第４１卷第２３期
２０１１年１２月数学的实践与认识ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥＡＮＤＴＨＥＯＲＹＶ０１．４１，Ｎｏ．２３Ｄｅｃ．，２０１１
ｍ次幂等矩阵的等价条件
陈益智
（广东惠州学院数学系，广东惠州５１６００７）
（西北大学数学系，陕西西安７１０１２７）
摘要：利用矩阵的秩和齐次线性方程组解空间的维数，给出了ｍ（ｍ≥２）次幂等
矩阵的一些等价条件，推广了２，３次幂等矩阵的相应结果．此外，所获结果还给推
广到了ｍ次幂等线性变换中．
关键词：ｍ次幂等矩阵；矩阵的秩；齐次线性方程组；解空间的维数；仇次幂等线性
变换
１引言
设Ａ是复数域上的一个ｎ阶矩阵，若存在正整数ｍ（ｍ≥２），使Ａ…＝Ａ（Ａｍ＝Ｊ，Ｊ为ｎ阶单位矩阵），则称Ａ为ｍ次幂等矩阵（幂幺矩阵）．
文献［１】给出了这样一个结论：设Ａ是礼阶矩阵，则Ａ是幂等矩阵（即Ａ２＝Ａ）当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ一，）＝ｎ．该结论也给推广到了文献【２】中，即：设Ａ是他阶矩阵，则Ａ是幂合矩阵（即Ａ３＝Ａ）当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ＋Ｊ）＋ｒ（Ａ—Ｉ）＝２ｎ．此外，注意到文献［３】中这样一个结论是成立的，即：设Ａ是咒阶矩阵，则Ａ”＝Ｉ当且仅当ｒ（Ａ—ｅｏＩ）＋ｒ（Ａ一￡ｌ，）＋…＋ｒ（Ａ—Ｃｒｎ－－ＩＩ）＝（ｍ—ｉ）ｉｔ，这里Ｅｏ，…，￡。一１是ｍ个ｍ次单位根．于是，很自然地，我们会问，对于一般的ｍ（ｍ≥２）次幂等矩阵是否也会有这样的一个结论？即：设Ａ是几阶矩阵，则Ａ”＝Ａ（ｍ≥２）当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ—ｏｉｌ）＋…＋ｒ（Ａ一￡。一ｉＩ）＝（ｍ一１）佗，这里Ｅ１，…，Ｅ。一１是ｍ一１个ｍ一１次单位根．
本文就该问题进行了探讨，并利用矩阵的秩和齐次线性方程组解空间的维数，正面回答了如上所提出的问题，给出了ｍ（ｍ
性变换的情形．２２）次幂等矩阵的一些等价条件，推广了２，３次幂等矩阵的相应结果．此外，我们还把ｍ（ｍ≥２）次幂等矩阵的等价条件平行地推广到ｍ次幂等线
对于本文未提及的概念和术语，读者可参看文献［４－５】．
２ｍ次幂等矩阵
引理１【５】设Ａ、Ｂ都是礼阶矩阵，若ＡＢ＝０，则有ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）≤ｎ
引理２［５】设Ａ、Ｂ都是佗阶矩阵，则有ｒ（Ａ＋Ｂ）≤ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）．
收稿日期：２０１１一０１—１１
资助项目：广东省自然科学基金（８１５１６０１５０１０００００２，９１５１０５１５０１００００６６）；广东惠州学院项目（Ｃ２１０．０２１６，Ｃ２１１・０１０６，ＪＧ２０１０００８）
万方数据
２３期陈益智：ｍ次幂等矩阵的等价条件１９１
定理１设Ａ是ｎ阶矩阵，则Ａ”＝Ａ（ｍ≥２）当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ—ｅｌｉ）＋…＋ｒ（Ａ一￡ｍ－－１Ｉ）＝（ｍ一１）ｎ，这里Ｅｌ，…，Ｅｍ－－１是ｍ一１个ｍ一１次单位根．
。证明（号）设条件Ａｍ＝Ａ成立．则有
Ａ（Ａ—ｅｌｔ））…（Ａ—Ｅｍ－ｌＩ）＝Ｏ
从而有（１）
（２）ｒ（Ａ）＋ｒ［（Ａ—ｅ，１）…（Ａ—Ｅ。一１Ｊ）】＝ｎ
事实上，一方面，由引理１，我们可得
ｒ（Ａ）＋州（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅ。一ｌ，）】≤ｎ
另一方面，由引理２，我们有（３）
ｒ（Ａ）＋ｒ【（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅ。一１１）】≥ｒ［Ａ＋（Ａ—ｅｌｉ）…（Ａ一６ｍ－１１）】
记多项式（４）
ｆ（ｚ）＝ｚ＋（名一ｅ１）…（ｚ—Ｅ。一１）
显然，，（０），ＩＣＥｌ），…，，（￡。一１）≠ｏ，即ｏ，ｅｌ，…，Ｅｍ－１均不是ｆ（ｚ）的根，所以矩阵ｆ（Ａ）必可逆．因而由（４）可得
ｒ（Ａ）＋ｒ［（Ａ—ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅｍ－－１１）】≥ｒ［Ａ＋（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅｒｎ－１１）】＝ｒ［，（Ａ）】＝ｎ于是结合（３）、（５）两式即得（２）式成立．
下面，我们只需证明（５）
ｒ【（Ａ—ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅｒａ－－１Ｄ】＝ｒ（Ａ—ｅｌｉ）＋…＋ｒ（Ａ—Ｅｍ－－１Ｉ）一（ｍ一２）ｎ
事实上，由（１）式知，对任意ｚ∈Ｃ“，有（６）
Ａ（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅ。一ｌＩ）Ｘ＝０
由此导出，齐次线性方程组（Ａ—Ｅｄ））ｙ＝０的解空间为（７）
眦＝｛吼＝Ａ（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ－－ｅｉ—ｌ，）（Ａ—ｅｉ＋ｌＩ）…（Ａ－Ｅ。一ＩＩ）ｘｌｘ∈Ｃ”），ｉ＝１，２，…，ｍ一１齐次线性方程组（Ａ—ｅｌ联Ａ—ｅ２Ｉ）…（Ａ—Ｅ。一ｌＩ）ｙ＝０的解空间为
现令多项式＾（ｚ）＝鱼２二旦立鱼二云耋兰云掣，ｉ＝１，２，…，ｍ一１
守盟：】厶ｉ＝１ｋ（ｘｉ、‘Ｗｏ＝｛７７０＝Ａ＊ｌｘ∈Ｃ”】＿由Ｌａｇｒａｎｇｅ插值公式，我们可立即得到
因而有
薯描“
伽一一一喜躺Ｘ喜错＝ｍ刍－１３蒯＿Ｌ＿＿
万方数据
１９２数学的实践与认识４１卷于是Ｗｏ＝啊＋％＋…＋％一１．又注意到肌，％，…，％二ｌ’是属于不同特征值的特征子空间，所以
Ｗｏ＝肌０ｗ２
由此得到０…０‰一１
ｄｉｍＷｏ＝ｄｉｍ瞰＋ｄｉｍＷ２＋…＋ｄｉｍＷｍ一１
即有
扎一州（Ａ一６１Ｉ）…（Ａ—Ｃｍ－ｌ，）］＝ｎ—ｒ（Ａ一￡１Ｊ）＋…＋死一ｒ（Ａ—ｅｍ－ｔ１）
从而可得．
ｒ［（Ａ—ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅ。一１Ｉ）】＝ｒ（Ａ—Ｅ１，）＋…＋ｒ（Ａ一￡。一ａＩ）一（ｍ一２）ｎ
即（６）式成立．因而该定理的必要性成立．
（々）设条件ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ一￡ｌＪ）＋…＋ｒ（Ａ一￥ｍ－ａＩ）＝（ｍ一１）ｎ成立．考虑齐次线性方程组Ａｘ＝０及（Ａ—ＥｉＩ）ｘ＝ｏ（ｉ＝１，…，ｍ一１），并记其解空间分别为Ｗｏ，啊，…，‰一１．显然％，肌，…，‰一１是属于不同特征值的特征子空间，注意到属于不同特征值的特征向量线性无关，我们可得Ｖ＝Ｗｏ＋ｍ＋…＋Ｖ‰一１是直和，从而有
ｄｉｍＶ＝ｄｉｍＷｏ＋ｄｉｍＷｌ＋…＋ｄｉｍＷｍ一１
＝ｎ—ｒ（Ａ）＋ｎ—ｒ（Ａ—Ｅ１，）＋…＋ｎ—ｒ（Ａ—Ｅｍ－１Ｉ）＝ｎ
因而Ｖ＝Ｃ“．分别选取％，肌，…，‰一ｌ的一个基，按顺序放在一起可构成Ｃ“的一个基，以这竹个基向量为列作一个矩阵Ｑ，则有
ＡＱ＝Ｑｄｉａｇ（０，…，０，￡１…，ｓ１，…，￡ｍ一１，…，￡ｍ一１）
从而有
Ｑ一１ＡＱ＝ｄｉａｇ（０，…，０，Ｅ１…，Ｅｌ，…，￡ｍ一１，…，￡ｍ—１）
因为￡１＇…，￡。一１是ｍ一１个ｍ一１次单位根，故有Ａ“＝Ａ．因而该定理的充分性成立．口
现在，由定理１的证明过程，我们容易得到下面的推论：
推论１设Ａ足ｎ阶矩阵，则Ａ２＝Ａ当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ—Ｉ）＝疗．
推论２设Ａ是扎阶矩阵，则Ａ３＝Ａ当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ—Ｉ）＋ｒ（Ａ＋Ｉ）＝２ｎ．
推论３
ｒ［Ｉｍ一１（Ａ）】＝ｎ，这里，，ｏ（ｚ）＝（ｚ一￡・）…（Ｚ－．Ｅｍ－１），＾（ｚ）＝塑羔二』专｝掣，ｉ＝ｌ，２，…，ｍ—ｌ设Ａ是ｎ阶矩阵，则Ａ”＝Ａ（ｍ≥２）当且仅当ｒ［ｆｏ（Ａ）】＋ｒ［＾（Ａ）】＋…＋
推论４设Ａ是凡阶矩阵且Ａ…＝Ａ（ｍ≥２），则Ａ可对角化．
３ｍ次幂等线性变换
设盯是复数域上ｎ维向量空间ｙ的一个线性变换，若存在正整数ｍ（ｍ≥２），使盯”＝仃，则称盯为ｍ次幂等线性变换．
类似于上一节中ｍ次幂等矩阵主要结果的讨论，我们也可得到下面的关于ｍ次幂等线性变换的相关结果．
万方数据
２３期陈益智：ｍ次幂等矩阵的等价条件１９３
定理２设仃是复数域上ｎ维向蟹空间ｙ的一个线性变换，则盯ｍ＝盯（ｍ≥２）当且仅当
ｄｉｍＩｍ（ａ）＋ｄｉｍｌｍ（ａ—ｇｌ／，）＋…＋ｄｉｍＩｍ（ａ一￡ｍ—ｌ‘）＝（ｍ一１）ｎ
这里￡ｌ；．．・，Ｅ。一１是ｍ一１个ｍ一１次单位根，。为单位变换，Ｉｒａ（ｏ＂）表示线性变换盯的像空间．
推论５设盯是复数域上ｎ维向量空间ｙ的一个线性变换，则口２＝盯当且仅当ｄｉｍｌｍ（ａ）＋ｄｉｍＩｍ（ａ—ｃ）＝ｎ．
推论６设盯是复数域上ｎ维向量空间ｙ的一个线性变换，则盯３＝盯当且仅当ｄｉｍｉｍ（ａ）＋ｄｉｍｌｍ（ａ一。）＋ｄｉｍｌｍ（盯＋。）＝２ｎ．
当ｄｉｍｌｍｆｏ（盯）＋ｄｉｍｌｍｆｌ（盯）＋…＋ｄｉｍｌｍ．ｆｍ—ｌ（盯）＝ｎ，这里１０（名）＝（Ｚ－－ｇ＇１）…（Ｚ－－ｇ＇ｍ－１），五（ｚ）＝三Ｑ２＝＿鱼杀｝掣，ｉ＝１，２，…，ｍ一１推论７设盯是复数域上ｎ维向嚣空间ｙ的一个线性变换，则盯…＝ｏｒ（ｍ≥２）当且仅
推论８设仃是复数域上ｎ维向量空间ｙ的一个线性变换且盯ｍ＝矿（仇≥２），则线性变换盯可对角化．
参考文献
【１】龚和林，舒情．关于幂等矩阵秩的一个命题的证明与推广（Ｊ】．大学数学，２００９，２５（６）：１２６－１３０．［２】杨闻起．幂合变换与幂合矩阵【Ｊ】．科学技术与工程，２００９，９（３）：６６２—６６４．
［３】唐建国，严青云．幂幺矩阵的充要条件【Ｊ１．数学实践与认识，２０１０，４０（２０）：１７２．１７６．
【４】张禾瑞，郝邴新．高等代数（第四版）［Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９９９．
［５】北京大学数学系几何与代数教研室小组．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３ＥｑｕｉｖａｌｅｎｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｍＴｉｍｅｓＩｄｅｍｐｏｔｅｎｔＭａｔｒｉｃｅｓ
ＣＨＥＮＹｉ．ｚｈｉ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕｉｚｈｏｕ５１６００７，Ｃｈｉｎａ）Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｌｌ７１０１２７，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｏｍｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｍ（ｍ≥２）ｔｉｍｅｓｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｍａ－
ｔｒｉｃｅｓａｒｅ昏ｙｅｎｂｙｕｓｉｎｇｒａｎｋｏｆｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ．Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ
ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓａｒｅａ８ｓｐａｃｅｓｏｆｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｍ＝２ａｎｄｍ＝３ａｒｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ．Ａｌｓｏ，ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｔｏｍｔｉｍｅｓｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．
●
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｔｉｍｅｓｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｍａｔｒｉｃｅｓ；ｒａｎｋｏｆｍａｔｒｉｃｅｓ；ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ；
ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｐａｃｅｓ；ｍｔｉｍｅｓｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ、
万方数据
第４１卷第２３期
２０１１年１２月数学的实践与认识ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥＡＮＤＴＨＥＯＲＹＶ０１．４１，Ｎｏ．２３Ｄｅｃ．，２０１１
ｍ次幂等矩阵的等价条件
陈益智
（广东惠州学院数学系，广东惠州５１６００７）
（西北大学数学系，陕西西安７１０１２７）
摘要：利用矩阵的秩和齐次线性方程组解空间的维数，给出了ｍ（ｍ≥２）次幂等
矩阵的一些等价条件，推广了２，３次幂等矩阵的相应结果．此外，所获结果还给推
广到了ｍ次幂等线性变换中．
关键词：ｍ次幂等矩阵；矩阵的秩；齐次线性方程组；解空间的维数；仇次幂等线性
变换
１引言
设Ａ是复数域上的一个ｎ阶矩阵，若存在正整数ｍ（ｍ≥２），使Ａ…＝Ａ（Ａｍ＝Ｊ，Ｊ为ｎ阶单位矩阵），则称Ａ为ｍ次幂等矩阵（幂幺矩阵）．
文献［１】给出了这样一个结论：设Ａ是礼阶矩阵，则Ａ是幂等矩阵（即Ａ２＝Ａ）当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ一，）＝ｎ．该结论也给推广到了文献【２】中，即：设Ａ是他阶矩阵，则Ａ是幂合矩阵（即Ａ３＝Ａ）当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ＋Ｊ）＋ｒ（Ａ—Ｉ）＝２ｎ．此外，注意到文献［３】中这样一个结论是成立的，即：设Ａ是咒阶矩阵，则Ａ”＝Ｉ当且仅当ｒ（Ａ—ｅｏＩ）＋ｒ（Ａ一￡ｌ，）＋…＋ｒ（Ａ—Ｃｒｎ－－ＩＩ）＝（ｍ—ｉ）ｉｔ，这里Ｅｏ，…，￡。一１是ｍ个ｍ次单位根．于是，很自然地，我们会问，对于一般的ｍ（ｍ≥２）次幂等矩阵是否也会有这样的一个结论？即：设Ａ是几阶矩阵，则Ａ”＝Ａ（ｍ≥２）当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ—ｏｉｌ）＋…＋ｒ（Ａ一￡。一ｉＩ）＝（ｍ一１）佗，这里Ｅ１，…，Ｅ。一１是ｍ一１个ｍ一１次单位根．
本文就该问题进行了探讨，并利用矩阵的秩和齐次线性方程组解空间的维数，正面回答了如上所提出的问题，给出了ｍ（ｍ
性变换的情形．２２）次幂等矩阵的一些等价条件，推广了２，３次幂等矩阵的相应结果．此外，我们还把ｍ（ｍ≥２）次幂等矩阵的等价条件平行地推广到ｍ次幂等线
对于本文未提及的概念和术语，读者可参看文献［４－５】．
２ｍ次幂等矩阵
引理１【５】设Ａ、Ｂ都是礼阶矩阵，若ＡＢ＝０，则有ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）≤ｎ
引理２［５】设Ａ、Ｂ都是佗阶矩阵，则有ｒ（Ａ＋Ｂ）≤ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）．
收稿日期：２０１１一０１—１１
资助项目：广东省自然科学基金（８１５１６０１５０１０００００２，９１５１０５１５０１００００６６）；广东惠州学院项目（Ｃ２１０．０２１６，Ｃ２１１・０１０６，ＪＧ２０１０００８）
万方数据
２３期陈益智：ｍ次幂等矩阵的等价条件１９１
定理１设Ａ是ｎ阶矩阵，则Ａ”＝Ａ（ｍ≥２）当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ—ｅｌｉ）＋…＋ｒ（Ａ一￡ｍ－－１Ｉ）＝（ｍ一１）ｎ，这里Ｅｌ，…，Ｅｍ－－１是ｍ一１个ｍ一１次单位根．
。证明（号）设条件Ａｍ＝Ａ成立．则有
Ａ（Ａ—ｅｌｔ））…（Ａ—Ｅｍ－ｌＩ）＝Ｏ
从而有（１）
（２）ｒ（Ａ）＋ｒ［（Ａ—ｅ，１）…（Ａ—Ｅ。一１Ｊ）】＝ｎ
事实上，一方面，由引理１，我们可得
ｒ（Ａ）＋州（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅ。一ｌ，）】≤ｎ
另一方面，由引理２，我们有（３）
ｒ（Ａ）＋ｒ【（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅ。一１１）】≥ｒ［Ａ＋（Ａ—ｅｌｉ）…（Ａ一６ｍ－１１）】
记多项式（４）
ｆ（ｚ）＝ｚ＋（名一ｅ１）…（ｚ—Ｅ。一１）
显然，，（０），ＩＣＥｌ），…，，（￡。一１）≠ｏ，即ｏ，ｅｌ，…，Ｅｍ－１均不是ｆ（ｚ）的根，所以矩阵ｆ（Ａ）必可逆．因而由（４）可得
ｒ（Ａ）＋ｒ［（Ａ—ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅｍ－－１１）】≥ｒ［Ａ＋（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅｒｎ－１１）】＝ｒ［，（Ａ）】＝ｎ于是结合（３）、（５）两式即得（２）式成立．
下面，我们只需证明（５）
ｒ【（Ａ—ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅｒａ－－１Ｄ】＝ｒ（Ａ—ｅｌｉ）＋…＋ｒ（Ａ—Ｅｍ－－１Ｉ）一（ｍ一２）ｎ
事实上，由（１）式知，对任意ｚ∈Ｃ“，有（６）
Ａ（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅ。一ｌＩ）Ｘ＝０
由此导出，齐次线性方程组（Ａ—Ｅｄ））ｙ＝０的解空间为（７）
眦＝｛吼＝Ａ（Ａ—Ｅｌｉ）…（Ａ－－ｅｉ—ｌ，）（Ａ—ｅｉ＋ｌＩ）…（Ａ－Ｅ。一ＩＩ）ｘｌｘ∈Ｃ”），ｉ＝１，２，…，ｍ一１齐次线性方程组（Ａ—ｅｌ联Ａ—ｅ２Ｉ）…（Ａ—Ｅ。一ｌＩ）ｙ＝０的解空间为
现令多项式＾（ｚ）＝鱼２二旦立鱼二云耋兰云掣，ｉ＝１，２，…，ｍ一１
守盟：】厶ｉ＝１ｋ（ｘｉ、‘Ｗｏ＝｛７７０＝Ａ＊ｌｘ∈Ｃ”】＿由Ｌａｇｒａｎｇｅ插值公式，我们可立即得到
因而有
薯描“
伽一一一喜躺Ｘ喜错＝ｍ刍－１３蒯＿Ｌ＿＿
万方数据
１９２数学的实践与认识４１卷于是Ｗｏ＝啊＋％＋…＋％一１．又注意到肌，％，…，％二ｌ’是属于不同特征值的特征子空间，所以
Ｗｏ＝肌０ｗ２
由此得到０…０‰一１
ｄｉｍＷｏ＝ｄｉｍ瞰＋ｄｉｍＷ２＋…＋ｄｉｍＷｍ一１
即有
扎一州（Ａ一６１Ｉ）…（Ａ—Ｃｍ－ｌ，）］＝ｎ—ｒ（Ａ一￡１Ｊ）＋…＋死一ｒ（Ａ—ｅｍ－ｔ１）
从而可得．
ｒ［（Ａ—ｅｌｉ）…（Ａ—Ｅ。一１Ｉ）】＝ｒ（Ａ—Ｅ１，）＋…＋ｒ（Ａ一￡。一ａＩ）一（ｍ一２）ｎ
即（６）式成立．因而该定理的必要性成立．
（々）设条件ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ一￡ｌＪ）＋…＋ｒ（Ａ一￥ｍ－ａＩ）＝（ｍ一１）ｎ成立．考虑齐次线性方程组Ａｘ＝０及（Ａ—ＥｉＩ）ｘ＝ｏ（ｉ＝１，…，ｍ一１），并记其解空间分别为Ｗｏ，啊，…，‰一１．显然％，肌，…，‰一１是属于不同特征值的特征子空间，注意到属于不同特征值的特征向量线性无关，我们可得Ｖ＝Ｗｏ＋ｍ＋…＋Ｖ‰一１是直和，从而有
ｄｉｍＶ＝ｄｉｍＷｏ＋ｄｉｍＷｌ＋…＋ｄｉｍＷｍ一１
＝ｎ—ｒ（Ａ）＋ｎ—ｒ（Ａ—Ｅ１，）＋…＋ｎ—ｒ（Ａ—Ｅｍ－１Ｉ）＝ｎ
因而Ｖ＝Ｃ“．分别选取％，肌，…，‰一ｌ的一个基，按顺序放在一起可构成Ｃ“的一个基，以这竹个基向量为列作一个矩阵Ｑ，则有
ＡＱ＝Ｑｄｉａｇ（０，…，０，￡１…，ｓ１，…，￡ｍ一１，…，￡ｍ一１）
从而有
Ｑ一１ＡＱ＝ｄｉａｇ（０，…，０，Ｅ１…，Ｅｌ，…，￡ｍ一１，…，￡ｍ—１）
因为￡１＇…，￡。一１是ｍ一１个ｍ一１次单位根，故有Ａ“＝Ａ．因而该定理的充分性成立．口
现在，由定理１的证明过程，我们容易得到下面的推论：
推论１设Ａ足ｎ阶矩阵，则Ａ２＝Ａ当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ—Ｉ）＝疗．
推论２设Ａ是扎阶矩阵，则Ａ３＝Ａ当且仅当ｒ（Ａ）＋ｒ（Ａ—Ｉ）＋ｒ（Ａ＋Ｉ）＝２ｎ．
推论３
ｒ［Ｉｍ一１（Ａ）】＝ｎ，这里，，ｏ（ｚ）＝（ｚ一￡・）…（Ｚ－．Ｅｍ－１），＾（ｚ）＝塑羔二』专｝掣，ｉ＝ｌ，２，…，ｍ—ｌ设Ａ是ｎ阶矩阵，则Ａ”＝Ａ（ｍ≥２）当且仅当ｒ［ｆｏ（Ａ）】＋ｒ［＾（Ａ）】＋…＋
推论４设Ａ是凡阶矩阵且Ａ…＝Ａ（ｍ≥２），则Ａ可对角化．
３ｍ次幂等线性变换
设盯是复数域上ｎ维向量空间ｙ的一个线性变换，若存在正整数ｍ（ｍ≥２），使盯”＝仃，则称盯为ｍ次幂等线性变换．
类似于上一节中ｍ次幂等矩阵主要结果的讨论，我们也可得到下面的关于ｍ次幂等线性变换的相关结果．
万方数据
２３期陈益智：ｍ次幂等矩阵的等价条件１９３
定理２设仃是复数域上ｎ维向蟹空间ｙ的一个线性变换，则盯ｍ＝盯（ｍ≥２）当且仅当
ｄｉｍＩｍ（ａ）＋ｄｉｍｌｍ（ａ—ｇｌ／，）＋…＋ｄｉｍＩｍ（ａ一￡ｍ—ｌ‘）＝（ｍ一１）ｎ
这里￡ｌ；．．・，Ｅ。一１是ｍ一１个ｍ一１次单位根，。为单位变换，Ｉｒａ（ｏ＂）表示线性变换盯的像空间．
推论５设盯是复数域上ｎ维向量空间ｙ的一个线性变换，则口２＝盯当且仅当ｄｉｍｌｍ（ａ）＋ｄｉｍＩｍ（ａ—ｃ）＝ｎ．
推论６设盯是复数域上ｎ维向量空间ｙ的一个线性变换，则盯３＝盯当且仅当ｄｉｍｉｍ（ａ）＋ｄｉｍｌｍ（ａ一。）＋ｄｉｍｌｍ（盯＋。）＝２ｎ．
当ｄｉｍｌｍｆｏ（盯）＋ｄｉｍｌｍｆｌ（盯）＋…＋ｄｉｍｌｍ．ｆｍ—ｌ（盯）＝ｎ，这里１０（名）＝（Ｚ－－ｇ＇１）…（Ｚ－－ｇ＇ｍ－１），五（ｚ）＝三Ｑ２＝＿鱼杀｝掣，ｉ＝１，２，…，ｍ一１推论７设盯是复数域上ｎ维向嚣空间ｙ的一个线性变换，则盯…＝ｏｒ（ｍ≥２）当且仅
推论８设仃是复数域上ｎ维向量空间ｙ的一个线性变换且盯ｍ＝矿（仇≥２），则线性变换盯可对角化．
参考文献
【１】龚和林，舒情．关于幂等矩阵秩的一个命题的证明与推广（Ｊ】．大学数学，２００９，２５（６）：１２６－１３０．［２】杨闻起．幂合变换与幂合矩阵【Ｊ】．科学技术与工程，２００９，９（３）：６６２—６６４．
［３】唐建国，严青云．幂幺矩阵的充要条件【Ｊ１．数学实践与认识，２０１０，４０（２０）：１７２．１７６．
【４】张禾瑞，郝邴新．高等代数（第四版）［Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９９９．
［５】北京大学数学系几何与代数教研室小组．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３ＥｑｕｉｖａｌｅｎｔＣｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｍＴｉｍｅｓＩｄｅｍｐｏｔｅｎｔＭａｔｒｉｃｅｓ
ＣＨＥＮＹｉ．ｚｈｉ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕｉｚｈｏｕ５１６００７，Ｃｈｉｎａ）Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｌｌ７１０１２７，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｏｍｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｍ（ｍ≥２）ｔｉｍｅｓｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｍａ－
ｔｒｉｃｅｓａｒｅ昏ｙｅｎｂｙｕｓｉｎｇｒａｎｋｏｆｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ．Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ
ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓａｒｅａ８ｓｐａｃｅｓｏｆｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｍ＝２ａｎｄｍ＝３ａｒｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ．Ａｌｓｏ，ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｔｏｍｔｉｍｅｓｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．
●
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｔｉｍｅｓｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｍａｔｒｉｃｅｓ；ｒａｎｋｏｆｍａｔｒｉｃｅｓ；ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ；
ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｐａｃｅｓ；ｍｔｉｍｅｓｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ、
万方数据