第三章 一元函数的导
数和微分
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3.1 导数概念
一、问题的提出 1. 切线问题
割线的极限位置——切线位置
如图，如果割线MN 绕点M 旋转而趋向极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线.
极限位置即
切线MT 的斜率为
2. 自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x ）在点
的某个邻域内有定义，当自变量x 在
处取得增量Δx
（点
；如果Δy 与
处可导，并称这个极限为函
仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量
Δx 之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x ）在点
数y=f（x ）在点 即
其它形式
处的导数，记为
关于导数的说明： 在点
处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变
化的快慢程度。
如果函数y=f（x ）在开区间I 内的每点处都可导，就称函数f （x ）在开区间I 内可导。 对于任一
，都对应着f （x ）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f （x ）
的导函数，记作
注意：
2. 导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8
设函数f （x ）在点x=a可导，求：
（1）
【答疑编号11030101：针对该题提问】
（2）
【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1. 左导数：
2. 右导数：
函数f （x ）在点
处可导
左导数
和右导数
都存在且相等.
例2、讨论函数f （x ）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f （x ）在开区间（a ，b ）内可导，且在，就说f （x ）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤：
及
都存
例3、求函数f （x ）=C（C 为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解
例4、设函数
【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
同理可以得到
例5、求
例6、求函数
的导数。
【答疑编号11030106：针对该题提问】 解
例7、求函数的导数。
【答疑编号11030107：针对该题提问】 解
四、常数和基本初等函数的导数公式
五、导数的几何意义
表示曲线y=f（x ）在点
处的切线的斜率，即
切线方程为
法线方程为
例8、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线
方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】 解
由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系
1. 定理 凡可导函数都是连续函数.
注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导
极限存在、连续、可导之间的关系。
2. 连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】 解：
例10、 P115第10题
设，α在什么条件下可使f （x ）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。
【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结
1. 导数的实质：增量比的极限； 2. 导数的几何意义：切线的斜率；
3. 函数可导一定连续，但连续不一定可导；
4.
5. 求导数最基本的方法：由定义求导数. 6. 判断可导性
3.2 求导法则
3.3 基本求导公式
一、和、差、积、商的求导法则 1. 定理： 如果函数处也可导，并且
在点x 处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x
推论
2. 例题分析 例1、求
的导数。
【答疑编号11030201：针对该题提问】 解
例2、求
的导数。
【答疑编号11030202：针对该题提问】 解
例3、求y=tanx的导数。
【答疑编号11030203：针对该题提问】 解
同理可得
例4、求y=secx的导数。
【答疑编号11030204：针对该题提问】 解
同理可得
例5、131页例2 设
，求
.
【答疑编号11030205：针对该题提问】
二、反函数的导数 1. 定理： 如果函数
在某区间
内单调、可导且
，那么它的反函数
在对应区间
内也可导，且有
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 2. 例题分析
例6、求函数y=arcsinx的导数
【答疑编号11030206：针对该题提问】 解
同理可得
例7、求函数
的导数。
【答疑编号11030207：针对该题提问】 解
特别地
三、小结：初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数公式
2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设
u=u（x ），v=v（x ）可导，则
例8、127页1题（6）（14）（15）
（1）1题（6）小题
【答疑编号11030208：针对该题提问】 解：
（2）1题（14）小题
【答疑编号11030209：针对该题提问】 解：
（3）1题（15）小题
【答疑编号11030210：针对该题提问】 解：
例9、115页3
若一直线运动的运动方程为
【答疑编号11030211：针对该题提问】 解：
，求在t=3时运动的瞬时速度。
例10、115页5 求曲线
的与直线y=5x的平行的切线。
【答疑编号11030212：针对该题提问】
另一条求出来是
四、分段函数的求导问题 1.114页定理：设 （1）如果函数
，则
（2）如果函数
，则
在
在
上连续，在
上可导，且当
时
上连续，在
上可导，且当
时
2. 分段函数的求导问题举例
例11、 116页11 求下列分段函数f （x ）的
：
（1）
【答疑编号11030213：针对该题提问】 解：
五、复合函数的求导法则 1. 复合函数的求导法则 定理 如果函数
在点x 0可导，而y=f（u ）在点
可导，则复合函数
在点x 0可导，且其导数为
即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。（链式法则） 推广 设
，则复合函数
的导数为
2. 例题分析
例1. 求函数y=lnsinx的导数。
【答疑编号11030301：针对该题提问】
解 ∵y=lnu，u=sinx.
例2. 已知y=（2x -3x+5），求
2100
。
【答疑编号11030302：针对该题提问】
例3. 求y=sin5x的导数
【答疑编号11030303：针对该题提问】
例4. 求函数的导数
【答疑编号11030304：针对该题提问】
解
例5. （教材133页习题3.3，1题（2）小题）求 【答疑编号11030305：针对该题提问】
的导数
例6. 求
的导数
【答疑编号11030306：针对该题提问】
例7. 求的导数（a>0）
【答疑编号11030307：针对该题提问】
例8. 求函数的导数
【答疑编号11030308：针对该题提问】
解
例9. （教材128页习题3.2，3题（5）小题）求
的导数
【答疑编号11030309：针对该题提问】
n
例10. （教材128页习题3.2，3题（7）小题）求y=（sinnx ）（cos x ）的导数 【答疑编号11030310：针对该题提问】
例11. 求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12. 求的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13. 求的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14. 求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15. （教材习题3.2，8题）已知b 。
【答疑编号11030315：针对该题提问】
在点x ＝1可导，求a ，
幂指函数、抽象的复合函数的求导例题
一、幂指函数求导
x
例1： x
【答疑编号11030401：针对该题提问】
例2： y=（sinx ）求y ＇
【答疑编号11030402：针对该题提问】
cosx
二、抽象的复合函数求导
例3：设f （u ）可导，求下列函数的导数 （1）f （lnx ）+lnf（x ）
【答疑编号11030403：针对该题提问】 解：
（2）y=f（e ）
【答疑编号11030404：针对该题提问】 解：
-x
（3）y= e
f （x ）
【答疑编号11030405：针对该题提问】
（4）
【答疑编号11030406：针对该题提问】
（5）
【答疑编号11030407：针对该题提问】
3.4 高阶导数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度。
设s=f（t ），则瞬时速度为v （t ）=f＇（t ） ∵加速度α是速度v 对时间t 的变化率 ∴a（t ）=v＇（t ）=[f＇（t ）]＇
定义 如果函数f （x ）的导数f ＇（x ）在点x 处可导，即
存在，则称（f ＇（x ））＇为在点x 处的二阶导数。
记作。
二阶导数的导数称为三阶导数, 。
三阶导数的导数称为四阶导数,
例4：y=3x+sinx
【答疑编号11030408：针对该题提问】
2
。
一般地，函数f （x ）的n-1阶导数的导数称为函数f （x ）的n 阶导数，记作
相应地，f （x ）称为零阶导数；f ＇（x ）称为一阶导数。 例5：求下列函数的二阶导数： （1）y=ax+b
【答疑编号11030409：针对该题提问】
（2）y=cos nx；
【答疑编号11030410：针对该题提问】
（3）y=e
【答疑编号11030411：针对该题提问】
sinx
二、对于某些特殊的导数的高阶导数是有规律的。 例6：求下列函数的n 阶导数
x
（1）y=e
【答疑编号11030412：针对该题提问】
（2）y=x
【答疑编号11030413：针对该题提问】
5
例7：设y=x求y 解：
用数学归纳法可以证明：
特别，当μ=n时，即y=xn，其n 阶导数 （n ） n（n ）
y = （x ）=n!
【答疑编号11030414：针对该题提问】 例8：
【答疑编号11030415：针对该题提问】
μ
（n ）
例9：设y=（x +1）（x +x+1），求y 【答疑编号11030416：针对该题提问】
2
10
9
3
（30）
例10：设y=sinx，求y 。
【答疑编号11030417：针对该题提问】 解
„„
（n ）
同理可得 注意：求n 阶导数时, 求出1——3或4阶后, 不要急于合并, 分析结果的规律性, 写出n 阶导数. （数学归纳法证明）
例11：设f （x ）的n-2阶导数
【答疑编号11030418：针对该题提问】
，求f
（n ）
（x ）。
3.5 函数的微分
问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x 0变到x 0+△x，
∵正方形面积 ∴
是△x的线性函数且为△A的主要部分，
是△x的高阶无穷小，当|△x|很小时可忽略。
微分的定义
定义：设函数y=f（x ）在某区间内有定义，x 0及x 0+△x在这区间内，如果
成立（其中A 是与△x无关的常数），则称函数 y=f（x ）在点x 0可微，并且称A·△x为函数 y=f（x ）在点x 0相应于自变量增量△x的微分， 记作
微分dy 叫做函数增量△y的线性主部。（微分的实质） 可微的条件
定理：函数f （x ）在点x 0可微的充要条件是函数f （x ）在点x 0处可导，且
通常把自变量x 的增量△x称为自变量的微分，记作dx ，即dx=△x
即函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数，导数也叫“微商”。 微分的几何意义 几何意义:（如图）
当△y是曲线的纵坐标增量时，dy 就是切线纵坐标对应的增量，当|△x |很小时，在点M 的附近，切线段MP 可近似代替曲线段MN 。
微分的求法
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分。 1. 基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
例1：设
，求dy 。
【答疑编号11030501：针对该题提问】
例2：，求dy 。
【答疑编号11030502：针对该题提问】
例3：
，求dy 。
【答疑编号11030503：针对该题提问】
微分形式的不变性
设函数y=f（x ）有导数f ＇（x ）
（1）若x 是自变量时，dy= f＇（x ）dx
（2）若x 是中间变量时，同样有
， 结论：无论x 是自变量还是中间变量，函数y=f（x ）的微分形式总是
这就是微分形式的不变性
例4： 设y=sin（2x+1），求dy 。
【答疑编号11030504：针对该题提问】
解法一：
解法二：∵y=sinu,u=2x+1 ∴dy=cosudu=cos（2x+1）d （2x+1） =cos（2x+1）·2dx=2cos（2x+1）dx 例5（P144、例6（1））: 设函数f （u ）可微，求函数y=f（lnx ）的微分： 【答疑编号11030505：针对该题提问】 解：
例6：求
【答疑编号11030506：针对该题提问】
例7（P144、例7）：求
【答疑编号11030507：针对该题提问】
利用微分计算函数的近似值
求f （x ）在点x=x0附近的近似值；
例8：计算的近似值。
【答疑编号11030508：针对该题提问】
解：
3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到
第四章后面讲。
第三章 一元函数的导
数和微分
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3.1 导数概念
一、问题的提出 1. 切线问题
割线的极限位置——切线位置
如图，如果割线MN 绕点M 旋转而趋向极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线.
极限位置即
切线MT 的斜率为
2. 自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x ）在点
的某个邻域内有定义，当自变量x 在
处取得增量Δx
（点
；如果Δy 与
处可导，并称这个极限为函
仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量
Δx 之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x ）在点
数y=f（x ）在点 即
其它形式
处的导数，记为
关于导数的说明： 在点
处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变
化的快慢程度。
如果函数y=f（x ）在开区间I 内的每点处都可导，就称函数f （x ）在开区间I 内可导。 对于任一
，都对应着f （x ）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f （x ）
的导函数，记作
注意：
2. 导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8
设函数f （x ）在点x=a可导，求：
（1）
【答疑编号11030101：针对该题提问】
（2）
【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1. 左导数：
2. 右导数：
函数f （x ）在点
处可导
左导数
和右导数
都存在且相等.
例2、讨论函数f （x ）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f （x ）在开区间（a ，b ）内可导，且在，就说f （x ）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤：
及
都存
例3、求函数f （x ）=C（C 为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解
例4、设函数
【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
同理可以得到
例5、求
例6、求函数
的导数。
【答疑编号11030106：针对该题提问】 解
例7、求函数的导数。
【答疑编号11030107：针对该题提问】 解
四、常数和基本初等函数的导数公式
五、导数的几何意义
表示曲线y=f（x ）在点
处的切线的斜率，即
切线方程为
法线方程为
例8、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线
方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】 解
由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系
1. 定理 凡可导函数都是连续函数.
注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导
极限存在、连续、可导之间的关系。
2. 连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】 解：
例10、 P115第10题
设，α在什么条件下可使f （x ）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。
【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结
1. 导数的实质：增量比的极限； 2. 导数的几何意义：切线的斜率；
3. 函数可导一定连续，但连续不一定可导；
4.
5. 求导数最基本的方法：由定义求导数. 6. 判断可导性
3.2 求导法则
3.3 基本求导公式
一、和、差、积、商的求导法则 1. 定理： 如果函数处也可导，并且
在点x 处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x
推论
2. 例题分析 例1、求
的导数。
【答疑编号11030201：针对该题提问】 解
例2、求
的导数。
【答疑编号11030202：针对该题提问】 解
例3、求y=tanx的导数。
【答疑编号11030203：针对该题提问】 解
同理可得
例4、求y=secx的导数。
【答疑编号11030204：针对该题提问】 解
同理可得
例5、131页例2 设
，求
.
【答疑编号11030205：针对该题提问】
二、反函数的导数 1. 定理： 如果函数
在某区间
内单调、可导且
，那么它的反函数
在对应区间
内也可导，且有
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 2. 例题分析
例6、求函数y=arcsinx的导数
【答疑编号11030206：针对该题提问】 解
同理可得
例7、求函数
的导数。
【答疑编号11030207：针对该题提问】 解
特别地
三、小结：初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数公式
2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设
u=u（x ），v=v（x ）可导，则
例8、127页1题（6）（14）（15）
（1）1题（6）小题
【答疑编号11030208：针对该题提问】 解：
（2）1题（14）小题
【答疑编号11030209：针对该题提问】 解：
（3）1题（15）小题
【答疑编号11030210：针对该题提问】 解：
例9、115页3
若一直线运动的运动方程为
【答疑编号11030211：针对该题提问】 解：
，求在t=3时运动的瞬时速度。
例10、115页5 求曲线
的与直线y=5x的平行的切线。
【答疑编号11030212：针对该题提问】
另一条求出来是
四、分段函数的求导问题 1.114页定理：设 （1）如果函数
，则
（2）如果函数
，则
在
在
上连续，在
上可导，且当
时
上连续，在
上可导，且当
时
2. 分段函数的求导问题举例
例11、 116页11 求下列分段函数f （x ）的
：
（1）
【答疑编号11030213：针对该题提问】 解：
五、复合函数的求导法则 1. 复合函数的求导法则 定理 如果函数
在点x 0可导，而y=f（u ）在点
可导，则复合函数
在点x 0可导，且其导数为
即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。（链式法则） 推广 设
，则复合函数
的导数为
2. 例题分析
例1. 求函数y=lnsinx的导数。
【答疑编号11030301：针对该题提问】
解 ∵y=lnu，u=sinx.
例2. 已知y=（2x -3x+5），求
2100
。
【答疑编号11030302：针对该题提问】
例3. 求y=sin5x的导数
【答疑编号11030303：针对该题提问】
例4. 求函数的导数
【答疑编号11030304：针对该题提问】
解
例5. （教材133页习题3.3，1题（2）小题）求 【答疑编号11030305：针对该题提问】
的导数
例6. 求
的导数
【答疑编号11030306：针对该题提问】
例7. 求的导数（a>0）
【答疑编号11030307：针对该题提问】
例8. 求函数的导数
【答疑编号11030308：针对该题提问】
解
例9. （教材128页习题3.2，3题（5）小题）求
的导数
【答疑编号11030309：针对该题提问】
n
例10. （教材128页习题3.2，3题（7）小题）求y=（sinnx ）（cos x ）的导数 【答疑编号11030310：针对该题提问】
例11. 求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12. 求的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13. 求的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14. 求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15. （教材习题3.2，8题）已知b 。
【答疑编号11030315：针对该题提问】
在点x ＝1可导，求a ，
幂指函数、抽象的复合函数的求导例题
一、幂指函数求导
x
例1： x
【答疑编号11030401：针对该题提问】
例2： y=（sinx ）求y ＇
【答疑编号11030402：针对该题提问】
cosx
二、抽象的复合函数求导
例3：设f （u ）可导，求下列函数的导数 （1）f （lnx ）+lnf（x ）
【答疑编号11030403：针对该题提问】 解：
（2）y=f（e ）
【答疑编号11030404：针对该题提问】 解：
-x
（3）y= e
f （x ）
【答疑编号11030405：针对该题提问】
（4）
【答疑编号11030406：针对该题提问】
（5）
【答疑编号11030407：针对该题提问】
3.4 高阶导数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度。
设s=f（t ），则瞬时速度为v （t ）=f＇（t ） ∵加速度α是速度v 对时间t 的变化率 ∴a（t ）=v＇（t ）=[f＇（t ）]＇
定义 如果函数f （x ）的导数f ＇（x ）在点x 处可导，即
存在，则称（f ＇（x ））＇为在点x 处的二阶导数。
记作。
二阶导数的导数称为三阶导数, 。
三阶导数的导数称为四阶导数,
例4：y=3x+sinx
【答疑编号11030408：针对该题提问】
2
。
一般地，函数f （x ）的n-1阶导数的导数称为函数f （x ）的n 阶导数，记作
相应地，f （x ）称为零阶导数；f ＇（x ）称为一阶导数。 例5：求下列函数的二阶导数： （1）y=ax+b
【答疑编号11030409：针对该题提问】
（2）y=cos nx；
【答疑编号11030410：针对该题提问】
（3）y=e
【答疑编号11030411：针对该题提问】
sinx
二、对于某些特殊的导数的高阶导数是有规律的。 例6：求下列函数的n 阶导数
x
（1）y=e
【答疑编号11030412：针对该题提问】
（2）y=x
【答疑编号11030413：针对该题提问】
5
例7：设y=x求y 解：
用数学归纳法可以证明：
特别，当μ=n时，即y=xn，其n 阶导数 （n ） n（n ）
y = （x ）=n!
【答疑编号11030414：针对该题提问】 例8：
【答疑编号11030415：针对该题提问】
μ
（n ）
例9：设y=（x +1）（x +x+1），求y 【答疑编号11030416：针对该题提问】
2
10
9
3
（30）
例10：设y=sinx，求y 。
【答疑编号11030417：针对该题提问】 解
„„
（n ）
同理可得 注意：求n 阶导数时, 求出1——3或4阶后, 不要急于合并, 分析结果的规律性, 写出n 阶导数. （数学归纳法证明）
例11：设f （x ）的n-2阶导数
【答疑编号11030418：针对该题提问】
，求f
（n ）
（x ）。
3.5 函数的微分
问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x 0变到x 0+△x，
∵正方形面积 ∴
是△x的线性函数且为△A的主要部分，
是△x的高阶无穷小，当|△x|很小时可忽略。
微分的定义
定义：设函数y=f（x ）在某区间内有定义，x 0及x 0+△x在这区间内，如果
成立（其中A 是与△x无关的常数），则称函数 y=f（x ）在点x 0可微，并且称A·△x为函数 y=f（x ）在点x 0相应于自变量增量△x的微分， 记作
微分dy 叫做函数增量△y的线性主部。（微分的实质） 可微的条件
定理：函数f （x ）在点x 0可微的充要条件是函数f （x ）在点x 0处可导，且
通常把自变量x 的增量△x称为自变量的微分，记作dx ，即dx=△x
即函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数，导数也叫“微商”。 微分的几何意义 几何意义:（如图）
当△y是曲线的纵坐标增量时，dy 就是切线纵坐标对应的增量，当|△x |很小时，在点M 的附近，切线段MP 可近似代替曲线段MN 。
微分的求法
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分。 1. 基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
例1：设
，求dy 。
【答疑编号11030501：针对该题提问】
例2：，求dy 。
【答疑编号11030502：针对该题提问】
例3：
，求dy 。
【答疑编号11030503：针对该题提问】
微分形式的不变性
设函数y=f（x ）有导数f ＇（x ）
（1）若x 是自变量时，dy= f＇（x ）dx
（2）若x 是中间变量时，同样有
， 结论：无论x 是自变量还是中间变量，函数y=f（x ）的微分形式总是
这就是微分形式的不变性
例4： 设y=sin（2x+1），求dy 。
【答疑编号11030504：针对该题提问】
解法一：
解法二：∵y=sinu,u=2x+1 ∴dy=cosudu=cos（2x+1）d （2x+1） =cos（2x+1）·2dx=2cos（2x+1）dx 例5（P144、例6（1））: 设函数f （u ）可微，求函数y=f（lnx ）的微分： 【答疑编号11030505：针对该题提问】 解：
例6：求
【答疑编号11030506：针对该题提问】
例7（P144、例7）：求
【答疑编号11030507：针对该题提问】
利用微分计算函数的近似值
求f （x ）在点x=x0附近的近似值；
例8：计算的近似值。
【答疑编号11030508：针对该题提问】
解：
3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到
第四章后面讲。