2x 2
) ，
又由f (x )在(-∞, +∞)上是增函数，得x 2
-x >k -2x 2
，即k
-x 对任意的x ∈R 恒成立，∵当x =
16时，3x 2
-x 取最小值-1112，∴k
．
解：（Ⅰ）f '(x ) =ax -1ax 2-1
x =x
，x >0 „„„„„1分
当a ≤0时，f '(x )
① 当a >0时，令f '(x ) =0, 解得x =
a
a
. „„„„ 3分 当x ∈(0a ) 时，f '(x )
，+∞) 时，f '(x ) >0. „„„„4分
a a
∴函数f (x ) 在(0a ) 内单调递减；在(a
a
，+∞) 内单调递增„5分
综上：当a ≤0时，f (x ) 在
(0，+∞) 上单调递减；当a>0时，∴函数f (x ) 在(0a a
a ) 内单调递减；在(a
，+∞) 内单调递增 „„6分
（Ⅱ）当a ≤0时，由（Ⅰ）得f (x ) 在（0，+¥) 上单调递减，函数f (x ) 不可能有两个零点；„„„7分
当a>0
时，由（Ⅰ）得，函数f (x ) 在(0内单调递减，在+∞) 内单调递增，
且当x 趋近于0和正无穷大时，f (x ) 都趋近于正无穷大，„„„8分
故若要使函数f (x ) 有两个零点，则f
(x ) 的极小值f
12+1
2
ln a -2) „„„„„„„12分
- 5 -