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１
解决物理问题的思考方法多种多样 ， 在提倡发散 思维的今天， 等效替代法仍是一种常用的重要的思维 方法 ． 在一些物理问题 中， 一个过程的发展 、 一个状态 的确定 ， 往往是 由多个 因素决定 的， 在这一决定过程 中， 某些因素所起 的作用和另一些因素所起的作用相 同， 则前一些因素和后一些 因素是等效的， 它们便 可 以互相代替， 而对过程 的发展和状态的确定 、 最后 结
①
ｌ Ｍ ・丌 譬 。 ｆ ｐ４ （） ７４ ， ￣ ［ Ｔ ￣Ｍ ｐ ４（） 詈 。 可 得 ｉ ＝・丌 。１ ， 求 譬 一 ａ ＬＩ 则 Ｄ
△ Ｍ一 Ｍ ， 以 所
果并不影响， 这种 以等效为前提而使某些 因素互相代
替来研究问题的方法即为等效替代法．
Ｆ ２
Ｇ
一
一 Ｇ Ｍｍ
，
＇
② ③
等效替代法的实质是在效果相同的情况下 ， 将较 为复杂的实际问题变换为简单 的熟悉 问题， 以便突出
主要因素， 抓住它的本质， 找出其 中的规律． 等效替代 法在 中学物理中有着广泛的应用 ， 现举例说明如下：
一
将②③式代人①式， 解得空腔铅球对小球 的引力
为
厂８
一
、
研究对象的等效替代
１
］
例 １ 如 图 １ 示 ， 径 为 所 半
７一） （ ＿ Ｌ ｌ Ｊ ＿
Ｒ的铅球 内有一半径 为Ｒ／ 的 ２ 球形空腔 ， 其表 面与球 面相切 ，
铅 球 的质 量 为 Ｍ． 铅 球 和 空 在
二、 重要物理量的等效替代
例 ２ 如 图 ２所 示 ， 两 用
腔的中心连线上 ， 距离铅球中心 Ｌ处 有 一 质 量 为 ｍ 的 小 球 （ 可 以看成质点）求铅球对小球的引力． ，
根等 长 的轻 质细线 悬挂 一个 小球 ， Ｌ和 ａ已 知 ， 小 球 设 当
图１ 垂直 于纸 面做 简 谐 运 动 时 ， 其
周 期 为 ．
图２
解析 因为铅球 内部有一空腔 ， 不能把它等效成 位于球心的质点． 我们设想在铅球的空腔内填充一个 密度与铅球相同的小铅球 ， 然后在关于小球 １ 对 ９ ＂ ｌ 称的位置放另一相同的小铅球 ， 这样加入的两个 小铅球对小球 ｍ 的引力可 以抵消 ， 这就将空腔铅球 变成 了实心铅球 ， 而结果是等效 的． 空腔的铅球 Ｍ 对 的引力等效于实心铅球与小铅球 对 ｍ 的引力
之和．
解析 此题 中的摆 是一 个双线摆， 而我们已知单摆 的 周期公式， 若将双线摆 长等 效
为单摆摆长， 则双线摆的周期就可以求出来 了．
将双线摆长等效为单摆摆长 Ｌ ＝Ｌ ｉ ａ则此双
ｓ ， ｎ
线摆 的周 Ｔ ．
例 ３ 一条长为 Ｌ的细线 ， 上端 固定在 ０点 ， 下 端系一个质量为 ／ 的小球 ， ９ １ 将它 置于一个很大 的匀
设空 腔铅球 Ｍ 对 ｍ 的引 力 为 Ｆ， 心 铅 球 与 小 实
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强 电场中， 电场强度为 Ｅ， 方向水平向右 ， 已知小球在
Ｂ点时平衡 ， 细线与竖直方 向的夹角为 ， 图 ３ 如 所 示． ： 求 当悬线与竖直方 向的夹角 为多大时 ， 才能使
小球由静止释放后 ， 细线到竖直位置 Ｃ时 ， 小球的速 度恰好为零？
乙
：
图４
四、 复杂 电路的等效替代
例 ５ 如图 ５ 所示的无 限长电阻网络 ， 中每个 其
电阻阻值均为 Ｒ， Ａ、 求 Ｂ两点间的总电阻Ｒ ．
图３
Ｄ
＝ ＝ ＝ ＝
圈 ５
Ｄ
解析 根据题意 ， 小球是在电场和重力场的复合 场 中运动， 其运动可 以等效为一单摆运动 ， Ｂ点为平 衡位置 ， Ｃ点为最大位移处 ， 等效重力加速度 ｇ Ａ、 其 ＝ｇ ｃｓ 由单摆的对称性可得到结论 ，一２． ／ｏ ， 三、 物理模型的等效替代 例 ４ 如图 ４甲所 示， Ｂ 为一无穷大接地金属 Ａ
板 ， 距板 为 ｄ处 有 一 带 电量 为 Ｑ 的正 点 电荷 Ｐ， 在 试
田
乙
解析
引入等效替代 的思维方法处理 ， 由于此题
是无限网络 ， 去掉一个网络后 ， 仍是无限网络 ， 并不影 响网络特征． Ｃ Ｄ两点 以右 的网络 电阻 为Ｒ ， 设 、 这
个网络等效电路图变为图 ５乙所示 ， 则有 电阻 Ｒ 仙就
应等 于 Ｒ ．
ｎ ｎ
求板上感应电荷与点 电荷 Ｐ之 间的相互作用力 的大
小．
把左边的电阻 Ｒ并联在Ｒｚ ｔ ＲＤ 干 ， 上，｝ ｅ一 ． ｘ ｉ － Ｋ ． Ｋ
而 Ｒ 一Ｒ＋Ｒ∞ ， ＮＡ Ｒ 得 Ｒ ＝ 由 Ｂ ＝ ＝ ．
解析 由于 ＡＢ板接地 ， Ｂ板的电势为 ０ 我们 Ａ ， 知道等量异种点电荷 连线 的中垂线上各点 的电势也
为零 ， 故原模 型可 以简化为一个相距为 ２ 且带 电量 均为Ｑ 的等量异种点 电荷， 如图 ４乙所示 ， 由库仑定
律得
从上面的几个例题 中可以看出， 应用等效替代法 解题时 ， 往往是用较简单 的因素代 替较复杂 的因素 ，
以使问题得到简化 而便于求解． 因此灵活运用好“ 等
效替代法” 是求解物理题 的一种行之有效的方法．
Ｆ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 筹．
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解决物理问题的思考方法多种多样 ， 在提倡发散 思维的今天， 等效替代法仍是一种常用的重要的思维 方法 ． 在一些物理问题 中， 一个过程的发展 、 一个状态 的确定 ， 往往是 由多个 因素决定 的， 在这一决定过程 中， 某些因素所起 的作用和另一些因素所起的作用相 同， 则前一些因素和后一些 因素是等效的， 它们便 可 以互相代替， 而对过程 的发展和状态的确定 、 最后 结
①
ｌ Ｍ ・丌 譬 。 ｆ ｐ４ （） ７４ ， ￣ ［ Ｔ ￣Ｍ ｐ ４（） 詈 。 可 得 ｉ ＝・丌 。１ ， 求 譬 一 ａ ＬＩ 则 Ｄ
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果并不影响， 这种 以等效为前提而使某些 因素互相代
替来研究问题的方法即为等效替代法．
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等效替代法的实质是在效果相同的情况下 ， 将较 为复杂的实际问题变换为简单 的熟悉 问题， 以便突出
主要因素， 抓住它的本质， 找出其 中的规律． 等效替代 法在 中学物理中有着广泛的应用 ， 现举例说明如下：
一
将②③式代人①式， 解得空腔铅球对小球 的引力
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研究对象的等效替代
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例 １ 如 图 １ 示 ， 径 为 所 半
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铅 球 的质 量 为 Ｍ． 铅 球 和 空 在
二、 重要物理量的等效替代
例 ２ 如 图 ２所 示 ， 两 用
腔的中心连线上 ， 距离铅球中心 Ｌ处 有 一 质 量 为 ｍ 的 小 球 （ 可 以看成质点）求铅球对小球的引力． ，
根等 长 的轻 质细线 悬挂 一个 小球 ， Ｌ和 ａ已 知 ， 小 球 设 当
图１ 垂直 于纸 面做 简 谐 运 动 时 ， 其
周 期 为 ．
图２
解析 因为铅球 内部有一空腔 ， 不能把它等效成 位于球心的质点． 我们设想在铅球的空腔内填充一个 密度与铅球相同的小铅球 ， 然后在关于小球 １ 对 ９ ＂ ｌ 称的位置放另一相同的小铅球 ， 这样加入的两个 小铅球对小球 ｍ 的引力可 以抵消 ， 这就将空腔铅球 变成 了实心铅球 ， 而结果是等效 的． 空腔的铅球 Ｍ 对 的引力等效于实心铅球与小铅球 对 ｍ 的引力
之和．
解析 此题 中的摆 是一 个双线摆， 而我们已知单摆 的 周期公式， 若将双线摆 长等 效
为单摆摆长， 则双线摆的周期就可以求出来 了．
将双线摆长等效为单摆摆长 Ｌ ＝Ｌ ｉ ａ则此双
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线摆 的周 Ｔ ．
例 ３ 一条长为 Ｌ的细线 ， 上端 固定在 ０点 ， 下 端系一个质量为 ／ 的小球 ， ９ １ 将它 置于一个很大 的匀
设空 腔铅球 Ｍ 对 ｍ 的引 力 为 Ｆ， 心 铅 球 与 小 实
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Ｂ点时平衡 ， 细线与竖直方 向的夹角为 ， 图 ３ 如 所 示． ： 求 当悬线与竖直方 向的夹角 为多大时 ， 才能使
小球由静止释放后 ， 细线到竖直位置 Ｃ时 ， 小球的速 度恰好为零？
乙
：
图４
四、 复杂 电路的等效替代
例 ５ 如图 ５ 所示的无 限长电阻网络 ， 中每个 其
电阻阻值均为 Ｒ， Ａ、 求 Ｂ两点间的总电阻Ｒ ．
图３
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＝ ＝ ＝ ＝
圈 ５
Ｄ
解析 根据题意 ， 小球是在电场和重力场的复合 场 中运动， 其运动可 以等效为一单摆运动 ， Ｂ点为平 衡位置 ， Ｃ点为最大位移处 ， 等效重力加速度 ｇ Ａ、 其 ＝ｇ ｃｓ 由单摆的对称性可得到结论 ，一２． ／ｏ ， 三、 物理模型的等效替代 例 ４ 如图 ４甲所 示， Ｂ 为一无穷大接地金属 Ａ
板 ， 距板 为 ｄ处 有 一 带 电量 为 Ｑ 的正 点 电荷 Ｐ， 在 试
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乙
解析
引入等效替代 的思维方法处理 ， 由于此题
是无限网络 ， 去掉一个网络后 ， 仍是无限网络 ， 并不影 响网络特征． Ｃ Ｄ两点 以右 的网络 电阻 为Ｒ ， 设 、 这
个网络等效电路图变为图 ５乙所示 ， 则有 电阻 Ｒ 仙就
应等 于 Ｒ ．
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求板上感应电荷与点 电荷 Ｐ之 间的相互作用力 的大
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把左边的电阻 Ｒ并联在Ｒｚ ｔ ＲＤ 干 ， 上，｝ ｅ一 ． ｘ ｉ － Ｋ ． Ｋ
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从上面的几个例题 中可以看出， 应用等效替代法 解题时 ， 往往是用较简单 的因素代 替较复杂 的因素 ，
以使问题得到简化 而便于求解． 因此灵活运用好“ 等
效替代法” 是求解物理题 的一种行之有效的方法．
Ｆ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 筹．