复合函数的单调性 (同增异减)
教学目标：复合函数单调区间的求法
教学重点和难点：如何求出给出的复合函数的单调区间 复习：考查复合函数y =f (g (x )) 的单调性.
设单调函数y =f (x ) 为外层函数，y =g (x ) 为内层函数 (1) 若y =f (x ) 增，y =g (x ) 增，则y =f (g (x )) 增. (2) 若y =f (x ) 增，y =g (x ) 减，则y =f (g (x )) 减. (3) 若y =f (x ) 减，y =g (x ) 减，则y =f (g (x )) 增. (4) 若y =f (x ) 减，y =g (x ) 增，则y =f (g (x )) 减. 结论：同曾异减 例1. 求函数f (x ) =2
x 2+x -2
的单调区间.
教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间. 此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程： 外层函数：y =2 内层函数：t =x +x -2
2t
1
, +∞] 2
1
内层函数的单调减区间：x ∈[-∞, -]
2
内层函数的单调增区间：x ∈[-由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：x ∈[-
1
, +∞] 2
复合函数的减区间为： x ∈[-∞, -]
在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容易忽略的情况.
12
设函数y=f（x ）且lg （lgy ）=lg3x+lg（3﹣x ）． ①求f （x ）的解析式，定义域；
②讨论f （x ）的单调性，并求f （x ）的值域．
例2. 求函数f (x ) =log 2(x +x -2) 的单调区间.
教学意图：此题要涉及到定义域，这是很多同学容易忽略的地方，先让学生自己求解，在讲解正确的解题思路。
解题过程：
外层函数：y =log 2t 内层函数：t =x +x -2
2
2
t =x 2+x -2>0
由图知：
内层函数的单调增区间：x ∈[1, +∞] 内层函数的单调减区间：x ∈[-∞, -2]
由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：x ∈[1, +∞] 复合函数的减区间为：x ∈[-∞, -2] 通过例2给出求复合函数单调区间的步骤: 1、 找出外层函数和内层函数
2、 根据定义域确定内层函数的单调区间 3、 根据外层函数确定复合函数的单调区间
例3. 求函数y =解题过程： 外层函数：
cos x 的单调区间
y =
内层函数：t =cos x t =cos x ≥0 由图知：
内层函数的单调增区间：x ∈[-
π
2
+2k π, 2k π]
内层函数的单调减区间：x ∈[2k π, 由于外层函数为增函数
π
2
+2k π]
所以，复合函数的增区间为：x ∈[-复合函数的减区间为：x ∈[2k π,
π
2
+2k π, 2k π]
π
2
+2k π]
练习1：求函数y =lg sin(2x +
π
3
) 的单调区间.
练习2：讨论函数y =log a sin(2x +
π
3
) 的单调性.
复合函数的单调性 (同增异减)
教学目标：复合函数单调区间的求法
教学重点和难点：如何求出给出的复合函数的单调区间 复习：考查复合函数y =f (g (x )) 的单调性.
设单调函数y =f (x ) 为外层函数，y =g (x ) 为内层函数 (1) 若y =f (x ) 增，y =g (x ) 增，则y =f (g (x )) 增. (2) 若y =f (x ) 增，y =g (x ) 减，则y =f (g (x )) 减. (3) 若y =f (x ) 减，y =g (x ) 减，则y =f (g (x )) 增. (4) 若y =f (x ) 减，y =g (x ) 增，则y =f (g (x )) 减. 结论：同曾异减 例1. 求函数f (x ) =2
x 2+x -2
的单调区间.
教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间. 此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程： 外层函数：y =2 内层函数：t =x +x -2
2t
1
, +∞] 2
1
内层函数的单调减区间：x ∈[-∞, -]
2
内层函数的单调增区间：x ∈[-由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：x ∈[-
1
, +∞] 2
复合函数的减区间为： x ∈[-∞, -]
在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容易忽略的情况.
12
设函数y=f（x ）且lg （lgy ）=lg3x+lg（3﹣x ）． ①求f （x ）的解析式，定义域；
②讨论f （x ）的单调性，并求f （x ）的值域．
例2. 求函数f (x ) =log 2(x +x -2) 的单调区间.
教学意图：此题要涉及到定义域，这是很多同学容易忽略的地方，先让学生自己求解，在讲解正确的解题思路。
解题过程：
外层函数：y =log 2t 内层函数：t =x +x -2
2
2
t =x 2+x -2>0
由图知：
内层函数的单调增区间：x ∈[1, +∞] 内层函数的单调减区间：x ∈[-∞, -2]
由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：x ∈[1, +∞] 复合函数的减区间为：x ∈[-∞, -2] 通过例2给出求复合函数单调区间的步骤: 1、 找出外层函数和内层函数
2、 根据定义域确定内层函数的单调区间 3、 根据外层函数确定复合函数的单调区间
例3. 求函数y =解题过程： 外层函数：
cos x 的单调区间
y =
内层函数：t =cos x t =cos x ≥0 由图知：
内层函数的单调增区间：x ∈[-
π
2
+2k π, 2k π]
内层函数的单调减区间：x ∈[2k π, 由于外层函数为增函数
π
2
+2k π]
所以，复合函数的增区间为：x ∈[-复合函数的减区间为：x ∈[2k π,
π
2
+2k π, 2k π]
π
2
+2k π]
练习1：求函数y =lg sin(2x +
π
3
) 的单调区间.
练习2：讨论函数y =log a sin(2x +
π
3
) 的单调性.