立体几何知识点
一 、空间几何体
（一） 空间几何体的类型
1 多面体： 的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体
的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体： 封闭几何体。
其中这条直线称为旋转体的轴。
（二）空间几何体的结构特征
1 、棱柱的结构特征
1.1 棱柱的定义： ，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类
底面是四边形 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面
棱柱
底面是矩形 四棱柱底面是正方形 平行六面体棱长都相等 直平行六面体长方体
1.3棱柱的性质： 正四棱柱正方体
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；
1.4 棱柱的面积和体积公式
S 直棱柱侧 ch
（c 是底周长，h 是高）
S 直棱柱表面 =
V 棱柱 =
2 、棱锥的结构特征
2.1 棱锥的定义
（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余 ，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征
Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的
距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的
高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原
棱锥的高的立方比；
Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
正棱锥侧面积： （c 为底周长，h ' 为斜高）
体积：
（S 为底面积，h 为高）
2.3正四面体：
对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为
2的正方体问题。 a 2P O C
对棱间的距离为2a （正方体的边长）
正四面体的高a （=2l 正方体体对角线） 33
1正四面体的体积为2a 3（V 正方体-4V 小三棱锥=V 正方体） 3
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1:3（=
3 、棱台的结构特征 11l 正方体体对角线l 正方体体对角线） 62
3.1 棱台的定义：用 去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
3.2 正棱台的结构特征
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；
（4）各侧棱的延长线交于一点。
4 、圆柱的结构特征
4.1 圆柱的定义： ，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
（2）过轴的截面(轴截面) 是全等的矩形。
4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
4.4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = (r为底面半径，h 为圆柱的高)
S 圆柱全 = V圆柱 =
5、圆锥的结构特征
5.1 圆锥的定义： ，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
5.2 圆锥的结构特征
（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面距离之比；
（2）轴截面是等腰三角形；
（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l = r + h
5.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
6.1 圆台的定义： ，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6.2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵ 圆台的截面是等腰梯形；
⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6.3 圆台的面积和体积公式
S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R 为上下底面半径)
S圆台全 = π·r + π·R + π·(R + r)·l
V圆台 = 1/3 (π r + π R + π r R) h (h为圆台的高)
7、球的结构特征
7. 1 球的定义： 转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。
空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7．2 球的结构特征
⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r = R – d
7．3 球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7．4 球的面积和体积公式
S球面 = 4 π R (R为球半径) V球 = 4/3 π R
23
222222 2 222
（三）空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积 ： 圆锥的表面积： 圆台的表面积： 球的表面积： 扇形的面积公式S 扇形=
空间几何体的体积
柱体的体积 ： 锥体的体积 ：
台体的体积 ： 球体的体积：
（四）空间几何体的三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
★画三视图的原则： 正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形
（五）空间几何体的直观图：斜二测画法
★斜二测画法的步骤：
（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；
二 、点、直线、平面之间的关系
（一）立体几何网络图：
n πR 211=lr =r 2（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 36022
1、线线平行的判断：
（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（12）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：
（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断：
（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
4、线面垂直的判断：
⑼ 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾ 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁ 一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃ 如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
5、面面平行的判断：
⑷ 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀ 垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
（二）其他定理：
（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；
（2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；
直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ；
平面与平面的位置关系： 相交 ； 平行 ；
（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；
（4）线面垂直的性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
（2）垂直于同一平面的两直线平行。
（三）唯一性定理：
（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。
（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。
（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
（四）空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）
（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
异面直线所成角的范围： ；
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为0；
②线面垂直：线面所成的角为90；
③斜线与平面所成的角：范围 ；即斜线与它在平面内的射影所成的角。
线面所成的角范围
（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
二面角的平面角的范围： ；
（五）距离的求法：
点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂
足间线段的长。首先要找到表示距离的线段，然后再计算。
注意：求点到面的距离的方法： ①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。
（六）空间直角坐标系
1. 右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规则：x 轴、y 轴、z 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标P (x , y , z ) 作点的方法与步骤（路径法）：
沿x 轴正方向（x >0时）或负方向（x 0时）或负方向（y 0时）或负方向（z
③已知点的位置求坐标的方法：
过P 作三个平面分别与x 轴、y 轴、z 轴垂直于A , B , C ，点A , B , C 在x 轴、y 轴、z 轴的坐标分别是o o
a , b , c ，则(a , b , c ) 就是点P 的坐标
2、在x 轴上的点分别可以表示为(a , 0, 0), (0, b , 0), (0, 0, c ) ，
在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的点分别可以表示为(a , b , 0), (a , 0, c ), (0, b , c ) ;
3、点P (a , b , c ) 关于x 轴的对称点的坐标为(a , -b , -c )
点P (a , b , c ) 关于y 轴的对称点的坐标为(-a , b , -c ) ；
点P (a , b , c ) 关于z 轴的对称点的坐标为(-a , -b , c ) ；
点P (a , b , c ) 关于坐标平面xOy 的对称点为(a , b , -c ) ；
点P (a , b , c ) 关于坐标平面xOz 的对称点为(a , -b , c ) ；
点P (a , b , c ) 关于坐标平面yOz 的对称点为(-a , b , c ) ；
点P (a , b , c ) 关于原点的对称点(-a , -b , -c ) 。
4、 已知空间两点P (x 1, y 1, z 1) Q (x 2, y 2, z 2) ，则线段PQ 的中点坐标为(
5、空间两点间的距离公式 x 1+x 2y 1+y 2z 1+z 2, , ) 222
已知空间两点P (x 1, y 1, z 1) Q (x 2, y 2, z 2) ，则两点的距离为特殊地, 点A (x , y , z ) 到原点O 的距离为
直线的知识点
（一）直线的倾斜角
定义： 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，倾斜角的取值范围是0︒≤α
（二）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线， 叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0︒, k =tan 0︒=0；
当直线l 与x 轴垂直时, α=90︒, k 不存在.
当α∈0, 90时，k ≥0； 当α∈90 , 180 时，k
②过两点的直线的斜率公式： （ P (x 1, y 1), P 2(x 2, y 2), x 1≠x 2 ） 1
注意下面四点：(1)当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（三）直线方程
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．
但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x
=x 1。
1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 注意：
○
（四）两直线平行与垂直
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（五）两条直线的交点
A
1x +B 1y +C 1=0的一组解。 l 1:A 1x +B 1y +C 1=0 l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交，交点坐标即方程组⎧⎨⎩A 2x +B 2y +C 2=0
方程组无解⇔l 1//l 2 ； 方程组有无数解⇔l 1与l 2重合
B x
2, y 2）设A (x 1, y 1) ，（是平面直角坐标系中的两个点，则
一点P (x 0, y 0)到直线l 1:Ax +By +
C =0的距离已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax +By +C 1=0，
l 2：Ax +By +C 2=0，则l 1与l 2的距离为
线性规划的知识点
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
确定步骤： (1)直线定界，(2)特殊点定域；若C ≠0，由原点定域；
一、 1.点P(x0,y 0) 在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By0+C=0
2. 点P(x0,y 0) 在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By0+C>0;当B
3. 点P(x0,y 0) 在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,
（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,
即：1. 点P(x1,y 1) 和点Q(x2,y 2) 在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By1+C）( Ax 2+By2+C)>0
2. 点P(x1,y 1) 和点Q(x2,y 2) 在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By1+C）( Ax2+By2+C)
二、二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C>0（或
②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意：作图时, 不包括边界画成虚线；包括边界画成实线.
三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:
方法一: 取特殊点检验；“直线定界、特殊点定域
原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的
实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y 0), 从Ax 0+By0+C的正负即可判断
Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域. 特殊地, 当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，
1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律：
1.Ax+By+C>0，当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），
当B
2.Ax+By+C0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）
当B
四、线性规划的有关概念
（五）解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大
或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
注意点：（1）线性目标函数最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。（2）求线性
目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义
——在y 轴上的截距或其相反数。
立体几何知识点
一 、空间几何体
（一） 空间几何体的类型
1 多面体： 的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体
的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体： 封闭几何体。
其中这条直线称为旋转体的轴。
（二）空间几何体的结构特征
1 、棱柱的结构特征
1.1 棱柱的定义： ，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类
底面是四边形 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面
棱柱
底面是矩形 四棱柱底面是正方形 平行六面体棱长都相等 直平行六面体长方体
1.3棱柱的性质： 正四棱柱正方体
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；
1.4 棱柱的面积和体积公式
S 直棱柱侧 ch
（c 是底周长，h 是高）
S 直棱柱表面 =
V 棱柱 =
2 、棱锥的结构特征
2.1 棱锥的定义
（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余 ，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征
Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的
距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的
高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原
棱锥的高的立方比；
Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
正棱锥侧面积： （c 为底周长，h ' 为斜高）
体积：
（S 为底面积，h 为高）
2.3正四面体：
对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为
2的正方体问题。 a 2P O C
对棱间的距离为2a （正方体的边长）
正四面体的高a （=2l 正方体体对角线） 33
1正四面体的体积为2a 3（V 正方体-4V 小三棱锥=V 正方体） 3
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1:3（=
3 、棱台的结构特征 11l 正方体体对角线l 正方体体对角线） 62
3.1 棱台的定义：用 去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
3.2 正棱台的结构特征
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
（3）正棱台的对角面也是等腰梯形；
（4）各侧棱的延长线交于一点。
4 、圆柱的结构特征
4.1 圆柱的定义： ，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
（2）过轴的截面(轴截面) 是全等的矩形。
4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
4.4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = (r为底面半径，h 为圆柱的高)
S 圆柱全 = V圆柱 =
5、圆锥的结构特征
5.1 圆锥的定义： ，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
5.2 圆锥的结构特征
（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面距离之比；
（2）轴截面是等腰三角形；
（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l = r + h
5.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
6.1 圆台的定义： ，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6.2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵ 圆台的截面是等腰梯形；
⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6.3 圆台的面积和体积公式
S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R 为上下底面半径)
S圆台全 = π·r + π·R + π·(R + r)·l
V圆台 = 1/3 (π r + π R + π r R) h (h为圆台的高)
7、球的结构特征
7. 1 球的定义： 转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。
空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7．2 球的结构特征
⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r = R – d
7．3 球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7．4 球的面积和体积公式
S球面 = 4 π R (R为球半径) V球 = 4/3 π R
23
222222 2 222
（三）空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积 ： 圆锥的表面积： 圆台的表面积： 球的表面积： 扇形的面积公式S 扇形=
空间几何体的体积
柱体的体积 ： 锥体的体积 ：
台体的体积 ： 球体的体积：
（四）空间几何体的三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
★画三视图的原则： 正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形
（五）空间几何体的直观图：斜二测画法
★斜二测画法的步骤：
（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；
二 、点、直线、平面之间的关系
（一）立体几何网络图：
n πR 211=lr =r 2（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 36022
1、线线平行的判断：
（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（12）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：
（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断：
（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
4、线面垂直的判断：
⑼ 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾ 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁ 一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃ 如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
5、面面平行的判断：
⑷ 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀ 垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
（二）其他定理：
（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；
（2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；
直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ；
平面与平面的位置关系： 相交 ； 平行 ；
（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；
（4）线面垂直的性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
（2）垂直于同一平面的两直线平行。
（三）唯一性定理：
（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。
（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。
（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
（四）空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）
（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
异面直线所成角的范围： ；
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为0；
②线面垂直：线面所成的角为90；
③斜线与平面所成的角：范围 ；即斜线与它在平面内的射影所成的角。
线面所成的角范围
（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
二面角的平面角的范围： ；
（五）距离的求法：
点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂
足间线段的长。首先要找到表示距离的线段，然后再计算。
注意：求点到面的距离的方法： ①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。
（六）空间直角坐标系
1. 右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规则：x 轴、y 轴、z 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标P (x , y , z ) 作点的方法与步骤（路径法）：
沿x 轴正方向（x >0时）或负方向（x 0时）或负方向（y 0时）或负方向（z
③已知点的位置求坐标的方法：
过P 作三个平面分别与x 轴、y 轴、z 轴垂直于A , B , C ，点A , B , C 在x 轴、y 轴、z 轴的坐标分别是o o
a , b , c ，则(a , b , c ) 就是点P 的坐标
2、在x 轴上的点分别可以表示为(a , 0, 0), (0, b , 0), (0, 0, c ) ，
在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的点分别可以表示为(a , b , 0), (a , 0, c ), (0, b , c ) ;
3、点P (a , b , c ) 关于x 轴的对称点的坐标为(a , -b , -c )
点P (a , b , c ) 关于y 轴的对称点的坐标为(-a , b , -c ) ；
点P (a , b , c ) 关于z 轴的对称点的坐标为(-a , -b , c ) ；
点P (a , b , c ) 关于坐标平面xOy 的对称点为(a , b , -c ) ；
点P (a , b , c ) 关于坐标平面xOz 的对称点为(a , -b , c ) ；
点P (a , b , c ) 关于坐标平面yOz 的对称点为(-a , b , c ) ；
点P (a , b , c ) 关于原点的对称点(-a , -b , -c ) 。
4、 已知空间两点P (x 1, y 1, z 1) Q (x 2, y 2, z 2) ，则线段PQ 的中点坐标为(
5、空间两点间的距离公式 x 1+x 2y 1+y 2z 1+z 2, , ) 222
已知空间两点P (x 1, y 1, z 1) Q (x 2, y 2, z 2) ，则两点的距离为特殊地, 点A (x , y , z ) 到原点O 的距离为
直线的知识点
（一）直线的倾斜角
定义： 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，倾斜角的取值范围是0︒≤α
（二）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线， 叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0︒, k =tan 0︒=0；
当直线l 与x 轴垂直时, α=90︒, k 不存在.
当α∈0, 90时，k ≥0； 当α∈90 , 180 时，k
②过两点的直线的斜率公式： （ P (x 1, y 1), P 2(x 2, y 2), x 1≠x 2 ） 1
注意下面四点：(1)当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（三）直线方程
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．
但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x
=x 1。
1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 注意：
○
（四）两直线平行与垂直
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（五）两条直线的交点
A
1x +B 1y +C 1=0的一组解。 l 1:A 1x +B 1y +C 1=0 l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交，交点坐标即方程组⎧⎨⎩A 2x +B 2y +C 2=0
方程组无解⇔l 1//l 2 ； 方程组有无数解⇔l 1与l 2重合
B x
2, y 2）设A (x 1, y 1) ，（是平面直角坐标系中的两个点，则
一点P (x 0, y 0)到直线l 1:Ax +By +
C =0的距离已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax +By +C 1=0，
l 2：Ax +By +C 2=0，则l 1与l 2的距离为
线性规划的知识点
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
确定步骤： (1)直线定界，(2)特殊点定域；若C ≠0，由原点定域；
一、 1.点P(x0,y 0) 在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By0+C=0
2. 点P(x0,y 0) 在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By0+C>0;当B
3. 点P(x0,y 0) 在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,
（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,
即：1. 点P(x1,y 1) 和点Q(x2,y 2) 在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By1+C）( Ax 2+By2+C)>0
2. 点P(x1,y 1) 和点Q(x2,y 2) 在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By1+C）( Ax2+By2+C)
二、二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C>0（或
②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意：作图时, 不包括边界画成虚线；包括边界画成实线.
三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:
方法一: 取特殊点检验；“直线定界、特殊点定域
原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的
实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y 0), 从Ax 0+By0+C的正负即可判断
Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域. 特殊地, 当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，
1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律：
1.Ax+By+C>0，当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），
当B
2.Ax+By+C0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）
当B
四、线性规划的有关概念
（五）解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大
或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
注意点：（1）线性目标函数最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。（2）求线性
目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义
——在y 轴上的截距或其相反数。