第18章 工程应用
本章内容：各种方法的原理及应用
本章重点：主应力法，滑移线法，摩擦与边界条件的处理。
18．1 主应力法principal stress method
塑性理论：分析变形力——确定变形力, 选设备，设计模具，定工艺
⎧应力平衡方程⎪
⎪几何方程⎨
精确解⎪应力应变关系
⎪塑性条件⎩
3⎫⎪6⎪⎬
6⎪非常困难甚至无法1⎪⎭
（共18个未知量）
必须简化，近似求解⇒主应力法
18．1．1基本原理
主应力法（切块法slab method）：
基本思路：近似假设应力状态，简化应力平衡方程和塑性条件
要点：1) 简化应力状态为平面问题或轴对称问题
2) 沿变形体整个截面截取基元体，设正
应力与一个坐标无关且均匀分布，摩擦为库伦或常摩擦条件，根据静力平衡，得简化的平衡微分方程
3) 列塑性条件时，假定基之接触面上的
正应力为主应力（即忽略摩擦力对塑性条件的影响）。
4) 联立求解，并利用边界条件确定积分
常数，求出接触面上的应力分布进而求得变形力。
注意：准确程度与假设是否接近实际有关。
18．1. 2 轴对称镦粗变形特点及变形力计算
18.1.2.1 镦粗upsetting 变形特点
无摩擦：均匀变形
有摩擦：鼓形，双鼓形——不均匀镦粗inhomogeneous upsetting 变形分区：Ⅰ区：难变形区 Ⅱ区：大变形区 Ⅲ区：小变形区
端面：滑动区，粘着区
结论：镦粗是一个非稳定的塑性流动过程
18.1.2.2 圆柱体镦粗时变形力计算 求接触面上的应力分布，主要步骤： 1) 截取基元 注意条件：轴对称问题，
有：τθρ
力σρ=σθ
2) 列径向静力平衡方程
=τθz =0 σθ
为主应
d θ
σr hrd θ-(σr +d σr )h (r +dr )d θ+2σθhdr sin
2
简
化
为
：
hrd σr +σr hdr +2τdr -σθhdr =0
σr =σθ
圆柱体镦粗：d σr =-h dr
3) 引入塑性条件 设σz 为主应力 σz -σγ=S 2τ
∴d σz =-d γ
h
⇒d σz -d σγ=0
4）设定摩擦条件 假设τ=μσz
d σ2μ∴=-dr σz h ⇒σz =ce
2μ
-r
D r =
5） 引入边界条件求积分常数 2 时
σr =0 此时σz =S
μD
得
2μ(-r ) h 2
C=
Se
h
⎧⎪σz =∴⎨(-r ) h 2
⎪⎩τ=μσz =μ上式即解得应力分布 但上式解存在问题，问题在
处理，因为τ≤τmax =0. 5S
解决方法：重新设定摩擦条件 ：ab 段：τ
τ的
=μσz 滑动区
bc 段：τ=0. 5S 制动区
S γr τ=≈S co 段：2γc 2h 停滞区
d σ=-d γz 将上式分别代入
h
几个特殊点：
1τ=S b b 点：b 点处有2 又有：
τb =u σz (b )
ab
段
代
入
：
2u σz =se (2-γb )γ可求b h
ιn 2u d
γ=+h b 即：22u
而对于bc 段（制动区），
s
σz =-γ+c
h
在γb 处有u σz =0. 5s 可求出
s
(1+C 1=h γb )及σz
2u
C
点：CO
段停滞区
σz =-2h s +c 2
2
γ2
在γ=γc =h 处，C 点σz 应相
等可求C 2
s s 2u (γb -h )22σz =1+h +2h -γ
2u 2h
[]
()
18.1.2.3 讨论
d
02(1+ψ) 三区并存 d
0
d
u >0 h ≤2 只有停滞区
d
u ≤0.5 n ＞2 停滞区+制动区
18.1.2.4 锻粗变形力计算 F=⎰⎰σz dA 单位流动压力：
ρ=F A
将前已计算出的σz 分别积分即求得常摩擦时：
τ=us
2us
d σz =-d γ σz =s [1+h (-γ)] 2h
p =s (1+
)
热锻中按最大摩擦条件τ区）
=0. 5s （全部为制动
σz =s (1+
p =s (1+
0. 5d -γh
)
6h
)
18.1.2.5 镦粗时变形功deformation work （选设备用）
h 1
W=-⎰h 0Fdh=-⎰h 0PAdh
h 1
W=⎰h p dh =v ⎰
1
h 0
h 0
dh p =v ρm ∈ h 1h
注意：变形时单位流动压力与坯料体积及打击
速度有关
习题 18章 3
18.1.3 开式模锻drop-forging 变形特点及变形力计算
18.1.3.1 变形特点
定义：利用模具die 迫使金属坯料产生塑性变性
并充满锻模型腔的一种塑性加工方法
过程：1) 镦粗阶段
2) 充满模镗阶段
3) 上下模闭合阶段（打靠）
飞边槽作用：1) 形成阻力
2) 容纳多余金属
18.1.3.2 变形力计算
上下模闭合时需要力最大，所以计算此时的力以圆盘类锻件为例：
⎧锻件主体⎪
⎨飞边桥部
⎪
⎩飞边仓部
18.1.3.3 飞边仓部受力分析
作用：阻止桥部金属向外流动
受力模型：厚壁筒thick-walled barrel 受内压作用
1) 取单元体 2) 列静力平衡方程
d θ
(σγ+d σγ)(γ+d γ)d θ+2σθsin d γ-σγ⋅γ⋅d θ=0
∂
d θd θsin ≈
22
∴(σγd γ+γd σγ)+σθd γ=0
σγ+σθ+=0
即d γ γ
3) 屈服准则 σθ--σγ=βs 代入上式
d σγ
()
d σr =-βs
β=1. 1
d γ
热模锻S 为常数，应力状态为平面应力
∴σr =-1. 1s ln cr
4) 边界条件
C=
D 1
γ=
D 1
2
处
σγ=0
σ=1. 1S ln r 2∴
D 1
(γ=∴仓桥交界处
2
+b )
σγ=1. 1s ιn
D 12
D 1
锻模设计常识：一般D +2b ≤1.6
D
在γ=2+b 处，σγ≈1. 15S ln 1. 6=0. 5S
18.1.3.4 飞边桥部变形力计算 受力模型：轴对称镦粗 1) 取单元体
2) 列静力平衡方程
2τ
d σγ=-d γ
h
热模锻用最大摩擦条件
s
∴d σγ=-d γ
h
τ=0. 5s
s
∴σγ=-γ+C
h
D γ=+b 3) 边界条件： 2
σγ=0. 5s
∴C =s 0. 5+
(
+b
∴σγ=s
h
)
D +2b -2γ2h
+0. 5
)
σ-σ=s z γ4) 屈服准则（近似）
(∴σz =s [1. 5+h 2+b -γ)]
F b =⎰σz dA =⎰2
+b
σz ⋅∂πγd γ
F b =πsb (b +D )1. 5+2h ⋅
Fb Fb p b ==
Ab πb D +b
(
D ++b D +b
)
D +b ≈1模锻件D>>b 再简化D +b
∴p b =s (1. 5+)
18.1.3.5 锻件本体变形力
受力模型（简化）：圆盘镦粗φD h 0=2h (透镜状镦粗)
1) 取单元体
2) 列静力平衡方程
2τ
d σγ=-d γ
h o
最大摩擦条件 τ=0. 5s
∴σγ=-γ+c
γ=(σ=s +0. 5) γ3) 边界条件 2h
∴σ=s 0. 5++γ可求出C
h
(
D -2γ2h o
)
4) 屈服准则（近似）
∴σz =s 1. 5++
h
(
σz -σγ=s （h 0=2h）
D -2γ
4h
)
1D ∴p d =2⎰S 1. 5++D -2γ
h 4h 0D ()
(S 1. 5++=h 12h )
结F=
论：模锻力=
p b A b +p d A d
S (1. 5+2h )A b +S (1. 5++h 12h )Ad
π
=4
D S [(1. 5+2h )Ad +1. 5++h 12h ]2
习题 18章 2
18.1.4 板料弯曲
定义：把平板、型材（管材）弯成一定曲率（角度）的塑性成形工序
应用：模具弯、折弯、滚弯、拉弯
18.1.4.1 线性弹塑性弯曲 18.1.4.2 弹性弯曲
弯矩小⇒弹性变形（弯曲角度小，曲率半径大） 外区受拉内区受压⇒交界处受力为0且位于板厚中间
ρε=ρσ=γ+ 且应变公式为：
(ρε+y )α-ρε∂εθ==
ρε∂
y
ρε
（ρε应变中性层曲率半径，y 到中性层距离，弯曲角度） 而弹变时σρ=σz =0
∴σθ=E εθ=
Ey
3
18.1.4.3 弹塑性弯曲
弯矩↑⇒角度↑⇒曲率半径γ↓。当σ≥σ，板
θmax
s
料内外表层进入塑性状态且不断向里扩展，而又由于加工硬化，使周向应力高于初始屈服应力，中性层附近仍处于弹性状态。
18.1.4.4 纯塑性弯曲
当弹性变形区很小，可以忽略不计时则可认为变形均处于塑性状态。
18.1.4.5 三维塑性弯曲时的应力应变状态
⎧塑性流动
⇒三维弯曲⎨弯曲时⎩刚端牵制
经, 周, 宽
ρ, θ, B
18.1.4.6 应变状态
周向应变εθ：绝对值最大主应变 (BA ≤3) 窄板时：刚端牵制作用较弱， 存在
（BA>3）宽板时：刚端牵制εB =0，
18.1.4.7 应力状态
ερ, εB 均
ερ存在
σθ：外区σθ>0，内区σθ
σρ：内外表面σρ=0，中性层最大
σB ：（B/T≤3）窄板，宽度方向可自由变形无
约束，σB =0 ∴σB =
(σρ+σθ)
2
窄板：εθ, ερ, εB σθ, σρ(σB =0)平面应力 宽板：εθ, ερ(εB =0)σρ, σθ, σB , 平面应变
18.1.4.8 宽板弯曲时应力分布（平面应变） 18.1.4.9 无硬化 1）取基元体
2）列力平衡条件
σρρd θ-(σρ+d σρ)(ρ+d ρ)d θ-2σθd ρsin
d ρ
2
=0
()d σ=-σ+σρρθ简化得：
3
）
屈
服
ρ
σθ-(-σρ)=βσs ⇒σρ+σθ=βσs
∴d σρ=-βσs
d ρ
准则
σρ=-βln ρ+c =-1. 155ln ρ+c
4
）
边
界
条
件
ρ=r 0
σρ=0⇒c =-1. 155σs ln r 0
ρ⎧
σs ln ⎪σρ=-1. 155r 0
⎪⎪
∴⎨σθ=-1. 155σs 1+ln r ρ0
⎪⎛11ρ⎫
σs +ln r 0⎪⎪σz =-1. 155
⎪⎝22⎭⎩
()
18.1.4.10 有硬化 S=初始屈服应力外区 S=σs +D ιn
σs +D ∈=σS +D ιn
ρ
3
内区
S=σS +D ι
ρερn ερε
=σs -D ιn
d ρ
代入d σρ=-βs =-1. 155σs +D ι
ρε
2
(
ρn ε
)ρ
d ρ
D
∴σρ=-⨯1. 155ιn
2
[)]-1. 155σιρ+c
s n
边界条件：ρ=R σρ=0
C=1. 155σs ιn R +
D ιn
2
[)]
ε
2
σρ=1. 155σs ιn +
[
(ι
2n ε
-ι
2ρn ε
)]
再由屈服准则求σθ，由平面变形主应力关系求
σB
18.1.4.11 中性层内移
由于 外区σθ=βσs -σρ （拉）σρ影响
内区σθ=βσs +σρ （压）
θ>θ外⇒ 为了平衡，中性层向曲率中心方
移动（内移）
计算1）应力中性层上σρ应相等。
σ=1. 155σιρs n σ=外区内区
σρ=1. 155σιρσ
s n 1
∴ρ6=R γ
计算2）应变中性层 由体积不变条件
变形前V 0=ιbt =ρεabt 变形后
V =b R -γ
(
2
2α
)
2
ρε=
2-γ2
∂t
18.1.4.12 弯曲力矩 M
σθρd ρ
=⎰σθρd ρ+⎰ ρσγ
R
M =1. 155σs b
)
R -γ2
2
≈1. 155
24
σs
18.1.5 圆筒件拉深draw 分析与计算
定义：将平板坯料变形为薄壁空心零件
18.1.5.1 特点
底部：基本不变形。 凸缘：直径减小，变形成筒壁。
18.1.5.2 应力应变状态
σr 拉，σθ压凸缘部份：主要变形区 力：（起
皱），压边σt
应变：εr 拉，εθ压max ，εt 拉，增厚。
凹模圆角：过渡变形区，σγ, εγ, max, εt 压，变薄 筒壁部分：传力区 单向拉应力
σγ
凸模圆角部分：σγ拉，σθ拉→严重变薄 筒底：忽略不计
18.1.5.3 应力分布 1） 取基元体 2） 列力平衡方程
(σγ+d σγ)(γ+d γ)d θt -σγγd θt +∂σθd γt sin
简化：d σγ=-σγ+σθ
2
=0
()
d γ
3）屈服准则 σγ-(-σθ)=βS
σt 相对较小，可视为平面应力 β=1. 1
∴d σγ=-1. 1S
d γ
∴σγ=1. 1S ln γ+C
4）边界条件：γ=R σγ=0 ∴C =1. 1S ln R
R
σr =1. 1S ln
r
σθ=1. 1S -σγ=1. 1s 1-ln ()
当R 取max R ο
R 0
σr max =1. 1S ln γ0 有γ取min γ0
概念：0拉深比 形程度大小。
R γ0
R 0
拉深系数，表示拉深变
σθmax =1. 1S 为压应力
18.1.5.4 应变分布
1）厚度方向εt 属压缩应变，可以忽略 2）周向应变εθ 径向εγ
2222
()() πR +γ=πR -γ体积相等，01
∴γ1=R -R +γ
2
22
γ
2R 0-R 2+γ2
∴∈θ=ln
γ
1
=ln
=-εγ
∴ε=ln γmax r=R,
γ=γ0 εγmin =ln
R R
即外缘变形程度最大
20
20
2
R +γ+R
γ0
18.1.5.5 拉深力计算 1）变形阻力 σγm a x 2）压边摩擦阻力σu
=uFq /πγ0t
u ∂
3）滑动摩擦阻力 （影响系数e ）
σw =2γ+1)4）弯曲阻力
max
p max =[(σγ)max +σu ](1+1. 6u )+σw
d t
σb
πdtp max F=
σγmax
max
: 特点：
段即R ≈08~09R ⎧1. 一般出现在拉深初始阶
⎨ 2. 它出现时工件最易起皱⎩
18.1.5.6 起皱与拉裂 1）起皱
原因σθ为压应力， 影响：板料抗失稳能力 t/(D-d) 2）拉裂
部位：凸模圆角处
无σθ，变形小而无加工硬化，所变薄弱
习题 18章 4
18.1.6 挤压extrusion 变形
定义：在凸模压力作用下，坯料通过一定形状凹模，截面减小，长度增加
分类：正挤forward extrusion 反挤 复合挤压 18.1.6.1 特点
1) 变形不均匀（中心快，边界慢） 2) 变形复杂（摩擦影响）
3) 变形区集中（凹模孔口附近） 4) 有死角
5) 缺陷（挤压缩孔，裂纹）
18.1.6.2 挤压变形力计算
⎧出口区⎪锥形区⎪⎨
变形分区 ⎪筒形区
⎪⎩死角(不必计算)
18.1.6.3 出口区：（变形结束，弹性状态，有摩擦力） 1）取基元 2）力平衡方程：
(σz 1+d σz 1)4d -σz 1
21
πd 12
4
-τ1πd 1d z =0
简化：τ1=u 1s 1 3）常摩擦条件
d σz 1=
4u s 1
d z σz 1=
4u d 1 Z+C
4u 4）边界 z=-h σz =0 C=d 1
s 1l n
∴σ=4u s z 1
h +z
11d 1
l 111
σ=4u s z 1z=0
18.1.6.4 圆锥部分 1）取基元
=p 1
2）列力平衡方程 轴
2
向
2
2
：
σz 2πγ-(σz 2+d σz 2)π(γ+d γ)+2π
dl cos ∂+∂π
N
已知：d γ=dztg ∂ dl =dz /cos ∂ 简化
：
∂σz 2d γ+γd σz 2-2τ2d z -2σN 2d
径向：σN 2=σγ2+τ2tg ∂
=0
2
τdztg σdz +g ∂+γd σ-2σdztg ∂-2所以：2z z γ22∂=0
2
2
即：2(σz 2-σγ2)dztgx +γd σz z -2τ2dz (1+tg )=0
2
∂
3）屈服准则 近似σγ2-σz 2=S 2
d σz 2=
2∂s +g ∂+τ1+tg (
)dz
4）摩擦条件：τ2=u 2s 2
d 1γ=+ztg ∂几何条件： 2
∂s 2tg ∂+u 21+tg
∴σz 2=
tg ∂
[
(
2∂
)]ln d 12
+ztg ∂+C
)
5）边界条件 Z=0 σZ 2
h =p 1=4u 1s 1 可求C
d 1
d 1n 2
∴σz 2=p 1+∂s 2B l
2
[2∂
+ztg ∂-l
)
d 1n 2
]
其中 B=[tg ∂+u (1+g )]/tg ∂ 交界处：Z=h 2=(D -d 1(∂+g ∂)
σz 2=p 2
p 2=p 1+2s 2Bl n d
1
18.1.6.5 直筒部分
（1）摩擦小，高度小，不变形
1）取基元 2）列方程
σz 3D -(σz 3+d σz 3)D +τ3πDd z =0
2
2
3）摩擦条件：
τ3=u 3σγ3
∴d σz 3=4u 3
σγ3
D
d z
3
4）屈服条件：σz 3-σγ=s 3
∴σz 3-s 3=ce
4u z D
5）边界条件：z=h2 σz 3=p 2可求C
4u (z -h )∴σz 3=(p 2-s 3)e +S 3
D
Z=h 3 σz 3即为单位挤压变形力
4u 3(h 3-h 2)p 3=(p 2-p 3)e +S 3
D
因此单位挤压力(p 3max )为：（h 2≤h 3）
h 3≈H 0
p 3=4u s
d 1
(
h 11d 1
+∂S 2B ln -S 3e
)
4u 3H +s 3
条件是：不发生塑变， τ3≤0.5s 3
即u 3σγ3≤0.5s 3
u 3(p 2-s 3)e
4u 3H max
≤0.5s 3
∴H max =
3
4u 3
ln
s ∂u 3p 2-p 3
（2）第二类，H 0>Hmax u 较大，H max 产生塑变。
1）取基元
2）列方程
d σz 3=4D d z
τ3）摩擦条件：
τ3=
S 32
S 3
2
∴d σz 3=s 3dz σz 3
D
∂s 3=Z +C D
4）边界条件Z=Hmax
τ=
=u 3σγ3
∴σγ3=
s 3
u 3
5）屈服条件：σz 3-σγ3
H max
C=S3∂u 3
=s 3
σz 3=
S 3∂u 3
处:
+s 3
+1-D
)
∴σZ 3=S
Z=H0
∂u 3+13∂u 3
+
D
(Z -H max )]
时
∂u 3+133
p =s 3
+
(H 0-H max )]
τ=s 23（3）第三类 整个筒长
3
1）取基元
2）列方程
d σz 3=
∂s 3
D
dz
σz 3=
当
∂s 3D
z +c
σz 3=p 2可求C 。
2
∂s u 1+tg +tg ∂
tg ∂
3）边界条件 z=0
p 3=4u s
热
挤
l 11d 1
+
[(
z=H0
时
)
]ln +∂s H
0d D
1
时：
s 1=s 2=s 3=σs
u 1=u 2=0. 5
∴p 3=∂σ
h s d 1
+
(1+tg ∂)2
2tg ∂
l
n d 1
+
习题 18章 1
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第18章 工程应用
本章内容：各种方法的原理及应用
本章重点：主应力法，滑移线法，摩擦与边界条件的处理。
18．1 主应力法principal stress method
塑性理论：分析变形力——确定变形力, 选设备，设计模具，定工艺
⎧应力平衡方程⎪
⎪几何方程⎨
精确解⎪应力应变关系
⎪塑性条件⎩
3⎫⎪6⎪⎬
6⎪非常困难甚至无法1⎪⎭
（共18个未知量）
必须简化，近似求解⇒主应力法
18．1．1基本原理
主应力法（切块法slab method）：
基本思路：近似假设应力状态，简化应力平衡方程和塑性条件
要点：1) 简化应力状态为平面问题或轴对称问题
2) 沿变形体整个截面截取基元体，设正
应力与一个坐标无关且均匀分布，摩擦为库伦或常摩擦条件，根据静力平衡，得简化的平衡微分方程
3) 列塑性条件时，假定基之接触面上的
正应力为主应力（即忽略摩擦力对塑性条件的影响）。
4) 联立求解，并利用边界条件确定积分
常数，求出接触面上的应力分布进而求得变形力。
注意：准确程度与假设是否接近实际有关。
18．1. 2 轴对称镦粗变形特点及变形力计算
18.1.2.1 镦粗upsetting 变形特点
无摩擦：均匀变形
有摩擦：鼓形，双鼓形——不均匀镦粗inhomogeneous upsetting 变形分区：Ⅰ区：难变形区 Ⅱ区：大变形区 Ⅲ区：小变形区
端面：滑动区，粘着区
结论：镦粗是一个非稳定的塑性流动过程
18.1.2.2 圆柱体镦粗时变形力计算 求接触面上的应力分布，主要步骤： 1) 截取基元 注意条件：轴对称问题，
有：τθρ
力σρ=σθ
2) 列径向静力平衡方程
=τθz =0 σθ
为主应
d θ
σr hrd θ-(σr +d σr )h (r +dr )d θ+2σθhdr sin
2
简
化
为
：
hrd σr +σr hdr +2τdr -σθhdr =0
σr =σθ
圆柱体镦粗：d σr =-h dr
3) 引入塑性条件 设σz 为主应力 σz -σγ=S 2τ
∴d σz =-d γ
h
⇒d σz -d σγ=0
4）设定摩擦条件 假设τ=μσz
d σ2μ∴=-dr σz h ⇒σz =ce
2μ
-r
D r =
5） 引入边界条件求积分常数 2 时
σr =0 此时σz =S
μD
得
2μ(-r ) h 2
C=
Se
h
⎧⎪σz =∴⎨(-r ) h 2
⎪⎩τ=μσz =μ上式即解得应力分布 但上式解存在问题，问题在
处理，因为τ≤τmax =0. 5S
解决方法：重新设定摩擦条件 ：ab 段：τ
τ的
=μσz 滑动区
bc 段：τ=0. 5S 制动区
S γr τ=≈S co 段：2γc 2h 停滞区
d σ=-d γz 将上式分别代入
h
几个特殊点：
1τ=S b b 点：b 点处有2 又有：
τb =u σz (b )
ab
段
代
入
：
2u σz =se (2-γb )γ可求b h
ιn 2u d
γ=+h b 即：22u
而对于bc 段（制动区），
s
σz =-γ+c
h
在γb 处有u σz =0. 5s 可求出
s
(1+C 1=h γb )及σz
2u
C
点：CO
段停滞区
σz =-2h s +c 2
2
γ2
在γ=γc =h 处，C 点σz 应相
等可求C 2
s s 2u (γb -h )22σz =1+h +2h -γ
2u 2h
[]
()
18.1.2.3 讨论
d
02(1+ψ) 三区并存 d
0
d
u >0 h ≤2 只有停滞区
d
u ≤0.5 n ＞2 停滞区+制动区
18.1.2.4 锻粗变形力计算 F=⎰⎰σz dA 单位流动压力：
ρ=F A
将前已计算出的σz 分别积分即求得常摩擦时：
τ=us
2us
d σz =-d γ σz =s [1+h (-γ)] 2h
p =s (1+
)
热锻中按最大摩擦条件τ区）
=0. 5s （全部为制动
σz =s (1+
p =s (1+
0. 5d -γh
)
6h
)
18.1.2.5 镦粗时变形功deformation work （选设备用）
h 1
W=-⎰h 0Fdh=-⎰h 0PAdh
h 1
W=⎰h p dh =v ⎰
1
h 0
h 0
dh p =v ρm ∈ h 1h
注意：变形时单位流动压力与坯料体积及打击
速度有关
习题 18章 3
18.1.3 开式模锻drop-forging 变形特点及变形力计算
18.1.3.1 变形特点
定义：利用模具die 迫使金属坯料产生塑性变性
并充满锻模型腔的一种塑性加工方法
过程：1) 镦粗阶段
2) 充满模镗阶段
3) 上下模闭合阶段（打靠）
飞边槽作用：1) 形成阻力
2) 容纳多余金属
18.1.3.2 变形力计算
上下模闭合时需要力最大，所以计算此时的力以圆盘类锻件为例：
⎧锻件主体⎪
⎨飞边桥部
⎪
⎩飞边仓部
18.1.3.3 飞边仓部受力分析
作用：阻止桥部金属向外流动
受力模型：厚壁筒thick-walled barrel 受内压作用
1) 取单元体 2) 列静力平衡方程
d θ
(σγ+d σγ)(γ+d γ)d θ+2σθsin d γ-σγ⋅γ⋅d θ=0
∂
d θd θsin ≈
22
∴(σγd γ+γd σγ)+σθd γ=0
σγ+σθ+=0
即d γ γ
3) 屈服准则 σθ--σγ=βs 代入上式
d σγ
()
d σr =-βs
β=1. 1
d γ
热模锻S 为常数，应力状态为平面应力
∴σr =-1. 1s ln cr
4) 边界条件
C=
D 1
γ=
D 1
2
处
σγ=0
σ=1. 1S ln r 2∴
D 1
(γ=∴仓桥交界处
2
+b )
σγ=1. 1s ιn
D 12
D 1
锻模设计常识：一般D +2b ≤1.6
D
在γ=2+b 处，σγ≈1. 15S ln 1. 6=0. 5S
18.1.3.4 飞边桥部变形力计算 受力模型：轴对称镦粗 1) 取单元体
2) 列静力平衡方程
2τ
d σγ=-d γ
h
热模锻用最大摩擦条件
s
∴d σγ=-d γ
h
τ=0. 5s
s
∴σγ=-γ+C
h
D γ=+b 3) 边界条件： 2
σγ=0. 5s
∴C =s 0. 5+
(
+b
∴σγ=s
h
)
D +2b -2γ2h
+0. 5
)
σ-σ=s z γ4) 屈服准则（近似）
(∴σz =s [1. 5+h 2+b -γ)]
F b =⎰σz dA =⎰2
+b
σz ⋅∂πγd γ
F b =πsb (b +D )1. 5+2h ⋅
Fb Fb p b ==
Ab πb D +b
(
D ++b D +b
)
D +b ≈1模锻件D>>b 再简化D +b
∴p b =s (1. 5+)
18.1.3.5 锻件本体变形力
受力模型（简化）：圆盘镦粗φD h 0=2h (透镜状镦粗)
1) 取单元体
2) 列静力平衡方程
2τ
d σγ=-d γ
h o
最大摩擦条件 τ=0. 5s
∴σγ=-γ+c
γ=(σ=s +0. 5) γ3) 边界条件 2h
∴σ=s 0. 5++γ可求出C
h
(
D -2γ2h o
)
4) 屈服准则（近似）
∴σz =s 1. 5++
h
(
σz -σγ=s （h 0=2h）
D -2γ
4h
)
1D ∴p d =2⎰S 1. 5++D -2γ
h 4h 0D ()
(S 1. 5++=h 12h )
结F=
论：模锻力=
p b A b +p d A d
S (1. 5+2h )A b +S (1. 5++h 12h )Ad
π
=4
D S [(1. 5+2h )Ad +1. 5++h 12h ]2
习题 18章 2
18.1.4 板料弯曲
定义：把平板、型材（管材）弯成一定曲率（角度）的塑性成形工序
应用：模具弯、折弯、滚弯、拉弯
18.1.4.1 线性弹塑性弯曲 18.1.4.2 弹性弯曲
弯矩小⇒弹性变形（弯曲角度小，曲率半径大） 外区受拉内区受压⇒交界处受力为0且位于板厚中间
ρε=ρσ=γ+ 且应变公式为：
(ρε+y )α-ρε∂εθ==
ρε∂
y
ρε
（ρε应变中性层曲率半径，y 到中性层距离，弯曲角度） 而弹变时σρ=σz =0
∴σθ=E εθ=
Ey
3
18.1.4.3 弹塑性弯曲
弯矩↑⇒角度↑⇒曲率半径γ↓。当σ≥σ，板
θmax
s
料内外表层进入塑性状态且不断向里扩展，而又由于加工硬化，使周向应力高于初始屈服应力，中性层附近仍处于弹性状态。
18.1.4.4 纯塑性弯曲
当弹性变形区很小，可以忽略不计时则可认为变形均处于塑性状态。
18.1.4.5 三维塑性弯曲时的应力应变状态
⎧塑性流动
⇒三维弯曲⎨弯曲时⎩刚端牵制
经, 周, 宽
ρ, θ, B
18.1.4.6 应变状态
周向应变εθ：绝对值最大主应变 (BA ≤3) 窄板时：刚端牵制作用较弱， 存在
（BA>3）宽板时：刚端牵制εB =0，
18.1.4.7 应力状态
ερ, εB 均
ερ存在
σθ：外区σθ>0，内区σθ
σρ：内外表面σρ=0，中性层最大
σB ：（B/T≤3）窄板，宽度方向可自由变形无
约束，σB =0 ∴σB =
(σρ+σθ)
2
窄板：εθ, ερ, εB σθ, σρ(σB =0)平面应力 宽板：εθ, ερ(εB =0)σρ, σθ, σB , 平面应变
18.1.4.8 宽板弯曲时应力分布（平面应变） 18.1.4.9 无硬化 1）取基元体
2）列力平衡条件
σρρd θ-(σρ+d σρ)(ρ+d ρ)d θ-2σθd ρsin
d ρ
2
=0
()d σ=-σ+σρρθ简化得：
3
）
屈
服
ρ
σθ-(-σρ)=βσs ⇒σρ+σθ=βσs
∴d σρ=-βσs
d ρ
准则
σρ=-βln ρ+c =-1. 155ln ρ+c
4
）
边
界
条
件
ρ=r 0
σρ=0⇒c =-1. 155σs ln r 0
ρ⎧
σs ln ⎪σρ=-1. 155r 0
⎪⎪
∴⎨σθ=-1. 155σs 1+ln r ρ0
⎪⎛11ρ⎫
σs +ln r 0⎪⎪σz =-1. 155
⎪⎝22⎭⎩
()
18.1.4.10 有硬化 S=初始屈服应力外区 S=σs +D ιn
σs +D ∈=σS +D ιn
ρ
3
内区
S=σS +D ι
ρερn ερε
=σs -D ιn
d ρ
代入d σρ=-βs =-1. 155σs +D ι
ρε
2
(
ρn ε
)ρ
d ρ
D
∴σρ=-⨯1. 155ιn
2
[)]-1. 155σιρ+c
s n
边界条件：ρ=R σρ=0
C=1. 155σs ιn R +
D ιn
2
[)]
ε
2
σρ=1. 155σs ιn +
[
(ι
2n ε
-ι
2ρn ε
)]
再由屈服准则求σθ，由平面变形主应力关系求
σB
18.1.4.11 中性层内移
由于 外区σθ=βσs -σρ （拉）σρ影响
内区σθ=βσs +σρ （压）
θ>θ外⇒ 为了平衡，中性层向曲率中心方
移动（内移）
计算1）应力中性层上σρ应相等。
σ=1. 155σιρs n σ=外区内区
σρ=1. 155σιρσ
s n 1
∴ρ6=R γ
计算2）应变中性层 由体积不变条件
变形前V 0=ιbt =ρεabt 变形后
V =b R -γ
(
2
2α
)
2
ρε=
2-γ2
∂t
18.1.4.12 弯曲力矩 M
σθρd ρ
=⎰σθρd ρ+⎰ ρσγ
R
M =1. 155σs b
)
R -γ2
2
≈1. 155
24
σs
18.1.5 圆筒件拉深draw 分析与计算
定义：将平板坯料变形为薄壁空心零件
18.1.5.1 特点
底部：基本不变形。 凸缘：直径减小，变形成筒壁。
18.1.5.2 应力应变状态
σr 拉，σθ压凸缘部份：主要变形区 力：（起
皱），压边σt
应变：εr 拉，εθ压max ，εt 拉，增厚。
凹模圆角：过渡变形区，σγ, εγ, max, εt 压，变薄 筒壁部分：传力区 单向拉应力
σγ
凸模圆角部分：σγ拉，σθ拉→严重变薄 筒底：忽略不计
18.1.5.3 应力分布 1） 取基元体 2） 列力平衡方程
(σγ+d σγ)(γ+d γ)d θt -σγγd θt +∂σθd γt sin
简化：d σγ=-σγ+σθ
2
=0
()
d γ
3）屈服准则 σγ-(-σθ)=βS
σt 相对较小，可视为平面应力 β=1. 1
∴d σγ=-1. 1S
d γ
∴σγ=1. 1S ln γ+C
4）边界条件：γ=R σγ=0 ∴C =1. 1S ln R
R
σr =1. 1S ln
r
σθ=1. 1S -σγ=1. 1s 1-ln ()
当R 取max R ο
R 0
σr max =1. 1S ln γ0 有γ取min γ0
概念：0拉深比 形程度大小。
R γ0
R 0
拉深系数，表示拉深变
σθmax =1. 1S 为压应力
18.1.5.4 应变分布
1）厚度方向εt 属压缩应变，可以忽略 2）周向应变εθ 径向εγ
2222
()() πR +γ=πR -γ体积相等，01
∴γ1=R -R +γ
2
22
γ
2R 0-R 2+γ2
∴∈θ=ln
γ
1
=ln
=-εγ
∴ε=ln γmax r=R,
γ=γ0 εγmin =ln
R R
即外缘变形程度最大
20
20
2
R +γ+R
γ0
18.1.5.5 拉深力计算 1）变形阻力 σγm a x 2）压边摩擦阻力σu
=uFq /πγ0t
u ∂
3）滑动摩擦阻力 （影响系数e ）
σw =2γ+1)4）弯曲阻力
max
p max =[(σγ)max +σu ](1+1. 6u )+σw
d t
σb
πdtp max F=
σγmax
max
: 特点：
段即R ≈08~09R ⎧1. 一般出现在拉深初始阶
⎨ 2. 它出现时工件最易起皱⎩
18.1.5.6 起皱与拉裂 1）起皱
原因σθ为压应力， 影响：板料抗失稳能力 t/(D-d) 2）拉裂
部位：凸模圆角处
无σθ，变形小而无加工硬化，所变薄弱
习题 18章 4
18.1.6 挤压extrusion 变形
定义：在凸模压力作用下，坯料通过一定形状凹模，截面减小，长度增加
分类：正挤forward extrusion 反挤 复合挤压 18.1.6.1 特点
1) 变形不均匀（中心快，边界慢） 2) 变形复杂（摩擦影响）
3) 变形区集中（凹模孔口附近） 4) 有死角
5) 缺陷（挤压缩孔，裂纹）
18.1.6.2 挤压变形力计算
⎧出口区⎪锥形区⎪⎨
变形分区 ⎪筒形区
⎪⎩死角(不必计算)
18.1.6.3 出口区：（变形结束，弹性状态，有摩擦力） 1）取基元 2）力平衡方程：
(σz 1+d σz 1)4d -σz 1
21
πd 12
4
-τ1πd 1d z =0
简化：τ1=u 1s 1 3）常摩擦条件
d σz 1=
4u s 1
d z σz 1=
4u d 1 Z+C
4u 4）边界 z=-h σz =0 C=d 1
s 1l n
∴σ=4u s z 1
h +z
11d 1
l 111
σ=4u s z 1z=0
18.1.6.4 圆锥部分 1）取基元
=p 1
2）列力平衡方程 轴
2
向
2
2
：
σz 2πγ-(σz 2+d σz 2)π(γ+d γ)+2π
dl cos ∂+∂π
N
已知：d γ=dztg ∂ dl =dz /cos ∂ 简化
：
∂σz 2d γ+γd σz 2-2τ2d z -2σN 2d
径向：σN 2=σγ2+τ2tg ∂
=0
2
τdztg σdz +g ∂+γd σ-2σdztg ∂-2所以：2z z γ22∂=0
2
2
即：2(σz 2-σγ2)dztgx +γd σz z -2τ2dz (1+tg )=0
2
∂
3）屈服准则 近似σγ2-σz 2=S 2
d σz 2=
2∂s +g ∂+τ1+tg (
)dz
4）摩擦条件：τ2=u 2s 2
d 1γ=+ztg ∂几何条件： 2
∂s 2tg ∂+u 21+tg
∴σz 2=
tg ∂
[
(
2∂
)]ln d 12
+ztg ∂+C
)
5）边界条件 Z=0 σZ 2
h =p 1=4u 1s 1 可求C
d 1
d 1n 2
∴σz 2=p 1+∂s 2B l
2
[2∂
+ztg ∂-l
)
d 1n 2
]
其中 B=[tg ∂+u (1+g )]/tg ∂ 交界处：Z=h 2=(D -d 1(∂+g ∂)
σz 2=p 2
p 2=p 1+2s 2Bl n d
1
18.1.6.5 直筒部分
（1）摩擦小，高度小，不变形
1）取基元 2）列方程
σz 3D -(σz 3+d σz 3)D +τ3πDd z =0
2
2
3）摩擦条件：
τ3=u 3σγ3
∴d σz 3=4u 3
σγ3
D
d z
3
4）屈服条件：σz 3-σγ=s 3
∴σz 3-s 3=ce
4u z D
5）边界条件：z=h2 σz 3=p 2可求C
4u (z -h )∴σz 3=(p 2-s 3)e +S 3
D
Z=h 3 σz 3即为单位挤压变形力
4u 3(h 3-h 2)p 3=(p 2-p 3)e +S 3
D
因此单位挤压力(p 3max )为：（h 2≤h 3）
h 3≈H 0
p 3=4u s
d 1
(
h 11d 1
+∂S 2B ln -S 3e
)
4u 3H +s 3
条件是：不发生塑变， τ3≤0.5s 3
即u 3σγ3≤0.5s 3
u 3(p 2-s 3)e
4u 3H max
≤0.5s 3
∴H max =
3
4u 3
ln
s ∂u 3p 2-p 3
（2）第二类，H 0>Hmax u 较大，H max 产生塑变。
1）取基元
2）列方程
d σz 3=4D d z
τ3）摩擦条件：
τ3=
S 32
S 3
2
∴d σz 3=s 3dz σz 3
D
∂s 3=Z +C D
4）边界条件Z=Hmax
τ=
=u 3σγ3
∴σγ3=
s 3
u 3
5）屈服条件：σz 3-σγ3
H max
C=S3∂u 3
=s 3
σz 3=
S 3∂u 3
处:
+s 3
+1-D
)
∴σZ 3=S
Z=H0
∂u 3+13∂u 3
+
D
(Z -H max )]
时
∂u 3+133
p =s 3
+
(H 0-H max )]
τ=s 23（3）第三类 整个筒长
3
1）取基元
2）列方程
d σz 3=
∂s 3
D
dz
σz 3=
当
∂s 3D
z +c
σz 3=p 2可求C 。
2
∂s u 1+tg +tg ∂
tg ∂
3）边界条件 z=0
p 3=4u s
热
挤
l 11d 1
+
[(
z=H0
时
)
]ln +∂s H
0d D
1
时：
s 1=s 2=s 3=σs
u 1=u 2=0. 5
∴p 3=∂σ
h s d 1
+
(1+tg ∂)2
2tg ∂
l
n d 1
+
习题 18章 1
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