第1章 函数、极限与连续
极限的概念
【教学目的】：
1. 理解数列极限、函数极限的概念；
2. 理解函数在某点处的左、右极限概念；
3. 掌握判断函数在某一点处的极限是否存在的方法。
【教学重点】：
1. 函数极限的概念；
2. 左右极限的概念；
3. 极限存在的充要条件。
【教学难点】：
1. 分段函数的左右极限；
2. 极限存在的充要条件。
【教学时数】：2学时
【教学过程】：
1.2.1数列的极限
通过引述几个引理，引出数列极限的概念：
定义1 当数列{a n }的项数n 无限增大时，如果a n 无限地趋近于一个确定的常数A ，那么就称A 为这个数列的极限，记作lim a n =A ．读作“当n 趋向于无n →∞
穷大时，a n 的极限等于A ”．符号“→”表示“趋向于”，“∞”表示“无穷大”，“n →∞”表示“n 无限增大”．lim a n =A 有时也记作 n →∞
数列{a n }是发散的． 当n →∞时，a n →A ，（或a n →A (n →∞) ）． 若数列{a n }存在极限，则称数列{a n }是收敛的；若数列{a n }没有极限，则称
1.2.2 函数的极限
1、当x →∞时函数的极限
定义1、2、3
f (x ) =A 的充要条件是定理1 l i m x →∞
x →+∞lim f (x ) =lim f (x ) =A . x →-∞
例5 讨论函数y =e x ，当x →-∞，x →+∞时
f (x ) 的极限.
解 由图1—8可知，lim e x =0，而lim e x 不x →-∞x →+∞
存在，所以当x →∞时，f (x ) 的极限不存在.
2、当x →x 0时，函数f (x ) 的极限
函数极限定义（定义4）
函数左右极限定义（定义5）
定理 2 当x →x 0时函数f (x ) 的极限存在的充要条件是当x →x 0时函数f (x ) 的左、右极限都存在且相等，即
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim =A -+x →x 0x →x 0x →x 0
⎧x -1x
⎪x +1x >0⎩
f (x ) =lim (x -1) =-1，右极限为 解 函数f (x ) 当x →0时的左极限为lim --x →0x →0
x →0+lim f (x ) =lim (x -1) =1. 由于当x →0时，函数f (x ) 的左极限与右极限都存在+x →0
x →0但不相等，所以极限lim f (x ) 不存在.
例11 已知f (x ) =|x |， lim f (x )是否存在？ x →0x
|x |-x =解 当x >0时，f (x ) =|x |=x =1；当x
函数可以分段表示为f (x )=⎨
x →0+x →0-⎧1, x >0, 于是 lim f (x )=1, x →0-1, x
【教学小节】：
通过本节的学习，理解极限的一系列概念，以及极限存在的重要条件。为微分部分极限相关知识的学习，奠定基础。
【课后作业】：
无
第1章 函数、极限与连续
极限的概念
【教学目的】：
1. 理解数列极限、函数极限的概念；
2. 理解函数在某点处的左、右极限概念；
3. 掌握判断函数在某一点处的极限是否存在的方法。
【教学重点】：
1. 函数极限的概念；
2. 左右极限的概念；
3. 极限存在的充要条件。
【教学难点】：
1. 分段函数的左右极限；
2. 极限存在的充要条件。
【教学时数】：2学时
【教学过程】：
1.2.1数列的极限
通过引述几个引理，引出数列极限的概念：
定义1 当数列{a n }的项数n 无限增大时，如果a n 无限地趋近于一个确定的常数A ，那么就称A 为这个数列的极限，记作lim a n =A ．读作“当n 趋向于无n →∞
穷大时，a n 的极限等于A ”．符号“→”表示“趋向于”，“∞”表示“无穷大”，“n →∞”表示“n 无限增大”．lim a n =A 有时也记作 n →∞
数列{a n }是发散的． 当n →∞时，a n →A ，（或a n →A (n →∞) ）． 若数列{a n }存在极限，则称数列{a n }是收敛的；若数列{a n }没有极限，则称
1.2.2 函数的极限
1、当x →∞时函数的极限
定义1、2、3
f (x ) =A 的充要条件是定理1 l i m x →∞
x →+∞lim f (x ) =lim f (x ) =A . x →-∞
例5 讨论函数y =e x ，当x →-∞，x →+∞时
f (x ) 的极限.
解 由图1—8可知，lim e x =0，而lim e x 不x →-∞x →+∞
存在，所以当x →∞时，f (x ) 的极限不存在.
2、当x →x 0时，函数f (x ) 的极限
函数极限定义（定义4）
函数左右极限定义（定义5）
定理 2 当x →x 0时函数f (x ) 的极限存在的充要条件是当x →x 0时函数f (x ) 的左、右极限都存在且相等，即
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim =A -+x →x 0x →x 0x →x 0
⎧x -1x
⎪x +1x >0⎩
f (x ) =lim (x -1) =-1，右极限为 解 函数f (x ) 当x →0时的左极限为lim --x →0x →0
x →0+lim f (x ) =lim (x -1) =1. 由于当x →0时，函数f (x ) 的左极限与右极限都存在+x →0
x →0但不相等，所以极限lim f (x ) 不存在.
例11 已知f (x ) =|x |， lim f (x )是否存在？ x →0x
|x |-x =解 当x >0时，f (x ) =|x |=x =1；当x
函数可以分段表示为f (x )=⎨
x →0+x →0-⎧1, x >0, 于是 lim f (x )=1, x →0-1, x
【教学小节】：
通过本节的学习，理解极限的一系列概念，以及极限存在的重要条件。为微分部分极限相关知识的学习，奠定基础。
【课后作业】：
无