矢量分析与场论
矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第一章 矢量分析
一 内容概要
1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数A (t )，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数A (x , y )或者A (x , y , z )，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢A ' (t )的几何意义，即A ' (t )是位于A (t )的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为A =A (s )，则A ' (s )=d A 不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位ds
切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量A (t )保持定长的充分必要条件是A (t )与其导矢A ' (t )互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数e (t )=cos t i +sin t j 为单位矢量，故有e (t )⊥e ' (t )，此外又由于e ' (t )=e 1(t )，故e (t )⊥e 1(t )。（圆函
数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：
⎰A ⋅B ' dt =A ⋅B -⎰B ⋅A ' dt
⎰A ⨯B ' dt =A ⨯B +⎰B ⨯A ' dt
前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
6 在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。
7 矢性函数极限的基本运算公式(14)、导数运算公式(p11)、不定积分的基本运算公式(p16)
典型例题：
教材p6例2、p10 例4、p12例6、p13例7。习题一（p19~20） 此外还有上课所讲的例题。
补充：
1） 设r =a e 1(θ)+b k ，求S =12π(r ⨯r ' )d θ ⎰02
2） 一质点以常角加速度沿圆周r =a e (ϕ)运动，试证明其加速度
v 2 ω=-2r ，其中v 为速度v 的模。 a
3） 已知矢量A =t i -2t j +ln t k ，B =e t i +sin t j -3t k ，计算积分⎰A ⋅B ' dt 。
4） 已知矢量A =t i +2t j ，B =cos t i +sin t j +e -t k ，计算积分⎰A ⨯B ' dt 。
第二章 场论
一 内容概要
1 本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。
2 空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量u (M )或矢量A (M )在场中的宏观分布情况而引入的概念。
比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中等值面的例子；而地形图上的等高线即为平面数量场中等值线的例子。
在矢量场中，矢量线可以体现场矢量的分布状况，又能体现场矢量的走向。例如流场中的流线，体现了流速的分布状况和它们的走向。此外，由于矢量场中的每一点都有一条矢量线通过，因此对于场中的任一条曲线C （非矢量线），在其上的每一点也皆有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一曲面，称为矢量面，特别的，当曲线C 为封闭曲线时，矢量面就成为一管形曲面，称之为矢量管。
3 有一种空间场（矢量场或者数量场）具有这样的一种几何特点：就是在场中存在一族充满场所在空间的平行平面，场在其中每一个平面上的分布，都是完全相同的（若是矢量场，其场矢量同时也平行于这些平面）。对于这种场，只要知道场在其中任一平面的中的特性，则场在整个空间里的特性就知道了，因此，可以将这种场简化到这族平面中的任意一个平面上来研究，因而，也把这种场称为平行平面场。在平行平面场中，通常为了研究方便，通常取所研究的这一个平面为xoy 平面。此时，在平行平面场中，场矢量就可以表示成为平面矢量A =A x (x , y )i +A y (x , y )j ，在平行平面数量场中，其数量就可以表示成为二元函数u =u (x , y )，并且这样的研究结果适用于任何一块与xoy 面平行的平面。
典型例题：习题2（最好能全部做一下）
（1）求数量场u =ln (x 2+y 2+z 2)通过点M (1,2,1)的等值面。
（2）求矢量场A =i +j +(x +2y )k 通过点M (2,1,1)的矢量线方程。
4 数量场中函数u (M )的方向导数是一个数量。它表示在场中的一个点处函数u (M )沿某一方向的变化率。详细点说：其绝对值的大小，表示沿该方向函数变化的快慢程度，其符号的正负，则表示沿该方向函数的变化是增加还是减小的。
若在点M 处，函数u (M )可微，则函数u 沿l 方向的方向导数在迪卡尔坐标下的计算公式为：
∂u ∂u ∂u ∂u =cos α+cos β+cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z
5 数量场的梯度是一个矢量，场中的每一点都对应着一个梯度矢量。梯度矢量有两个重要性质：
（1）梯度在任一方向上的投影，正好等于函数在该方向上的方向导数，grad l u =∂u 。据此可以推出：梯度自身的方向就是方向导数最大∂l
的方向，其模就是这个最大方向导数的数值。
（2）数量场中每一点处的梯度都垂直于此数量场过该点的等值面，且指向函数值增大的一方。
梯度在直角坐标系中的表达式为：
grad u =∂u ∂u ∂u i +j +k 。 ∂x ∂y ∂z
此外，从梯度的基本运算公式可以看出，他与一元函数中导数运算的公式完全类似，这一点可以帮助大家掌握梯度的基本运算(p39)。
典型例题 p34例2，p37例3，例4，p38例5，6，习题3。
（1）求函数u =3x 2+z 2-2yz +2xz 在点M (1,2,3)处沿矢量α=yz i +xz j +xy k 方向的方向导数。
（2）求函数u =xyz 在曲面在点M (2,3,3)处沿曲面下侧法线方向的方向导数∂u |M 。 ∂n
（3）求函数u =3x 2y -y 2在点M (2,3)处沿曲线y =x 2-1朝x 增大一方的方向导数。
（4）设R 是从点M 0(a , b , c )到任意一点M (x , y , z )的距离，求证gradR 是在R =M 0M 方向上的单位矢量。
（5）已知一可微的数量场u (x , y , z )在点M 0(1, 2, 1)处，朝点M 1(2, 2, 1)方向的方向导数是4，朝点M 2(1, 3, 1)方向的方向导数为-2，朝点M 3(1, 2, 0)方向的方向导数为1，试确定在M 0处的梯度，并求出朝点M 4(4, 4, 7)方向的方向导数。
（6）求数量场u =在点M (1, 0, 0)处沿过点M 的等值面的外法线方向n 的方向导数
6矢量场A 穿过某一曲面S 的通量Φ=⎰⎰A ⋅d S 是从某些物理量，诸如
s 1r ∂u ，其中r 为矢径r =x i +y j +z k 的模。 ∂l
流速场中的流量、电场中的电通量、磁场中的磁通量以及热流场中的热量等等概念中抽象出来形成的一个数学概念。因此通量是具有若干物理意义的。
如果S 是一个封闭曲面，则矢量场A 穿出S 的总通量为
Φ=A ⋅d S ，
S
（1） 当Φ>0时，则S 内必有产生通量的源头；
（2） 当Φ
这两种情况，合称为S 内有源（源头为正源，漏洞为负源）。
（3） 当Φ=0时，不能断言S 内无源，因为这时，在S 内正源和
负源互相抵消，也可能恰好出现总通量为零的情况。
由此可见，从穿出某个封闭曲面的总通量，可以初步了解在S 内通量产生的情况，当然这仅仅是一种整体性的粗略了解，这由此引出了矢量场中散度的概念。
7 矢量场A 的散度div A ，是指在场中的一点处，矢量场A 穿出一个包含该点在内的微小区域∆Ω的边界曲面∆S 的通量∆Φ对∆Ω的体积变化率，即
div A =lim ∆Φ=lim ∆S
∆Ω→0∆V ∆Ω→0∆V A ⋅d S
它是一个数量，表示此矢量场在这个点处散发通量或者吸收通量的强度。具体来说，散度以绝对值表示在该点处源的强度大小。当其不为零时，以正负号表示该点处的源为正源或者负源；当其为零时，则表示该点无源，从而将散度恒为零的矢量场称为无源场。与散度相对应的场称为散度场。由于散度场为数量场，故亦可通过其等值面、方向导数和梯度等来揭示其分布规律和变化情况。
在直角坐标系中，矢量场A =P (M )i +Q (M )j +R (M )k 在点M 处的散度表示式为：
div A =∂P ∂Q ∂R ++∂x ∂y ∂z
由此可以得出奥氏公式（高斯定理）的矢量形式为：
A ⋅d S =⎰⎰⎰div A dV
S Ω
此式表明了通量和散度之间的一种关系：穿出封闭曲面S 的通量，等于S 所包围的区域Ω上的散度在上Ω的三重积分。
P52散度的基本运算公式。
典型例题 p44例1，p52例4，例5，习题4。
（1）设S 为由圆柱面x 2+y 2=a 2及平面z =0和z =h 所围成的封闭曲面，求r =x i +y j +z k 穿出S 的柱面部分的通量。
（2）已知A =(axz +x 2)i +(by +xy 2)j +(z -z 2+cxz -2xyz )k ，试确定阿a ，b ，c 使得A 是一个无源场。
（3）求矢量场A =(3x 2-2yz )i +(y 3+yz 2)j +(xyz -3xz 2)k 所产生的散度场通过点M (2, -1, 1)的等值面及其在点M 处沿Ox 轴正向的变化率。
(4) 已知grad (divf (r )r )=0，其中r =x i +y j +z k ，r =r ，求f (r )。
8 矢量场A 沿有向闭曲线l 的环量Γ=A ⋅d l 也是从某些物理量，如力
l
场中的功、流场中的环流以及磁场中的电流强度等概念抽象形成的一个数学概念，和通量概念的形成极为类似，通量是一个曲面积分，环量是一个曲线积分。二者在矢量场中都是一种整体性的概念，为了研究矢量场的局部性质，前面从通量引入了散度，这里又可以从环量引入环量面密度的概念：
在矢量场A 中的一点M 处，取定一个方向为n ，再经过点M 处
以n 为法矢作一微小曲面∆S ，同时以∆S 表示其面积，其边界∆l 之正向与法矢n 构成右手螺旋关系，则场A 沿∆l 之正向的环量∆Γ与面积∆S 之比，当∆S 沿其自身缩向M 点时，其极限就称为矢量场A 在点M 处沿方向n 的环量面密度（就是环量对面积的变化率），即：
μn =lim ∆Γ=lim ∆S ∆S →M ∆l A ⋅d l ∆S ∆S →M
可见，环量面密度概念与散度概念（通量的体密度）的构成是非常类似的，二者都是一种局部性的概念。
设矢量场A =P (M )i +Q (M )j +R (M )k ，则场A 在点M 处沿方向n 的环量面密度在直角坐标系下的计算公式为：
μn =(R y -Q z )cos α+(P z -R x )cos β+(Q x -P y )cos γ
9 环量面密度与散度这两个概念的构成虽然很相似，且都是一种变化率，但二者有着重要的差别，这就是：散度和矢量场中之点能构成一一对应关系，二环量面密度不仅与场中的点位置有关，而且还与从该点出发的方向有关，从一个点出发的方向有无穷多个方向，对应的也有无穷多个环量面密度的值，所以，换辆面密度与矢量中的点不能构成一一对应的关系。
环量面密度和散度的上述差别正是环量面密度和方向导数相一致的地方。这就诱导我们去寻找一种矢量，使它在一个点处和环量面密度之间的关系恰如梯度和方向导数之间的关系一样，循此探索，就得出了旋度的概念。
10 矢量场A 在M 点处的旋度rot A ，是这样一个矢量，它在任一方向上的投影，就等于场A 沿该方向的环量面密度，即有：
rot n A =μn
由此可知：旋度的方向就是环量面密度最大的方向，其模也就是这个最大环量面密度的数值。如果把旋度rot A 与矢量场A 中的点一一对应起来，又得到一个矢量场，叫做有矢量场A 产生的旋度场。 对于那种恒有rot A =0的矢量场，叫做无旋场。
矢量场A =P (M )i +Q (M )j +R (M )k 的旋度，在直角坐标系下的计算公式为：
rot A =(R y -Q z )i +(P z -R x )j +(Q x -P y )k i j
∂
∂x
Q k ∂ ∂x R 或者写为：rot A =∂∂x P
据此可以将斯托克斯公式写成矢量形式：
A ⋅d l =⎰⎰(rot A )⋅d S
l S
此式表明了环量和旋度之间的一种关系：即沿有向封闭曲线l 的环量，等于旋度沿与l 的方向构成右手螺旋的方向穿过以l 为边界的曲面S 的通量。
旋度之所以得名是因为在流场中速度的旋度恰好是流场中该点旋转角速度矢量乘上一个常数2，即rot v =2ω。
P65旋度的基本运算公式。
典型例题：p58例1，p60例2，p63例3，p65例6，习题5。
（1）设A =xy 2z 2i +z 2sin y j +x 2e y k ，求div A 和rot A 。
11 三种特殊的矢量场。即有势场、管形场和调和场。其中以有势场为重点。
设矢量场A 为有势场，是指在场中存在单值函数u (M )满足：
称函数v =-u 为这个场的势函数。从而矢量A 与其势函数v A =gradu ，
之间存在下列关系：A =-gradv ，但在流体力学中，也直接把u 定义为矢量场A 的势函数。
12 具有曲线积分⎰A A ⋅d l 与路径无关性质的矢量场A 称为保守场。如B
静电场、引力场、重力场都是保守场。根据第五节定理1及其证明，可知：在线单连域内，“场有势”，“场无旋”，“场保守”以及“表达式A ⋅d l =Pdx +Qdy +Rdz 为某个函数的全微分（这个函数叫做表达式A ⋅d l 的原函数）”这四者是等价的。一般通过考察场A 是否无旋，即是否有rot A =0来判断其余三者是否成立。
由此知：若有rot A =0，则A ⋅d l 存在原函数，且此原函数就是满足A =gradu 的函数u (M )，它可以用如下公式来计算出：
u (x , y , z )=⎰P (x , y 0, z 0)dx +⎰Q (x , y , z 0)dy +⎰R (x , y , z )dz +C x 0y 0z 0x y z
其中(x 0, y 0, z 0)为场中任意一点，为了计算简便通常取为坐标原点；C
为任意常数。容易看出，在求得u 后，有势场A 的势函数v =-u 就随之得到了。
此外，若A 为保守场，则曲线积分
⎰ A B A ⋅d l =u (M )|B A =u (B )-u (A )
其中u (M ) 为A ⋅d l 的一个原函数，可用上面公式求出。计算曲线积分的这个公式与计算定积分的牛顿—莱布尼茨公式完全相似，都是通过原函数来计算，用起来很方便。
13 矢量场A 为管形场，是指它恒有散度div A =0，即A 为无源场。管形场中存在矢量B 满足rot B =A ，矢量B 叫做管形场A 的矢势量。教材为了说明它的存在，直接给出了从已知管形场矢量A =P (M )i +Q (M )j +R (M )k 计算其矢势量B =U i +V j +W k 的如下计算公式：
⎧U =z Q (x , y , z )dz -y R (x , y , z )dy 0⎰z 0⎰y 0⎪⎪z ⎪ V =-⎨⎰z 0P (x , y , z )dz ⎪⎪W =C ⎪⎩
⎧∂W ∂V ⎪∂y -∂z =P
⎪∂U ∂W 简要给出其推证：由rot B =A ，有⎪-=Q ⎨∂x ⎪∂z
⎪∂V ∂U ⎪∂x -∂y =R
⎩(1) (2) ，为简便起见，(3)
我们取W =C （C 为常数），然后在（1）与（2）式两边对z 积分，得： V =-⎰Pdz +ϕ(x , y )，U =-⎰Qdz +ψ(x , y )，这里ϕ(x , y )，ψ(x , y )都是，x ，z 0z 0z z
y 的任意函数，将此两式带入（3）可得：
⎛∂P ∂Q ⎫∂ϕ∂ψ⎪-⎰ +dz +-=R （4） ⎪z 0 ∂x ∂y ∂x ∂y ⎝⎭z
再由条件div A =0即⎛∂P ∂Q ⎫∂P ∂Q ∂R ∂R ⎪带入上式得： ++=0⇒=- + ⎪∂x ∂y ∂z ∂z ⎝∂x ∂y ⎭
∂R ∂ϕ∂ψdz +-=R （5） ⎰z 0∂z ∂x ∂y z
或者R (x , y , z )-R (x , y , z 0)+∂ϕ∂ψ-=R ，即 ∂x ∂y
∂ϕ∂ψ-=R (x , y , z 0) （6） ∂x ∂y
为简单起见，再在其中取ϕ(x , y )=0 （7） 即得：
ψ(x , y )=-⎰R (x , y , z 0)dy +ω(x ) y 0y
其中ω(x )为x 的任意函数，再取ω(x )=0，就得到：
ψ(x , y )=-⎰R (x , y , z 0)dy （8） y 0y
将（7），（8）依次带入（5）与（6）即可得出U ，V ，再由W =0既可得出所推证的矢势量的计算公式。
从上面的推证过程也可以看出，如果不取W =C ，ϕ(x , y )=0，
则计算矢势量的公式随ω(x )=0而将之取为别的合于条件的函数，
之变化，这表明同一个管形场A ，存在着无穷多的矢势量，而不限于有这里所推证的公式计算出来的。
14 若矢量场A 恒有div A =0和rot A =0，则称A 为调和场。简而言之调和场是一个既无源又无旋的矢量场。在调和场中，由于有rot A =0，故调和场也是有势场，因此存在函数u 满足A =gradu ，又由于有div A =0，既有：
div (gradu )=0
或者写为：
∂2u ∂2u ∂2u +2+2=0 2∂x ∂y ∂z
这是一个二阶偏微分方程，叫做拉普拉斯方程，对于满足拉普拉斯方程且有二阶连续偏导数的函数，叫做调和函数，可见上述函数u 以及势函数v =-u 都是调和函数。
15 特别应注意的是平面调和场，就是既无源又无旋的平面矢量场，它与空间调和场相比，有其特殊性。
设A =P (x , y )i +Q (x , y )j 为平面调和场，则有rot A =0，故存在势函数v 满足A =-gradv ，又因其有div A =0，由此可以推出满足-Q i +P j =gradu 的函数u ，这个函数u 叫做A 的力函数。函数u 和v 可用下面公式来求出：
u (x , y )=-⎰Q (x , y 0)dx +⎰P (x , y )dy x 0
x y 0y x y v (x , y )=-⎰P (x , y 0)dx -⎰Q (x , y )dy x 0y 0
函数u 和v 还满足如下的关系式：
∂u ∂v =∂x ∂y , ∂u ∂v =- ∂y ∂x
由此可以得到：
∂2u ∂2u ∂2v ∂2v +2=0, +2=0 22∂x ∂y ∂x ∂y
这说明函数u 和v 均为满足二维拉普拉斯方程的调和函数，故又称二者为共轭调和函数。应用这个共轭条件，便可以从u 和v 中的一个求出另一个。
此外，力函数和势函数的等值线依次叫做平面调和场的力线
和等势线，其中力线就是矢量场A 的矢量线，而势线就是与矢量线相互正交的一族曲线。
典型例题：p71-73例1，2，3，4，p76例5，p78例6，p80例7，习题6。
（1） 证明A =(y 2+2xz 2)i +(2xy -z )j +(2x 2z -y +2z )k 为有势场，并
求其势函数。
（2） 解微分方程 (z 3-4xy )dx +(6y -2x 2)dy +(3xz 2+1)dz =0。
（3） 证明A =(2xy +3)i +(x 2-4z )j -4y k 为保守场，并计算曲线积分
⎰A ⋅d l ，其中l 是从点A (3, -1, 2)到点B (2, 1, -1)的任意路径。 l
（4） 证明A =yz i +zx j +xy k 为调和场，并求出场的调和函数和矢
势量各一个。
（5） 已知A =(x 3+3y 2z )i +6xyz j +R k ，其中函数R 适合∂R =0，且∂z
当x =y =0时R =0，求R 使矢量场A 存在函数u 满足A =gradu ，并判断A 是否为管形场。
（6） 矢量场A =(x 2-y 2+x )i -(2xy +y )j 是否为平面调和场？若
是，求其力函数u 和势函数v 。
第三章 哈密顿算子
1 哈密顿算子 ∇=∂∂∂i +j +k 是一个矢性微分算子。就是说∂x ∂y ∂z
它在运算中具有矢量和微分的双重性质，其运算规则是：
∂u ∂u ∂u ∇u =i +j +k ∂x ∂y ∂z ，∂A y ∂A x ∂A ∇⋅A =i +j +z k ∂x ∂y ∂z ，⎛∂A z ∂A y ⎫⎛∂A x ∂A z ⎫⎛∂A y ∂A x ⎫∇⨯A = ∂y -∂z ⎪⎪i + ∂z -∂x ⎪j + ∂x -∂y ⎪⎪k 。 ⎭⎝⎝⎭⎝⎭
由此可见，场论中的梯度、散度、旋度都可以用哈密顿算子来表示：
gradu =∇u ，div A =∇⋅A ，rot A =∇⨯A
从而场论中的一些公式，也可以通过该算子来表示。
此外，为了某些公式中应用方便，，又结合哈密顿算子引入了一个数性微分算子：
A ⋅∇=A x ∂∂∂i +A y j +A z k ∂x ∂y ∂z
其运算规则是：
(A ⋅∇)u =A x ∂u i +A y ∂u ∂x ∂y j +A z ∂u k =A ⋅(∇u ) ∂z
j +A z ∂B k ∂z (A ⋅∇)B =A x ∂B i +A y ∂B ∂x ∂y
此处的A ⋅∇与∇⋅A 是完全不同的。
2 教材中把场论中的一些常见公式用算子∇表示，并将其汇集列出便于查用（p85），其中：
（1）公式（1）~（11）前八个是最基本的公式，后三个则是比较常用的。
（2）公式（15）~（17）
公式（15）表示：div (gradu )=∆u ，说明“梯度场的散度就是调和量”，而公式（16）和（17）分别表示：rot (gradu )=0和div (rot A )=0分别说明“梯度场无旋”，“旋度场无源”。
（3）公式（19）~（21）是一组关于矢径r 的基本公式，是经常用到的。
此外（27），（28）分别是奥氏公式与斯托克斯公式用哈密顿算子表达的形式。
典型例题：例1到例8（p86-90）习题7
补充：（1）证明：(A ⋅∇)(u C )=(A ⋅∇u )C ，
(A ⋅∇)B =(A ⋅∇B x )i +(A ⋅∇B y )j +(A ⋅∇B z )k
（2）设u =x 2yz ，v =x 2+y 2-z 2，计算：∇⋅(∇u ⨯∇v )和∇⨯(∇u ⨯∇v )
（3）已知速度v (x , y , z , t )，其中x ，y ，z 为点的坐标，且都是时间t 的函数，证明：d v ∂v =+(v ⋅∇)v dt ∂t
1
2（4）若A 与B 均为调和场，证明：(A ⋅∇)B =[∇(A ⋅B )-∇⨯(A ⨯B )]。
（5）已知函数u 满足(∇u )2=4u 和∇⋅(u ∇u )=10u ，计算曲面积分
∂u ∂u dS ，其中S 为中心在坐标原点的单位球面，为u 沿S 的∂n ∂n S
向外单位法矢n 的方向导数。
（6）设n 为封闭曲面S 的向外单位法矢，证明：
（1）u A ⋅n dS =⎰⎰⎰[u ∇⋅A +∇u ⋅A ]
S Ω
（2）(A ⨯B )⋅n dS =⎰⎰⎰[B ⋅(∇⨯A )-A ⋅(∇⨯B )]
S Ω
（7）证明udv =⎰⎰(∇u ⨯∇v )⋅d S ，其中n 为曲面S 的单位法矢，l
l S
为S 的有向边界曲线，其正向与n 符合右手法则，u ，v 都是点M 的函数。
（8）设S 为区域Ω的边界曲面，n 为S 的向外单位法矢，若矢量
∇⨯F =∇⨯G ，F 和G 在Ω中满足∇⋅F =∇⋅G ，证明在Ω中有F =G 。 (u ∇v )⋅d S =⎰⎰⎰[(∇v ⋅∇u )+u ∆v ]取u =v 的
S Ω
情况）
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矢量分析与场论
矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第一章 矢量分析
一 内容概要
1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数A (t )，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数A (x , y )或者A (x , y , z )，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢A ' (t )的几何意义，即A ' (t )是位于A (t )的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为A =A (s )，则A ' (s )=d A 不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位ds
切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量A (t )保持定长的充分必要条件是A (t )与其导矢A ' (t )互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数e (t )=cos t i +sin t j 为单位矢量，故有e (t )⊥e ' (t )，此外又由于e ' (t )=e 1(t )，故e (t )⊥e 1(t )。（圆函
数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：
⎰A ⋅B ' dt =A ⋅B -⎰B ⋅A ' dt
⎰A ⨯B ' dt =A ⨯B +⎰B ⨯A ' dt
前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
6 在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。
7 矢性函数极限的基本运算公式(14)、导数运算公式(p11)、不定积分的基本运算公式(p16)
典型例题：
教材p6例2、p10 例4、p12例6、p13例7。习题一（p19~20） 此外还有上课所讲的例题。
补充：
1） 设r =a e 1(θ)+b k ，求S =12π(r ⨯r ' )d θ ⎰02
2） 一质点以常角加速度沿圆周r =a e (ϕ)运动，试证明其加速度
v 2 ω=-2r ，其中v 为速度v 的模。 a
3） 已知矢量A =t i -2t j +ln t k ，B =e t i +sin t j -3t k ，计算积分⎰A ⋅B ' dt 。
4） 已知矢量A =t i +2t j ，B =cos t i +sin t j +e -t k ，计算积分⎰A ⨯B ' dt 。
第二章 场论
一 内容概要
1 本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。
2 空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量u (M )或矢量A (M )在场中的宏观分布情况而引入的概念。
比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中等值面的例子；而地形图上的等高线即为平面数量场中等值线的例子。
在矢量场中，矢量线可以体现场矢量的分布状况，又能体现场矢量的走向。例如流场中的流线，体现了流速的分布状况和它们的走向。此外，由于矢量场中的每一点都有一条矢量线通过，因此对于场中的任一条曲线C （非矢量线），在其上的每一点也皆有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一曲面，称为矢量面，特别的，当曲线C 为封闭曲线时，矢量面就成为一管形曲面，称之为矢量管。
3 有一种空间场（矢量场或者数量场）具有这样的一种几何特点：就是在场中存在一族充满场所在空间的平行平面，场在其中每一个平面上的分布，都是完全相同的（若是矢量场，其场矢量同时也平行于这些平面）。对于这种场，只要知道场在其中任一平面的中的特性，则场在整个空间里的特性就知道了，因此，可以将这种场简化到这族平面中的任意一个平面上来研究，因而，也把这种场称为平行平面场。在平行平面场中，通常为了研究方便，通常取所研究的这一个平面为xoy 平面。此时，在平行平面场中，场矢量就可以表示成为平面矢量A =A x (x , y )i +A y (x , y )j ，在平行平面数量场中，其数量就可以表示成为二元函数u =u (x , y )，并且这样的研究结果适用于任何一块与xoy 面平行的平面。
典型例题：习题2（最好能全部做一下）
（1）求数量场u =ln (x 2+y 2+z 2)通过点M (1,2,1)的等值面。
（2）求矢量场A =i +j +(x +2y )k 通过点M (2,1,1)的矢量线方程。
4 数量场中函数u (M )的方向导数是一个数量。它表示在场中的一个点处函数u (M )沿某一方向的变化率。详细点说：其绝对值的大小，表示沿该方向函数变化的快慢程度，其符号的正负，则表示沿该方向函数的变化是增加还是减小的。
若在点M 处，函数u (M )可微，则函数u 沿l 方向的方向导数在迪卡尔坐标下的计算公式为：
∂u ∂u ∂u ∂u =cos α+cos β+cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z
5 数量场的梯度是一个矢量，场中的每一点都对应着一个梯度矢量。梯度矢量有两个重要性质：
（1）梯度在任一方向上的投影，正好等于函数在该方向上的方向导数，grad l u =∂u 。据此可以推出：梯度自身的方向就是方向导数最大∂l
的方向，其模就是这个最大方向导数的数值。
（2）数量场中每一点处的梯度都垂直于此数量场过该点的等值面，且指向函数值增大的一方。
梯度在直角坐标系中的表达式为：
grad u =∂u ∂u ∂u i +j +k 。 ∂x ∂y ∂z
此外，从梯度的基本运算公式可以看出，他与一元函数中导数运算的公式完全类似，这一点可以帮助大家掌握梯度的基本运算(p39)。
典型例题 p34例2，p37例3，例4，p38例5，6，习题3。
（1）求函数u =3x 2+z 2-2yz +2xz 在点M (1,2,3)处沿矢量α=yz i +xz j +xy k 方向的方向导数。
（2）求函数u =xyz 在曲面在点M (2,3,3)处沿曲面下侧法线方向的方向导数∂u |M 。 ∂n
（3）求函数u =3x 2y -y 2在点M (2,3)处沿曲线y =x 2-1朝x 增大一方的方向导数。
（4）设R 是从点M 0(a , b , c )到任意一点M (x , y , z )的距离，求证gradR 是在R =M 0M 方向上的单位矢量。
（5）已知一可微的数量场u (x , y , z )在点M 0(1, 2, 1)处，朝点M 1(2, 2, 1)方向的方向导数是4，朝点M 2(1, 3, 1)方向的方向导数为-2，朝点M 3(1, 2, 0)方向的方向导数为1，试确定在M 0处的梯度，并求出朝点M 4(4, 4, 7)方向的方向导数。
（6）求数量场u =在点M (1, 0, 0)处沿过点M 的等值面的外法线方向n 的方向导数
6矢量场A 穿过某一曲面S 的通量Φ=⎰⎰A ⋅d S 是从某些物理量，诸如
s 1r ∂u ，其中r 为矢径r =x i +y j +z k 的模。 ∂l
流速场中的流量、电场中的电通量、磁场中的磁通量以及热流场中的热量等等概念中抽象出来形成的一个数学概念。因此通量是具有若干物理意义的。
如果S 是一个封闭曲面，则矢量场A 穿出S 的总通量为
Φ=A ⋅d S ，
S
（1） 当Φ>0时，则S 内必有产生通量的源头；
（2） 当Φ
这两种情况，合称为S 内有源（源头为正源，漏洞为负源）。
（3） 当Φ=0时，不能断言S 内无源，因为这时，在S 内正源和
负源互相抵消，也可能恰好出现总通量为零的情况。
由此可见，从穿出某个封闭曲面的总通量，可以初步了解在S 内通量产生的情况，当然这仅仅是一种整体性的粗略了解，这由此引出了矢量场中散度的概念。
7 矢量场A 的散度div A ，是指在场中的一点处，矢量场A 穿出一个包含该点在内的微小区域∆Ω的边界曲面∆S 的通量∆Φ对∆Ω的体积变化率，即
div A =lim ∆Φ=lim ∆S
∆Ω→0∆V ∆Ω→0∆V A ⋅d S
它是一个数量，表示此矢量场在这个点处散发通量或者吸收通量的强度。具体来说，散度以绝对值表示在该点处源的强度大小。当其不为零时，以正负号表示该点处的源为正源或者负源；当其为零时，则表示该点无源，从而将散度恒为零的矢量场称为无源场。与散度相对应的场称为散度场。由于散度场为数量场，故亦可通过其等值面、方向导数和梯度等来揭示其分布规律和变化情况。
在直角坐标系中，矢量场A =P (M )i +Q (M )j +R (M )k 在点M 处的散度表示式为：
div A =∂P ∂Q ∂R ++∂x ∂y ∂z
由此可以得出奥氏公式（高斯定理）的矢量形式为：
A ⋅d S =⎰⎰⎰div A dV
S Ω
此式表明了通量和散度之间的一种关系：穿出封闭曲面S 的通量，等于S 所包围的区域Ω上的散度在上Ω的三重积分。
P52散度的基本运算公式。
典型例题 p44例1，p52例4，例5，习题4。
（1）设S 为由圆柱面x 2+y 2=a 2及平面z =0和z =h 所围成的封闭曲面，求r =x i +y j +z k 穿出S 的柱面部分的通量。
（2）已知A =(axz +x 2)i +(by +xy 2)j +(z -z 2+cxz -2xyz )k ，试确定阿a ，b ，c 使得A 是一个无源场。
（3）求矢量场A =(3x 2-2yz )i +(y 3+yz 2)j +(xyz -3xz 2)k 所产生的散度场通过点M (2, -1, 1)的等值面及其在点M 处沿Ox 轴正向的变化率。
(4) 已知grad (divf (r )r )=0，其中r =x i +y j +z k ，r =r ，求f (r )。
8 矢量场A 沿有向闭曲线l 的环量Γ=A ⋅d l 也是从某些物理量，如力
l
场中的功、流场中的环流以及磁场中的电流强度等概念抽象形成的一个数学概念，和通量概念的形成极为类似，通量是一个曲面积分，环量是一个曲线积分。二者在矢量场中都是一种整体性的概念，为了研究矢量场的局部性质，前面从通量引入了散度，这里又可以从环量引入环量面密度的概念：
在矢量场A 中的一点M 处，取定一个方向为n ，再经过点M 处
以n 为法矢作一微小曲面∆S ，同时以∆S 表示其面积，其边界∆l 之正向与法矢n 构成右手螺旋关系，则场A 沿∆l 之正向的环量∆Γ与面积∆S 之比，当∆S 沿其自身缩向M 点时，其极限就称为矢量场A 在点M 处沿方向n 的环量面密度（就是环量对面积的变化率），即：
μn =lim ∆Γ=lim ∆S ∆S →M ∆l A ⋅d l ∆S ∆S →M
可见，环量面密度概念与散度概念（通量的体密度）的构成是非常类似的，二者都是一种局部性的概念。
设矢量场A =P (M )i +Q (M )j +R (M )k ，则场A 在点M 处沿方向n 的环量面密度在直角坐标系下的计算公式为：
μn =(R y -Q z )cos α+(P z -R x )cos β+(Q x -P y )cos γ
9 环量面密度与散度这两个概念的构成虽然很相似，且都是一种变化率，但二者有着重要的差别，这就是：散度和矢量场中之点能构成一一对应关系，二环量面密度不仅与场中的点位置有关，而且还与从该点出发的方向有关，从一个点出发的方向有无穷多个方向，对应的也有无穷多个环量面密度的值，所以，换辆面密度与矢量中的点不能构成一一对应的关系。
环量面密度和散度的上述差别正是环量面密度和方向导数相一致的地方。这就诱导我们去寻找一种矢量，使它在一个点处和环量面密度之间的关系恰如梯度和方向导数之间的关系一样，循此探索，就得出了旋度的概念。
10 矢量场A 在M 点处的旋度rot A ，是这样一个矢量，它在任一方向上的投影，就等于场A 沿该方向的环量面密度，即有：
rot n A =μn
由此可知：旋度的方向就是环量面密度最大的方向，其模也就是这个最大环量面密度的数值。如果把旋度rot A 与矢量场A 中的点一一对应起来，又得到一个矢量场，叫做有矢量场A 产生的旋度场。 对于那种恒有rot A =0的矢量场，叫做无旋场。
矢量场A =P (M )i +Q (M )j +R (M )k 的旋度，在直角坐标系下的计算公式为：
rot A =(R y -Q z )i +(P z -R x )j +(Q x -P y )k i j
∂
∂x
Q k ∂ ∂x R 或者写为：rot A =∂∂x P
据此可以将斯托克斯公式写成矢量形式：
A ⋅d l =⎰⎰(rot A )⋅d S
l S
此式表明了环量和旋度之间的一种关系：即沿有向封闭曲线l 的环量，等于旋度沿与l 的方向构成右手螺旋的方向穿过以l 为边界的曲面S 的通量。
旋度之所以得名是因为在流场中速度的旋度恰好是流场中该点旋转角速度矢量乘上一个常数2，即rot v =2ω。
P65旋度的基本运算公式。
典型例题：p58例1，p60例2，p63例3，p65例6，习题5。
（1）设A =xy 2z 2i +z 2sin y j +x 2e y k ，求div A 和rot A 。
11 三种特殊的矢量场。即有势场、管形场和调和场。其中以有势场为重点。
设矢量场A 为有势场，是指在场中存在单值函数u (M )满足：
称函数v =-u 为这个场的势函数。从而矢量A 与其势函数v A =gradu ，
之间存在下列关系：A =-gradv ，但在流体力学中，也直接把u 定义为矢量场A 的势函数。
12 具有曲线积分⎰A A ⋅d l 与路径无关性质的矢量场A 称为保守场。如B
静电场、引力场、重力场都是保守场。根据第五节定理1及其证明，可知：在线单连域内，“场有势”，“场无旋”，“场保守”以及“表达式A ⋅d l =Pdx +Qdy +Rdz 为某个函数的全微分（这个函数叫做表达式A ⋅d l 的原函数）”这四者是等价的。一般通过考察场A 是否无旋，即是否有rot A =0来判断其余三者是否成立。
由此知：若有rot A =0，则A ⋅d l 存在原函数，且此原函数就是满足A =gradu 的函数u (M )，它可以用如下公式来计算出：
u (x , y , z )=⎰P (x , y 0, z 0)dx +⎰Q (x , y , z 0)dy +⎰R (x , y , z )dz +C x 0y 0z 0x y z
其中(x 0, y 0, z 0)为场中任意一点，为了计算简便通常取为坐标原点；C
为任意常数。容易看出，在求得u 后，有势场A 的势函数v =-u 就随之得到了。
此外，若A 为保守场，则曲线积分
⎰ A B A ⋅d l =u (M )|B A =u (B )-u (A )
其中u (M ) 为A ⋅d l 的一个原函数，可用上面公式求出。计算曲线积分的这个公式与计算定积分的牛顿—莱布尼茨公式完全相似，都是通过原函数来计算，用起来很方便。
13 矢量场A 为管形场，是指它恒有散度div A =0，即A 为无源场。管形场中存在矢量B 满足rot B =A ，矢量B 叫做管形场A 的矢势量。教材为了说明它的存在，直接给出了从已知管形场矢量A =P (M )i +Q (M )j +R (M )k 计算其矢势量B =U i +V j +W k 的如下计算公式：
⎧U =z Q (x , y , z )dz -y R (x , y , z )dy 0⎰z 0⎰y 0⎪⎪z ⎪ V =-⎨⎰z 0P (x , y , z )dz ⎪⎪W =C ⎪⎩
⎧∂W ∂V ⎪∂y -∂z =P
⎪∂U ∂W 简要给出其推证：由rot B =A ，有⎪-=Q ⎨∂x ⎪∂z
⎪∂V ∂U ⎪∂x -∂y =R
⎩(1) (2) ，为简便起见，(3)
我们取W =C （C 为常数），然后在（1）与（2）式两边对z 积分，得： V =-⎰Pdz +ϕ(x , y )，U =-⎰Qdz +ψ(x , y )，这里ϕ(x , y )，ψ(x , y )都是，x ，z 0z 0z z
y 的任意函数，将此两式带入（3）可得：
⎛∂P ∂Q ⎫∂ϕ∂ψ⎪-⎰ +dz +-=R （4） ⎪z 0 ∂x ∂y ∂x ∂y ⎝⎭z
再由条件div A =0即⎛∂P ∂Q ⎫∂P ∂Q ∂R ∂R ⎪带入上式得： ++=0⇒=- + ⎪∂x ∂y ∂z ∂z ⎝∂x ∂y ⎭
∂R ∂ϕ∂ψdz +-=R （5） ⎰z 0∂z ∂x ∂y z
或者R (x , y , z )-R (x , y , z 0)+∂ϕ∂ψ-=R ，即 ∂x ∂y
∂ϕ∂ψ-=R (x , y , z 0) （6） ∂x ∂y
为简单起见，再在其中取ϕ(x , y )=0 （7） 即得：
ψ(x , y )=-⎰R (x , y , z 0)dy +ω(x ) y 0y
其中ω(x )为x 的任意函数，再取ω(x )=0，就得到：
ψ(x , y )=-⎰R (x , y , z 0)dy （8） y 0y
将（7），（8）依次带入（5）与（6）即可得出U ，V ，再由W =0既可得出所推证的矢势量的计算公式。
从上面的推证过程也可以看出，如果不取W =C ，ϕ(x , y )=0，
则计算矢势量的公式随ω(x )=0而将之取为别的合于条件的函数，
之变化，这表明同一个管形场A ，存在着无穷多的矢势量，而不限于有这里所推证的公式计算出来的。
14 若矢量场A 恒有div A =0和rot A =0，则称A 为调和场。简而言之调和场是一个既无源又无旋的矢量场。在调和场中，由于有rot A =0，故调和场也是有势场，因此存在函数u 满足A =gradu ，又由于有div A =0，既有：
div (gradu )=0
或者写为：
∂2u ∂2u ∂2u +2+2=0 2∂x ∂y ∂z
这是一个二阶偏微分方程，叫做拉普拉斯方程，对于满足拉普拉斯方程且有二阶连续偏导数的函数，叫做调和函数，可见上述函数u 以及势函数v =-u 都是调和函数。
15 特别应注意的是平面调和场，就是既无源又无旋的平面矢量场，它与空间调和场相比，有其特殊性。
设A =P (x , y )i +Q (x , y )j 为平面调和场，则有rot A =0，故存在势函数v 满足A =-gradv ，又因其有div A =0，由此可以推出满足-Q i +P j =gradu 的函数u ，这个函数u 叫做A 的力函数。函数u 和v 可用下面公式来求出：
u (x , y )=-⎰Q (x , y 0)dx +⎰P (x , y )dy x 0
x y 0y x y v (x , y )=-⎰P (x , y 0)dx -⎰Q (x , y )dy x 0y 0
函数u 和v 还满足如下的关系式：
∂u ∂v =∂x ∂y , ∂u ∂v =- ∂y ∂x
由此可以得到：
∂2u ∂2u ∂2v ∂2v +2=0, +2=0 22∂x ∂y ∂x ∂y
这说明函数u 和v 均为满足二维拉普拉斯方程的调和函数，故又称二者为共轭调和函数。应用这个共轭条件，便可以从u 和v 中的一个求出另一个。
此外，力函数和势函数的等值线依次叫做平面调和场的力线
和等势线，其中力线就是矢量场A 的矢量线，而势线就是与矢量线相互正交的一族曲线。
典型例题：p71-73例1，2，3，4，p76例5，p78例6，p80例7，习题6。
（1） 证明A =(y 2+2xz 2)i +(2xy -z )j +(2x 2z -y +2z )k 为有势场，并
求其势函数。
（2） 解微分方程 (z 3-4xy )dx +(6y -2x 2)dy +(3xz 2+1)dz =0。
（3） 证明A =(2xy +3)i +(x 2-4z )j -4y k 为保守场，并计算曲线积分
⎰A ⋅d l ，其中l 是从点A (3, -1, 2)到点B (2, 1, -1)的任意路径。 l
（4） 证明A =yz i +zx j +xy k 为调和场，并求出场的调和函数和矢
势量各一个。
（5） 已知A =(x 3+3y 2z )i +6xyz j +R k ，其中函数R 适合∂R =0，且∂z
当x =y =0时R =0，求R 使矢量场A 存在函数u 满足A =gradu ，并判断A 是否为管形场。
（6） 矢量场A =(x 2-y 2+x )i -(2xy +y )j 是否为平面调和场？若
是，求其力函数u 和势函数v 。
第三章 哈密顿算子
1 哈密顿算子 ∇=∂∂∂i +j +k 是一个矢性微分算子。就是说∂x ∂y ∂z
它在运算中具有矢量和微分的双重性质，其运算规则是：
∂u ∂u ∂u ∇u =i +j +k ∂x ∂y ∂z ，∂A y ∂A x ∂A ∇⋅A =i +j +z k ∂x ∂y ∂z ，⎛∂A z ∂A y ⎫⎛∂A x ∂A z ⎫⎛∂A y ∂A x ⎫∇⨯A = ∂y -∂z ⎪⎪i + ∂z -∂x ⎪j + ∂x -∂y ⎪⎪k 。 ⎭⎝⎝⎭⎝⎭
由此可见，场论中的梯度、散度、旋度都可以用哈密顿算子来表示：
gradu =∇u ，div A =∇⋅A ，rot A =∇⨯A
从而场论中的一些公式，也可以通过该算子来表示。
此外，为了某些公式中应用方便，，又结合哈密顿算子引入了一个数性微分算子：
A ⋅∇=A x ∂∂∂i +A y j +A z k ∂x ∂y ∂z
其运算规则是：
(A ⋅∇)u =A x ∂u i +A y ∂u ∂x ∂y j +A z ∂u k =A ⋅(∇u ) ∂z
j +A z ∂B k ∂z (A ⋅∇)B =A x ∂B i +A y ∂B ∂x ∂y
此处的A ⋅∇与∇⋅A 是完全不同的。
2 教材中把场论中的一些常见公式用算子∇表示，并将其汇集列出便于查用（p85），其中：
（1）公式（1）~（11）前八个是最基本的公式，后三个则是比较常用的。
（2）公式（15）~（17）
公式（15）表示：div (gradu )=∆u ，说明“梯度场的散度就是调和量”，而公式（16）和（17）分别表示：rot (gradu )=0和div (rot A )=0分别说明“梯度场无旋”，“旋度场无源”。
（3）公式（19）~（21）是一组关于矢径r 的基本公式，是经常用到的。
此外（27），（28）分别是奥氏公式与斯托克斯公式用哈密顿算子表达的形式。
典型例题：例1到例8（p86-90）习题7
补充：（1）证明：(A ⋅∇)(u C )=(A ⋅∇u )C ，
(A ⋅∇)B =(A ⋅∇B x )i +(A ⋅∇B y )j +(A ⋅∇B z )k
（2）设u =x 2yz ，v =x 2+y 2-z 2，计算：∇⋅(∇u ⨯∇v )和∇⨯(∇u ⨯∇v )
（3）已知速度v (x , y , z , t )，其中x ，y ，z 为点的坐标，且都是时间t 的函数，证明：d v ∂v =+(v ⋅∇)v dt ∂t
1
2（4）若A 与B 均为调和场，证明：(A ⋅∇)B =[∇(A ⋅B )-∇⨯(A ⨯B )]。
（5）已知函数u 满足(∇u )2=4u 和∇⋅(u ∇u )=10u ，计算曲面积分
∂u ∂u dS ，其中S 为中心在坐标原点的单位球面，为u 沿S 的∂n ∂n S
向外单位法矢n 的方向导数。
（6）设n 为封闭曲面S 的向外单位法矢，证明：
（1）u A ⋅n dS =⎰⎰⎰[u ∇⋅A +∇u ⋅A ]
S Ω
（2）(A ⨯B )⋅n dS =⎰⎰⎰[B ⋅(∇⨯A )-A ⋅(∇⨯B )]
S Ω
（7）证明udv =⎰⎰(∇u ⨯∇v )⋅d S ，其中n 为曲面S 的单位法矢，l
l S
为S 的有向边界曲线，其正向与n 符合右手法则，u ，v 都是点M 的函数。
（8）设S 为区域Ω的边界曲面，n 为S 的向外单位法矢，若矢量
∇⨯F =∇⨯G ，F 和G 在Ω中满足∇⋅F =∇⋅G ，证明在Ω中有F =G 。 (u ∇v )⋅d S =⎰⎰⎰[(∇v ⋅∇u )+u ∆v ]取u =v 的
S Ω
情况）
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