边界层理论

1. 引言

像交织着爱、恨及相互需要的情侣关系一样，科学和技术之间的历史关系也是那样的

令人惊讶和热烈．明显地，我们深深着迷于自亚里士多德、伽利略、牛顿、莱布尼兹一直到

爱因斯坦在研究运动时通过思考获得的惊人科学奇迹，同时从车轮、天文望远镜、航天器到

计算机的成功技术也是那样地引人入胜．超越世俗的孰优孰劣的疑问，科学和技术难道不是

智慧和理性的两张面孔吗？

对于引导我们到达宏观世界知识最外缘的数学模型，物理学家能对此满意吗？显然不，人

们更需要去认识客观事物、去检验理论、去实验、去模拟和去探索，同时人们也需要去寻求、创造和理解．

如今，运动力学（the science of motion-the mechanics-）是建立在数学建模、数值模拟和

实验基础上的，后三者相互支撑并确保其平衡．但是，现今实验的成本、建模的难度、数值

计算强度的增加都破坏了这个漂亮的结构，使之凌乱不堪．由物理学家构建的数学模型和数

学之间的紧密联系要求数学模型的解能够使我们在绝大多数情况下忽略模型的分析而偏重

于它的数值解，但有时这是非常困难的．很显然，力学家虽然没有耐心等待数学家对数学模

型进行慢慢地分析,但是他们却一定准备沿着一条充满了严谨的启发推理的数学之径前

行．自莱布尼兹和十分精确的几何领域中的分析出现后，许多数学工具得到使用．在数学模

型的发展和寻求其解中，数学力量对物理学的进步贡献卓越．间或，一些令人惊讶的成果在

被物理学家普遍称为“近似理论”中取得．

因此，在众多的近似和分析理论中，发散级数被长期使用．数学家对这些级数的情有独钟

绝非毫无根据．从明确定义的函数中计算出的级数的各项一定蕴含了扩展函数的信息．一般

的，发散级数仅仅是渐进级数．和收敛级数不同之处是渐进级数是部分和，而这种部分和是

扩展函数在当某个确定参数很小时的较好的表示．当参数为零时，函数被级数的首项精确表

示．当参数非零但很小时，任意部分和是函数的近似．小参数一般用来表示．在物理学中,

想将一个研究中的数学模型推导成其解是原模型近似解的简化模型，小参数是个决定因素，

除了渐进级数的概念外，这还是个渐进展开的概念，也许在更一般的意义来讲，这也是一

个近似的概念，而近似正是我们思考的核心．像“理论”这个词的含义有多种理解一样，“近

似”一词也有多种解释．即使我们在数理物理学方面自我要求苛刻，但一些歧义依然存在．对

照于由欧几里得规范的严格的推理要求的说法，“近似”一词有两种含义．当一种渐进近似

获得之后，对于数学家而言，依据数学公式让取值足够小，近似的精确度就会非常明确．另

一方面对于物理学家来说，近似就是寻找一个参数特定的值但精确度事前却未知．

本书的主要目的就是通过提出一种连续的完备的扩张方法使得这两种定义一致．而这种

SCEM方法考虑的就是遵循一些严格的数学程序不得不解决的具体问题．而SCEM方法讲

述的正是贯穿本书的主题，被称之为奇异摄动问题．在这些问题中，当0时，解不会

一致趋于让0时的相应的简化方程的解．值得注意的是非一致性是发生在维数小于原始

区域的区域中．这也是这类问题被称为边界层的原因．

当一个参数很小时，近似解的非一致性是个数学问题．但现在幸运的是，我们作为物理

学家能分辨出哪些是已知的物理量，哪些是未知的．这些属于物理问题性质的基础知识能使

我们更好地掌握数学模型．这是个具有特征尺度的无量纲化过程的例子，它能使我们决定

一些特定参数是否取得很小．事实上，正是通过被物理描述提供的多种选择去无量纲化才使

得奇异摄动受到质疑．

在机翼附近的流体只有远离机翼时才是真正意义上的无粘性．然而，对于稳定的不可

压流体，作为控制方程的Navier-Stokes方程，在无量纲的形式中，其物理参数只有雷诺数．现

在，如果远离机翼，特征长度尺度就是雷诺数的倒数，和整体相比是非常小的．忽略了雷诺

数倒数的项，我们得到的欧拉方程好像粘性消失了．

并非流体的粘性系数取了另外的值，而是远离了机翼后速度的梯度足够小，粘性的影响可

以被忽略了．这就意味着特征长度尺度的改变将使我们考虑气流壁附近的粘性影响是必不可

少的．因此，基于后一种的长度尺度上的雷诺数将不再很大．靠近机翼，Navier-Stokes方程

推导成边界层方程，即使这个模型比满足于边界条件的Navier-Stokes模型要简单．

如何用在远离机翼时有效的欧拉方程的解和靠近机翼时有效的边界层方程的解去构造一

种Navier-Stokes方程的一致有效的近似解呢？这是想解决这类特殊问题的关键之所在．即

使研究高雷诺数流体外的其他问题，也是这种主要的思路．如何去寻找一些特征退化的问题

和它们的有效区域，如何将它们联系起来，并最终构造一个初始问题的近似，这些都是统领

全书的议题的关键点．诚然，应用的主要范围是流体动力学，但是2到6章的部分应用更是

广泛且对物理学家来说非常有用，更一般意义上的应用是当我们面对大小参数模型时，我们

能想起奇异摄动问题．

第2章主要介绍这些问题．甚至最为简单的线性震动的例子都能说明方程的无量纲化过程

是能让我们把握数学模型本质的首要关键．在这种框架下，物理学家这种去理解自己研究主

题并建构模型的技能显然是解决问题的最强有力的工具．Friedrich's模型问题的简化使精确

解很直接，并且对于奇异摄动问题来说，它也是刻画其解主要方法的教学案例．事实上，下

一章主要讲两种方法，其中一种是众所周知的匹配渐进展开法，记作MMAE．另外一个方

法鲜有人知，就是SCEM，我们也会明白它将是本书剩下的一个中心．

第3章处理的是边界层的结构．一般地，物理的考察能给出寻找边界层位置的一些必要的

线索．然而，一个简单的问题，一个精确解未知的二阶线性常微分方程，我们能将边界层的

位置作为稳定问题来研究．这里给出了几个例子，是寻找一种解的近似和与之要求相应的边

界层结构的．在所有的例子中，与初始值问题相比，我们最关注的是至少在局部存在定理无

效的边值问题．

在讲述正文时，附录能给予补充．在每章的结尾，复杂的问题都能让读者在相应的章节

里找到结果．

在本书的结尾给出了非常详尽的解．一些问题是真正的研究主题和从未发表的结论导出来

的．

本书是在法国出版的名为《渐进分析和库什极限》的英文版本．两个版本的大多数章节

内容是一样的．其中第9章增补了针对于空气动力学流体的IBL方法的应用，第12章是全

新的，用来处理通道流体．这些增补的内容进一步证明了SCEM的有效性．

我们非常希望能通过这本书给读者提供一些必要的基本原理（包括数学的、实际的，等

等）去理解和应用一些专用于边界层的标准渐进方法．在数理物理学中的许多问题中，这些

方法是清楚理解解的结构的基础，而理解解的结构对于得到适当的数值解是非常关键的．

此外，对于寻找含有边界层问题解的一致有效近似，我们希望SCEM能给予一个新的解释．

在正则形式上，对于这种有效工具，SCEM与MMAE都提供了等效的补充观点．应用这种

广义展开的补充，对现在还是不清楚的交互式边界层，SCEM能给我们带来合理的论证．

如果推广的SCEM能应用于一些未知领域，那么我们将感到非常欣慰，因为我们工作的目

的正是如此．例如，在流体动力学中，不稳定的或者三维的边界层，不稳定性和它们的控制

都是将来研究的重要课题．

2.奇异摄动问题的介绍

物理学中使用的数学模型通常导致一个没有显示解的问题，当小参数出现或当计算区域是

很大时，计算它们的数值解也变得相当困难．在这种情形下，往往通过令参数为零或者将研

究限制在一个较小的区域，就能简化模型，这就是摄动问题．当小参数趋于零，记为0，

可能出现两种情况，一种是原问题的解当0时并不在其定义域内一致地趋向退化问题

（Reduced problem）的解，另一种是在其定义域内一致地趋向退化问题的解．为了解决比

较困难的数学问题，奇异摄动问题产生了．

为了清楚地描述奇异摄动问题，下面我们来考虑一个积分微分算子（integro-differential

operator）L并求方程L[(x,)]0的一个解(x,)，这里x是区域D中的变量，

00，0是一个固定的充分小的正常数．参数是一个无量纲，其蕴含着整个问题都

是用无量纲变量来表示的．设L0[0(x)]0就是所谓的简化问题，先考虑简单问题，假定范数0在研究区域D中很小．用最大模范数，我们有

Max0K(), D

其中K是一个不依赖于的正常数，()是一个正函数且lim()0. 0

如果这种性质满足，这个问题就称之为一个正则摄动问题（见问题2-4）．如果一些问题在

整个区域D中不满足上述性质，并且在比区域D小的一个区域中一个奇点出现，那它就称

为一个奇异摄动问题．

在本章考虑的模型中，是已知的．这些教学问题都是用来描述主要的概念性难点以及

解决这些难点的各种方法．

2.1 正则和奇异问题

2.1.1 线性震荡

线性振子是正则摄动问题的典型例子．为了进一步地研究，我们来考虑下面的方程

d2ydy2y0 (2.1a) Ly2dxdx

且服从于初始条件yx00,dy

dxx01. (2.1b)

函数y(x,)要求x0，并且是一个充分小的正参数．所有量都是无量纲．

当阻尼很小时，这个方程模拟了质点在阻尼弹性运动系统中的运动．这里“小”的含义在下

面的分析中非常重要．下面一个小质量的物理问题是很有趣的．

设y(t,m,,k,I0)是质点离平衡位置的关于时间的位置函数．是弹性常数，是阻尼

系数．如果质点是从具有冲量I0的平衡位置开始运动，那么(2.1a)能记为 

d2ydy

ky0, (2.2a) mdt2dt

且服从于初始条件y

t0dy0,mdtt0I0. (2.2b)

设y和x都是无量纲变量

ty

y，x， TL

其中L和T分别是未被定义的长度和时间尺度．物体运动源自于冲量，因此令T

理的．

有了这些新的变量，(2.2a)就可以写成无量纲形式

2I0d2yI0dyy0, (2.3a) 2mLkdx2mLkdxmL是合I0

且服从于初始条件

yx00,dy

dxx01. (2.3b)

I0I和L0两种mkmk这样两个无量纲组产生了，并且都包含任意的长度L，L可以被L方法定义．物理上，两个系数不是同一数量级的，当研究其中一个的小性时，另一个为(1)

数量级，即可以用渐进分析．下面举两个例子：

I0mI0I02LT 1.如果是弹性阻尼，第一组比第二组要大的多，并且和， kmLkmL2kmk

因此小参数可以定义为

2mk.

只要x有界，下面我们就能看出相应的问题就是典型的正则摄动问题．这还是个小阻尼的

例子．

d2ydyy0.根据Poincaré 方程(2.3a) 化成22，当0时，解的渐进行为可dxdx

以按的幂展开为

y(x,)y0(x)y1(x)y2(x).

对于一个泰勒级数展开，式子中“”意味着省略项要比2小,并且近似性随着越来越

小而越来越好． 2

将展开式代入到初始方程并使得相同幂的系数相等，下面的方程来自于的零次幂系

数和一次幂系数．

d2y0y00 y0 a) dx2x00,dy0

dxx01,

dy1

dxdy0d2y1y2 b) y112dxdxx00,x01.

关于y0的第一个问题是退化问题，能够得出无阻尼解

y0sinx.

关于y1的第二问题能得到一个修正

y1xsinx,

于是，一个近似解为

y(1x)sinx.

可以看出，在有限时间区间0x（其中不依赖于）中近似是一致有效的，修正很

小．如果时间区间很大，近似无效．通过令1就能看出．由于时间区间太大，在展开式

中出现奇点，所以这类问题被称之为“无穷时间”问题．这个专业术语来自于行星运动轨

迹的研究．在小的时间尺度下由摄动方法获得的解是有效的，但是“无穷时间”项如果超过

以一百年为阶的时间尺度，那它将没有什么实际意义．

拿上述的近似解与精确解做比较，我们可以获得启发．由（2.6）给出的近似解正是精确解

y(x,)ex

2sin2x

泰勒级数展开的第一项．

2.第二种情况．质量小，长度和时间尺度是

LI0

mk 和T

小参数是由mk

2定义的，(2.3a) 化成

d2ydyy0，y dx2dxx00,dy

dxx01. （2.7）

这个问题是个典型的奇异摄动问题，这奇异摄动问题恰好就是本书的主题．

2.1.2 无穷时间问题

我们考虑这个方程

Lydyy0, (2.8a) dx

x0 服从初始条件 y1 (2.8b)

我们求它在x0时的解．用如同（2.5）一样的展开，我们找到一个形如

y(x,)y0(x)y1(x)2y2(x)nyn(x)

的y的近似值．

将这个展开式代入（2.8a）并使得相同幂的系数相等，得出下列相继的方程结果：

dy00具有初始条件y0x01. dx

dy 2.1y0具有初始条件y1x01. dx

dy 3.nyn1具有初始条件ynx01. dx 1.

整理关于y0,y1,yn的这些解，得出

nx2

nx(1). （2.9） y(x,)1x2n!2

从精确解

y(x,)ex (2.10)

我们可以看出困难之所在了．当x变得很大时，对于一些项的考察，上面的展开将不再有

效．显著的特点就是当很小和x有界时，无穷级数能收敛到精确解，赋予一些值，则级

数的部分和就是近似解．这时的展开式是一个收敛级数，而其部分和就是渐进展开的最简化

形式．

当x大于原点的邻域时，为了转移奇性我们进行坐标变换

t

1. x1

图2.1 （2.8a）的近似解由（2.9）给出的；y的精确解由（2.10）给出的．

令Y(t,)y(x,)，我们能将（2.8a）写成

LYt2dYY0 （2.11a） dt

t1并服从于条件 Y1. （2.11b）

一个直接的展开

Y(t,)Y0(t)Y1(t)2Y2(t).

导出近似解 Y(t,)1(1)(1

t2111). （2.12） 22t2t

相继的近似在原点附近有越来越多的奇性（图2.2）．通过展开下面的精确解可以看出．

Y(t,)exp[(1)] （2.13）

这个特点在相似的问题中也存在，但我们使用一个特殊的方法可以处理．下面考虑方程

Ly(xy)1tdyy0 yx11. （2.14） dx

我们在区间0x1中求解．

图 2.2 （2.11a）的近似解由（2.12）给出的；Y的精确解由（2.13）给出的．

展开式 y(x,)y0(x)y1(x)导出下列方程 dy0y00 y0x11. dx

dydy2.x1y1y00 y1x10. dxdx

111(12) （2.15）结果y(x,)x2xx1.x

能清楚地看出在原点附近，第二个近似比第一个近似的奇性多（图2.3）．

精确解

y(x,)x

x2

221 （2.16）

在原点是有界的，对于大于0的任意值，

y(0,)2

1，这是一个典型的“无穷时间”问题．

图 2.3 （2.14）的近似解由（2.15）给出的；y的精确解由（2.16）给出的．

2.1.3 奇异问题

奇异问题的原型是由Friedrichs[36]介绍的，用来证明由Prandtl[78]提出的边界层和粘性

流体的一个匹配的．我们考虑下面一个方程 d2ydya0 0a1, （2.17a） Lydx2dx

服从于边界条件yx00,yx11, （2.17b）

我们在区间0x1中求解．这是一个比初始值问题复杂一些的边界值问题，像本章

的其他研究问题一样，它的精确解是已知的．0时，它的退化问题是

L0y0dy0a0， dx

其解由y0axA给出．这里的A是一个常数，由两个边界条件决定．一般地，同时

满足两个边界条件是不可能的．这个特点是某些奇异问题所特有的．当0时，退化问题

的阶要比初始问题的阶要低．

如果边界条件x0是强行赋予的，解则变成y0ax.由于y0(1)a，所以这种近似不

是一致有效的．类似地，如果强行赋给一个边界条件x1，则解变成

y0ax1a, （2.18）

它使得y0(0)1a.边界条件在原点不满足一定表明这是一个非一致收敛区域。

图 2.4 （2.17a,2.17b）的近似解由（2.18）给出的；y的精确解由（2.19）给出的．

（2.17a）的精确解是

x1exp()

y(x,)ax(1a)1exp(). （2.19） 

对于x0,当0，这个好的精确解yax1a能由图2.4给出．这表明退化

问题要在x1时满足边界条件．非一致收敛区域在原点附近是局部的．

如何在不知道精确解的前提下回答这个问题？第一个启示会在下一节出现．

2.2 奇异摄动问题的近似方法

很多方法用来解决奇异摄动问题[6,38,42,43,72,108,112]，我们下面来介绍其中最常见

的一些方法．

2.2.1渐进展开匹配方法，即MMAE，已经成为一些深度数学研究的主要课题，并在物

理上广泛应用．在1950年自Friedrichs提出他的模型后，这种潜在的思想就得以萌发．此

后这些思想蓬勃发展并被运用于粘性流体方程．对于MMAE的发展，Kaplun[45],Lagerstrom

[47,48],Cole[17] 和NanDyke[107] 都贡献良多．在这种方法的基础研究中，最彻底的当

属Eckhaus[33,34]．虽然他们对于MMAE做了有了很多有价值的工作，但将它规范成一种

普遍的数学方法理论还是有点困难．启发式规则很有效，在数学物理问题中，尤其是流体动

力学方面的应用已经取得丰硕的成果．我们重新考虑Friedrichs's的模型（2.17a）,对于除了

在原点的邻域外精确解的考察表明

limy(x,)y0(x)ax1a, 0

而在原点的边值条件为yx00,y0x01a.

接下来的两条建议非常重要．

1.如果极限展开过程中用变量Xx/替换变量x，则得到

limy(x,)Y0(X)(1a)(1e0X).

采用这一步是想考虑指数项．由于X所含的区域比x所含的区域要离原点近，所以能得到一个好的近似．实际上，条件Y0

Y0x1x00能满足．但因为 (1a)(1e1/)，条件在x1时不再满足．结果令人吃惊，但我们一定注意到X属于一个比较大的区域0X1

,并且当X有界时被忽略的项在整个区域将不再被忽略．

2.第二条建议是导出渐进匹配的思想基础．就刚才的讨论，它满足下面异常结果

XlimY0(X)limy0(x)1a. x0

这两条建议是从精确解的行为出发的，假设不知道精确解，我们如何设想一种启发式方法来

构造近似解？

第一步．由退化问题得出

y0axA.

为了确定常数A，可用两个边界条件中的一个，但到底用哪一个是个有待思考的问题．甚至现在也搞不清A由哪个边界条件确定的．这个问题我们会在第三章和第六章中一类微分方程的研究中讨论．对于模拟物理问题的方程，这个问题的回答是由物理现象决定的．例如，在研究粘性流体流经具有高雷诺数的扁平板时，由于在边界墙的非光滑条件不能够使用，所以由NavierStokes方程导出的退化问题形成了欧拉方程．

我们假设这个问题的已经推理解决，且非一致性区域也已知．在Friedrichs's模型的情况下，这就意味着退化问题的解是

y0(x)ax1a.

第二步．边界条件在原点不满足，原因是在第一步中与解相关的区域离原点太远．为了修复靠近原点的解的行为，就要通过引入变量变换

Xx



来扩大原点的的邻域．这里的是一个严格的正常数．于是，当x很小时，X一定保持有界．通过令

X(X,)y(x,),

控制方程（2.17a）能化成

12d2YdYa. 2dXdX

现在，的值需要调整到最佳．如果1或者1，退化问题的结果导致一个解在接近原点时不能重新产生急剧变化．注意第二个导数务必保持，另外的选择是下一个控制项是第一个导数．通过观察，很明显最佳选择是1．

通过令

X1X 和 Y1Y,

方程化为

d2YdYa. 2dXdX

第三步．对于上面的方程，退化问题是

d2Y0dY00. dX2dX

一般解是

Y0(X)ABeX,

这里A和B是两个待定常数．满足原点处的条件很自然，得

Y0(X)A(1eX).

好像第二个在x1处的边界条件也满足．但是由于被X覆盖的区域太大，所以结果是错的．事实上，如同y0(x)在原点附近不是个有效的近似一样，Y0(x)在X无界时也是无效的．尤其是在x1的邻域内．

第四步．为了寻找丢失的条件，我们假设一定存在一个重叠的区域，在这重叠的区域中对于小x的y0的行为等同于对于大X的Y0(X)的行为．这可以表述成是为了寻找具有

Xx/形式的中间区域．当01时，我们得到

y0(x)1aaX1a, Y0(X)A(1e

X/1

)A.

由此可以看到当X固定并且0时，我们得到A1a. 用这种方法，靠近原点的有效近似能通过后来被称为＂中间匹配＂ Y0(X)(1a)(1e

X

)

的匹配技巧找到．

一种更简单直接的方法是取极限．由于极限存在，所谓的渐进匹配准则 limY0(X)limy0(x)

X

x0

能给出相同的A的值．在第5章，能够看到，如果这样的一个准则能够轻易适用，上面的公式是非常直接的．第五步．通过将两个在各自有效区域得到的近似相加并减去相同部分，我们能够实验性地构造一个一致有效的近似，称之为UVA，即 yappy0(x)Y0(X)(1a),

由此得 yappax(1a)(1eX). （2.20）能够检验出yapp在y0(x)和Y0(X)各自的有效区域中退化到y0(x)和Y0(X)．

在图2.5中，我们将精确解和a0.2且0.25时的混合解相比较．由图可以看出即使值不是很小的情况下近似程度也是非常好的．如果更小一些，近似程度更高．事实上，的小性一直是估计的难点．

上述描述的思想是渐进展开匹配法的构造基础．

图2.5．源自（2.17a,2.17b）．混合解yapp是由（2.20）给出的．精确解是由（2.19）给出的． 2.2.2 连续补充展开方法（the successive complementary expansion method）

如今通过假设y0(x)已知来寻找一个一致有效的近似解，我们会用到[26,75]较早提出的一个方法．近似的形式是

ya1y0(x)Y0(X). 对于Friedrichs's方程（2.17a），我们有

d2y0dy01d2Y0dY01d2Y0dY0 Lya1a. 222

dxdxdXdXdXdX

d2y0

因为为零，所以这种情况很特殊．如果设等式的右边为零并且边界条件满足，2

则解为

Y0ABe



X

服从边界条件 Y0(0)a1, 和 Y0()0,



由此得出

e1/eX

, Y(X)(1a)

1e1/

0

再加上y0(x)，精确解就能得到．

因为Y0不仅依赖于X而且还依赖于，所以上述方法不常用．在下一章改良过的渐进方法中，依赖于的方程和不依赖于的方程会被清楚地分离．承认依赖于使我们拥有了一种新的方法，被称为连续补充展开方法，即SCEM．

早期提出的这种方法坚持要求不依赖于Y0，它和相关．因为e一项，从而满足了这种方法的要求．得出 Y0(X)(a1)e



X

1/



很小，我们可以忽略这

如果再加上y0，我们会发现这与前面在渐进展开匹配方法中（2.20）的近似 yappax(1a)(1eX).

相同．

在第5章，我们会发现如果要求不依赖于，那么连续补充展开方法（SCEM）等价渐进展开匹配方法（MMAE）．由于MMAE相对早于SCEM，所以SCEM的早期形式不常用．然而，值得注意的是，渐进展开匹配准则等价于一致有效近似的假设形式． 2.2.3 多尺度方法

根据Mahony[62]，我们会发现这种方法的潜在思想是建立在寻找一致有效近似基础上的．在Friedrichs's模型的例子中，我们知道一个一致有效近似不能由单独的一个变量x描述，另外一个变量X也是必须的．与连续补充展开方法（SCEM）相比较，除了 y(x,)Y(x,X,)和X



（2.21）

中有两个相互独立的变量x和X外，解的结构中没有别的假设．初始方程（2.17a）化为了一个偏微分方程

2YY2YY2Y (2)a. X2XxXxx2

函数Y定义在矩形区域[0x1,0X



]中，确定解的已知边界条件不够．然而，我们

的目标不是寻找精确解而是近似解．我们看下面的一个展开形式 Y(x,X,)Y0(x,X)Y1(x,X)O(2). 两个退化方程的结果

2Y0Y0

0 服从于Y0(0,0)0和Y0(1,)1. 1.

X2X2Y0Y02Y1Y1

a(2). 2.2

XXxXx

第一个方程的一般解为

Y0(x,X)A(x)B(x)eX. 由于给出

A(0)B(0)0, A(1)1.

所以确定函数A(x)和B(x)的边值条件是不够的．然而，第二个方程给出

2Y1Y1dAdBX

ae, 2

XXdxdx

能够导出

Y1(x,X)C(x)D(x)e

X

X(a

dAdBX

)Xe. dxdx

Lighthill's方法中，假设高阶的近e 于是，在2.2.4部分讨论的坐标变换的Poincar

似逼近的奇性不多于一阶的近似逼近(higher approximations shall be no more singular than the first.)看来是合理的．这就意味着

一定有界，且在整个考察区域内不依赖于．于是，我Y0

们有

a

0 dx

0. dx

这个微分方程组在边界条件下解得 A(x)ax1a, B(x)a1.

因此，Y0的解表示为

Y0(x,X)ax(1a)(1eX). 这与由MMAE和SCEM得到的近似一致．

Lighthill's方法 e2.2.4 Poincar

在1892年的一篇论文，这种方法的根源很古老，但应用很有限，可追溯至Poincare

他为Lighthill提供了基本思想．后来，Lighthill在1949年介绍了这种方法的一个更一般的版本，接着Kuo发表了两篇论文，将这种方法应用于粘性流体问题中．后来的Tsien在一篇1956年的评论中称这个方法为PLK方法．盎格鲁-撒克逊的作者喜欢叫它Lighthill's方

这位伟大的数学家和Lighthill这位流动力学家的法和坐标变换方法．这里为了向Poincare

贡献致敬，我们称它为PL方法．

我们考虑已经谈过的（2.14）

Ly(xy)

y0 yx11. （2.22） dx

我们寻找它在区域0x1的解．

精确解在直线2xy（图2.6）上有奇性．并且当很小时寻找近似解将会将奇性转移到x0上．如果不改善这种状况，相继的近似会有越来越多的奇性．这个想法说明了由直接展开的近似有好的形式，但是展开的位置不恰当．于是，y与x的展开不仅要和有关，并且还要与替换x的s相关．在某种意义上说，变量x做了个形如下面的微小变换

y(x,)y0(s)y1(s)y2(s), （2.23a） x(s,)sx1(s)x2(s). （2.23b）代入初始方程并使相同幂的系数相等，我们得到下面两个方程

dy0

y00 y0s1a, ds

dydydx

s1y10(x1y0s1).

dsdsds

第一个方程的解为

图2.6. 源自（2.22）．精确解y由（2.16）给出.

, s

这与在直接展开式中将s替换成x得到的解是一样的．

y0(s) 第二个方程，写成

d11dx(sy1)2(x1s1), dsssds

A11

2[x1(s)], 这里A是一个任意常数． ss2s

它有一个由下式给出的一般解． y1(s)

由Lighthill构想的基本原则可以阐述为高阶的近似逼近的奇性不多于一阶的近似逼近．

未知的函数x1(s)由下式确定

x1(s)1

2B(s), s2s

这里的B(s)是s的有界函数.于是二阶的解得出 y1(s)

AB(s)

. ss

这个方法的特点是x1(s)是不完全确定的．任意一个s的正则函数都能当做B．因此，

x1(s)在x1不是零很有用．此外，B若令为常数，简化是一个好的想法．导出的解为

y(x,)

, s

(s). 2s

在这种模型问题中，如果s能被消掉，那么精确解就能找到．

x(s,)s

注意：PL方法不能应用于Friedrichs's模型，但是MMAE可以． 2.2.5重整化群方法



重整化群方法特别应用于震荡问题，此外，也能用于边界层和无穷时间问题．一般的思想是给整合常数（integration constant）一定的自由度去消除更进一步的奇性或者加速渐进展开的收敛．重整化群方法无疑是很基本的，但是运用起来却很精巧，所以没有给出更详尽的解释．

它能够描述最简单的无穷时间问题

Ly

y0. （2.24） dt

的应用．

当t很大时，明确解包含了一个到二阶的奇点．到二阶的“简单的”渐进展开是 y(t,)A0[1(tt0)],

这里的A0和t0是两个整合常数，它们是由不确定的初始条件所决定的．很明显，当t很大时，这个展开不是一致有效的．考虑到展开的阶数，我们令

A0[1a1(t0,)]A(). (2.25)

这里的是任意时间，A是A0的重整化部分，a1是一个未知函数．针对考虑的阶数，有 yA()[1a1(t0,)(t)(t0)]. 通过令a1t0，由于t0,发散部分能被消掉，我们有 yA()[1(t)].

除了是任意的，这种形式和“简单的”展开式相同．对任意的时间t，重整的标准由

y

0 

给出．则关于A的微分方程是得到的解为 yA1e



A0, d

[1(t)],

这里的A为常数．

令t,一个我们希望得到的阶数的一致有效近似就能得到 y(t,)A1e

t

.

这个近似无异于精确解，但模型非常简单． 2.3 总结

奇异摄动问题是在物理中经常遇到的问题，我们有很多渐进方法解决它．在这些众多方法中有一种共同的思想，就是要纠正和避免最初逼近的非一致有效的特征．渐进展开匹配方法，MMAE,就是延承这个逻辑．渐进展开匹配方法（MMAE）包括了很多在不同有效区域寻找

近似的方法，这些近似被匹配成能够使得其解达到一致有效．

下一章我们讲解连续补充展开方法（SCEM）的构建和应用．在正则形式上，如果不要求有精巧的匹配准则的概念，SCEM和MMAE导出的结果会相同．对于非正则形式，运用SCEM会方便许多．问题

2-1. 考虑方程

xx10. 当很小时，按下列步骤可得到解．

1.给一个精确解，并在0附近按泰勒级数展开至阶．

2.通过将解写成

xx，得到一个解的迭代．迭代过程为 xnxn1.

初值x0是令0时退化方程的解．通过改良每一步的近似，由泰勒级数展开的部分和我们能得到一个解的展开． 3.解的展开形式为

xx0x12x2, 给出x0,x1,x2的值． 4.我们令

xx01()x12()x2, 这里的1,2要使2-2 考虑方程

xx10.

按下面的步骤，当是个小参数时，方程的根可以得到． 1.当0时，给出精确解并展开． 2.我们想通过迭代来确定根．令0得到的退化方程有唯一的根x1．另外一个根丢失．我们面对的问题有奇性．这儿有两个迭代过程，其一由 xn1xn1, 给出．另外一个由 xn

2

0并且当0时，10．当然在取1,2时，要尽可能的简单． 1





1, xn1

给出，它们能让我们找到先前问题的结果． 3.我们假设根能展成

(1)(1)(1)

x(1)x0x12x2,

(2)

x1

(2)





(2)

x0x1(2).

给出这些展开的系数．

2-3.考虑下面的特征值问题

d2f

2f(x)0,0,x, 2

服从边值条件

f()0,f()0.

1.确定精确解．特别地，给出一组特征值，并且给出展到阶的展开式． 2.为了说明摄动方法的用途，我们设 f01,01.

表示边界条件．对于在x处的条件，用将在x处的条件转移到x0处的方法我们能得到0、1在x0附近的展开．确定0,1,0,1，与精确解相比较．

2-4. 这个问题由Van Dyke[108]提出．考虑一种两维的、不可压的，非粘性流体．连续方程

uv0 xy

能让我们引出一个流函数，并使得 u

,v. yx

有了流函数，连续方程能自动满足．此外，如果流体是稳态的、非粘性的，那么速度的旋度

沿着流线是个常数．因此，如果自由流（在上游区是无限大at upstream infinity）是无旋的，则流体处处无旋．有了这些条件，流函数满足方程 0. 由于变量使得

dudyvdx. 所以，流线由cst确定．

如果一个圆柱体放在均匀、非粘性的流体中，上面的条件都能满足．在极坐标中，流函数由

U(r)sin

给出．这儿的r0是圆心，a是半径．自由流速度的模是U，且方向角0．

图2.7 在均匀流体中的轻微变形的圆柱体．

我们已经对轻微变形圆柱体周围的流体做了研究，主要部分的方程是 ra(1sin我们可以用一种正则性展开

(r,,)0(r,)1(r,) 来处理这类问题．

1.写出0和1的方程．给出边界条件．我们知道由于有了非粘性流体这个假设，速度与物体墙相切．墙是一个由0定义的流线．

2.给出1的表达式，由此我们知道具有恰当的对称条件的方程0的一般解是

).

br

sinn,

这里的n是一个整数，正的或者负的．我们记得 sin

(3sinsin3). 4

3.给出墙速度展到的表达式．

2-5. 这个问题由Van Dyke[108]提出．考虑一种两维的、不可压的，稳态的、非粘性流体．我们研究过一个半径为a的圆柱体周围的流体．经过修剪的自由流为

y

UU(12).



uu

旋度沿着流线是一个常数．于是，仅仅是的函数．关于的方

yx



程是

,



1y

这里在ra处0，并且当r时，U(y2).

1.利用U与a无量纲化这个问题．这里的无量纲的量都不用“”表示．首先，是的函数形式，利用摄动方法，得

223.

因此，在上行无限时（at upstream infinity）,y()的关系将由迭代 ynn1 来确定．

2.利用下面的展开

01, 能得到解．

写出0和1的方程和边界条件．给出0和1的解．1的解为

1r3sin3r(lnr)(sin)

131111sinsin3. 4r12r3

我们记得一个极坐标的拉普拉斯展开式是

2f1f12f. f

r2rrr22

讨论这个结果，特别是当r时．

3.边界层结构

本章讨论的奇异摄动问题是建立在具有变系数的二阶线性微分方程基础上的．我们对边界层问题感兴趣不仅仅是因为这类问题的局部存在定理不存在，还因为处理这类问题要比处理初始值问题困难的多．另外，解析解也不知道．如果适定性物理问题在对非一致区域的局部化比较简单，就不是我们所说的情形，这种问题只是一个单纯的数学问题．对这类问题的抽象表述不能让我们先验地确定边界层的局部化．（a priori）本章描述的局部化边界层的方法不仅是标准的，并且对于更复杂的问题也能起到指导作用．

3.1 考察二阶微分方程

为了阐述奇异摄动的边界层局部化问题，我们选择了二阶微分方程，并在方程中的二阶偏导数前乘以小参数．被选择的方程不特指任何物理问题，只是奇异摄动问题的一个模型方程，此方程用来展示边界层结构．方程的一般形式是

d2ydy

Lya(x)b(x)y0, （3.1a） 2

dxdx

服从边界条件 y

x0

,yx1. （3.1b）

函数y(x,)定义在x[0,1]上，且是一个小的正参数．所有的量都是无量纲的．下面，我们要寻找一个近似解．a(x)和b(x)是定义在[0,1]上的连续函数．必要时，我们将给出附加的假设．我们并不想考察问题的所有特点，而是想要考虑一些情形，这些情形足够

能给处理其他情形以有用的基本思想．如果将直接展开到一阶作为近似解，我们有 y(x,)y0(x)，将上式代入（3.1a），退化问题化为 a(x)其解为

y0(x)Cexp[

dy0

b(x)y00. (3.2) dx



b()

] ，（3.3） a()

其中常数C还未确定．第一个附加假设与上面的积分存在有关．如果在一些特定的点，上面积分发散，这说明局部奇异性存在．我们假设对于任意的x，上面积分都存在．特别的，

exp[是一个有界常数．

除非，两边界条件（3.1b）不能同时满足．为了陈述简洁，我们不考虑这种情况．这样，我们就期望存在一个函数y快速变化的区域，这个区域就是所谓的内部区域，这里用D表示，但是其局部化未知．我们假设这个区域位于x0的某个邻域，其中x0[0,1]．

b()

0a()] （3.4）

图3.1. 解的可能结构

根据图3.1，我们能区分三个区域

区域1：x[0,x0]．这个区域被称为外部区域．解为 y(x)exp[

(1)0



b()

]. a()

区域3：x[x0,1]．这个区域也被称为外部区域．解为 y0(x)exp[

(3)



b()

d]. a()

区域2：xD．当很小时D也非常小，并且在这个区域解有着快速的变化．一个边界层形式．

为了考察这个边界层，我们首先要定义变量，使之适合所考察的区域D．适合的变量称为内部变量．我们设 X

xx0

, （3.5） ()

这里的()是个严格的正函数，然而是不确定的，当0时也趋于0．这个函数是内部区域的长度尺度．函数()被称为是阶函数的一类函数，阶函数的性质我们在4.1部分做了介绍．于是，解为

y(x,)Y(X,). 方程（3.1a）化成

d2Y1dY

2a(xX)b(x0X)Y0. 0

dX2dX

我们假设这里的a和b都是连续的可微函数且a(x0)0．两边同乘以，得

d2YdY2

a(x)O()0. （3.6） 02

dXdX

O() 的含义在4.1.4中已经给出．显然，在D中，它表示的同阶无穷小．支配项是前面的两项，因此边界层区域的放大是通过令调节来得到的．

通过令 X

xx0



和y(x,)Y0(X),

我们得到内部方程为

d2Y0dY0

a(x)0. 0

dX2dX

解为

Y0(X)Cexp[a(x0)X]D,

这里C和D是两个常数，但未定．我们要通过2.2.1部分中所阐述的渐进匹配来确定C和D．

我们有

当xx0时

limY0limy0(x)exp[

X

xx0

(3)



b()

], （3.7） a()

当xx0时

limY0limy(x)exp[

X

xx0

(1)0



b()

]. （3.8） a()

当X时，条件显示Y0有两个极限，这是不可能的．解是由a(x0)的符号来决定的． 当a(x0)0时，因为当X时Y0无界，所以仅仅当X的极限有意义．结果表明xx0．

当a(x0)0时，仅当X的极限有效．结果表明xx0．图3.2概括了几种可能情形：

情形1. 如果a(x)0，边界层将在x0的某个邻域产生．

情形2. 如果a(x)0，边界层将在x1的某个邻域产生．

情形3. 如果当xx0时a(x)0，并且当xx0时a(x)0，则这里有两个边界层，一个在x0的某个邻域产生，一个在x1的某个邻域产生．

情形4. 如果当xx0时a(x)0，并且当xx0时a(x)0，边界层就在xx0的某个邻域产生．一个内部边界层产生并且外部解在x0处不连续．

在第四种情形中，因为已经假设a(x0)0，所以重新分析很有必要．此外，这里对

a的限制已经足够，并且考察a有几个零点的情形是不必要的．事实上，如果用这种方法确

定了解，在解的性质方面就能给出了在更一般情形下的边界层局部化所需的信息．图3.3清楚地表明两个边界层都是在端点区域内的并且有两个内部边界层产生．

图3.2 根据a(x)的符号来进行边界层局部化．圆圈表示边界层产生的点．

图3.3 当a(x)有几个零点时的边界层的局部化．圆圈表示边界层产生的点． 3.2 每种情形的分析情形1：a(x)0.

边界层如果位于的某个邻域，区域1消失，只剩下区域2和区域3.我们现在有 对于外部区域

y0(x)y0(x)exp[

(3)



b()

]. （3.9） a()

对于内部区域

Y0(X)(D)exp[a(0)X]D. （3.10）在上面方程中，我们有

X



外部近似y0(x)满足y0(1)，而内部近似Y0(X)满足原点的条件Y0(0)．未知的常数D是由下面的渐进匹配条件确定的．

limY0(X)Dlimy0(x)

X

x

. 

由上式还能得到

Y0(X)(于是我们能构造一个一致有效近似

ya(x,X)y0(x)Y0(X)接着我们推出

ya(x,X)(

xb()

)exp[a(0)X]exp[d].

1a()



)exp[a(0)X]. 



. 

上面，我们假设a(x)0．指定a(x)x，来考察一种x0时a(x)0并且a(0)0 的简化情形，这里p是一个正实数．用由（3.5） X给出的变换，（3.6）化为

()

d2Y1ppdYXO(2)0. 2dXdX

1/(1p)

这里，我们假设0p1．显然，边界层厚度就是()，则边界层变量就为

X内部函数化为

1/(1p)

d2Y0pdY0

X0. 2

dXdX

满足在原点条件的解可由下式

Y0(X)CG(X) 给出．由

G(X) 我们知渐进匹配条件为



exp(

1p

1p

)d,

limY0(X)CG()limy0(x)

X

x0

, 

于是导出的近似为

Y0(X)(并能得到一致有效近似为

xb()G(X)

ya(x,X)()[1]exp[d].

1a()G()

G(X)

), G()

情形3：当xx0时a(x)0，当xx0时a(x)0.

图3.4显示了解的行为．这里有两个内部区域D和D和一个外部区域D（见问题3-2,3-3）．这里的两个边界层是由两个内部变量 X描述的．

在外部区域D(2)，根据（3.2）和（3.3），解可以写成 y0(x)Cexp[这里C是常数，但未定．方程（3.2）在xx0点为 a(x0)

(1)

(3)

(2)



和X



x1





b()

d], a()

dy0

b(x0)y00 dx

表明如果y0的偏导数在x0有界，并且b(x0)0，那么我们有y0(x0)0，这隐含 C0和y0(x)0.

图3.4 情形3中解的形状在内部区域D(1)，内部方程为

d2Y0(1)dY0(1)

a(0)0, 2

dXdX

其解为

Y0(1)(X)C1exp[a(0)X]D1.

其中的常数C1和D1是由下面的在原点的条件和渐进匹配准则确定的． C1D1 和 D1limY0

X

(1)

limy00.

x0

这能导出

Y0(1)(X)exp[a(0)X]. 对于内部区域D的内部方程是其解为

Y0(3)(X)C3exp[a(1)X]D3.

其中的常数C3和D3是由下面的在x1的条件和渐进匹配条件确定的．

(3)

d2Y0(3)dX

dY0(3)

a(1)0,

dX

Y0 C3D3 和 D3lim

X

(3)

limy00.

x1

这能导出

(3)

exp[a(1)X].

最后，我们得到的一致有效近似为

ya(x,X)exp[a(0)X]exp[a(1)X]. 情形4：当xx0时a(x)0，当xx0时a(x)0.



图3.5显示了解的行为．这里有两个外部区域D(1)和D(3)（见问题3-1）和一个内部区域

D．这里的两个边界层是由内部变量

X

xx0

()

描述的．这里的()是阶函数．为了确定()，我们假设a(x)在xx0的邻域的结构是是由

a(x)xx0Ksgn(xx0)xx0，0p1.

图3.5 情形4中解的形状

1/(1p)

情况和a(x)x时的情形1相同．边界层的厚度为()

，且内部方程为

d2Y0dY0p2

Kxsgn(X)0, 2

dXdX

一般解为

Y0C1sgnX



exp(K

1p

1p

)dC2,

其中的常数C1和C2是由具有外部近似的渐进匹配条件确定的．这里有两个外部区域D

(1)0

(1)

和D

(3)

，特别地，外部近似为

y(x)exp[



b()

d], a()b()

]. a()

y0(x)exp[渐进匹配得出

(3)



xx0

(1)

limy0(x)exp[



b()

]a()

limY0(X)C1exp(K2

X



1p

)dC2,

并且

(3)

limy0(x)exp[

xx0

b()

] （3.11） a()

limY0(X)C1

X



exp(K

1p

1p

)dC2. （3.12）

上述两个方程可以确定常数C1和C2．

3.3 总结

在这一章，我们通过考察一个二阶微分方程的解来探讨奇异摄动问题．奇异性的引入是通过将一个小参数乘以二阶偏导数得到的．然而，在处理常微分方程时，不能因为在高阶导数前面存在一个小参数我们就断言奇异摄动问题就是当然的，而其他的情况也能遇到．这一章实质上是用类似于稳定分析的方法来局部化边界层．用纯数学的讨论，没有物理的考虑作为指导，也有可能导出边界层的局部化．对于更复杂的问题，包括偏微分方程，这都是很有帮助的．在实际问题中，方程要模拟一个物理现象．用这个问题丰富的知识去局部化边界层，可以加入物理方面的探讨，甚至取代数学方面的讨论都是可以的．

因为有前面介绍过的一些限制条件，本章中关于二阶微分方程的讨论是不全面的．此外，没有更精细的渐进方法，匹配准则只是以一种简单的方式应用，这不能使我们走得更远．所需的渐进逼近我们将在下一章讨论．所有的极限都有一个意义，就是区别于常规情形．（All the limits should have a sense which is far from being always the case.）微分方程也将会重新做为我们学习的例子，但这些例子的分析不再像本章这么简单．此外，这些微分方程也能用来改善近似．问题

3-1．我们来考察一个y(x,)的渐进近似

d2ydy

2(x1)2(x1)y0, Ly2dxdx

这里0x2，且y(0,)1,

y(2,)0.

1.确定外部区域和相应的近似y0(x).

2.求出内部区域的厚度()，确定相应近似Y0(X)的一般形式，这里的X(xx0)/和

x0一定要确定．

3.应用匹配准则，描绘出解的行为．我们记得





esds

4.我们能给出y(x,)在区域0x2一的致有效近似吗？

3-2考虑下面的问题

d2ydy

(1x)y0,

dx2dx

且 y(0,)1，y(1,)1. 1.给出边界层外部的一般解y0(x)．

2.假设1．求出y0(x)，边界层解 Y0(X)和一致有效近似yapp，这里Xx/． 3.假设1．求出y0(x)， Y0(X)、Y0(X)和yapp，这里Xx/． 3-3考虑下面的问题

d2ydy

(1x)y0, 0x1， dx2dx

且 y(0,)1，y(1,)1.

核查下面的精确解 ye

[ABetdt],

这里X

1x

. 2 确定A和B．

在x0和x1的邻域分别有一个边界层．给出每个边界层适当的变量．我们知，当z时，



z/2

etdt1

211

ez/2[3].

1. 引言

像交织着爱、恨及相互需要的情侣关系一样，科学和技术之间的历史关系也是那样的

令人惊讶和热烈．明显地，我们深深着迷于自亚里士多德、伽利略、牛顿、莱布尼兹一直到

爱因斯坦在研究运动时通过思考获得的惊人科学奇迹，同时从车轮、天文望远镜、航天器到

计算机的成功技术也是那样地引人入胜．超越世俗的孰优孰劣的疑问，科学和技术难道不是

智慧和理性的两张面孔吗？

对于引导我们到达宏观世界知识最外缘的数学模型，物理学家能对此满意吗？显然不，人

们更需要去认识客观事物、去检验理论、去实验、去模拟和去探索，同时人们也需要去寻求、创造和理解．

如今，运动力学（the science of motion-the mechanics-）是建立在数学建模、数值模拟和

实验基础上的，后三者相互支撑并确保其平衡．但是，现今实验的成本、建模的难度、数值

计算强度的增加都破坏了这个漂亮的结构，使之凌乱不堪．由物理学家构建的数学模型和数

学之间的紧密联系要求数学模型的解能够使我们在绝大多数情况下忽略模型的分析而偏重

于它的数值解，但有时这是非常困难的．很显然，力学家虽然没有耐心等待数学家对数学模

型进行慢慢地分析,但是他们却一定准备沿着一条充满了严谨的启发推理的数学之径前

行．自莱布尼兹和十分精确的几何领域中的分析出现后，许多数学工具得到使用．在数学模

型的发展和寻求其解中，数学力量对物理学的进步贡献卓越．间或，一些令人惊讶的成果在

被物理学家普遍称为“近似理论”中取得．

因此，在众多的近似和分析理论中，发散级数被长期使用．数学家对这些级数的情有独钟

绝非毫无根据．从明确定义的函数中计算出的级数的各项一定蕴含了扩展函数的信息．一般

的，发散级数仅仅是渐进级数．和收敛级数不同之处是渐进级数是部分和，而这种部分和是

扩展函数在当某个确定参数很小时的较好的表示．当参数为零时，函数被级数的首项精确表

示．当参数非零但很小时，任意部分和是函数的近似．小参数一般用来表示．在物理学中,

想将一个研究中的数学模型推导成其解是原模型近似解的简化模型，小参数是个决定因素，

除了渐进级数的概念外，这还是个渐进展开的概念，也许在更一般的意义来讲，这也是一

个近似的概念，而近似正是我们思考的核心．像“理论”这个词的含义有多种理解一样，“近

似”一词也有多种解释．即使我们在数理物理学方面自我要求苛刻，但一些歧义依然存在．对

照于由欧几里得规范的严格的推理要求的说法，“近似”一词有两种含义．当一种渐进近似

获得之后，对于数学家而言，依据数学公式让取值足够小，近似的精确度就会非常明确．另

一方面对于物理学家来说，近似就是寻找一个参数特定的值但精确度事前却未知．

本书的主要目的就是通过提出一种连续的完备的扩张方法使得这两种定义一致．而这种

SCEM方法考虑的就是遵循一些严格的数学程序不得不解决的具体问题．而SCEM方法讲

述的正是贯穿本书的主题，被称之为奇异摄动问题．在这些问题中，当0时，解不会

一致趋于让0时的相应的简化方程的解．值得注意的是非一致性是发生在维数小于原始

区域的区域中．这也是这类问题被称为边界层的原因．

当一个参数很小时，近似解的非一致性是个数学问题．但现在幸运的是，我们作为物理

学家能分辨出哪些是已知的物理量，哪些是未知的．这些属于物理问题性质的基础知识能使

我们更好地掌握数学模型．这是个具有特征尺度的无量纲化过程的例子，它能使我们决定

一些特定参数是否取得很小．事实上，正是通过被物理描述提供的多种选择去无量纲化才使

得奇异摄动受到质疑．

在机翼附近的流体只有远离机翼时才是真正意义上的无粘性．然而，对于稳定的不可

压流体，作为控制方程的Navier-Stokes方程，在无量纲的形式中，其物理参数只有雷诺数．现

在，如果远离机翼，特征长度尺度就是雷诺数的倒数，和整体相比是非常小的．忽略了雷诺

数倒数的项，我们得到的欧拉方程好像粘性消失了．

并非流体的粘性系数取了另外的值，而是远离了机翼后速度的梯度足够小，粘性的影响可

以被忽略了．这就意味着特征长度尺度的改变将使我们考虑气流壁附近的粘性影响是必不可

少的．因此，基于后一种的长度尺度上的雷诺数将不再很大．靠近机翼，Navier-Stokes方程

推导成边界层方程，即使这个模型比满足于边界条件的Navier-Stokes模型要简单．

如何用在远离机翼时有效的欧拉方程的解和靠近机翼时有效的边界层方程的解去构造一

种Navier-Stokes方程的一致有效的近似解呢？这是想解决这类特殊问题的关键之所在．即

使研究高雷诺数流体外的其他问题，也是这种主要的思路．如何去寻找一些特征退化的问题

和它们的有效区域，如何将它们联系起来，并最终构造一个初始问题的近似，这些都是统领

全书的议题的关键点．诚然，应用的主要范围是流体动力学，但是2到6章的部分应用更是

广泛且对物理学家来说非常有用，更一般意义上的应用是当我们面对大小参数模型时，我们

能想起奇异摄动问题．

第2章主要介绍这些问题．甚至最为简单的线性震动的例子都能说明方程的无量纲化过程

是能让我们把握数学模型本质的首要关键．在这种框架下，物理学家这种去理解自己研究主

题并建构模型的技能显然是解决问题的最强有力的工具．Friedrich's模型问题的简化使精确

解很直接，并且对于奇异摄动问题来说，它也是刻画其解主要方法的教学案例．事实上，下

一章主要讲两种方法，其中一种是众所周知的匹配渐进展开法，记作MMAE．另外一个方

法鲜有人知，就是SCEM，我们也会明白它将是本书剩下的一个中心．

第3章处理的是边界层的结构．一般地，物理的考察能给出寻找边界层位置的一些必要的

线索．然而，一个简单的问题，一个精确解未知的二阶线性常微分方程，我们能将边界层的

位置作为稳定问题来研究．这里给出了几个例子，是寻找一种解的近似和与之要求相应的边

界层结构的．在所有的例子中，与初始值问题相比，我们最关注的是至少在局部存在定理无

效的边值问题．

在讲述正文时，附录能给予补充．在每章的结尾，复杂的问题都能让读者在相应的章节

里找到结果．

在本书的结尾给出了非常详尽的解．一些问题是真正的研究主题和从未发表的结论导出来

的．

本书是在法国出版的名为《渐进分析和库什极限》的英文版本．两个版本的大多数章节

内容是一样的．其中第9章增补了针对于空气动力学流体的IBL方法的应用，第12章是全

新的，用来处理通道流体．这些增补的内容进一步证明了SCEM的有效性．

我们非常希望能通过这本书给读者提供一些必要的基本原理（包括数学的、实际的，等

等）去理解和应用一些专用于边界层的标准渐进方法．在数理物理学中的许多问题中，这些

方法是清楚理解解的结构的基础，而理解解的结构对于得到适当的数值解是非常关键的．

此外，对于寻找含有边界层问题解的一致有效近似，我们希望SCEM能给予一个新的解释．

在正则形式上，对于这种有效工具，SCEM与MMAE都提供了等效的补充观点．应用这种

广义展开的补充，对现在还是不清楚的交互式边界层，SCEM能给我们带来合理的论证．

如果推广的SCEM能应用于一些未知领域，那么我们将感到非常欣慰，因为我们工作的目

的正是如此．例如，在流体动力学中，不稳定的或者三维的边界层，不稳定性和它们的控制

都是将来研究的重要课题．

2.奇异摄动问题的介绍

物理学中使用的数学模型通常导致一个没有显示解的问题，当小参数出现或当计算区域是

很大时，计算它们的数值解也变得相当困难．在这种情形下，往往通过令参数为零或者将研

究限制在一个较小的区域，就能简化模型，这就是摄动问题．当小参数趋于零，记为0，

可能出现两种情况，一种是原问题的解当0时并不在其定义域内一致地趋向退化问题

（Reduced problem）的解，另一种是在其定义域内一致地趋向退化问题的解．为了解决比

较困难的数学问题，奇异摄动问题产生了．

为了清楚地描述奇异摄动问题，下面我们来考虑一个积分微分算子（integro-differential

operator）L并求方程L[(x,)]0的一个解(x,)，这里x是区域D中的变量，

00，0是一个固定的充分小的正常数．参数是一个无量纲，其蕴含着整个问题都

是用无量纲变量来表示的．设L0[0(x)]0就是所谓的简化问题，先考虑简单问题，假定范数0在研究区域D中很小．用最大模范数，我们有

Max0K(), D

其中K是一个不依赖于的正常数，()是一个正函数且lim()0. 0

如果这种性质满足，这个问题就称之为一个正则摄动问题（见问题2-4）．如果一些问题在

整个区域D中不满足上述性质，并且在比区域D小的一个区域中一个奇点出现，那它就称

为一个奇异摄动问题．

在本章考虑的模型中，是已知的．这些教学问题都是用来描述主要的概念性难点以及

解决这些难点的各种方法．

2.1 正则和奇异问题

2.1.1 线性震荡

线性振子是正则摄动问题的典型例子．为了进一步地研究，我们来考虑下面的方程

d2ydy2y0 (2.1a) Ly2dxdx

且服从于初始条件yx00,dy

dxx01. (2.1b)

函数y(x,)要求x0，并且是一个充分小的正参数．所有量都是无量纲．

当阻尼很小时，这个方程模拟了质点在阻尼弹性运动系统中的运动．这里“小”的含义在下

面的分析中非常重要．下面一个小质量的物理问题是很有趣的．

设y(t,m,,k,I0)是质点离平衡位置的关于时间的位置函数．是弹性常数，是阻尼

系数．如果质点是从具有冲量I0的平衡位置开始运动，那么(2.1a)能记为 

d2ydy

ky0, (2.2a) mdt2dt

且服从于初始条件y

t0dy0,mdtt0I0. (2.2b)

设y和x都是无量纲变量

ty

y，x， TL

其中L和T分别是未被定义的长度和时间尺度．物体运动源自于冲量，因此令T

理的．

有了这些新的变量，(2.2a)就可以写成无量纲形式

2I0d2yI0dyy0, (2.3a) 2mLkdx2mLkdxmL是合I0

且服从于初始条件

yx00,dy

dxx01. (2.3b)

数量级，即可以用渐进分析．下面举两个例子：

I0mI0I02LT 1.如果是弹性阻尼，第一组比第二组要大的多，并且和， kmLkmL2kmk

因此小参数可以定义为

2mk.

只要x有界，下面我们就能看出相应的问题就是典型的正则摄动问题．这还是个小阻尼的

例子．

d2ydyy0.根据Poincaré 方程(2.3a) 化成22，当0时，解的渐进行为可dxdx

以按的幂展开为

y(x,)y0(x)y1(x)y2(x).

对于一个泰勒级数展开，式子中“”意味着省略项要比2小,并且近似性随着越来越

小而越来越好． 2

将展开式代入到初始方程并使得相同幂的系数相等，下面的方程来自于的零次幂系

数和一次幂系数．

d2y0y00 y0 a) dx2x00,dy0

dxx01,

dy1

dxdy0d2y1y2 b) y112dxdxx00,x01.

关于y0的第一个问题是退化问题，能够得出无阻尼解

y0sinx.

关于y1的第二问题能得到一个修正

y1xsinx,

于是，一个近似解为

y(1x)sinx.

可以看出，在有限时间区间0x（其中不依赖于）中近似是一致有效的，修正很

小．如果时间区间很大，近似无效．通过令1就能看出．由于时间区间太大，在展开式

中出现奇点，所以这类问题被称之为“无穷时间”问题．这个专业术语来自于行星运动轨

迹的研究．在小的时间尺度下由摄动方法获得的解是有效的，但是“无穷时间”项如果超过

以一百年为阶的时间尺度，那它将没有什么实际意义．

拿上述的近似解与精确解做比较，我们可以获得启发．由（2.6）给出的近似解正是精确解

y(x,)ex

2sin2x

泰勒级数展开的第一项．

2.第二种情况．质量小，长度和时间尺度是

LI0

mk 和T

小参数是由mk

2定义的，(2.3a) 化成

d2ydyy0，y dx2dxx00,dy

dxx01. （2.7）

这个问题是个典型的奇异摄动问题，这奇异摄动问题恰好就是本书的主题．

2.1.2 无穷时间问题

我们考虑这个方程

Lydyy0, (2.8a) dx

x0 服从初始条件 y1 (2.8b)

我们求它在x0时的解．用如同（2.5）一样的展开，我们找到一个形如

y(x,)y0(x)y1(x)2y2(x)nyn(x)

的y的近似值．

将这个展开式代入（2.8a）并使得相同幂的系数相等，得出下列相继的方程结果：

dy00具有初始条件y0x01. dx

dy 2.1y0具有初始条件y1x01. dx

dy 3.nyn1具有初始条件ynx01. dx 1.

整理关于y0,y1,yn的这些解，得出

nx2

nx(1). （2.9） y(x,)1x2n!2

从精确解

y(x,)ex (2.10)

我们可以看出困难之所在了．当x变得很大时，对于一些项的考察，上面的展开将不再有

效．显著的特点就是当很小和x有界时，无穷级数能收敛到精确解，赋予一些值，则级

数的部分和就是近似解．这时的展开式是一个收敛级数，而其部分和就是渐进展开的最简化

形式．

当x大于原点的邻域时，为了转移奇性我们进行坐标变换

t

1. x1

图2.1 （2.8a）的近似解由（2.9）给出的；y的精确解由（2.10）给出的．

令Y(t,)y(x,)，我们能将（2.8a）写成

LYt2dYY0 （2.11a） dt

t1并服从于条件 Y1. （2.11b）

一个直接的展开

Y(t,)Y0(t)Y1(t)2Y2(t).

导出近似解 Y(t,)1(1)(1

t2111). （2.12） 22t2t

相继的近似在原点附近有越来越多的奇性（图2.2）．通过展开下面的精确解可以看出．

Y(t,)exp[(1)] （2.13）

这个特点在相似的问题中也存在，但我们使用一个特殊的方法可以处理．下面考虑方程

Ly(xy)1tdyy0 yx11. （2.14） dx

我们在区间0x1中求解．

图 2.2 （2.11a）的近似解由（2.12）给出的；Y的精确解由（2.13）给出的．

展开式 y(x,)y0(x)y1(x)导出下列方程 dy0y00 y0x11. dx

dydy2.x1y1y00 y1x10. dxdx

111(12) （2.15）结果y(x,)x2xx1.x

能清楚地看出在原点附近，第二个近似比第一个近似的奇性多（图2.3）．

精确解

y(x,)x

x2

221 （2.16）

在原点是有界的，对于大于0的任意值，

y(0,)2

1，这是一个典型的“无穷时间”问题．

图 2.3 （2.14）的近似解由（2.15）给出的；y的精确解由（2.16）给出的．

2.1.3 奇异问题

奇异问题的原型是由Friedrichs[36]介绍的，用来证明由Prandtl[78]提出的边界层和粘性

流体的一个匹配的．我们考虑下面一个方程 d2ydya0 0a1, （2.17a） Lydx2dx

服从于边界条件yx00,yx11, （2.17b）

我们在区间0x1中求解．这是一个比初始值问题复杂一些的边界值问题，像本章

的其他研究问题一样，它的精确解是已知的．0时，它的退化问题是

L0y0dy0a0， dx

其解由y0axA给出．这里的A是一个常数，由两个边界条件决定．一般地，同时

满足两个边界条件是不可能的．这个特点是某些奇异问题所特有的．当0时，退化问题

的阶要比初始问题的阶要低．

如果边界条件x0是强行赋予的，解则变成y0ax.由于y0(1)a，所以这种近似不

是一致有效的．类似地，如果强行赋给一个边界条件x1，则解变成

y0ax1a, （2.18）

它使得y0(0)1a.边界条件在原点不满足一定表明这是一个非一致收敛区域。

图 2.4 （2.17a,2.17b）的近似解由（2.18）给出的；y的精确解由（2.19）给出的．

（2.17a）的精确解是

x1exp()

y(x,)ax(1a)1exp(). （2.19） 

对于x0,当0，这个好的精确解yax1a能由图2.4给出．这表明退化

问题要在x1时满足边界条件．非一致收敛区域在原点附近是局部的．

如何在不知道精确解的前提下回答这个问题？第一个启示会在下一节出现．

2.2 奇异摄动问题的近似方法

很多方法用来解决奇异摄动问题[6,38,42,43,72,108,112]，我们下面来介绍其中最常见

的一些方法．

2.2.1渐进展开匹配方法，即MMAE，已经成为一些深度数学研究的主要课题，并在物

理上广泛应用．在1950年自Friedrichs提出他的模型后，这种潜在的思想就得以萌发．此

后这些思想蓬勃发展并被运用于粘性流体方程．对于MMAE的发展，Kaplun[45],Lagerstrom

[47,48],Cole[17] 和NanDyke[107] 都贡献良多．在这种方法的基础研究中，最彻底的当

属Eckhaus[33,34]．虽然他们对于MMAE做了有了很多有价值的工作，但将它规范成一种

普遍的数学方法理论还是有点困难．启发式规则很有效，在数学物理问题中，尤其是流体动

力学方面的应用已经取得丰硕的成果．我们重新考虑Friedrichs's的模型（2.17a）,对于除了

在原点的邻域外精确解的考察表明

limy(x,)y0(x)ax1a, 0

而在原点的边值条件为yx00,y0x01a.

接下来的两条建议非常重要．

1.如果极限展开过程中用变量Xx/替换变量x，则得到

limy(x,)Y0(X)(1a)(1e0X).

采用这一步是想考虑指数项．由于X所含的区域比x所含的区域要离原点近，所以能得到一个好的近似．实际上，条件Y0

Y0x1x00能满足．但因为 (1a)(1e1/)，条件在x1时不再满足．结果令人吃惊，但我们一定注意到X属于一个比较大的区域0X1

,并且当X有界时被忽略的项在整个区域将不再被忽略．

2.第二条建议是导出渐进匹配的思想基础．就刚才的讨论，它满足下面异常结果

XlimY0(X)limy0(x)1a. x0

这两条建议是从精确解的行为出发的，假设不知道精确解，我们如何设想一种启发式方法来

构造近似解？

第一步．由退化问题得出

y0axA.

我们假设这个问题的已经推理解决，且非一致性区域也已知．在Friedrichs's模型的情况下，这就意味着退化问题的解是

y0(x)ax1a.

第二步．边界条件在原点不满足，原因是在第一步中与解相关的区域离原点太远．为了修复靠近原点的解的行为，就要通过引入变量变换

Xx



来扩大原点的的邻域．这里的是一个严格的正常数．于是，当x很小时，X一定保持有界．通过令

X(X,)y(x,),

控制方程（2.17a）能化成

12d2YdYa. 2dXdX

通过令

X1X 和 Y1Y,

方程化为

d2YdYa. 2dXdX

第三步．对于上面的方程，退化问题是

d2Y0dY00. dX2dX

一般解是

Y0(X)ABeX,

这里A和B是两个待定常数．满足原点处的条件很自然，得

Y0(X)A(1eX).

Xx/形式的中间区域．当01时，我们得到

y0(x)1aaX1a, Y0(X)A(1e

X/1

)A.

由此可以看到当X固定并且0时，我们得到A1a. 用这种方法，靠近原点的有效近似能通过后来被称为＂中间匹配＂ Y0(X)(1a)(1e

X

)

的匹配技巧找到．

一种更简单直接的方法是取极限．由于极限存在，所谓的渐进匹配准则 limY0(X)limy0(x)

X

x0

由此得 yappax(1a)(1eX). （2.20）能够检验出yapp在y0(x)和Y0(X)各自的有效区域中退化到y0(x)和Y0(X)．

上述描述的思想是渐进展开匹配法的构造基础．

图2.5．源自（2.17a,2.17b）．混合解yapp是由（2.20）给出的．精确解是由（2.19）给出的． 2.2.2 连续补充展开方法（the successive complementary expansion method）

如今通过假设y0(x)已知来寻找一个一致有效的近似解，我们会用到[26,75]较早提出的一个方法．近似的形式是

ya1y0(x)Y0(X). 对于Friedrichs's方程（2.17a），我们有

d2y0dy01d2Y0dY01d2Y0dY0 Lya1a. 222

dxdxdXdXdXdX

d2y0

因为为零，所以这种情况很特殊．如果设等式的右边为零并且边界条件满足，2

则解为

Y0ABe



X

服从边界条件 Y0(0)a1, 和 Y0()0,



由此得出

e1/eX

, Y(X)(1a)

1e1/

0

再加上y0(x)，精确解就能得到．

早期提出的这种方法坚持要求不依赖于Y0，它和相关．因为e一项，从而满足了这种方法的要求．得出 Y0(X)(a1)e



X

1/



很小，我们可以忽略这

如果再加上y0，我们会发现这与前面在渐进展开匹配方法中（2.20）的近似 yappax(1a)(1eX).

相同．



（2.21）

中有两个相互独立的变量x和X外，解的结构中没有别的假设．初始方程（2.17a）化为了一个偏微分方程

2YY2YY2Y (2)a. X2XxXxx2

函数Y定义在矩形区域[0x1,0X



]中，确定解的已知边界条件不够．然而，我们

的目标不是寻找精确解而是近似解．我们看下面的一个展开形式 Y(x,X,)Y0(x,X)Y1(x,X)O(2). 两个退化方程的结果

2Y0Y0

0 服从于Y0(0,0)0和Y0(1,)1. 1.

X2X2Y0Y02Y1Y1

a(2). 2.2

XXxXx

第一个方程的一般解为

Y0(x,X)A(x)B(x)eX. 由于给出

A(0)B(0)0, A(1)1.

所以确定函数A(x)和B(x)的边值条件是不够的．然而，第二个方程给出

2Y1Y1dAdBX

ae, 2

XXdxdx

能够导出

Y1(x,X)C(x)D(x)e

X

X(a

dAdBX

)Xe. dxdx

Lighthill's方法中，假设高阶的近e 于是，在2.2.4部分讨论的坐标变换的Poincar

似逼近的奇性不多于一阶的近似逼近(higher approximations shall be no more singular than the first.)看来是合理的．这就意味着

一定有界，且在整个考察区域内不依赖于．于是，我Y0

们有

a

0 dx

0. dx

这个微分方程组在边界条件下解得 A(x)ax1a, B(x)a1.

因此，Y0的解表示为

Y0(x,X)ax(1a)(1eX). 这与由MMAE和SCEM得到的近似一致．

Lighthill's方法 e2.2.4 Poincar

在1892年的一篇论文，这种方法的根源很古老，但应用很有限，可追溯至Poincare

这位伟大的数学家和Lighthill这位流动力学家的法和坐标变换方法．这里为了向Poincare

贡献致敬，我们称它为PL方法．

我们考虑已经谈过的（2.14）

Ly(xy)

y0 yx11. （2.22） dx

我们寻找它在区域0x1的解．

y(x,)y0(s)y1(s)y2(s), （2.23a） x(s,)sx1(s)x2(s). （2.23b）代入初始方程并使相同幂的系数相等，我们得到下面两个方程

dy0

y00 y0s1a, ds

dydydx

s1y10(x1y0s1).

dsdsds

第一个方程的解为

图2.6. 源自（2.22）．精确解y由（2.16）给出.

, s

这与在直接展开式中将s替换成x得到的解是一样的．

y0(s) 第二个方程，写成

d11dx(sy1)2(x1s1), dsssds

A11

2[x1(s)], 这里A是一个任意常数． ss2s

它有一个由下式给出的一般解． y1(s)

由Lighthill构想的基本原则可以阐述为高阶的近似逼近的奇性不多于一阶的近似逼近．

未知的函数x1(s)由下式确定

x1(s)1

2B(s), s2s

这里的B(s)是s的有界函数.于是二阶的解得出 y1(s)

AB(s)

. ss

这个方法的特点是x1(s)是不完全确定的．任意一个s的正则函数都能当做B．因此，

x1(s)在x1不是零很有用．此外，B若令为常数，简化是一个好的想法．导出的解为

y(x,)

, s

(s). 2s

在这种模型问题中，如果s能被消掉，那么精确解就能找到．

x(s,)s

注意：PL方法不能应用于Friedrichs's模型，但是MMAE可以． 2.2.5重整化群方法



它能够描述最简单的无穷时间问题

Ly

y0. （2.24） dt

的应用．

当t很大时，明确解包含了一个到二阶的奇点．到二阶的“简单的”渐进展开是 y(t,)A0[1(tt0)],

这里的A0和t0是两个整合常数，它们是由不确定的初始条件所决定的．很明显，当t很大时，这个展开不是一致有效的．考虑到展开的阶数，我们令

A0[1a1(t0,)]A(). (2.25)

除了是任意的，这种形式和“简单的”展开式相同．对任意的时间t，重整的标准由

y

0 

给出．则关于A的微分方程是得到的解为 yA1e



A0, d

[1(t)],

这里的A为常数．

令t,一个我们希望得到的阶数的一致有效近似就能得到 y(t,)A1e

t

.

这个近似无异于精确解，但模型非常简单． 2.3 总结

近似的方法，这些近似被匹配成能够使得其解达到一致有效．

2-1. 考虑方程

xx10. 当很小时，按下列步骤可得到解．

1.给一个精确解，并在0附近按泰勒级数展开至阶．

2.通过将解写成

xx，得到一个解的迭代．迭代过程为 xnxn1.

初值x0是令0时退化方程的解．通过改良每一步的近似，由泰勒级数展开的部分和我们能得到一个解的展开． 3.解的展开形式为

xx0x12x2, 给出x0,x1,x2的值． 4.我们令

xx01()x12()x2, 这里的1,2要使2-2 考虑方程

xx10.

2

0并且当0时，10．当然在取1,2时，要尽可能的简单． 1





1, xn1

给出，它们能让我们找到先前问题的结果． 3.我们假设根能展成

(1)(1)(1)

x(1)x0x12x2,

(2)

x1

(2)





(2)

x0x1(2).

给出这些展开的系数．

2-3.考虑下面的特征值问题

d2f

2f(x)0,0,x, 2

服从边值条件

f()0,f()0.

2-4. 这个问题由Van Dyke[108]提出．考虑一种两维的、不可压的，非粘性流体．连续方程

uv0 xy

能让我们引出一个流函数，并使得 u

,v. yx

有了流函数，连续方程能自动满足．此外，如果流体是稳态的、非粘性的，那么速度的旋度

dudyvdx. 所以，流线由cst确定．

如果一个圆柱体放在均匀、非粘性的流体中，上面的条件都能满足．在极坐标中，流函数由

U(r)sin

给出．这儿的r0是圆心，a是半径．自由流速度的模是U，且方向角0．

图2.7 在均匀流体中的轻微变形的圆柱体．

我们已经对轻微变形圆柱体周围的流体做了研究，主要部分的方程是 ra(1sin我们可以用一种正则性展开

(r,,)0(r,)1(r,) 来处理这类问题．

1.写出0和1的方程．给出边界条件．我们知道由于有了非粘性流体这个假设，速度与物体墙相切．墙是一个由0定义的流线．

2.给出1的表达式，由此我们知道具有恰当的对称条件的方程0的一般解是

).

br

sinn,

这里的n是一个整数，正的或者负的．我们记得 sin

(3sinsin3). 4

3.给出墙速度展到的表达式．

2-5. 这个问题由Van Dyke[108]提出．考虑一种两维的、不可压的，稳态的、非粘性流体．我们研究过一个半径为a的圆柱体周围的流体．经过修剪的自由流为

y

UU(12).



uu

旋度沿着流线是一个常数．于是，仅仅是的函数．关于的方

yx



程是

,



1y

这里在ra处0，并且当r时，U(y2).

1.利用U与a无量纲化这个问题．这里的无量纲的量都不用“”表示．首先，是的函数形式，利用摄动方法，得

223.

因此，在上行无限时（at upstream infinity）,y()的关系将由迭代 ynn1 来确定．

2.利用下面的展开

01, 能得到解．

写出0和1的方程和边界条件．给出0和1的解．1的解为

1r3sin3r(lnr)(sin)

131111sinsin3. 4r12r3

我们记得一个极坐标的拉普拉斯展开式是

2f1f12f. f

r2rrr22

讨论这个结果，特别是当r时．

3.边界层结构

3.1 考察二阶微分方程

d2ydy

Lya(x)b(x)y0, （3.1a） 2

dxdx

服从边界条件 y

x0

,yx1. （3.1b）

能给处理其他情形以有用的基本思想．如果将直接展开到一阶作为近似解，我们有 y(x,)y0(x)，将上式代入（3.1a），退化问题化为 a(x)其解为

y0(x)Cexp[

dy0

b(x)y00. (3.2) dx



b()

] ，（3.3） a()

exp[是一个有界常数．

b()

0a()] （3.4）

图3.1. 解的可能结构

根据图3.1，我们能区分三个区域

区域1：x[0,x0]．这个区域被称为外部区域．解为 y(x)exp[

(1)0



b()

]. a()

区域3：x[x0,1]．这个区域也被称为外部区域．解为 y0(x)exp[

(3)



b()

d]. a()

区域2：xD．当很小时D也非常小，并且在这个区域解有着快速的变化．一个边界层形式．

为了考察这个边界层，我们首先要定义变量，使之适合所考察的区域D．适合的变量称为内部变量．我们设 X

xx0

, （3.5） ()

y(x,)Y(X,). 方程（3.1a）化成

d2Y1dY

2a(xX)b(x0X)Y0. 0

dX2dX

我们假设这里的a和b都是连续的可微函数且a(x0)0．两边同乘以，得

d2YdY2

a(x)O()0. （3.6） 02

dXdX

O() 的含义在4.1.4中已经给出．显然，在D中，它表示的同阶无穷小．支配项是前面的两项，因此边界层区域的放大是通过令调节来得到的．

通过令 X

xx0



和y(x,)Y0(X),

我们得到内部方程为

d2Y0dY0

a(x)0. 0

dX2dX

解为

Y0(X)Cexp[a(x0)X]D,

这里C和D是两个常数，但未定．我们要通过2.2.1部分中所阐述的渐进匹配来确定C和D．

我们有

当xx0时

limY0limy0(x)exp[

X

xx0

(3)



b()

], （3.7） a()

当xx0时

limY0limy(x)exp[

X

xx0

(1)0



b()

]. （3.8） a()

当a(x0)0时，仅当X的极限有效．结果表明xx0．图3.2概括了几种可能情形：

情形1. 如果a(x)0，边界层将在x0的某个邻域产生．

情形2. 如果a(x)0，边界层将在x1的某个邻域产生．

情形3. 如果当xx0时a(x)0，并且当xx0时a(x)0，则这里有两个边界层，一个在x0的某个邻域产生，一个在x1的某个邻域产生．

情形4. 如果当xx0时a(x)0，并且当xx0时a(x)0，边界层就在xx0的某个邻域产生．一个内部边界层产生并且外部解在x0处不连续．

在第四种情形中，因为已经假设a(x0)0，所以重新分析很有必要．此外，这里对

a的限制已经足够，并且考察a有几个零点的情形是不必要的．事实上，如果用这种方法确

图3.2 根据a(x)的符号来进行边界层局部化．圆圈表示边界层产生的点．

图3.3 当a(x)有几个零点时的边界层的局部化．圆圈表示边界层产生的点． 3.2 每种情形的分析情形1：a(x)0.

边界层如果位于的某个邻域，区域1消失，只剩下区域2和区域3.我们现在有 对于外部区域

y0(x)y0(x)exp[

(3)



b()

]. （3.9） a()

对于内部区域

Y0(X)(D)exp[a(0)X]D. （3.10）在上面方程中，我们有

X



外部近似y0(x)满足y0(1)，而内部近似Y0(X)满足原点的条件Y0(0)．未知的常数D是由下面的渐进匹配条件确定的．

limY0(X)Dlimy0(x)

X

x

. 

由上式还能得到

Y0(X)(于是我们能构造一个一致有效近似

ya(x,X)y0(x)Y0(X)接着我们推出

ya(x,X)(

xb()

)exp[a(0)X]exp[d].

1a()



)exp[a(0)X]. 



. 

上面，我们假设a(x)0．指定a(x)x，来考察一种x0时a(x)0并且a(0)0 的简化情形，这里p是一个正实数．用由（3.5） X给出的变换，（3.6）化为

()

d2Y1ppdYXO(2)0. 2dXdX

1/(1p)

这里，我们假设0p1．显然，边界层厚度就是()，则边界层变量就为

X内部函数化为

1/(1p)

d2Y0pdY0

X0. 2

dXdX

满足在原点条件的解可由下式

Y0(X)CG(X) 给出．由

G(X) 我们知渐进匹配条件为



exp(

1p

1p

)d,

limY0(X)CG()limy0(x)

X

x0

, 

于是导出的近似为

Y0(X)(并能得到一致有效近似为

xb()G(X)

ya(x,X)()[1]exp[d].

1a()G()

G(X)

), G()

情形3：当xx0时a(x)0，当xx0时a(x)0.

图3.4显示了解的行为．这里有两个内部区域D和D和一个外部区域D（见问题3-2,3-3）．这里的两个边界层是由两个内部变量 X描述的．

在外部区域D(2)，根据（3.2）和（3.3），解可以写成 y0(x)Cexp[这里C是常数，但未定．方程（3.2）在xx0点为 a(x0)

(1)

(3)

(2)



和X



x1





b()

d], a()

dy0

b(x0)y00 dx

表明如果y0的偏导数在x0有界，并且b(x0)0，那么我们有y0(x0)0，这隐含 C0和y0(x)0.

图3.4 情形3中解的形状在内部区域D(1)，内部方程为

d2Y0(1)dY0(1)

a(0)0, 2

dXdX

其解为

Y0(1)(X)C1exp[a(0)X]D1.

其中的常数C1和D1是由下面的在原点的条件和渐进匹配准则确定的． C1D1 和 D1limY0

X

(1)

limy00.

x0

这能导出

Y0(1)(X)exp[a(0)X]. 对于内部区域D的内部方程是其解为

Y0(3)(X)C3exp[a(1)X]D3.

其中的常数C3和D3是由下面的在x1的条件和渐进匹配条件确定的．

(3)

d2Y0(3)dX

dY0(3)

a(1)0,

dX

Y0 C3D3 和 D3lim

X

(3)

limy00.

x1

这能导出

(3)

exp[a(1)X].

最后，我们得到的一致有效近似为

ya(x,X)exp[a(0)X]exp[a(1)X]. 情形4：当xx0时a(x)0，当xx0时a(x)0.



图3.5显示了解的行为．这里有两个外部区域D(1)和D(3)（见问题3-1）和一个内部区域

D．这里的两个边界层是由内部变量

X

xx0

()

描述的．这里的()是阶函数．为了确定()，我们假设a(x)在xx0的邻域的结构是是由

a(x)xx0Ksgn(xx0)xx0，0p1.

图3.5 情形4中解的形状

1/(1p)

情况和a(x)x时的情形1相同．边界层的厚度为()

，且内部方程为

d2Y0dY0p2

Kxsgn(X)0, 2

dXdX

一般解为

Y0C1sgnX



exp(K

1p

1p

)dC2,

其中的常数C1和C2是由具有外部近似的渐进匹配条件确定的．这里有两个外部区域D

(1)0

(1)

和D

(3)

，特别地，外部近似为

y(x)exp[



b()

d], a()b()

]. a()

y0(x)exp[渐进匹配得出

(3)



xx0

(1)

limy0(x)exp[



b()

]a()

limY0(X)C1exp(K2

X



1p

)dC2,

并且

(3)

limy0(x)exp[

xx0

b()

] （3.11） a()

limY0(X)C1

X



exp(K

1p

1p

)dC2. （3.12）

上述两个方程可以确定常数C1和C2．

3.3 总结

3-1．我们来考察一个y(x,)的渐进近似

d2ydy

2(x1)2(x1)y0, Ly2dxdx

这里0x2，且y(0,)1,

y(2,)0.

1.确定外部区域和相应的近似y0(x).

2.求出内部区域的厚度()，确定相应近似Y0(X)的一般形式，这里的X(xx0)/和

x0一定要确定．

3.应用匹配准则，描绘出解的行为．我们记得





esds

4.我们能给出y(x,)在区域0x2一的致有效近似吗？

3-2考虑下面的问题

d2ydy

(1x)y0,

dx2dx

且 y(0,)1，y(1,)1. 1.给出边界层外部的一般解y0(x)．

d2ydy

(1x)y0, 0x1， dx2dx

且 y(0,)1，y(1,)1.

核查下面的精确解 ye

[ABetdt],

这里X

1x

. 2 确定A和B．

在x0和x1的邻域分别有一个边界层．给出每个边界层适当的变量．我们知，当z时，



z/2

etdt1

211

ez/2[3].

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