第9章 辐射传热的计算
这一章讨论物体间辐射换热的计算方法 重点是固体表面间辐射换热的计算 首先讨论辐射换热计算中的一个重要几何因子——角系数的 定义、性质及其计算实例 接着介绍由两个表面及多个表面所组成系统的辐射传热计算 方法,然后简要介绍气体热辐射的特点 在此基础上总结辐射换热的强化及削弱的方法 最后是本章的小结与应用举例
9.1 辐射传热的角系数
两个表面之间的辐射换热量与两个表面之间的相对位置有很大关系 为了研究表面的形状及空间相对位置对辐射换热的影响，提出了角系数的概念
9.1.1 角系数的定义及假定
假设：
¾进行辐射换热的物体表面之间是不参与辐射的介质( 进行辐射换热的物体表面之间是不参与辐射的介质(单原子或结构对称的双 原子气体、空气) 原子气体、空气)或真空； ¾每个表面都是漫射、灰体或黑体表面； ¾每个表面的温度、辐射特性及投入辐射分布均匀。 在这四个假定下，物体的表面温度及发射率的改变只影 响到该物体向外发射的辐射能大小而不影响在空间的相 对分布，它们不影响辐射能落到其他表面上的百分数 从表面1 从表面1发出的总辐射能中直接投射到表面2 发出的总辐射能中直接投射到表面2 上份额称为表面1 ，用符号X1,2 上份额称为表面1对表面2 对表面2的角系数，用符号 表示。 基本原则：角系数是纯几何因子，与表面温度、发射率无关 研究角系数时把物体当做黑体来处理
9.1.2 角系数的性质
1.角系数的相对性
一个微元表面到另一个微元表面的角系数
X
dA 1 ,dA 2
=
由dA dA2上的辐射能 1发出的落到 由dA 1发出的辐射能
Ib1 ⋅ dA 1 ⋅ cosθ1 ⋅ dΩ Eb1 ⋅ dA 1
=
d Φ (θ ) = I cos θ dAd Ω
dΩ = dA2 cos θ 2 r2
Eb = π I b
X dA1 ,dA2 =
同理
dA2 ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 πr 2
X dA2 ,dA1=
dA1 ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 πr 2
9.1.2 角系数的性质
1.角系数的相对性
X dA1 ,dA2 = dA2 ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 πr 2
9.1.2 角系数的性质
1.角系数的相对性
两个有限大小表面之间角系数的相对性
dA ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 X dA2 ,dA1= 1 πr 2
Φ 1， 2 = A1 E b1 X 1, 2 − A2 E b 2 X 2 ,1
当 T1 = T2 时，净辐射换热量为零， 即 Eb1 = Eb 2 则有限大小表面间角系数的相对性的表达式：
X
dA1 , dA2
⋅dA1 = X
dA2 , dA1
⋅dA2
上式为两微元表面角系数的相对性表达式
A1 X 1,2 = A2 X 2,1
9.1.2 角系数的性质
2.角系数的完整性
对于由几个表面组成的封闭系统，根据能量 守衡原理，从任何一个表面发射出的辐射能 必全部落到封闭系统的各个表面上。因此， 任何一个表面对封闭腔各表面的角系数之间 存在下列关系：
9.1.2 角系数的性质
3.角系数的可加性
从表面1上发出而落到表面2上的总能量， 等于落到表面2上各部分的辐射能之和，于 是有
A1 Eb1 X1,2 = A1 Eb1 X1,2a + A1 Eb1 X1,2b
X1,2 = X1,2a + X1,2b
如把表面2进一步分成若干小块，则有 X 1, 2 =
Φ1 = ∑Φ1− j
j =1
n
∑X
i =1
n
1, 2 i
Φ 1− j = ∑ j =1 Φ 1
n
∑
n
j =1
x1− j = 1
从表面2上发出而落到表面1上的辐射能，等于从表面2的各部分发 出而落到表面1上的辐射能之和，于是有
A2 Eb 2 X 2,1 = A2 a Eb 2 X 2 a ,1 + A2b Eb 2 X 2b ,1
+ X 1, n = 1
X 2,1 = X 2a ,1 A2a A + X 2b,1 2b A2 A2
X 1 ,1 + X 1 , 2 + X 1 , 3 +
9.1.2 角系数的性质
9.1.3 角系数的计算
确定角系数的方法有直接积分法、代数分析法 1.直接积分法
dA2 ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 πr 2
X dA1 ,dA2 =
微元面积 d A1 对 A 2的角系数为
X d 1， 2 = ∫
角系数的性质 ① 相对性
A1对 A 2 的角系数为
cos θ1 cos θ 2 dA2 A2 π r2
A1 X 1, 2 = A2 X 2,1
Φ1 = ∑Φ1− j
j =1 n
⎛ cos θ1 cos θ 2 dA2 ⎞ A1 X 1， 2 = ∫A ⎜ ∫A ⎟dA1 1⎝ 2 π r2 ⎠
② 完整性：对于n个面组成的封闭系统
Φ 1− j = ∑ j =1 Φ 1
n
∑
n
j =1
x1− j = 1
X 1， 2 =
cos θ1 cos θ 2 dA2 dA1 1 ∫ ∫ A1 A1 A2 π r2
③可加性： X
1 .2
= X 1, 2 a + X 1, 2 b
这就是求解任意两表面之间角系数的积分表达式。注意这是一个四重积 分，不少情况下会遇到一些数学上的因难，需采用某些专门的技巧
9.1.3 角系数的计算
本章给出了一些二维几何结构角系数的计算公式(表9-1)以及三种典型三维几何 结构的计算式(表9-2)和工程计算图线(图9-7～9-9)。
9.1.3 角系数的计算
两 垂 直 长 方 形 表 面 间 的 角 系 数
9.1.3 角系数的计算
9.1.3 角系数的计算
2.代数分析法
¾利用角系数的相对性、完整性及可加性，通过求解代数方程而获得角系数的 方法称为代数分析法 ¾值得注意的是： ¾(1)利用该方法的前提是系统一定是封闭的，如果不封闭可以作假想面，令 其封闭 ¾(2)凹面的数量必须与不可见表面数相等 ¾先利用此法导出由三个表面组成的封闭系统的角系数计算公式，然后进一步 得出计算任意两个二维表面间角系数的交叉线法
9.1.3 角系数的计算
2.代数分析法
完整性 相对性
9.1.3 角系数的计算
2.代数分析法
如图所示表面，假定在垂直于纸面的方向上表面 的长度是无限延伸的 ，只有封闭系统才能应用角 系数的完整性，为此作辅助线ac和bd，与ab、cd 一起构成封闭腔。
三个非凹表面组成的封闭系统
X 1,2 + X 1,3 = 1 X 2,1 + X 2,3 = 1 X 3,1 + X 3,2 = 1
X 1,2 A + A2 − A3 = 1 2 A1 A1 + A3 − A2 2 A1 A2 + A3 − A1 2A2
A1 X 1,2 = A2 X 2,1 A1 X 1,3 = A3 X 3,1 A2 X 2,3 = A3 X 3,2
完整性 X ab， cd = 1 − X ab， a c − X ab， bd
X ab， a c = ab + ac − bc 2 ab
任意两个非凹表面间的角系数
X 1,3 = X 2,3 =
由于垂直纸面方向的长度相同，则有： l +l −l X 1,2 = 1 2 3 2l1 l +l −l X 1,3 = 1 3 2 2l1 l +l −l X 2,3 = 2 3 1 2l2
X ab ,cd =
=
X ab， bd =
ab + bd − ad 2 ab
(bc + ad ) − (ac + bd ) 2ab
交叉线之和 − 不交叉线之和 2 × 表面A1的断面长度
上述方法又被称为交叉线法。注意：这里所谓的交叉线和不交叉线都是指虚拟 断面的线，或者说是辅助线。
9.1.3 角系数的计算
几个特殊位置的角系数
9.1.3 角系数的计算
几个特殊位置的角系数
两个无限大平板 x1，2= x2，1= 1
两个垂直大平板
同一平面上的两个表面 (两个互相看不见的表面) 1>x1，2= x2，1> 0 x =x =0 1，2 2，1
一表面被另外一个表面所包围
X1，2=1， X2，1
9.1.3 角系数的计算
例：求角系数 X1,2 解： X = 0 1,2 角系数的完整性 X1,3 = 1 角系数的相对性 A 1 X1,3 = A 3 X3,1
9.1.3 角系数的计算
例：球体与无限大表面 解： 求角系数 X1,2 3 1 2
X1,3 X3,1 X3,3
πR A1 X 3,1 = X 1,3 = 2 2 X 1,3 = 1 X 1,3 = 0.25 A3 4π R 4 2 角系数的完整性 X 3,1 + X 3,2 + X 3,3 = 1
2
角系数的完整性
X 1,2 + X 1,3 = 1 X 1,2 = 0.5
X 3,3 = 1 − X 3,1 − X 3,2 = 1 − 0.25 − 0.25 = 0.5
9.1.3 角系数的计算
例：正方体盒子内表面1与内切球面2，求角系数 X1,2 解： 2 1
9.2 两表面封闭系统的辐射传热
¾ 辐射换热则可发生在被真空或透热介质隔开的表面之间。这 里的透热介质指的是不参与热辐射的介质，例如空气。 ¾ 本节所讨论的固体表面间的辐射换热是指表面之间不存在参 与热辐射介质的情形 ¾ 本节将给出两个稳态辐射换热的例子，即分别由等温的两黑 体或等温的两漫灰体组成的封闭系统内的表面间辐射换热 ¾ 封闭系统内充满不吸收任何辐射的透明介质 ¾ 所采用的方法称为“净热量”法
X2,1 = 1
角系数的相对性 A 1 X1,2 = A 2 X2,1
X 1,2 =
A2 π π 4π R 2 X 2,1 = X 2,1 = X 2,1 = A1 6 6 2R × 2R × 6
9.2.1 两黑体表面组成的封闭腔的辐射传热
封闭腔模型 假设： 1）所有表面均为漫射体（自身、反射） 2）表面等温，辐射热流均匀 3) 表面物性均匀 4）介质不参与换热 ¾为什么要用封闭腔模型？因为必须计及： 1）所研究表面向外发出的所有能量 2）空间各方向投射到该表面的辐射能 ¾封闭腔表面可以是真实的，也可是虚构的 ¾封闭腔模型既适用于黑体，也适用于灰体
9.2.1 两黑体表面组成的封闭腔的辐射传热
单位时间内从表面1上发出到达表面2 的辐射能： Φ =E AX
1→ 2 b1 1 1, 2
单位时间内从表面2上发出到达表面1 的辐射能： Φ =E A X
2 →1 b2 2 2 ,1
两黑体表面间的净辐射传热量为：
图9-13 黑体系统的辐射换热
Φ1,2 = Φ1→2 − Φ 2→1 = Eb1 A1 X 1,2 − Eb 2 A2 X 2,1 = A1 X 1,2 ( Eb1 − Eb 2 ) = A2 X 2,1 ( Eb1 − Eb 2 ) (9 − 11)
1
E − Eb 2 = b1 1 A1 X 1,2
上式也可与欧姆定律相比较，并且将 A X 1 1,2 看成是辐射换热时的热阻，由于它只与几何尺寸 和空间相对位置有关，所以称为空间辐射热阻
9.2.2 有效辐射
投入辐射：单位时间内投射到单位面积上 的总辐射能，记为G。 有效辐射：单位时间内离开单位面积的总 辐射能为该表面的有效辐射，记为J。
自身热辐射E
9.2.2 有效辐射
有效辐射与辐射传热量的关系 从表面1外部来观察，其能量收支差额 应等于有效辐射 J1 与投入辐射 G1 之 差，即
q = J1 − G1
有效辐射
投入辐射 G 被反射辐射的部分 ρ G 表面的反射比，可表示成
1 − α1
从表面内部观察，该表面与外界的辐射 换热量应为： q = E1 − α 1G1
J1 = q + E1 − q
J 1 = E1 + ρ1G1 = ε 1 E b1 + (1 − α 1 )G1
在表面外能感受到的表面辐射就是有效辐射，它也是用辐射探 测仪能测量到的单位表面积上的辐射功率 W / m 2 。
α1
=
⎛ 1 ⎞ −⎜ − 1⎟ q α1 ⎝ α1 ⎠ E1
E 1−α 1 J= − q = Eb − ( − 1)q 同一表面而言的，而且以向
注意：式中的各个量均是对 外界的净放热量为正值。
α
α
ε
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
Φ 1,2 = A1 J 1 X 1,2 − A2 J 2 X 2,1
⎛ 1 ⎞ J 1 A1 = A1 E b1 − ⎜ − 1 ⎟ Φ 1,2 ⎝ ε1 ⎠ ⎛ 1 ⎞ J 2 A2 = A2 E b 2 − ⎜ − 1 ⎟ Φ 2,1 ⎝ ε2 ⎠
(a)
(b) (c) (d)
J=
α
E 1−α 1 − q = Eb − ( − 1)q
α
ε
下面来分析两个等温漫灰表面封闭系统内的辐射传热情况。 如图所示，两个表面的净换热量为
根据上式及能量守恒有
Φ
1,2
Φ1,2 = −Φ 2,1
E b1 − E b 2 1− ε2 1 + + ε 2 A2 A1 X 1 , 2
J1
J2
=
Φ 1,2 = A1 J 1 X 1,2 − A2 J 2 X 2,1
⎛ 1 ⎞ J 1 A1 = A1 E b1 − ⎜ − 1 ⎟ Φ 1,2 ⎝ ε1 ⎠ ⎛ 1 ⎞ J 2 A2 = A2 E b 2 − ⎜ − 1 ⎟ Φ 2,1 ⎝ ε2 ⎠
(a)
1 − ε1 ε 1 A1
(b) (c)
Eb1
1 − ε1 ε1 A1
Eb 2
1 A1 X 1,2
1− ε2 ε 2 A2
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
若以 A1 为计算面积，上式可改写为：
Φ1, 2 = A1 ( Eb1 − Eb 2 ) A ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 ⎞ + 1 ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ + ε X A ε ⎠ ⎝ 1 ⎠ 1, 2 2 ⎝ 2
=
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
三种特殊情形
(1) 表面1为凸面或平面，此时，X1,2＝1，于是
A1 X 1, 2 = A2 X 2,1
A1 X 1,2 ( E b1 − E b 2 )
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 + X 1,2 ⎜ − 1 ⎟ + X 2,1 ⎜ − 1 ⎟ ε ε ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
εs =
1 A ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ 1 + X 1, 2 ⎜ − 1⎟ + X 1, 2 1 ⎜ − 1⎟ ε A ε ⎠ ⎠ ⎝ 1 2 ⎝ 2
⇒ εs =
= ε s A1 X 1,2 ( E b1 − E b 2 )
与黑体辐射换热相比，多了一个修正因子。它实际上是由于 灰体系统吸收比小于1，所引起的多次吸收与反射对辐射换热 量的影响因子也称系统黑度 定义系统黑度(或称为系统发射率) εs =
1 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 1 + X 1,2 ⎜ − 1⎟ + X 2,1 ⎜ − 1⎟ ⎝ ε1 ⎠ ⎝ ε2 ⎠
1 1 A1 ⎛ 1 ⎞ + − 1⎟ ε 1 A2 ⎜ ε ⎠ ⎝ 2
(2) 表面积A1比表面积A2小得多（如大房间中小物体，物体与环境间的散 热），即A1/A2 → 0 ， X1,2＝1，于是
ε
s
= ε1
(3) 表面积A1与表面积A2相当，即A1/A2 → 1 ， X1,2＝1，于是
εs =
ε1
1
+
1 1
ε2
−1
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
例 某房间吊装一水银温度计读数为15℃，已知温度计头部发射率 （黑度）为0.9，头部与室内空气间的对流换热系数为20 W / m2 ⋅ K ， 墙表面温度为10℃，求该温度计的测量误差。
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
t w = 10 ℃ 求测温误差？ 解：已知 t w = 15 ℃ ， ε = 0.9 ， h = 20W / m 2 i K ，
'
ε A( Eb1 − Eb 2 ) = h × A(t f − tw )
Eb1 = σ Tw
4
Eb 2 = σ Tw'
4
4 4 0.9 × 5.67 ×10−8 ⎡ ⎣(273 + 15) − (273 + 10) ⎤ ⎦ = 20(t f − 15)
t f =16.2 ℃
16.2 − 15 ×100% = 7.4% 16.2
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
9.3 多表面系统的辐射传热
¾ 在由两个表面组成的封闭系统中，一个表面的净辐射换 热量也就是该表面与另一表面间的辐射换热量 ¾ 在多表面系统中，一个表面的净辐射换热量是与其余各 表面分别换热的换热量之和 ¾ 工程计算的主要目的是获得一个表面的净辐射换热量， 这是本节的讨论重点 ¾ 对于多表面系统，可以采用净热量法、网络法、数值方 法来计算每一表面的净辐射换热量
9.3 多表面系统的辐射传热
¾ 净热量法虽然也可以用于多表面情况，当相比之下网络 法更简明、直观 ¾ 网络法(又称热网络法，电网络法等)的原理，是用电学 中的电流、电位差和电阻比拟热辐射中的热流、热势差 与热阻，用电路来比拟辐射热流的传递路径 ¾ 需要注意的是，这两种方法都离不开角系数的计算，所 以，必须满足漫灰面、等温、物性均匀以及投射辐射均 匀的四个条件 ¾ 下面先从构成封闭腔的两表面间的辐射换热公式出发， 引出辐射网络法中两个单元等效电路——表面辐射热阻 及空间辐射热阻的表达式，进而用网络法求解多表面系 统的问题
9.3.1 两表面换热系统的辐射网络
据有效辐射的计算式 E 1−α 1 J= − q = Eb − ( − 1)q α α ε
q= Eb − J 1− ε
或
Φ=
ε 又据两个表面的净换热量为
Eb − J 1− ε εA
Φ 1,2 = A1 J 1 X 1,2 − A2 J 2 X 2,1 = A1 X 1,2 ( J 1 − J 2 )
由此得到
Φ 1,2 =
( J1 − J 2 ) 1 A1 X 1,2
9.3.1 两表面换热系统的辐射网络
Φ= Eb − J 1− ε εA
Φ 1,2 = ( J1 − J 2 ) 1 A1 X 1,2
9.3.1 两表面换热系统的辐射网络
利用上述两个单元电路，可以容易地画出组成封闭系 统的两个灰体表面间辐射传热的等效网络，如图所示。根 据等效网络，可以立即写出换热量计算式：
将上述两式与电学中的欧姆定律相比可见：换热量 Φ 相当 Eb − J 或 ( J1 − J 2 )相当于电势差；而 1 − ε 及 1 于电流强度； A1 X 1,2 εA 则相当于电阻，分别称为辐射换热表面的表面辐射热阻及空间辐 射热阻。 Eb 相当于电源电势，而 辐射热阻的等效电路如图所示：
Φ=
J 则相当于节点电压。则两个
J1
Φ1， 2
E b1 − E b 2 1 − ε1 1− ε2 1 + + ε 1 A1 A1 X 1,2 ε 2 A2
J1
E b
Φ
J
J2
Eb1
Φ
1 A 1,2 X1,2
J2
1−ε2 A2ε2
Eb2
1−ε εA
（a） 表面辐射热阻
1 A1 X1, 2
（b） 空间辐射热阻
1−ε1 A 1ε1
两表面封闭系统辐射传热等效网络图
9.3.2 多表面封闭系统的网络法求解
这种把辐射热阻比拟成等效的电阻从而通过等效的网络图来 求解辐射传热的方法称为辐射传热的网络法。 应用网络法求解多表面封闭系统辐射传热问题的步骤： （1）画出等效的网络图。 （2）列出节点的电流方程 （3）求解上述代数方程得出节点电势。 （4）按公式 Φi =
9.3.2 多表面封闭系统的网络法求解
(a)由三个表面组成的封闭系统 (b)三表面封闭腔的等效网络图
Ebi − Ji 确定每一个表面的净辐射换热量。 1− εi ε i Ai
第9章 辐射传热的计算
这一章讨论物体间辐射换热的计算方法 重点是固体表面间辐射换热的计算 首先讨论辐射换热计算中的一个重要几何因子——角系数的 定义、性质及其计算实例 接着介绍由两个表面及多个表面所组成系统的辐射传热计算 方法,然后简要介绍气体热辐射的特点 在此基础上总结辐射换热的强化及削弱的方法 最后是本章的小结与应用举例
9.1 辐射传热的角系数
两个表面之间的辐射换热量与两个表面之间的相对位置有很大关系 为了研究表面的形状及空间相对位置对辐射换热的影响，提出了角系数的概念
9.1.1 角系数的定义及假定
假设：
¾进行辐射换热的物体表面之间是不参与辐射的介质( 进行辐射换热的物体表面之间是不参与辐射的介质(单原子或结构对称的双 原子气体、空气) 原子气体、空气)或真空； ¾每个表面都是漫射、灰体或黑体表面； ¾每个表面的温度、辐射特性及投入辐射分布均匀。 在这四个假定下，物体的表面温度及发射率的改变只影 响到该物体向外发射的辐射能大小而不影响在空间的相 对分布，它们不影响辐射能落到其他表面上的百分数 从表面1 从表面1发出的总辐射能中直接投射到表面2 发出的总辐射能中直接投射到表面2 上份额称为表面1 ，用符号X1,2 上份额称为表面1对表面2 对表面2的角系数，用符号 表示。 基本原则：角系数是纯几何因子，与表面温度、发射率无关 研究角系数时把物体当做黑体来处理
9.1.2 角系数的性质
1.角系数的相对性
一个微元表面到另一个微元表面的角系数
X
dA 1 ,dA 2
=
由dA dA2上的辐射能 1发出的落到 由dA 1发出的辐射能
Ib1 ⋅ dA 1 ⋅ cosθ1 ⋅ dΩ Eb1 ⋅ dA 1
=
d Φ (θ ) = I cos θ dAd Ω
dΩ = dA2 cos θ 2 r2
Eb = π I b
X dA1 ,dA2 =
同理
dA2 ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 πr 2
X dA2 ,dA1=
dA1 ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 πr 2
9.1.2 角系数的性质
1.角系数的相对性
X dA1 ,dA2 = dA2 ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 πr 2
9.1.2 角系数的性质
1.角系数的相对性
两个有限大小表面之间角系数的相对性
dA ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 X dA2 ,dA1= 1 πr 2
Φ 1， 2 = A1 E b1 X 1, 2 − A2 E b 2 X 2 ,1
当 T1 = T2 时，净辐射换热量为零， 即 Eb1 = Eb 2 则有限大小表面间角系数的相对性的表达式：
X
dA1 , dA2
⋅dA1 = X
dA2 , dA1
⋅dA2
上式为两微元表面角系数的相对性表达式
A1 X 1,2 = A2 X 2,1
9.1.2 角系数的性质
2.角系数的完整性
对于由几个表面组成的封闭系统，根据能量 守衡原理，从任何一个表面发射出的辐射能 必全部落到封闭系统的各个表面上。因此， 任何一个表面对封闭腔各表面的角系数之间 存在下列关系：
9.1.2 角系数的性质
3.角系数的可加性
从表面1上发出而落到表面2上的总能量， 等于落到表面2上各部分的辐射能之和，于 是有
A1 Eb1 X1,2 = A1 Eb1 X1,2a + A1 Eb1 X1,2b
X1,2 = X1,2a + X1,2b
如把表面2进一步分成若干小块，则有 X 1, 2 =
Φ1 = ∑Φ1− j
j =1
n
∑X
i =1
n
1, 2 i
Φ 1− j = ∑ j =1 Φ 1
n
∑
n
j =1
x1− j = 1
从表面2上发出而落到表面1上的辐射能，等于从表面2的各部分发 出而落到表面1上的辐射能之和，于是有
A2 Eb 2 X 2,1 = A2 a Eb 2 X 2 a ,1 + A2b Eb 2 X 2b ,1
+ X 1, n = 1
X 2,1 = X 2a ,1 A2a A + X 2b,1 2b A2 A2
X 1 ,1 + X 1 , 2 + X 1 , 3 +
9.1.2 角系数的性质
9.1.3 角系数的计算
确定角系数的方法有直接积分法、代数分析法 1.直接积分法
dA2 ⋅ cos θ 1 ⋅ cos θ 2 πr 2
X dA1 ,dA2 =
微元面积 d A1 对 A 2的角系数为
X d 1， 2 = ∫
角系数的性质 ① 相对性
A1对 A 2 的角系数为
cos θ1 cos θ 2 dA2 A2 π r2
A1 X 1, 2 = A2 X 2,1
Φ1 = ∑Φ1− j
j =1 n
⎛ cos θ1 cos θ 2 dA2 ⎞ A1 X 1， 2 = ∫A ⎜ ∫A ⎟dA1 1⎝ 2 π r2 ⎠
② 完整性：对于n个面组成的封闭系统
Φ 1− j = ∑ j =1 Φ 1
n
∑
n
j =1
x1− j = 1
X 1， 2 =
cos θ1 cos θ 2 dA2 dA1 1 ∫ ∫ A1 A1 A2 π r2
③可加性： X
1 .2
= X 1, 2 a + X 1, 2 b
这就是求解任意两表面之间角系数的积分表达式。注意这是一个四重积 分，不少情况下会遇到一些数学上的因难，需采用某些专门的技巧
9.1.3 角系数的计算
本章给出了一些二维几何结构角系数的计算公式(表9-1)以及三种典型三维几何 结构的计算式(表9-2)和工程计算图线(图9-7～9-9)。
9.1.3 角系数的计算
两 垂 直 长 方 形 表 面 间 的 角 系 数
9.1.3 角系数的计算
9.1.3 角系数的计算
2.代数分析法
¾利用角系数的相对性、完整性及可加性，通过求解代数方程而获得角系数的 方法称为代数分析法 ¾值得注意的是： ¾(1)利用该方法的前提是系统一定是封闭的，如果不封闭可以作假想面，令 其封闭 ¾(2)凹面的数量必须与不可见表面数相等 ¾先利用此法导出由三个表面组成的封闭系统的角系数计算公式，然后进一步 得出计算任意两个二维表面间角系数的交叉线法
9.1.3 角系数的计算
2.代数分析法
完整性 相对性
9.1.3 角系数的计算
2.代数分析法
如图所示表面，假定在垂直于纸面的方向上表面 的长度是无限延伸的 ，只有封闭系统才能应用角 系数的完整性，为此作辅助线ac和bd，与ab、cd 一起构成封闭腔。
三个非凹表面组成的封闭系统
X 1,2 + X 1,3 = 1 X 2,1 + X 2,3 = 1 X 3,1 + X 3,2 = 1
X 1,2 A + A2 − A3 = 1 2 A1 A1 + A3 − A2 2 A1 A2 + A3 − A1 2A2
A1 X 1,2 = A2 X 2,1 A1 X 1,3 = A3 X 3,1 A2 X 2,3 = A3 X 3,2
完整性 X ab， cd = 1 − X ab， a c − X ab， bd
X ab， a c = ab + ac − bc 2 ab
任意两个非凹表面间的角系数
X 1,3 = X 2,3 =
由于垂直纸面方向的长度相同，则有： l +l −l X 1,2 = 1 2 3 2l1 l +l −l X 1,3 = 1 3 2 2l1 l +l −l X 2,3 = 2 3 1 2l2
X ab ,cd =
=
X ab， bd =
ab + bd − ad 2 ab
(bc + ad ) − (ac + bd ) 2ab
交叉线之和 − 不交叉线之和 2 × 表面A1的断面长度
上述方法又被称为交叉线法。注意：这里所谓的交叉线和不交叉线都是指虚拟 断面的线，或者说是辅助线。
9.1.3 角系数的计算
几个特殊位置的角系数
9.1.3 角系数的计算
几个特殊位置的角系数
两个无限大平板 x1，2= x2，1= 1
两个垂直大平板
同一平面上的两个表面 (两个互相看不见的表面) 1>x1，2= x2，1> 0 x =x =0 1，2 2，1
一表面被另外一个表面所包围
X1，2=1， X2，1
9.1.3 角系数的计算
例：求角系数 X1,2 解： X = 0 1,2 角系数的完整性 X1,3 = 1 角系数的相对性 A 1 X1,3 = A 3 X3,1
9.1.3 角系数的计算
例：球体与无限大表面 解： 求角系数 X1,2 3 1 2
X1,3 X3,1 X3,3
πR A1 X 3,1 = X 1,3 = 2 2 X 1,3 = 1 X 1,3 = 0.25 A3 4π R 4 2 角系数的完整性 X 3,1 + X 3,2 + X 3,3 = 1
2
角系数的完整性
X 1,2 + X 1,3 = 1 X 1,2 = 0.5
X 3,3 = 1 − X 3,1 − X 3,2 = 1 − 0.25 − 0.25 = 0.5
9.1.3 角系数的计算
例：正方体盒子内表面1与内切球面2，求角系数 X1,2 解： 2 1
9.2 两表面封闭系统的辐射传热
¾ 辐射换热则可发生在被真空或透热介质隔开的表面之间。这 里的透热介质指的是不参与热辐射的介质，例如空气。 ¾ 本节所讨论的固体表面间的辐射换热是指表面之间不存在参 与热辐射介质的情形 ¾ 本节将给出两个稳态辐射换热的例子，即分别由等温的两黑 体或等温的两漫灰体组成的封闭系统内的表面间辐射换热 ¾ 封闭系统内充满不吸收任何辐射的透明介质 ¾ 所采用的方法称为“净热量”法
X2,1 = 1
角系数的相对性 A 1 X1,2 = A 2 X2,1
X 1,2 =
A2 π π 4π R 2 X 2,1 = X 2,1 = X 2,1 = A1 6 6 2R × 2R × 6
9.2.1 两黑体表面组成的封闭腔的辐射传热
封闭腔模型 假设： 1）所有表面均为漫射体（自身、反射） 2）表面等温，辐射热流均匀 3) 表面物性均匀 4）介质不参与换热 ¾为什么要用封闭腔模型？因为必须计及： 1）所研究表面向外发出的所有能量 2）空间各方向投射到该表面的辐射能 ¾封闭腔表面可以是真实的，也可是虚构的 ¾封闭腔模型既适用于黑体，也适用于灰体
9.2.1 两黑体表面组成的封闭腔的辐射传热
单位时间内从表面1上发出到达表面2 的辐射能： Φ =E AX
1→ 2 b1 1 1, 2
单位时间内从表面2上发出到达表面1 的辐射能： Φ =E A X
2 →1 b2 2 2 ,1
两黑体表面间的净辐射传热量为：
图9-13 黑体系统的辐射换热
Φ1,2 = Φ1→2 − Φ 2→1 = Eb1 A1 X 1,2 − Eb 2 A2 X 2,1 = A1 X 1,2 ( Eb1 − Eb 2 ) = A2 X 2,1 ( Eb1 − Eb 2 ) (9 − 11)
1
E − Eb 2 = b1 1 A1 X 1,2
上式也可与欧姆定律相比较，并且将 A X 1 1,2 看成是辐射换热时的热阻，由于它只与几何尺寸 和空间相对位置有关，所以称为空间辐射热阻
9.2.2 有效辐射
投入辐射：单位时间内投射到单位面积上 的总辐射能，记为G。 有效辐射：单位时间内离开单位面积的总 辐射能为该表面的有效辐射，记为J。
自身热辐射E
9.2.2 有效辐射
有效辐射与辐射传热量的关系 从表面1外部来观察，其能量收支差额 应等于有效辐射 J1 与投入辐射 G1 之 差，即
q = J1 − G1
有效辐射
投入辐射 G 被反射辐射的部分 ρ G 表面的反射比，可表示成
1 − α1
从表面内部观察，该表面与外界的辐射 换热量应为： q = E1 − α 1G1
J1 = q + E1 − q
J 1 = E1 + ρ1G1 = ε 1 E b1 + (1 − α 1 )G1
在表面外能感受到的表面辐射就是有效辐射，它也是用辐射探 测仪能测量到的单位表面积上的辐射功率 W / m 2 。
α1
=
⎛ 1 ⎞ −⎜ − 1⎟ q α1 ⎝ α1 ⎠ E1
E 1−α 1 J= − q = Eb − ( − 1)q 同一表面而言的，而且以向
注意：式中的各个量均是对 外界的净放热量为正值。
α
α
ε
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
Φ 1,2 = A1 J 1 X 1,2 − A2 J 2 X 2,1
⎛ 1 ⎞ J 1 A1 = A1 E b1 − ⎜ − 1 ⎟ Φ 1,2 ⎝ ε1 ⎠ ⎛ 1 ⎞ J 2 A2 = A2 E b 2 − ⎜ − 1 ⎟ Φ 2,1 ⎝ ε2 ⎠
(a)
(b) (c) (d)
J=
α
E 1−α 1 − q = Eb − ( − 1)q
α
ε
下面来分析两个等温漫灰表面封闭系统内的辐射传热情况。 如图所示，两个表面的净换热量为
根据上式及能量守恒有
Φ
1,2
Φ1,2 = −Φ 2,1
E b1 − E b 2 1− ε2 1 + + ε 2 A2 A1 X 1 , 2
J1
J2
=
Φ 1,2 = A1 J 1 X 1,2 − A2 J 2 X 2,1
⎛ 1 ⎞ J 1 A1 = A1 E b1 − ⎜ − 1 ⎟ Φ 1,2 ⎝ ε1 ⎠ ⎛ 1 ⎞ J 2 A2 = A2 E b 2 − ⎜ − 1 ⎟ Φ 2,1 ⎝ ε2 ⎠
(a)
1 − ε1 ε 1 A1
(b) (c)
Eb1
1 − ε1 ε1 A1
Eb 2
1 A1 X 1,2
1− ε2 ε 2 A2
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
若以 A1 为计算面积，上式可改写为：
Φ1, 2 = A1 ( Eb1 − Eb 2 ) A ⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 ⎞ + 1 ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ + ε X A ε ⎠ ⎝ 1 ⎠ 1, 2 2 ⎝ 2
=
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
三种特殊情形
(1) 表面1为凸面或平面，此时，X1,2＝1，于是
A1 X 1, 2 = A2 X 2,1
A1 X 1,2 ( E b1 − E b 2 )
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 + X 1,2 ⎜ − 1 ⎟ + X 2,1 ⎜ − 1 ⎟ ε ε ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
εs =
1 A ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ 1 + X 1, 2 ⎜ − 1⎟ + X 1, 2 1 ⎜ − 1⎟ ε A ε ⎠ ⎠ ⎝ 1 2 ⎝ 2
⇒ εs =
= ε s A1 X 1,2 ( E b1 − E b 2 )
与黑体辐射换热相比，多了一个修正因子。它实际上是由于 灰体系统吸收比小于1，所引起的多次吸收与反射对辐射换热 量的影响因子也称系统黑度 定义系统黑度(或称为系统发射率) εs =
1 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 1 + X 1,2 ⎜ − 1⎟ + X 2,1 ⎜ − 1⎟ ⎝ ε1 ⎠ ⎝ ε2 ⎠
1 1 A1 ⎛ 1 ⎞ + − 1⎟ ε 1 A2 ⎜ ε ⎠ ⎝ 2
(2) 表面积A1比表面积A2小得多（如大房间中小物体，物体与环境间的散 热），即A1/A2 → 0 ， X1,2＝1，于是
ε
s
= ε1
(3) 表面积A1与表面积A2相当，即A1/A2 → 1 ， X1,2＝1，于是
εs =
ε1
1
+
1 1
ε2
−1
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
例 某房间吊装一水银温度计读数为15℃，已知温度计头部发射率 （黑度）为0.9，头部与室内空气间的对流换热系数为20 W / m2 ⋅ K ， 墙表面温度为10℃，求该温度计的测量误差。
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
t w = 10 ℃ 求测温误差？ 解：已知 t w = 15 ℃ ， ε = 0.9 ， h = 20W / m 2 i K ，
'
ε A( Eb1 − Eb 2 ) = h × A(t f − tw )
Eb1 = σ Tw
4
Eb 2 = σ Tw'
4
4 4 0.9 × 5.67 ×10−8 ⎡ ⎣(273 + 15) − (273 + 10) ⎤ ⎦ = 20(t f − 15)
t f =16.2 ℃
16.2 − 15 ×100% = 7.4% 16.2
9.2.3 两漫灰表面组成的封闭腔的辐射传热
9.3 多表面系统的辐射传热
¾ 在由两个表面组成的封闭系统中，一个表面的净辐射换 热量也就是该表面与另一表面间的辐射换热量 ¾ 在多表面系统中，一个表面的净辐射换热量是与其余各 表面分别换热的换热量之和 ¾ 工程计算的主要目的是获得一个表面的净辐射换热量， 这是本节的讨论重点 ¾ 对于多表面系统，可以采用净热量法、网络法、数值方 法来计算每一表面的净辐射换热量
9.3 多表面系统的辐射传热
¾ 净热量法虽然也可以用于多表面情况，当相比之下网络 法更简明、直观 ¾ 网络法(又称热网络法，电网络法等)的原理，是用电学 中的电流、电位差和电阻比拟热辐射中的热流、热势差 与热阻，用电路来比拟辐射热流的传递路径 ¾ 需要注意的是，这两种方法都离不开角系数的计算，所 以，必须满足漫灰面、等温、物性均匀以及投射辐射均 匀的四个条件 ¾ 下面先从构成封闭腔的两表面间的辐射换热公式出发， 引出辐射网络法中两个单元等效电路——表面辐射热阻 及空间辐射热阻的表达式，进而用网络法求解多表面系 统的问题
9.3.1 两表面换热系统的辐射网络
据有效辐射的计算式 E 1−α 1 J= − q = Eb − ( − 1)q α α ε
q= Eb − J 1− ε
或
Φ=
ε 又据两个表面的净换热量为
Eb − J 1− ε εA
Φ 1,2 = A1 J 1 X 1,2 − A2 J 2 X 2,1 = A1 X 1,2 ( J 1 − J 2 )
由此得到
Φ 1,2 =
( J1 − J 2 ) 1 A1 X 1,2
9.3.1 两表面换热系统的辐射网络
Φ= Eb − J 1− ε εA
Φ 1,2 = ( J1 − J 2 ) 1 A1 X 1,2
9.3.1 两表面换热系统的辐射网络
利用上述两个单元电路，可以容易地画出组成封闭系 统的两个灰体表面间辐射传热的等效网络，如图所示。根 据等效网络，可以立即写出换热量计算式：
将上述两式与电学中的欧姆定律相比可见：换热量 Φ 相当 Eb − J 或 ( J1 − J 2 )相当于电势差；而 1 − ε 及 1 于电流强度； A1 X 1,2 εA 则相当于电阻，分别称为辐射换热表面的表面辐射热阻及空间辐 射热阻。 Eb 相当于电源电势，而 辐射热阻的等效电路如图所示：
Φ=
J 则相当于节点电压。则两个
J1
Φ1， 2
E b1 − E b 2 1 − ε1 1− ε2 1 + + ε 1 A1 A1 X 1,2 ε 2 A2
J1
E b
Φ
J
J2
Eb1
Φ
1 A 1,2 X1,2
J2
1−ε2 A2ε2
Eb2
1−ε εA
（a） 表面辐射热阻
1 A1 X1, 2
（b） 空间辐射热阻
1−ε1 A 1ε1
两表面封闭系统辐射传热等效网络图
9.3.2 多表面封闭系统的网络法求解
这种把辐射热阻比拟成等效的电阻从而通过等效的网络图来 求解辐射传热的方法称为辐射传热的网络法。 应用网络法求解多表面封闭系统辐射传热问题的步骤： （1）画出等效的网络图。 （2）列出节点的电流方程 （3）求解上述代数方程得出节点电势。 （4）按公式 Φi =
9.3.2 多表面封闭系统的网络法求解
(a)由三个表面组成的封闭系统 (b)三表面封闭腔的等效网络图
Ebi − Ji 确定每一个表面的净辐射换热量。 1− εi ε i Ai