排列组合中的分组分配问题
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题. 分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的. 对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.
22
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C 26C 4C 2=90(种) ，这90种分组实
际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6) 与(3，4)(1，2)(5，6) ，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A
3
所以分法是3，
C 6C 4C 2=15(种) 。(2)先分
3A 3
222
23
组，方法是C 1那么还要不要除以A 3由于每组的书的本数是不一样的，6C 5C 3，3？我们发现，23因此不会出现相同的分法，即共有C 16C 5C 3=60(种) 分法。
11
(3)分组方法是C 46C 2C 1=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组
的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，
C C 2C 1=15(种) 。 不可能重复。所以实际分法是62
A 2
结论1： 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，„，
411
C C
m p ，其中k 组内元素数目相等，那么分组方法数是
三、基本的分配的问题 (一) 定向分配问题
m 1n
m 2n -m 1
C
m 3
n -m 1-m 2
⋯C m p
p
m
A k
k
。
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的, 属分配问题中的定向分配问题，由分布
222411123
计数原理不难解出：分别有C 6C 4C 2=90(种) ，C 6C 5C 3=60(种) ， C 6C 2C 1=30(种) 。
(二) 不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以A
3
即3，
C 6C 4C 23=90(种) ，
A 33
A 3
222
C C C A
1625333
3=360(种)
C 6C 2C 13=90(种) 。
A 32
A 2
411
结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
排列组合中的分组分配问题
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题. 分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的. 对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.
22
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C 26C 4C 2=90(种) ，这90种分组实
际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6) 与(3，4)(1，2)(5，6) ，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A
3
所以分法是3，
C 6C 4C 2=15(种) 。(2)先分
3A 3
222
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组，方法是C 1那么还要不要除以A 3由于每组的书的本数是不一样的，6C 5C 3，3？我们发现，23因此不会出现相同的分法，即共有C 16C 5C 3=60(种) 分法。
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(3)分组方法是C 46C 2C 1=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组
的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，
C C 2C 1=15(种) 。 不可能重复。所以实际分法是62
A 2
结论1： 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，„，
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C C
m p ，其中k 组内元素数目相等，那么分组方法数是
三、基本的分配的问题 (一) 定向分配问题
m 1n
m 2n -m 1
C
m 3
n -m 1-m 2
⋯C m p
p
m
A k
k
。
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的, 属分配问题中的定向分配问题，由分布
222411123
计数原理不难解出：分别有C 6C 4C 2=90(种) ，C 6C 5C 3=60(种) ， C 6C 2C 1=30(种) 。
(二) 不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以A
3
即3，
C 6C 4C 23=90(种) ，
A 33
A 3
222
C C C A
1625333
3=360(种)
C 6C 2C 13=90(种) 。
A 32
A 2
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结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。